Introduccion a las ecuaciones diferenciales

1. Universidad Autónoma de Baja California UABC
Facultad de Ingeniería Mexicali
Curso 4352
Ecuaciones Diferenciales
UNIDAD I
Ecuaciones diferenciales de primer orden
1.1 Introducción y Definiciones Básicas
En el estudio de las ciencias e ingeniería se desarrollan modelos matemáticos para
ayudar a comprender fenómenos físicos. Estos modelos a menudo dan lugar a una
ecuación que contiene ciertas derivadas de una función incógnita. A una ecuación de
este tipo se le denomina ecuación diferencial.
Desde los primeros pasos en el cálculo diferencial, de todos es conocido que, dada una
función y = f (x) , su derivada dy = f ′( x) = y ′ es también una función que se puede
dx
encontrar mediante ciertas reglas.
Por ejemplo:
− x3 dy 3 dy
si y = e , entonces = −3 x 2 e − x o, lo que es mismo, = −3 x 2 y
dx dx
El problema al que nos enfrentamos ahora no es el de calcular derivadas de funciones;
más bien, el problema consiste en que si se da una ecuación como dy = −3 x 2 y ,
dx
debemos encontrar de alguna manera una función y = f (x) que satisfaga dicha
ecuación.
En una palabra, se desea resolver ecuaciones diferenciales.
Obviamente la forma de ecuación diferencial más sencilla que puede pensarse es
dy
= f (x) , ya que resolverla consistiría en encontrar una función cuya derivada sea
dx
f (x) , es decir, encontrar las integrales indefinidas de f (x) . Por tanto, podemos decir
que los métodos de resolución de ecuaciones diferenciales constituyen una
generalización del cálculo de integrales indefinidas.
Tomando en cuenta lo anterior, podemos formular dos conceptos de una ecuación
diferencial.
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Concepto 1. Ecuación Diferencial
Llamamos ecuación diferencial (E.D.) a una ecuación que relaciona una función (o
variable dependiente), su variable o variables (variables independientes), y sus
derivadas.
Concepto 2. Ecuación Diferencial
Una ecuación que contiene las derivadas de uno o más variables dependientes con
respecto a una o más variables independientes es una ecuación diferencial.
Las ecuaciones diferenciales surgen en diversas áreas del conocimiento, que incluyen
no sólo las ciencias físicas, sino también campos diversos tales como la economía,
medicina, psicología e investigación de operaciones. Hacer una lista de todos los casos
sería una labor muy ardua, así que nos limitaremos al análisis de unos cuantos
ejemplos específicos.
1.- Una aplicación clásica de las ecuaciones diferenciales se presenta en el estudio de
un circuito eléctrico que consiste en resistores, inductores y capacitares, al cual se
aplica una fuerza electromotriz. En este caso, una aplicación de las leyes de Kirchhoff
conduce a la ecuación:
d 2q dq 1
(1) L 2
+R + q = E (t )
dt dt C
donde L es la inductancia, R la resistencia, C la capacitancia, E(t) la fuerza
electromotriz, q(t) la carga y t el tiempo.
2.- En el estudio del equilibrio gravitacional de una estrella, una aplicación de la ley de
Newton de la gravedad y la de Stefan-Boltzmann para los gases da lugar a la ecuación
de equilibrio:
1 d ⎛ r 2 dP ⎞
(2) ⎜ ⎟ = −4πG
r 2 dr ⎜ ρ dr ⎟
⎝ ⎠
donde P es la suma de la presión cinética del gas y la presión de radiación, r es la
distancia desde el centro de la estrella, ρ es la densidad de la materia, y G es la
constante gravitacional.
3.- En psicología, en un modelo del aprendizaje de una tarea interviene la ecuación
dy
dt 2p
(3) 3
=
3
y (1 − y ) 2
2
n
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Aquí la variable y representa el estado del estudiante o su nivel de habilidad como una
función del tiempo t. las constantes p y n dependen del individuo considerado y de la
naturaleza de la tarea.
Para iniciar el estudio de las ecuaciones diferenciales se requiere de una terminología
común que nos permita identificarlas y clasificarlas.
Si una ecuación contiene la derivada de una variable con respecto a otra, entonces la
primera se llama variable dependiente y la segunda es una variable independiente. De
esta manera en la ecuación:
d 2x dx
(4) 2
+ a + kx = 0
dt dt
t es la variable independiente y x es la variable dependiente. Las constantes a y k
presentes en la ecuación anterior se denominan parámetros o coeficientes. En la
siguiente ecuación
∂u ∂u
(5) − = x − 2y
∂x ∂y
x y y son las variables independientes, y u es una variable dependiente.
∂u
Nota: recordar que el la simbología representa una derivada parcial.
∂x
Clasificación de las ED’s de acuerdo a su tipo
Una ecuación diferencial que contiene derivadas ordinarias con respecto a una variable
independiente se denomina ecuación diferencial ordinaria (llamaremos a este tipo de
ecuaciones EDO’s).
Una ecuación diferencial que contiene derivadas parciales con respecto a más de una
variable independiente es una ecuación diferencial parcial. Obsérvese que la ecuación
(4) es una ecuación diferencial ordinaria, mientras que la ecuación (5) es clasificada
como una diferencial parcial.
Es importante señalar que a lo largo de este curso nos enfocaremos solo sobre las
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
Clasificación de las ED’s según el orden
El orden de una ecuación diferencial es el correspondiente a las derivadas mayores
presentes en la ecuación. La ecuación (4) es de segundo orden, ya que existe un
segunda derivada en esa ecuación y es la derivada de mayor orden presente.
La ecuación (6) es de primer orden, ya que solamente ocurren derivadas parciales de
primer orden.
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Clasificación de las EDO’s de acuerdo a su linealidad
Resultará útil clasificar las ecuaciones diferenciales ordinarias como lineales o no
lineales. Una ecuación diferencial lineal es aquella que se puede expresar en la forma:
dny d n −1 y dy
(6) a n ( x) n + a n −1 ( x) n −1 + ... + a1 ( x) + a 0 ( x) y = F ( x)
dx dx dx
donde an(x),an-1(x),…,a0(x) y F(x) dependen sólo de la variable independientes, y no de
y. Si una ecuación diferencial ordinaria no es lineal, entonces se llama no lineal. Por
ejemplo:
d2y
(7) 2
+ y = x2
dx
es una ecuación diferencial lineal ordinaria de segundo orden, mientras que:
d2y
(8) + sen( y ) = 0
d 2x
es una ecuación diferencial no lineal, debido al término sen (y). Esta ecuación también
es de segundo orden.
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