El documento presenta una introducción a la función logarítmica. Explica el contexto histórico de los logaritmos, su definición matemática, características como dominio, codominio y monotonía, propiedades como aditividad y aplicaciones a ecuaciones exponenciales. Finalmente, incluye ejercicios y contextos extra-matemáticos para ilustrar el uso de funciones logarítmicas.

1. Sede del Atlantico, UCR
Bryan R.V Siviany C.M Francela R.S Funcion Logartmica

2. Funcion Logartmica
Introduccion a la Matematica MA0123
Bryan R.V
Siviany C.M
Francela R.S
18 Octubre 2013
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3. Contexto Historico.
Los logaritmos se inventaron alrededor de 1590 por John Napier
(1550-1617) y Jobst Burgi (1552-1632). Su enfoque de los logaritmos
era muy diferente al nuestro, se basaba en la relacion entre secuencias
aritmeticas y geometricas y no en la actual como funcion inversa
(recproca) de las funciones exponenciales.
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4. Las tablas de Napier, publicadas en 1614, contenan los llamados
logaritmos naturales y eran algo difciles de usar. Un profesor londinense,
Henry Briggs, se intereso en las tablas y visito a Napier, Briggs convirtio
las tablas de Napier en las tablas de logaritmos comunes que fueron
publicadas en 1617.
Su importancia para el calculo fue inmediatamente reconocida y
alrededor de 1650 se impriman en lugares tan lejanos como China.
Dichas tablas siguieron siendo una poderosa herramienta de calculo hasta
el advenimiento de las calculadoras manuales de bajo precio alrededor de
1972.
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5. De

6. nicion.
La funcion logartmica con base b; b 2 R+; b6= 1, la funcion
f : R+ ! R, de

7. nida por f(x) = logb x, donde:
logb x = y , by = x.
Logaritmo de un numero (x) es el exponente (y) al que hay que elevar la
base (b) para que nos de dicho numero (x), el numero x debe ser
positivo x 0.
logb x, see lee logartmo en base b de x.
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8. Caractersticas
Criterio:La funcion logartmica es una funcion cuyo criterio es de la forma
f(x) = logb x, con b 2 R+, b 1 y x 0 . Se lee logartmo base b de
x. logb x = y , by = x
Dominio: R+.
Codominio: R.
Rango o Ambito: R.
Sea f : R+ ! R; f(x) : logb x
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9. Monotona.
Teorema.
La funcion logartmica f : R+ ! R tal que f(x) = logb x, con
b 2 R+; b6= 1, entonces
i) Si b 1 f es creciente.
ii) Si 0 b 1 f es decreciente.
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10. Sea f : R+ ! R con f(x) = logb x
i) Si b 1.
Sean x1; x2 2 R+ tal que x1 x2
f(x1) = y1 , logb x1 = y1 , by1 = x1 y
f(x2) = y2 , logb x2 = y2 , by2 = x2
Luego by1 by2 , como b 1
, y1 y2
, f(x1) f(x2)
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11. Intervalos
Si b 1, f es estrictamente creciente.
Nota: en el caso de la funcion logartmica es concava hacia arriba.
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12. Si 0 b 1, f es estrictamente decreciente.
Nota: en el caso de la funcion logartmica es concava hacia abajo.
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13. Biyectividad
Decimos que una funcion f : A R ! R es monotona si y solo si es
creciente en A o decreciente en A. La funcion logartmica cumple lo
anterior dicho ya que f : R+ ! R y esta es creciente o decreciente,
entonces es monotona.
Por el teorema que dice Si f de

14. nida en A R es una funcion
monotona, entonces, considerando su ambito B como su codominio,
existe la funcion inversa f1 : B A.
Como la funcion logartmica es monotona, y su rango es igual al
codominio(f : R+ ! R), entonces existe la funcion inversa. Por lo
tanto, la funcion logartmica es biyectiva.
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15. Inversa
Una funcion y su inversa cumplen las propiedades:
f1(f(x)) = x; 8x 2 Df y f(f1(x)) = x; 8x 2 Df1
La inversa de la funcion logartmica f(x) = loga x es la funcion
exponencial f1(x) = ax.
Si f(x) = loga x , f1(x) = ax, entonces:
A) (f f1)(x) = f(f1(x)) = loga(f1(x)) = loga ax = x, con x 2 R
B) (f1 f)(x) = f1(f(x)) = af(x) = aloga x = x, con x 0
) loga ax = aloga x
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16. Intersecciones con los ejes
Interseccion con el eje y: no tiene.
Intrseccion con el eje x: (1; 0).
Asntota: La funcion logarmica posee asntota vertical x = 0, cuando
x ! 0+; f(x) ! 1.
x = 0
A) Si b 1, entonces x ! 0+ se tiene que logb x ! 1.
B) Si 0 b 1, entonces x ! 0+ se tiene que logb x ! +1.
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17. Propiedades de los logaritmos.
A)loga(xy) = loga x + loga y.
B)loga
x
y
= loga(x y) = logb x loga y.
C)loga xn = n loga x.
D) loga x =
logb x
logb a
, b 0; b6= 1.
Pruebe que:
A)loga x
1
n = 1
n loga x.
B) loga
n p
x =
loga x
n
.
C)logb b = 1.
D)logb 1 = 0.
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18. Notas en la resolucion de ecuaciones exponenciales aplicando
logartmos:
Recordemos las relaciones:
a) logb x = a , ba = x
b) logb x = logb y , x = y
bx = a
log bx = log a
x log b = log a
x =
log a
log b
:
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19. Funcion logaritmo natural.
Sea x un numero real positivo. La funcion logaritmo natural, denotada
por ln x, se de

20. ne:
ln x = y , ey = x. (ln x se lee logaritmo natural de x).
Las funciones inversas cumplen:
f(f1(x)) = x y f1(f(x)) = x.
Como (x) = ex y f1(x) = ln x son inversas una de la otra, podemos
concluir que:
ln ex = x y eln x = x.
a) y = e2x5
ln y = In e2x5
ln y = 2x 5
5 + ln y = 2x
1
2
(5 + ln y) = x
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21. b) Si se depositan P dolares al 8 por 100 de interes, compuesto de forma
continua, Cuanto tiempo tardara en doblarse el capital?
Pe0;08t = 2P
e0;08t = 2
0; 08t = ln 2
t =
ln 2
0; 08
8; 66
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22. Ejercicios:
A)log2 8 + log3 27 + log5 125 =
B)
1
2
log2 36 + log2
2
3
=
C)
1
2
log2 A + log2 B log2 C log2 D =
D)log3
A2 B5
p
C
D3
!
=
E)
x
p
x
3 p
x2 y z5
!
=
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23. f(x) : log2(x + 1) 2
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24. f(x) : log2(x + 1) 2
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25. f(x) : log2(x + 1) 2
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26. f(x) : log2(x + 1) 2
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27. f(x) : log2(x + 1) 2
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28. f(x) : log2(x + 1) 2
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29. f(x) : log2(x + 1) 2
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30. f(x) :
log3(x) + 1
2
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31. f(x) :
log3(x) + 1
2
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32. f(x) :
log3(x) + 1
2
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33. j log2(x 3) + 2 j
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34. j log2(x 3) + 2 j
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35. j log2(x 3) + 2 j
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36. j log2(x 3) + 2 j
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37. j log2(x 3) + 2 j
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38. Contextos extra-matematicos: 1.Sitios para desperdicios peligrosos de
acuerdo con cifras seleccionadas de 1981 a 1995, el numero de sitios mas
profundos para desechos peligrosos en Estados Unidos se aproxima con la
funcion de

39. nida por:
f(x) = 11:34 + 317:01 log2 x
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40. donde x = 1 corresponde a 1981, x = 2 a 1982, y as
sucesivamente.(Fuente: Agencia para la proteccion del medio ambiente).
Use la funcion para aproximar el numero de sitios en 1984.
x = 4 En el siguiente paso se sustituye la x por 4 que es el valor segun la
secuencia que se le asigna a 1984.
f(x) = 11:34 + 317:01 log2 4
= 11:34 + 317:01 2
= 645:36
Use la funcion para aproximar el numero de sitios en 1988.
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41. En el siguiente paso se sustituye la x por 8 que es el valor segun la
secuencia que se le asigna a 1984.
f(x) = 11:34 + 317:01 log2 8
= 11:34 + 317:01 3
= 962:37
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42. 2.El terremoto de Lima de 1940 tuvo una magnitud de 8,2 Que tan
intenso fue el terremo de Ica del 15 de agosto del 2007 del 7,9 con
respecto al de Lima en 1940?
Para resolver
la siguiente problema aplicaremos la formula
M = log
I
I0
, donde M es la magnitud, I es la intensidad del
terremoto y I0 es la intensidad de un terremoto estandar de referencia.
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43. 3.Cuando se degrada el 90% del valor inicial de la kriptonita roja deja de
ser peligrosa para superman. Cuando la kriptonita lleque a las 15 horas le
quedara la mitad de vida y la radioactividad inicial es igual a I0. El
modelo para la degracion radioactiva es : N(t) = I0(2kt), donde N(t)
representa la cantidad de material radioactivo restante, t representa el
tiempo en horas (hrs) y el 2 que representa la mitad de vida (vida media)
de la kriptonita.
Por cuanto tiempo estara en peligro superman?
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44. Campos cient

45. cos.
1. Psicologa.
2. Geologa.
3. Geografa y estadstica.
4. Astronoma.
6. Fsica.
6. Intensidad de sonido.
7. Qumica.
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