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1. TEORÍA DE PLACAS ELÁSTICAS Julio Flórez López

2. Representación del dominio Representación del material Representación de la deformación Representación de la solicitación Teoría de Elasticidad Teoría de Sólidos Pequeñas deformaciones Grandes deformaciones (no linealidad geométrica) Teoría de Vigas Teoría de Plasticidad estáticas dinámicas Modelos estructurales Teoría del daño y la fractura Teoría de Medios Porosos Teoría de Placas y Cáscaras Teoría de Pórticos

3. CONOCIMIENTOS NECESARIOS PARA EL USO CORRECTO DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS: a)La física y los modelos matemáticos que describen el funcionamiento de las estructuras b)Los principios básicos de la aproximación numérica del método de los elementos finitos c)Destreza en el uso de los programas de análisis

4. ¿Qué debe saberse sobre un modelo estructural? a) ¿Cuál es la unidad básica estructural y como identificarla? b) ¿Cómo se representa el movimiento de la estructura? c) ¿Cómo se representa la deformación de la estructura? d) ¿Cómo se representan la fuerzas externas? e) ¿Cómo se representa la distribución de las fuerzas externas entre los elementos estructurales? f) ¿Cuáles son las ecuaciones que permiten calcular todas las variables anteriores? ¿Qué limitaciones tienen? g) ¿Cuáles son los datos del problema?

6. Unidad básica estructural en placas: elemento diferencial de placa e dy dx e a) El comportamiento en el espesor de la placa es conocido b) El comportamiento en la superficie de la placa es desconocido y debe determinarse

7. Identificación de un elemento diferencial de placa Y X Z (x,y,0)

8. Teoría de Sólidos Teoría de placas de Mindlin Variables cinemáticas Deformaciones Desplazamientos UBE e dy dx e

10. Y Z Hipótesis fundamental de la Teoría de Placas de Mindlin: wz wy qx Campo de desplazamientos generalizados:{w(x,y)}t=(wx,wy,wz), {q(x,y)}t=(qx,qy,0)

11. ) , ( ) , ( ) , , ( y x z y x z y x u y x q w   ) , ( ) , ( ) , , ( y x z y x z y x v x y q w   Relación entre desplazamientos: ) , ( ) , , ( y x z y x w z w  Y Z wz wy qx V

13. Teoría de Sólidos Teoría de placas de Mindlin Variables cinemáticas Deformaciones Desplazamientos UBE e dy dx e )) , ( ), , ( ( } { y x v y x u U t  U  Y Z {w}t=(wx(x,y),wy(x,y),wz(x,y)) {q(x,y)}t=(qx(x,y),qy(x,y),0)

15. Deformaciones en placas Mindlin en notación matricial:                                                                                                                        y z x z x y x y y x y x zx yz xy zz yy xx x y x y y x z x y y x q w q w q q q q w w w w        0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } { } { } { } { } { A A A n z        Matriz de deformaciones del EDS Matriz de deformaciones axiales del EDP Matriz de curvaturas del EDP Matriz de deformaciones angulares del EDP

16. Ecuaciones cinemáticas en la teoría de placas de Mindlin:                                        x y y x y x y x n xy n yy n xx n w w w w     } {                                         x y y x x y x y xy yy xx q q q q    } {                           y z x z zx yz x y q w q w   } {

17. Deformaciones generalizadas en las placas: curvaturas {} {}t=(xx,yy,xy) yy xx xy

18. Deformaciones generalizadas en las placas: deformaciones angulares, {} {} t=(xz,yz) yz xz

19. Deformaciones generalizadas en las placas: deformaciones axiales {n} {n}t=(n xx,n yy,n xy) n yy n xx n xy

20. Teoría de Sólidos Teoría de placas de Mindlin Variables cinemáticas Deformaciones Desplazamientos UBE e dy dx e )) , ( ), , ( ( } { y x v y x u U t  U  Y Z {w}t=(wx(x,y),wy(x,y),wz(x,y)) {q(x,y)}t=(qx(x,y),qy(x,y),0) )) , ( ), , ( ), , ( ( } { y x y x y x y x t      {(xy)}t=(xx,yy,xy) {(xy)} t=(xz,yz) {n(xy)}t=(n xx,n yy,n xy)

22. d Q d q d z P d M  Contorno c d Q  d P  Fuerzas externas: Fuerzas distribuidas por unidad de superficie en el área de la placa Fuerzas distribuidas por unidad de longitud en el contorno de la placa Fuerzas concentradas Momentos distribuidos por unidad de longitud sobre el contorno de la placa d q d Q d P  d M 

25. Teoría de Sólidos Teoría de placas de Mindlin Variables estáticas Esfuerzos Fuerzas externas UBE e dy dx e Fuerzas de volumen Fuerzas de superficie Fuerzas por unidad de superficie, por unidad de longitud, concentradas. Momentos por unidad de longitud

27. Nxx Nyy Nxy Nyx   2 / 2 / ) , ( e e xx xx dz y x N  Tensor de flujo axial:   2 / 2 / ) , ( e e yy yy dz y x N    2 / 2 / ) , ( e e xy xy dz y x N 

28. Mxx Myy   2 / 2 / ) , ( e e xx xx dz z y x M  Tensor de flujo de momentos: Mxy Myx    2 / 2 / ) , ( e e yy yy dz z y x M    2 / 2 / ) , ( e e xy xy dz z y x M 

29.   2 / 2 / ) , ( e e xz xz dz y x V  Tensor de flujo cortante:   2 / 2 / ) , ( e e yz yz dz y x V  Vxz Vyz

30. Teoría de Sólidos Teoría de placas de Mindlin Variables estáticas Esfuerzos Fuerzas externas UBE e dy dx e Fuerzas de volumen Fuerzas de superficie Fuerzas por unidad de superficie, por unidad de longitud, concentradas. Momentos por unidad de longitud xx yy )) , ( ), , ( ), , ( ( } { Y X Y X Y X xy yy xx t      xy {M(xy)}t=(Mxx,Myy,Mxy), {V(x,y)}t=(Vxz,Vyz), {N(x,y)}t=(Nxx,Nyy,Nxy)

32. Variables cinemáticas Variables estáticas Campo desplazamientos Campos de fuerzas externas de volumen y de superficie Campo de deformaciones Campo de esfuerzos Ecuaciones a) Ecuaciones cinemáticas (EC) b) Ley de comportamiento (LC) c) Ecuaciones de equilibrio o teorema de trabajos virtuales (EQ) EC EQ LC

33. Ecuaciones cinemáticas en la teoría de placas de Mindlin:                                        x y y x y x y x n xy n yy n xx n w w w w     } {                                         x y y x x y x y xy yy xx q q q q    } {                           y z x z zx yz x y q w q w   } {

34. Teorema de los trabajos virtuales: * * int ext T T      A t n t t dA N V M T }] { } { } { } { } { } [{ * * * * int    } { )} ( { }] { } { } { } [{ }] { } [{ * * * * * d t i A C d t t t ext P x dc M q dA q T  w q w w       Fuerzas por unidad de superficie, Fuerzas por unidad de longitud, Fuerzas concentradas. Momentos por unidad de longitud

35. yy Myy xy Mxy } ]{ H [ } M { M                    1 0 0 0 1 0 1 ) 1 ( 12 Ee ] H [ 2 3 M Ley de comportamiento

36. yz xz Vyz Vxz Ley de comportamiento } ]{ H [ } V { v            1 0 0 1 ) 1 ( 2 Ee ] H [ 2 V

37. n yy n xy Nyy Nyx } ]{ H [ } N { n N                      2 1 0 0 0 1 0 1 1 Ee ] H [ 2 N Ley de comportamiento

39. Sólidos placas Unidad Básica Estructural EDS EDP Desplazamientos u(x,y), v(x,y) Deformaciones Esfuerzos Conexiones entre teorías Relaciones entre desplazamientos )) , ( ), , ( ), , ( ( } { y x y x y x y x t      Relaciones entre deformaciones )) , ( ), , ( ), , ( ( } { Y X Y X Y X xy yy xx t      {w}t=(wx(x,y),wy(x,y),wz(x,y)) {q(x,y)}t=(qx(x,y),qy(x,y),0) {(xy)}t=(xx,yy,xy) {(xy)} t=(xz,yz) {n(xy)}t=(n xx,n yy,n xy) {M(xy)}t=(Mxx,Myy,Mxy) {V(x,y)}t=(Vxz,Vyz) {N(x,y)}t=(Nxx,Nyy,Nxy) ) , ( ) , ( ) , , ( y x z y x z y x u y x q w   ) , ( ) , ( ) , , ( y x z y x z y x v x y q w   ) , ( ) , , ( y x z y x w z w  } { } { } { } { A A A n z       

41. X Z Otras teorías de placas: Placas de Kirchoff {w}t=(wx,wy,wz) wz wx qy y z x    w q x z y     w q

42. Deformaciones generalizadas en las placas: {} yy xx xy

43. Deformaciones generalizadas en las placas: {}, {}= 0 xz  0 yz  0

44. Deformaciones generalizadas en las placas: {}, {n}t yy xx xy

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