Matemáticas Financieras - Criterios de Selección

Carlos Mario Morales C ©2013
Carlos Mario Morales C
Unidad 3– Criterios de Selección 2014

Matemáticas Financieras
Conjunto de herramientas matemáticas que
permiten analizar cuantitativamente la
viabilidad o factibilidad económica y
financiera de los proyectos de inversión

Factibilidad Económica
Resultado de analizar la decisión de
inversión independiente del dueño del
proyecto; se enfatiza únicamente en
los recursos comprometidos en la
empresa, excluyendo el origen de
estos

Factibilidad Financiera
Resultado de analizar si
la inversión, obtendrá la
rentabilidad esperada por
los inversionistas

Proyecto de Inversión
Oportunidad de efectuar desembolsos de dinero con las
expectativas de obtener retornos o flujos de efectivo
(rendimientos), en condiciones de riesgo

Operación Financiera
Transacción entre dos o
más actores económicos
donde se realiza un
intercambio de dinero en el
tiempo con base en una
ley financiera acordada
entre las partes

Valor del dinero en el tiempo
Dos cantidades iguales de dinero no
tienen el mismo valor en el tiempo

Valor del dinero en el tiempo
Inflación Rendimientos
Financieros Riesgo

Hoy Un año después
Equivalencia financiera
Intereses
Ley financiera

Ley Financiera
Acuerdo de Intereses
Interés Simple
Interés Compuesto

Rendimientos e intereses
Los conceptos de rendimiento e interés se usan
indistintamente. Rendimiento se maneja cuando se evalúan
proyectos de inversión y el concepto de interés cuando se
hace referencia a decisiones con el sector financiero

Postulado básico de las Finanzas
El Interés es una función directa de tres
variables:
Capital (VP)
A >> VP >> Interés
Tasa de interés (%)
Depende del mercado Tiempo (n)
A >> n >> Interés

Interés
Es la valoración del capital
involucrado en una operación
financiera; es decir, la cantidad
de dinero adicional por la cual
un inversionista estará
dispuesto a prestar su dinero o
la cantidad que hace que dos
cantidades iguales sean
equivalentes en el tiempo
퐕퐅 = 퐕퐏 + 퐈

Interés Simple
(VP)
(VP)
(VP)
(VP)
(VP)
(VP)

Tasa de Interés
Valor porcentual del capital
que se pacta para la
valorización del capital o
pago por el uso del dinero
para un periodo de tiempo
determinado
Valor Porcentual
El valor porcentual o tanto por ciento
expresa un valor como una fracción
de 100; es decir, es la cantidad que
corresponde proporcionalmente a una
parte de cien

Flujo de Caja
Horizonte de tiempo
Ingresos
Egresos
Representación gráfica que permite comprender
en detalle los movimientos de dinero que se
suceden en una operación financiera, durante el
tiempo en que esta se realiza

Calculo del Interés (푰)
(Ley de interés simple)
퐈 = 퐕퐏 × 퐢 × 퐧 ퟏ
El interés (I) se calcula como el producto del
capital inicial (VP) por la tasa de interés (i)
acordada para un periodo por el número de
periodos (n)

Calculo del Valor Futuro (푽푭)
El capital final (VF) que recibirá el prestamista o inversionista, o por el
contrario el que deberá pagar el usuario del dinero, corresponde al capital
inicial (VP) más los intereses (I)
푽푭 = ?
풏
푽푷
푖
퐕퐅 = 퐕퐏 ퟏ + 퐢 × 퐧 (ퟐ)

Calculo del Capital Inicial (푽푷)
Conocido el valor futuro (VF), la tasa de interés (i) y el número de
periodos (n) a los cuales se pacta la transacción financiera se puede
calcular el capital o valor presente (VP) involucrado en dicha transacción
푽푭
풏
푽푷 = ?
푖
퐕퐏 =
퐕퐅
ퟏ + 퐢 × 퐧
(ퟑ)

Calculo de la Tasa de Interés (풊)
Conocido el valor futuro (VF), el capital o valor presente (VP) y el número
de periodos (n) se puede calcular la tasa de interés (i) a la cual se pacta la
operación financiera
푽푭
풏
푽푷
푖 = ?
풊 =
푽푭
푽푷
− ퟏ
풏
(ퟒ)

Calculo del Tiempo (풏)
Conocido el valor futuro (VF), el capital o valor presente (VP) y el número
de periodos (n) se puede calcular la tasa de interés (i) a la cual se pacta la
operación financiera
푽푭
풏 = ?
푽푷
푖
풏 =
푽푭
푽푷
− ퟏ
풊
(ퟓ)

Interés Ordinario
(Base de Cálculo 360)
Con tiempo exacto (Interés Bancario)
(Considera los días exactos en los cuales se ha utilizado el
préstamo y una base de 360 días al año)
Tiempo exacto
Con tiempo aproximado (Interés Comercial)
(Considera indistintamente meses de 30 días y una base de
360 días al año)
Meses de 30 días
Interés Exacto
(Base de Calculo 365)
Exacto o Verdadero (Interés Racional)
préstamo y la base son los días exactos del año)
Tiempo exacto
Exacto sin Bisiesto (Interés base 365 días)
préstamo y una base de 365 días al año (No considera
bisiestos))
Tiempo exacto sin
bisiesto
Con tiempo aproximado
(Considera meses de 30 días y la base son los días exactos
del año (No tiene utilidad práctica))
Meses de 30 días
No existe un criterio único para aplicar el interés: 1) Cuando la base de calculo
son 360 días; se dice que es un interés ORDINARIO y 2) Cuando la base de
calculo son los 365 días; se dice que el interés es EXACTO

Operaciones de descuento
La operación consiste
en volver líquido ante
un tercero un título
valor que respalda un
pago futuro

Calculo del Descuento (푫)
푽푭
푫 = ?
El descuento (D) se calcula sobre el valor final o valor nominal (VF) del
título valor, aplicando la tasa de descuento (d) acordada en la
operación de descuento y considerando el tiempo faltante para la
maduración del título valor
풏
푽푻
풅
퐃 = 퐕퐅 × 퐝 × 퐧 (ퟔ)

Calculo del Valor Liquido (푽푻)
푽푭
풏
푽푻 = ?
풅
푫
El Valor Líquido (VT) o valor de la transacción se calcula como el valor
nominal del título valor (VF) menos el descuento (D)
퐕퐓 = 퐕퐅 × ퟏ − 퐝 × 퐧 ퟕ

Calculo del Valor Nominal (푽푭)
푽푭 = ?
Conociendo el valor liquido (VT), la tasa de descuento (d) y el tiempo
(n), se puede determinar el Valor Nominal de la operación de
descuento, como:
풏
푽푻
풅
퐕퐅 =
퐕퐓
ퟏ − 퐝 × 퐧
ퟖ
푫

Calculo de la tasa de descuento (풅)
푽푭 = ?
풏
푽푻
풅 =?
Conociendo el valor líquido (VT), el valor Nominal (VF) y el tiempo (n),
se puede determinar la tasa de descuento de la operación, como:
퐝 = ퟏ −
퐕퐓
퐕퐅
ퟏ
퐧
(ퟗ)
푫

Calculo del tiempo (풏)
푽푭 = ?
풏 = ?
푽푻
풅
Conociendo el valor líquido (VT), el valor Nominal (VF) y la tasa de
descuento (d), se puede determinar el tiempo de la operación, como:
퐧 = ퟏ −
퐕퐓
퐕퐅
ퟏ
퐝
(ퟗ)
푫

Es un monto de dinero que se paga por el uso
del dinero y el cual se calcula al final de cada
periodo de tiempo pactado, como un valor
porcentual; en este caso el interés se
capitaliza; es decir, se suma al capital inicial
para calcular sobre él, el interés del próximo
periodo

Otros modelos para el calculo de las obligaciones
financieras con cobro de interés compuesto
푉푝
푖
푽풑: 푉푎푙표푟 푝푟푒푠푒푛푡푒, 표푏푙푖푔푎푐푖ó푛 표 퐶푎푝푖푡푎푙
풊: 푉푎푙표푟 푝표푟푐푒푛푡푢푎푙 표 푇푎푠푎 푑푒 퐼푛푡푒푟é푠 푑푢푟푎푛푡푒
푢푛 푝푒푟푖표푑표
풏: 푃푒푟푖표푑표 푑푒 푡푖푒푚푝표
푰: 퐼푛푡푒푟푒푠
푽풇: 푉푎푙표푟푓푖푛푎푙
풏: 푁ú푚푒푟표 푑푒 푝푒푟푖표푑표푠
푉푓
푡 = 푛

Otros modelos para el calculo de las obligaciones
financieras con cobro de interés compuesto
0 1 2 3 n-2 n-1 n
A
Vp
i
A
0 1 2 3 n-2 n-1 n
Vf
i
A
0 1 2 3 n-2 n-1 ∞
Vp
i

En el mercado se utilizan diferentes tasa de
interés:
es una tasa de referencia anual.
Indica la cantidad de veces que se capitalizan los
intereses por año
es el valor porcentual efectivo
que se cobra por un periodo de tiempo, puede
ser: mensual, semestral, anual, etc.

Existen varias formas de atender las
obligaciones financieras:
 Pago único al final del plazo pactado
 Pago de Intereses periódicos y capital al final
del plazo pactado
 Pago en cuotas iguales periódicas durante el
plazo pactado
 Pago en cuotas de capital iguales más
intereses causados durante el plazo pactado

Pago único al final del plazo pactado
TABLA DE AMORTIZACIÓN
Periodo Pago Intereses Amortización de Capital Saldo
0 100.000,00
1 8.000,00 0 108.000,00
2 8.640,00 0 116.640,00
3 9.331,20 125.971,20
4 136.048,90 10.077,70 136.048,90 0
Operación Financiera: Préstamo de $100.000, a un plazo de 4
años, con pago único y tasa de interés del 8% Efectiva Anual

Pago de Intereses periódicos y capital al final del
plazo pactado
0 100.000,00
1 8.000,00 8.000,00 0 100.000,00
2 8.000,00 8.000,00 0 100.000,00
3 8.000,00 8.000,00 100.000,00
4 108.000,00 8.000,00 100.000 0
años, con pago de intereses periódicos, pago de capital al final y
tasa de interés del 8% Efectiva Anual

Pago en cuotas iguales periódicas durante el
plazo pactado
0 $ 100.000,00
1 $ 30.192,08 $ 8.000,00 $ 22.192,08 $ 77.807,92
2 $ 30.192,08 $ 6.224,63 $ 23.967,45 $ 53.840,47
3 $ 30.192,08 $ 4.307,24 $ 25.884,84 $ 27.955,63
4 $ 30.192,08 $ 2.236,45 $ 27.955,63 0
años, con pago de cuotas iguales anuales y tasa de interés del 8%
Efectiva Anual

Pago en cuotas de capital iguales más intereses
causados durante el plazo pactado
0 $ 100.000,00
1 $ 33.000,00 $ 8.000,00 $25.000,00 $ 75.000,00
2 $ 31.000,00 $ 6.000,00 $25.000,00 $ 50.000,00
3 $ 29.000,00 $ 4.000,00 $25.000,00 $ 25.000,00
4 $ 27.000,00 $ 2.000,00 $25.000,00 0
años, con pago de cuotas de capital igual , pago de intereses
anuales y tasa de interés del 8% Efectiva Anual

El objetivo de toda inversión es ganar dinero, cuanto antes y
cuanto más mejor; si a lo anterior le sumamos que los
recursos son escasos entonces será necesario ser
“cuidadoso” en la selección de las iniciativas de inversión.
Desde lo financiero se utilizan básicamente tres criterios de
inversión:
– Periodo de recuperación de la inversión
– Valor presente neto
– Tasa Interna de Retorno

PRI – Periodo de recuperación de la inversión
Consiste en determinar cuando se recuperara la
inversión inicial, bajo el criterio de “cuanto antes
mejor”, buscando minimizar el PRI
Ejemplo
Periodo 0 1 2 3 4 5
Inversión -5.000
Pagos 300 1.500 2.800 3.300 2.000
Falta por
recuperar
Analizando la tabla se deduce que la inversión se
recuperara a lo largo del periodo 4
5.000 4.700 3.200 400

PRI – Periodo de recuperación de la inversión
Ventajas
• Fácil de Calcular
• Teniendo las
proyecciones no se
requieren cálculos
complicados
Desventajas
• Es engañoso
• No tiene en cuenta el
valor del dinero en el
tiempo
• No se le da valor al
volumen de la inversión
• No tiene en cuenta la
rentabilidad
• No considera el riesgo
de la inversión

Consiste en comparar la inversión y pagos en el momento
actual; para esto será necesario hallar el valor equivalente
de todos los flujos mediante la aplicación de una tasa de
descuento (rentabilidad mínima requerida o deseada)
Ejemplo
Periodo 0 1 2 3 4 5
Inversión -5.000
Pagos 300 1.500 2.800 3.300 2.000
푽푷푵 풊 = −푰풐 +
풏
풋=ퟏ
푭푪풋
(ퟏ + 풊)풋
풊 = ퟖ% = 푻풂풔풂 푴풊풏풊풎풂 풅풆 풓풆풏풕풂풃풊풍풊풅풂풅

Período Flujo de Caja Valor Actual Flujo
0 - 5.000 -5.000
1 300 300/1,08 = 277,77
2 1500 1500/1,082 = 1.286,00
3 2.800 2.800/1,083 = 2.222,73
4 3.300 3.300/1,084 = 2.425,60
5 2.000 2.000/1,085 = 1.361,17
TOTAL 2.573,27
Para este proyecto el VPN es positivo lo que significa que el
proyecto de inversión genera más del 8% anual, por lo que la
inversión es aceptable para el Inversionista

Ventajas
• No es Fácil de Calcular; pero
se puede utilizar el ordenador
• Tiene en cuenta el valor del
dinero en el tiempo
• Tiene en cuenta la
rentabilidad que espera el
inversionista
• Tiene en cuenta el riesgo de la
inversión
• Permite comparar la
factibilidad de varios
proyectos
Desventajas
• No es muy intuitivo
• Es necesario previamente
definir la tasa de rentabilidad
mínima requerida

Es la tasa de interés que es capaz de generar un proyecto
de inversión. Para esto se debe determinar la 푖 que hace
que el VPN sea igual a 0.
Ejemplo
Periodo 0 1 2 3 4 5
Inversión -5.000
Pagos 300 1.500 2.800 3.300 2.000
푽푷푵 풊 = ퟎ = −푰풐 +
풏
풋=ퟏ
푭푪풋
(ퟏ + 풊)풋 푰풐 =
풏
풋=ퟏ
푭푪풋
(ퟏ + 풊)풋

Para el calculo es necesario utilizar una hoja de calculo; a
continuación se muestra el calculo en EXCEL, utilizando la
función financiera TIR.
Ya que la TIR es mayor que la TMAR
se puede decir que la inversión es
atractiva para el inversionista

Ventajas
• Permite comparar
proyectos con
inversiones diferentes
• Tiene en cuenta el valor
del dinero en el tiempo
• Es punto de referencia
para definir si la inversión
es atractiva o no
• Tiene en cuenta el riesgo
de la inversión
Desventajas
• No es muy intuitivo
• No es fácil de calcular
en algunas ocasiones no
es posible calcularse
• Su calculo depende del
tipo del flujo de caja

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