Variable Compleja

1. PRUEBA DE EVALUACION
CONTINUA DE VARIABLE
COMPLEJA 2016
1.Problema Dadas las sucesiones de funciones analíticas en D (0; 1)
i) fn (z) =
zn
n + zn
n 1
,
ii) fn (z) =
nzn
1 + zn
n 1
.
Se pide estudiar la convergencia y convergencia de ambas sucesiones.
2.Problema. Calcular la siguiente integral utilizando la fórmula integral
de Cauchy para las derivadas
Z
C
e2z
(z + 1)
4 dz ,
donde C = fz j jz + 1j = 3g recorrida una vez en sentido positivo.
TEST
1.Pregunta. Dada la ecuación
zz 2z 2z 8 = 0 ,
el conjunto de soluciones en el plano complejo representa:
A) una recta
B) una circunferencia
C) el conjunto vacío .
2.Pregunta. Si el radio de convergencia de la serie de potencias
1X
n=0
anzn
1

2. es R , donde 0 < R < 1 , entonces el radio de convergencia R1 de la serie
1X
n=1
n n
anzn
,
es:
A) R1 = 0
B) R1 = eR
C) R1 = 1 .
3.Pregunta. ¿Cual de las siguientes a…rmaciones sobre la función expo-
nencial es cierta?
A) lim
z!1
ez
= 1
B) lim
z!1
ez
= 0 cuando z tiende a 1 y z 2 Y = fz = x + yi j 0 x 2 g
C) lim
z!1
ez
= 0 cuando z tiende a 1 y z 2 X = fz = x + yi j x < 0 , 0 y 2 g
.
4.Pregunta. Si f (z) es una función analítica ¿cual de las siguientes fun-
ciones g (z) es también analítica?
A) g (z) = f (z)
B) g (z) = f (z)
C) g (z) = f (z) .
5.Pregunta. ¿Cual de las siguientes a…rmaciones es correcta?
A) Si f : A ! C es analítica, siempre se veri…ca
Z
f (z) dz = 0 ,
si es un camino cerrado en A .
B) Si Z
f (z) dz = 0
para todo camino cerrado entonces existe una primitiva F (z) de f (z) , es decir
se satisface
F0
(z) = f (z) , z 2 A .
C) Si f : A ! C es analítica, A abierto, y si 1; 2 : [a; b] ! C son dos
caminos tales que
1 (a) = 2 (a) , 1 (b) = 2 (b) ,
2

3. entonces Z
1
f (z) dz =
Z
2
f (z) dz .
3

4. SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS
1. Problema. Dadas las sucesiones de funciones analíticas en D (0; 1)
i) fn (z) =
zn
n + zn
n 1
,
ii) fn (z) =
nzn
1 + zn
n 1
.
Se pide estudiar la convergencia de ambas sucesiones.
Solución.
i) De la estimación
jfn (z)j
1
n 1
en D (0; 1) ,
deducimos la convergencia uniforme de fn (z) en D (0; 1) a la función identica-
mente nula f0 (z) 0 cuando n ! 1:
ii) Sea D (0; r) el disco cerrado de radio r < 1:De la estimación en
D (0; r)
jfn (z)j
nrn
1 rn
,
donde
nrn
1 rn
! 0 , cuando n ! 1
concluimos la convergencia uniforme sobre compactos de fn (z) en D (0; 1) a la
función identicamente nula f0 (z) 0 cuando n ! 1:
Problema 2. Calcular la siguiente integral utilizando la fórmula integral
de Cauchy para las derivadas
Z
C
e2z
(z + 1)
4 dz ,
donde C = fz j jz + 1j = 3g recorrida una vez en sentido positivo.
Solución. Aplicando la fórmula integral de Cauchy para las derivadas
obtenemos en este caso
Z
C
e2z
(z + 1)
4 dz =
2 i
3!
"
d3)
e2z
dz3
#
z= 1
=
2 i
3!
23
e2z
z= 1
=
8 i
3e2
.
SOLUCIONES DEL TEST : 1-B , 2-C , 3-C , 4-B, 5-B ,
4