Valores extremos de una función

2. APLICACIONES DE LA DERIVADA
Cristian Camilo Penagos Torres
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. APLICACIONES DE LA DERIVADA
En esta secci´on se aprender´a c´omo la derivada ayuda a localizar e identificar
los valores m´aximos y m´ınimos de una funci´on. A menudo, muchos
problemas en la pr´actica exigen el mejor resultado posible para una situaci´on,
la derivada proporciona este resultado.

4. VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCI ´ON
EXTREMOS ABSOLUTOS
Sea f una funci´on con dominio D. Decimos que f tiene un valor m´aximo
absoluto en D en un punto c si
f(x) ≤ f(c) ∀x ∈ D
y un valor m´ınimo absoluto en D en un punto c si
f(x) ≥ f(c) ∀x ∈ D
EJEMPLO

5. VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCI ´ON
M ´AXIMO /M´INIMO LOCAL
Una funci´on f, definida en un conjunto S tiene m´aximo relativo en un punto
c ∈ S si existe un cierto intervalo abierto I que contiene a c tal que
f(x) ≤ f(c), para todo x situado en I ∩ S
El concepto de m´ınimo relativo se define del mismo modo con la
desigualdad invertida.
EJEMPLO

6. VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCI ´ON
TEOREMA DEL VALOR EXTREMO
Si f es continua sobre un intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza un valor
m´aximo absoluto f(c) y un valor m´ınimo absoluto f(d) en algunos n´umeros
c, d ∈ [a, b]

7. VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCI ´ON
TEOREMA DE FERMAT
Si f tiene un m´aximo o un m´ınimo local en c, y si f (c) existe, por lo tanto
f (c) = 0

8. VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCI ´ON
NOTA
La siguiente muestra un punto x = 0
donde f (0) = 0 pero no
necesariamente hay un m´aximo o un
m´ınimo.
Adem´as, podr´ıa existir extremos
relativos a´un cuando f (c) no exista.
Ver figura
El teorema de Fermat sugiere que, se
debe empezar a buscar los valores
extremos de f en los n´umeros c
donde f (c) = 0 o donde f (c) no
exista.

9. VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCI ´ON
PUNTO CR´ITICO
Un n´umero cr´ıtico de una funci´on f es un n´umero c en el dominio de f tal
que f (c) = 0 o f (c) no existe.
TEOREMA
Si f tiene un m´aximo o m´ınimo local en c, entonces c es un n´umero cr´ıtico
de f.
DETERMINACI ´ON DE EXTREMOS EN UN INTERVALO CERRADO
Para hallar los valores m´aximos y m´ınimos absolutos de una funci´on continua
f sobre el intervalo cerrado [a, b]:
1. Se encuentra los puntos cr´ıticos de f en (a, b).
2. Encuentre los valores de f en los n´umeros cr´ıticos de f en (a, b).
3. Halle los valores de f en los extremos del intervalo [a, b].
4. El m´as peque˜no de estos valores es el m´ınimo. El m´as grande es el
m´aximo.

10. VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCI ´ON
EJEMPLO
Calcule los valores m´aximo y m´ınimo absolutos de la funci´on
f(x) = x3
− 3x2
+ 1, −
1
2
≤ x ≤ 4
1. Encontremos los puntos
cr´ıticos de f en el intervalo
[−1
2
, 4]
f (x) = 3x2
− 6x
= 3x(x − 2)
f (x) = 0 si x = 0, x = 2
2. f(0) = 1
f(2) = −3
3. f −1
2 = 1
8
f(4) = 17
4. De acuerdo con el paso 2 y 3,
se puede decir que el valor
m´aximo absoluto de f es 17,
y se alcanza en el extremo
derecho del intervalo, en
x = 4. El valor m´ınimo
absoluto es -3 y se alcanza en
el punto interior x = 2.