Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es homogénea si la función que define la ecuación es homogénea de orden cero. Para que una ecuación diferencial esté escrita en la forma dx/dy = f(x,y) sea homogénea, los coeficientes f y g deben ser funciones homogéneas del mismo grado. Al resolver una ecuación diferencial homogénea, se puede hacer un cambio de variable para reducirla a una ecuación en variables separadas.

1. Ecuaciones diferenciales homogéneas

2. Existen algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se reducen a ecuaciones en variables separadas, como el ejemplo anterior. Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas es necesario definir lo que es una función homogénea. Introducción

3. Una función se dice homogénea de grado n si Para todo y todo Definición

4. Ejemplo: La función es homogénea de grado 1/2 Las funciones son de grado cero Las funciones son homogéneas de grado 2 Ahora definimos lo que es una ecuación diferencial homogénea.

5. Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, es homogénea si la función es homogénea de orden cero. si la ecuación diferencial está escrita en la forma sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes y son funciones homogéneos del mismo grado.

6. Y=ux , dy=udx + xdu X=uy , dx=udy + ydu U=x+y , y=ux , dy=du-dx Elementos claves para el cambio de variable

7. Resuelva la ecuación diferencial La ecuación diferencial es homogénea pues y son homogéneas de grado dos Haciendo la sustitución

8. De donde Integrando y volviendo a las variables x & y obtenemos Note que x=0 es una solución singular de la ecuación diferencial dada. Observación: Cuando la ecuación diferencial homogénea está escrita en la forma conviene más rescribirla en la forma y aplicar aquí el cambio de variable y=ux