Geometria poligonos

GEOMETRIA GRADO 9
PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R.
CORREO: blancacastilloregueros@gmail.com cel 3158857189
+
MÉTRICO Y GEOMÉTRICO
Razonamiento deductivo
Proposiciones lógicas
Cuantificadores
Métodos de demostración
Razones
Proporciones
Razón entre segmentos
Polígonos semejantes
Teorema de la semejanza de triángulos
Circunferencia
Elementos de una circunferencia
Posiciones relativas entre ulna recta y una
circunferencia
Modelación y comunicación
Identifico los métodos demostración en la solución de ejercicios
Selecciono las clases de polígonos en objetos varios
Razonamiento y argumentación.
Establezco la diferencias entre una razón y una proporción y propongo otras
soluciones
Aplico la teoría de las razones y proporciones en los ejercicios propuestos
Identifico los elementos de una circunferencia gráficamente.
Solución de problemas
Soluciono problemas de aplicación a las razones y proporciones utilizando las
teorías estudiadas
Realizo demostraciones aplicando los diferentes métodos en la solución de
ejercicios
Elaboro material que tienen que ver con los polígonos y circunferencia
¿Cuál es la Diferencia entre razonamiento inductivo y razonamiento deductivo?
El inductivo y el deductivo son dos métodos de razonamiento diferentes, que además son muy aplicados tanto
en Filosofía como en casi todas las investigaciones científicas.
Estos métodos forman parte del pensamiento lógico y de procesos analíticos, pero es importante saber que son
completamente diferentes el uno del otro y que se emplean dependiendo de las necesidades del investigador.
Como sabemos que probablemente la realización de tu tarea y tu calificación dependen de la información que aquí te
brindemos sobre este tema, a continuación te explicamos cuál es la diferencia entre razonamiento deductivo y
razonamiento inductivo. Razonamiento inductivo El razonamiento inductivo es también conocido como la
lógica “de abajo hacia arriba”. Es un tipo de razonamiento que se centra en la creación de declaraciones generalizadas a
partir de ejemplos o sucesos específicos. Cuando se efectúa este tipo de razonamientos, se trabaja a partir de ejemplos
concretos que pueden resultar o no verdaderos; entonces luego se transfieren a conceptos generalizados.
metodo inductivo
Para que se entienda mejor, imaginemos que en el equipo de atletismo de una escuela secundaria están Frederick y
Julien; ambos de estatura alta; a partir de ésto y siguiendo una forma de razonamiento inductivo diríamos que todos los
corredores en el equipo de atletismo deben ser altos. Al final, esto podría resultar ser verdadero o falso.
En muchos casos, es criticado el razonamiento inductivo; ya que se suele considerar como un método impreciso, dado
que se hacen generalizaciones a partir de pocos ejemplos específicos.
El razonamiento inductivo fue utilizado popularmente por Isaac Newton al momento de desarrollar su Teoría de la
Gravedad. Newton usó sus observaciones de los movimientos planetarios y de las manzanas que caían del árbol de su
casa e indujo que había una fuerza responsable de la manera en que ciertas cosas funcionaban.
A pesar de las críticas, el método inductivo es importante para la ciencia, ya que sirve como punto de partida para la
realización de pruebas que más adelante brinden evidencias acerca de verdad o falsedad del supuesto.

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razonamiento inductivo
También es importante mencionar que los prejuicios que casi todos tenemos, están estrechamente relacionados con el
uso del razonamiento inductivo (quien lo diría eh). Las personas (por lo menos la mayoría) suelen hacer afirmaciones
generales a partir de eventos particulares.
Por ejemplo, si nos enteráramos de que el ladrón que se metió en la casa de nuestro vecino y de que el sujeto que iba
manejando borracho y provocó un accidente, tenían tatuajes; más de uno dirá o por lo menos pensará que todas las
personas tatuadas tienen problemas de conducta, ignorando los muchos casos en los cuales personas sin tatuajes han
perpetuado acciones similares y la cantidad de personas tatuadas que nunca han tenido problemas de conducta.
Razonamiento deductivo
El razonamiento deductivo se diferencia del inductivo, porque utiliza conceptos generalizados para tratar de llegar a
otros más específicos. Por esta razón también se le conoce como el enfoque “de arriba hacia abajo”.
El investigador que emplea este método, comienza con una idea generalizada y se va haciendo camino hasta llegar a un
ejemplo específico. En este caso, se infieren conclusiones a partir de una teoría existente.
razonamiento deductivo
Esta forma de razonamiento vincula a las premisas con la conclusión, afirmando que si todas estas son verdaderas;
entonces esta última también lo es.
El siguiente podría ser un ejemplo de razonamiento deductivo:
Todos los animales son mortales.
Un perro es un animal.
Por lo tanto, un perro también es mortal.
Como se pudo ver, la teoría generalizada es la de que todos los animales son mortales, a partir de esto se afirma que un
ejemplar de una especie animal (un perro), también es mortal.
Del mismo modo que sucede cuando se trata del razonamiento inductivo, también en este caso, la conclusión final
puede resultar falsa o verdadera; dependiendo de si la teoría generalizada es o no errónea.
Un silogismo es un tipo de razonamiento deductivo, muy utilizado en las matemáticas. Es muy popular el si A=B y B=C
entonces A=C.
Diferencias clave entre razonamiento inductivo y razonamiento deductivo
El método inductivo parte de algo específico para llegar a una conclusión general, mientras que el método deductivo
toma conceptos generalizados para llegar a una conclusión específica.
Un ejemplo de razonamiento inductivo es: Mi maestra de Lengua Española es gorda y la de mi hermano también, por lo
tanto, todas las maestras de Lengua Española son gordas.
Un ejemplo de razonamiento deductivo es: Mi madre nunca dice mentiras. Ayer mi madre me dijo que un gato le habló.
Como ella nunca miente, seguro que lo que me dijo es verdad.
Tomado en internet de:
http://es.slideshare.net/papiolo35/mtodos-de-demostracin-directa-e-indirecta
1. De acuerdo a la lectura escribe con tus palabras la diferencia entre el método inductivo y el método deductivo.
2. Me preparo para una evaluación oral

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tomado de internet en:

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http://diferenciaentre.info/diferencia-entre-razonamiento-inductivo-y-razonamiento-deductivo/

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Lee y aprende:
La demostracion de validez de una proposicion a traves del razonamiento se fundamente en otras proposicones ya
demostradas, o bien en otras proposiciones que sin haber sido demostradas las aceptamos como verdaderas. Existen
varios mettodos de desmotracion como son: Metodos de superposicion, Meodos directos y metodos indirectos
Proposicion : Es un producto logico del pensmiento que se expresa medianteel lenguaje,sea este un lenguaje comun,
cuando adopta la fomra de oracion gramatical o simolbolico, cuando se expresa por medio de signos o simbolos.
En Logica tradicional se distinguen la proposicon y el juicio pro cuanto la primera es el producto logico del acto por ele
cual se afirma o se niega algo de algo, mientras este acto constituy el juicio.
Para Aristoteles,la proposiciones un discurso enunciativo perfecto que se expresa en un juicio que sigfnifica lo verdadero
y lo falso como juicio de terminos. Por eso el juicio es una afirmacion categorica es decir indondionada porque representa
adecuadamente la realidad
CONECTIVOS LOGICOS;
Son palabras o simobolos que enlazan proposiciones con el fin de construir un lenguaje (verval o simbollico) más amplio.
La jerarquia de las proposiciones son negacion, conjuncion ⋀ (𝑦), disyuncion ⋁(𝑜), implicacion→ (𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠),
incondicional, y son asociadas por la izquierda,bicondicional ↔ (𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖) negacion (¬)
Aprende mas en :http://es.slideshare.net/filosofico/mtodos-de-demostracin-en-matemtica
Tomado en internet de : http://profe-alexz.blogspot.com/2010/12/19-ejercicios-resueltos-de-razones-y.html

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En la actividad anterior pudieron verificar con un ejemplo las propiedades que cumplen las
proporciones.

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ACTIVIDAD Nº8:
En la siguiente figura M, O y R están alineados al igual que N, O y T. MN es paralela a TR.
.96,5,12 cmNOycmMOcmTRcmMN 

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1- Razón
2- http://es.slideshare.net/doreligp21041969/proporcionalidad-de-segmentos-28372917
Una razón es una comparación entre dos o más cantidades. Puede expresarse mediante una fracción. Si las cantidades a
comparar son a y b, la razón entre ellas se escribe como:
Ejemplo:
En una sala de clases hay 10 mujeres y 18 hombres.¿Qué relación numérica existe entre el número de mujeres y el número de
hombres?
La relación entre el numero de mujeres y el número de hombres es de "10 es a 18" , otra forma de leerlo es "10 de 18 "
El término a es el antecedente de la razón y el b, el consecuente.
El resultado de la división o cociente entre el antecedente y el consecuente se denomina valor de la razón
Dos o más razones son equivalentes cuando tienen igual valor.
1.1- Resolución de problemas:
Veamos como resolver problemas de razones:
Ejemplo 1:
La edad de 2 personas están en la relación de 5 a 9 y la suma de ellas es 84. Hallar las edades.
Solución:
Si las edades son a y b
Cuando nos hablan de relación o razón entre dos cantidades sabemos que nos están hablando de una comparación entre dos
cantidades. Por lo tanto expresamos los datos como una razón:
Ahora volvemos a los datos del problema:
Nos indican que la suma de los 2 números nos tiene que dar 84. Esto se expresa así:
Ahora lo que debemos hacer es trabajar con una constante, que en este caso será " X" . Por lo tanto :
Reemplazando los datos en la ecuación tenemos:

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Ahora que tenemos el valor de x podemos reemplazar para obtener los valores de a y b :
Respuesta: Por lo tanto podemos decir que las edades son 30 y 54.
Ejemplo 2:
El perímetro de un rectángulo mide 128 cm, y la razón entre las medidas de sus lados es 5: 3. Calcula el área del rectángulo.
Solución:
Siguiendo el procedimiento del problema anterior planteamos el problema en una ecuación. Sabemos que el perímetro de un
rectángulo es igual a la suma de todos sus lados:
Si expresamos las variables dadas en el problema:
Ahora reemplazamos y resolvemos:
Con este resultado reemplazamos :
Ahora no nos debemos olvidar que nos están pidiendo el área del rectángulo. Sabemos que el área del rectangulos se calcula :
A = a • b
Por lo tanto la respuesta sería :

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A = 40 • 24 = 960
Respuesta: El área del rectángulo es 960 cm2
2- Proporciones
Una proporción es la igualdad de dos razones.
2.1- Propiedad fundamental
En toda proporción, el producto de los términos medios es igual al producto de los términos extremos (Teorema fundamental
de las proporciones). Es decir:
Ejemplo:
Si tenemos la proporción:
y le aplicamos la propiedad fundamental señalada queda:
3 • 20 = 4 • 15, es decir, 60 = 60
Esta es la propiedad que nos permite detectar si dos cantidades presentadas como proporción lo
son verdaderamente.
SEGMENTOS PROPORCIONALES
¿Qué se entiende por razón de dos segmentos?
Se trata del cociente indicado de sus medidas: La razón de 5 cm., y 2 m., es:
¿Qué entendemos por proporción?
Llamamos proporción a la igualdad de dos razones:
El primero y últimos términos de una proporción (a y d), (5 y 40)son los términos extremos. Los términos (b y c),
(200 y 1) son los términos medios.
En toda proporción, el producto de los valores de los términos extremos es igual al
producto de las medidas de los términos medios.

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De un modo más breve se acostumbra decir: “Producto de medios igual al
producto de extremos”.
Polígonos semejantes
Dos polígonos son semejantes cuando tienen los ángulos homólogos iguales y los lados
homólogos proporcionales.
triángulos semejantes
Dos triángulos que tienen la misma forma, pero no el mismo tamaño.
Cuando dos triángulos son semejantes, los ángulos correspondientes son congruentes y los lados
correspondientes son proporcionales en medida.
polígonos semejantes
Dos polígonos son semejantes si los ángulos de uno son iguales a los ángulos correspondientes del otro
y los lados correspondientes son proporcionales.

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Actividad de desarrollo : Resuelve los siguientes problemas
1Un rectángulo mide 7 cm de largo por 3 de ancho. ¿Cuál es el perímetro y el
área de otro semejante cuyos lados miden el doble?
P = cm
A = cm2
2¿Son semejantes estas figuras?
Ejercicios
1 Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma
hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.

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Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán
los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?
Semejanza (geometría)
Es la variación en tamaño entre dos objetos o cuerpos pero sus formas son idénticas. Se dice que dos figuras
geométricas son semejantes si tienen la misma forma pero sus tamaños son diferentes. Por ejemplo, dos mapas a
escalas distintas son semejantes, pues la forma de los continentes no cambia, pero si el tamaño.
Una semejanza es la composición de una materia (una rotación y una posible reflexión o simetría axial) con
una homotecia. En la semejanza se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su
forma.
Por lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma.
En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos (no así en el caso de un rectángulo, por ejemplo,
donde uno de sus ángulos es recto pero cuya forma puede ser más o menos alargada, es decir que depende del
cociente base / altura).

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Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales
dos a dos.
En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Para denotar que dos triángulos ABC y DEF
son semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se
corresponden con D, E y F, respectivamente.
Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas las longitudes por un mismo factor. Por lo
tanto las razones longitud imagen / longitud origenson todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los
triángulos semejantes:
Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son congruentes.
Se reúnen estas dos propiedades equivalentes en la siguiente ecuación:
Corolarios
Todos los triángulos equiláteros son semejantes.
 Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales.
Una semejanza es la composición de una isometría con una homotecia. En la semejanza se puede cambiar el
tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma. Por lo tanto, dos triángulos son semejantes si
tienen similar forma. En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos. Se puede simplificar así la
definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales uno a uno.
En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Para denotar que dos triángulos ABC y ABC
son semejantes se escribe ABC ~ ABC, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se
corresponden con A', B' y C', respectivamente. Una similitud tiene la propiedad de multiplicar todas las longitudes
por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una
segunda caracterización de los triángulos semejantes: Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados
correspondientes son congruentes.
Propiedad reflexiva, refleja o idéntica
Todo triángulo es semejante a sí mismo.
Propiedad idéntica o simétrica
Si un triángulo es semejante a otro, aquel es semejante al primero.
Propiedad transitiva
Si un triángulo es semejante a otro, y éste a su vez es semejante a un tercero, el primero es semejante al tercero.
Estas tres propiedades implican que la relación de semejanza entre dos triángulos es una relación de equivalencia.

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Teorema fundamental de la semejanza de triángulos[editar]
Todas las paralelas a un lado de un triángulo que no pase por el vértice opuesto, determina con las rectas a las que
pertenecen los otros dos lados, un triángulo semejante al dado.
H)
ABC; r || AC
r corta AB en L
r corta BC en M
T)
D)
Casos
Podrán presentarse 3 casos:
Primer caso
r corta a los lados AB y BC por puntos interiores a ellos.
Haremos una primera consideración, referida a los ángulos, y la llamaremos (1):
por carácter reflejo
por ser correspondientes entre r || AC, secante AB
por ser correspondientes entre r || AC, secante BC
Por otra parte, en virtud del corolario del Teorema de Tales se tiene:
Si por M se traza una paralela al lado AB, esta interseca al lado AC en un punto N, y
nuevamente por el corolario del Teorema de Tales tenemos:
Pero dado que AN = LM, por ser lados opuestos del paralelogramo ALMN, reemplazando
en se obtiene:

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De y se obtiene la consideración que llamaremos (2):
Luego de (1) y (2), resulta:
por definición de semejanza.
Segundo caso
r corta a las rectas de los lados AB y BC por puntos exteriores a ellos,
sobre las semirrectas de origen B que los contienen.
Consideramos BLM como si fuera el triángulo dado, y BAC el triángulo
nuevo, y por el caso I de la demostración, es:
por carácter simétrico.
Tercer caso
r marca a las semejantes de los lados AB y BC en puntos que
pertenecen a las semirrectas opuestas a las que sirven de sostén a
dichos lados.
Sobre la semirrecta de origen B que contiene al punto A, se construye
BN=BL y por el extremo N del segmento construido, una paralela a
AC (s) que corta la recta de BC por O.
Quedan entonces por el caso I, semejanza que
llamaremos .
Teniendo en cuenta los triángulos BNO y BLM, se observa:
 BN=BM por construcción
 α=α' por ser opuestos por el vértice.
 β=β' por ser alternos internos entre r || s, secante LN
Y siendo BNO=BLM es BNO ~ BLM por el primer corolario de la
definición.
De y , y por carácter transitivo:
BAC ~ BLM BLM ~ BAC

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Elementos de la circunferencia y del círculo
Circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un mismo punto llamado centro
de la circunferencia. El punto centro no pertenece a la circunferencia. La circunferencia se nombra con la
letra del centro y un radio.
Círculo es la figura plana formada por una circunferencia más toda su región o área interior
Ejemplos prácticos de una circunferencia: Aro, anillo, hula-hula, borde de vaso, la orilla de un plato, etc.
Perímetro de la circunferencia: 2  · r  · d
Elementos de la circunferencia
Rectas en la circunferencia
Radio: Es un segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella.
El radio se nombra con la letra “r” o bien con sus puntos extremos.
La medida del radio es constante.
Cuerda: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas tienen distintas medidas.
Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
El diámetro es la cuerda de mayor medida.
El diámetro se nombra con la letra “d”.
El diámetro siempre es el doble del radio: d = 2r r = d/2 .
Tangente: es la recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia.
Secante: es la recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia.

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Arco: es una parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.
Ángulos en una circunferencia
Ángulo del centro: Es el ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios de ella.
Figura Características Medida
Vértice en el centro de la circunferencia
Lados que contienen radios de ella
m (< AOB) = m (arco AB)
Ejemplo:
(Debe leerse: arco SR es igual a un tercio de la
circunferencia. Calcular el ángulo X))
Por definición del Teorema del ángulo del centro la medida del arco SR es igual a la medida del ángulo del centro (x). Como la
circunferencia en el sistema sexagesimal tiene 360º significa que el arco SR mide 1/3 de 360º, esto es dividir 360 en 3 partes y tomar 1
sola.
360º : 3 = 120º < SOR = 120º
Ángulo Inscrito: Es el ángulo cuyo vértice está sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas de ella. Para todo ángulo inscrito,
existe un ángulo del centro que subtiende el mismo arco. El ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo del centro que subtiende el
mismo arco.
Figura Características Medida
< ABC inscrito que subtiende arco AC
< AOC del centro que subtiende arco AC
Vértice en la circunferencia.
Los lados son cuerdas de ella.
< ABC subtiende arco AC.
El centro de la circunferencia está en el interior del
ángulo.
m ( <ABC) = ½ m (<AOC)
(Debe leerse: medida del ángulo
(ABC) es igual a la mitad del
ángulo (AOC)
Ejemplo:

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Si ángulo y es igual a 54 grados
Entonces ¿cuánto mide el ángulo x ?
El ángulo “y” es un ángulo del centro; el ángulo “x” es un ángulo inscrito que subtiende un arco común con el
ángulo del centro (AB), por lo tanto, se debe aplicar el Teorema del ángulo inscrito.
Por Teorema: x = 1/2 y x = 1/2 · 54 = 54/2 = 27º
Caso Especial:
Si un ángulo inscrito subtiende una semicircunferencia, entonces
es recto.
α = 180º β = 90º
CIRCULO O REGION CIRCULAR: Es todo el espacio interior encerrado por una circunferencia..
REPRESENTACIONES MATERIALES DEL CIRCULO: Disco, plato, fondo de vaso, tapa de tarro, CD, etc
AREA DEL CIRCULO:  · r2
Elementos del círculo
Segmento circular: es cada una de las partes en que se divide un círculo cuando se traza
una cuerda (A - B). Si la cuerda es un diámetro, cada parte será un semicírculo.
Sector circular: es la parte del círculo limitada por dos radios y un arco.
Corona circular: es la porción del plano comprendida entre dos circunferencias
concéntricas.
Tomado de: http://www.profesorenlinea.cl/geometria/CirculoCircunfelementos.htm
1. Elaboro una cartelera con todo lo relacionado con la circunferencia utilizando los implementos
de geometría .
2. Me preparo para una evaluación escrita

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