intro to finite volume method

1. Intro to CFD II
An introduction to computational fluid
dynamics; the finite volume method
H.K. Versteeg and W. Malalasekera

2. Difusión
• La divergencia del gradiente  la viscosidad
“difunde” cantidad de movimiento.
div(Г grad(φ))+Sφ=0

3. Difusión en 1D
• En 1D la difusión es
• Se puede representar un volumen de control

4. Discretización 1D
• Se discretiza alrededor del pto. P

5. El truco en volúmenes finitos
• Se usa el teorema de la divergencia

6. Discretización
• Si el coeff. de difusión no es cte. -> interp
• Y los términos se discretizan como

7. Discretización
• Términos fuente pueden depender de (x,y,z)
• Sustituyendo
• Se puede expresar como

8. Discretización
• Identificando coeficientes
• Se tiene

9. Ejemplo
• Conducción de calor en una barra de área A
• La ec. a resolver es
• k=1000W/m/K
• A=10E-03m2

10. Ejemplo
• Discretizamos en 5 elementos
• Cada elemento (no frontera) tiene

11. Ejemplo
• De modo que
• Donde

12. Ejemplo
• Los nodos de los extremos se tratan diferente:
• Rearreglando

13. Ejemplo
• Para el nodo 1
• De igual manera

14. Ejemplo

15. Ejemplo
• Sistema de ecuaciones
• Es decir: 

16. Ejemplo
• Arreglando el sistema queda

17. Ejemplo
• Resolviendo

18. Ejemplo 2 (fuente)
• Ahora un ejemplo con fuente de calor:
L=2cm; k=0.5W/m/K;
q=1000kW/m3;
TA=100oC; TB=200oC;

19. Ejemplo 2
• Malla y discretización
• Se trata la fuente con un promedio


20. Ejemplo 2
• La discretización queda (nodos 2,3 y 4)
• Rearreglando
• queda

21. Ejemplo 2
• Para los nodos 1 (fronteras)
• Usando el mismo esquema ( )

22. Ejemplo 2
• Para el nodo 5
• Procediendo de forma similar se llega a

23. Ejemplo 2
• El sistema de ecuaciones queda

24. Y en 3D?
• Es lo mismo en las tres direcciones:
Con más vecinos

25. En 3D…
• Misma idea
• Discretizando

26. En 3D
• Mismo manejo para los coeficientes
• Mismas consideraciones para las condiciones
de frontera (que en 1D y 2D)

27. En resumen
• Para problemas de difusión en general:

28. En resumen
• En la frontera (boundary) se hace cero el
coeficiente de la frontera B (y tamaño )
para introducir las condiciones de frontera
fijo:
fijo:

29. Convección-difusión
• Un término más
• en términos de un volumen de control

30. Caso 1D
• Convección-difusión 1D
• Y continuidad
• Dominio numérico:

31. Caso 1D
• Discretizando, queda
• Continuidad
• Definiendo el flujo convectivo y la
conductancia (difusiva)
Ojo: estamos suponiendo que conocemos u por el momento

32. Caso 1D
• Los valores en las celdas quedan ( )
• Empleando de nuevo diferencias centradas:
Ojo: continuidad queda

33. Caso 1D
• Interpolando los valores para las caras
• Queda

34. Caso 1D
• Rearreglando:

35. Caso 1D
• Los coeficientes quedan (esquema central
differencing)
donde
Igual que en difusión, agregando los flujos. Hablar sobre precisión centr. Diff.

36. Ejemplo 1D
• Flujo de calor 1D. Caso 1: u=0.1 m/s.
• Discretizando:
Ojo: la sol. exacta es

37. Ejemplo Caso 1
• Para el nodo 1 queda
• Para el nodo 5 queda
• Considerando difusión y advección como

38. Ejemplo Caso 1
• Las ecuaciones en el mismo formato
• Con coeficientes
• Los demás:

39. Ejemplo Caso 1
• Valores:


40. Ejemplo Caso 1
• Comparación con sol. analítica

41. Ejemplo Caso 2
• u=2.5 m/s

42. Ejemplo Caso 3
• u=2.5 m/s con 20 nodos

43. Propiedades de la discretización
• Conservatividad
• Considérese la discretización central difference:

44. Propiedades
• Hágase un balance global de flujos
• Es consistente por construcción

45. Propiedades
• Ejemplo de inconsistencias en flujos (esquema de
2º orden no muy bien pensado)
• Diferencias en las Ф’s

46. Propiedades
• Cond. suficiente para convergencia
(Scarborough, J.B. 1958)
Diagonal dominante (ej. ver caso 2).
• Acotada: los coeficientes deben ser del mismo
signo (compare caso 2 con demás ejs.)

47. Propiedades
• Transportivenes (=transportabilidad?): debe
tomar en cuenta la dirección del flujo.

48. Propiedades Central Differencing
• Conservativo OK
• Acotado:
• Continuidad   cumple criterio de
Scarborough
• Suponiendo flujos >0, coeffs. positivos 
• Transportividad: no tiene (why?)

49. Precisión
• Central Differences: 2º orden

50. Upwind differencing
Usando diferencias centradas y sustituyendo, queda (u<0)


51. Upwind differencing
• Cuando u es negativa
• Queda
• En forma general
• Donde los coeffs son

52. Ejemplo
• Mismo ejemplo, caso 2 (Pe=5)
• Nodo 1
• Nodo 5
• Los coefs

53. Ejemplo
• Mejor, no es así?

54. Upwind differencing
• Conservativo OK
• Acotado OK
• Transportiveness OK
• Precisión de orden uno
• False diffusion

55. False diffusion

56. Hybrid
• Combinar central y upwind differences de modo
que upwind entre cuando Pe>=2
• Si refinamos la malla, Pe se hace pequeño y
podemos tener precisión adicional de orden dos.

57. QUICK orden 2

Discretización consistente de orden 2

58. QUICK fronteras
• En las fronteras se suele hacer una imagen
extrapolada del último punto

59. QUICK
• Conservativo OK
• Error orden 3
• Transporte OK
• Condicionalmente estable: para y
• Tridiagonal methods NO + costo cómputo
Hay manera de rearreglar los coefs. para
garantizar estabilidad

60. ¿Y si no conozco la velocidad?
• Acoplamiento entre presión y velocidad
Y si sí conozco la presión?

61. Staggered grid
• Vel. y presión en el mismo punto no tiene
sentido.
Backward staggered grid

62. Discretización
• En la nueva notación
• Equivalentemente

63. Flujos
• Se promedian
las densidades

64. Difusividades
• En las caras
• En los puntos de presión

65. SIMPLE
• Algoritmo recursivo
para resolver las
ecuaciones
acopladas

66. SIMPLE, SIMPLEC, ETC
• No-linealidades y acoplamiento  iterativos
• Staggered grid: mejor adaptación a las
variables y evita problemas con oscilaciones
alta freq.
• Método basado en mejoras sucesivas hasta
que se cumplen las ecuaciones acopladas.
• Un coeficiente llamado under-relaxation tiene
que ser introducido en el cálculo de las
correcciones para asegurar estabilidad.

67. Flujos No-estacionarios
• Lo mismo pero integrado en el tiempo
• Integrando el volumen de control:

68. Y el tiempo?
• Veamos en 1D cómo se hace
• Se puede escribir

69. No-estacionario 1D
• El lado izquierdo no es difícil
• El lado derecho queda

70. No estacionario 1D
• El término desconocido se puede tratar como
una especie de promedio

71. No estacionario 1D
Se puede arreglar de modo estándar como antes se ha hecho
donde

72. Esquema explícito
• Aquí
• Queda del lado izq. la incógnita y del lado
derecho todo en función de tiempo anterior
• Para que haya estabilidad se tiene una condición
Ememplo 8.1