1) Se resuelven varios ejercicios que involucran operaciones con vectores en R3 como producto escalar, producto vectorial, módulos, cosenos directores y ángulos entre vectores. 2) Se analizan condiciones para que tres vectores formen una base y se calcula el volumen de un paralelepípedo. 3) Se resuelven ejercicios que incluyen hallar el área de un triángulo a partir de los vectores posición de sus vértices.

1. LIC.: MIGUEL ANGEL TARAZONA GIRALDO 1
Tema: Vectores en
3
Ejercicios en R3
01. Dados los vectores (1,2,3),u 
(2,0,1)v  y ( 1,3,0)w   hallar:
a. ,u v v w  b. ,uxv uxw c. (u ) wxv 
d. u v e. cos(u, )v
Solución
a. ,u v v w 
(1,2,3) (2,0,1) 1 2 2 0 3 1 5u v         
(2,0,1) ( 1,3,0) 2 ( 1) 0 3 1 0 2v w            
b. ,uxv uxw
2 3 1 3 1 2
1 2 3
0 1 2 1 2 0
2 0 1
i j k
uxv i j k   
2 5 4uxv i j k  
2 3 1 3 1 2
1 2 3
3 0 1 0 1 3
1 3 0
i j k
uxw i j k   
 

9 3 5uxw i j k   
c. (u ) wxv 
     2,5, 4 1,3,0 13uxv w     
d. u v
2 2 2
1 2 3 14u    
2 2 2
2 0 1 5v    
e. cos(u, )v
5
cos(u, ) 0,5976
14 5
v  

02. ¿Para qué valores de a los vectores (1,1,1),u 
(1,a,1)v  y (1,1,a)w  forman una base?
1 1 1
1 1 0
1 1
a
a

2 2
1 1 1 0 2 1 0a a a a a         
 
2
1 0 1a a   
Para 𝑎 ≠ 1, los vectores forman una base.
03. Determinar el valor del parámetro k para que los
vectores 2 3 ,x ku v w   y u kv w    sean:
1) Ortogonales.
Para que los vectores sean ortogonales su producto
escalar tiene que ser igual a cero.
0x y 
( 2 3 )(u ) k 2k 3x y ku v w kv w         
3 3 0 1k k   
2) Paralelos.

2. LIC.: MIGUEL ANGEL TARAZONA GIRALDO 2
Para qué dos vectores sean paralelos, sus componentes
tienen que ser proporcionales.
2 3
1 1
k
k

 

2
2
3
k
k
 

 
El sistema no admite solución.
04. Hallar los cosenos directores del
vector (2,2,1).u 
2 2 2
2 2 1 3u    
2
cos
3
 
2
cos
3
 
2
cos
3
 
05. Hallar el ángulo que forman los
vectores (1,1, 1)u   y (2,2,1).v 
2 2 1 3
cos
1 1 1 4 4 1 3 3

 
 
    
1
arccos 54,74º
3

 
  
 
06. Dados los vectores (3,1, 1)u   y (2,3,4),v 
hallar:
1 Los módulos de u y .v
2 El producto vectorial de u y .v
3 Un vector unitario ortogonal a u y .v
4 El área del paralelogramo que tiene por lados los
vectores u y .v
1 Los módulos de u y .v
2 2 2
3 1 ( 1) 11u     
2 2 2
2 3 4 29v    
2 El producto vectorial de u y .v
1 1 3 1 3 1
3 1 1
3 4 2 4 2 3
2 3 4
i j k
uxv i j k
 
    
7 14 7uxv i j k  
3 Un vector unitario ortogonal a u y .v
2 2 2
7 14 7 294uxv    
7 14 7
294 294 294
uxv
i j j
uxv
  
4 El área del paralelogramo que tiene por lados los
vectores u y .v
2
294A uxv u 
07. Calcular el producto mixto:  , , .uxv vxw wxu
(1,0,1)u  (0,1,1)v  (1,1,0)w 
1 0 1
0 1 1
i j k
uxv i j k    
0 1 1
1 1 0
i j k
vxw i j k    
1 1 0
1 0 1
i j k
wxu i j k   
(vxw)x(wxu) 1 1 1 2 2
1 1 1
i j k
i j     
 
 , , ( i ) ( 2 i 2 j) 4uxv vxw wxu j k       
08. Dados los vectores (2,1,3)u 
, (1,2,3)v  y ( 1, 1,0)w    , hallar el producto
mixto  , , .u v w ¿Cuánto vale el volumen del
paralelepípedo que tiene por aristas los vectores
dados?

3. LIC.: MIGUEL ANGEL TARAZONA GIRALDO 3
 
2 1 3
, , 1 2 3 6
1 1 0
u v w  
 
3
6V u
09. Determinar los cosenos directores del vector
(1,2, 3).v  
2 2 2
1 1
cos
141 2 ( 3)
  
  
2 2 2
2 2
cos
141 2 ( 3)
  
  
2 2 2
3 3
cos
141 2 ( 3)

 
 
  
2 2 2
1 2 3 1 4 9
1
14 14 1414 14 14
     
          
     
10. Determinar el área del triángulo cuyos vértices
son los puntos 𝑨(𝟏, 𝟏, 𝟑), 𝑩(𝟐, −𝟏, 𝟓) y 𝑪(−𝟑, 𝟑, 𝟏).
1 2 2
4 2 2
i j k
w ABxAC   
 
2 2 1 2 1 2
2 2 4 2 4 2
w i j k
 
  
   
(0, 6, 6)w   
2 2 2
0 ( 6) ( 6) 6 2w      
21
6 2
2
A u 
11. Halla el ángulo que forman los vectores (3,2,6)u 
y ( 4,5,1)v  
461012. vu

7493649|||| u

;
4212516|||| v

427
4
||||.||||
.
cos 
vu
vu


 .
Buscando con la calculadora el ángulo cuyo coseno
es
427
4
, se obtiene º94,84
12. Dados los siguientes vectores: kjia ˆˆˆ  32

;
kjib ˆˆˆ 334 

y kjc ˆˆ 4

.
Determinar:
a) ba


b) cba

23 
c) cba

32  )(
d) bcb

234  )(
e) El ángulo que forma el vector a

con cada uno de
los ejes coordenados.
f) El ángulo entre los vectores: b

3 y c

2
Solución:
a)   ˆˆ ˆ( 2 4) 3 ( 3) (1 3)a b i j k        
ˆˆ ˆ6 6 2i j k   
7876266 222
,)()(  ba

b) 3 2a b c 
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( 2 3 ) 3(4 3 3 2( 4 )i j k i j k j k         
ˆˆ ˆ( 2 12) (3 9 2) (1 9 8)i j k        
jicba ˆˆ 101423 

c) ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( 2 ) 3 ( 2 3 8 6 6 ) ( 3 12 )a b c i j k i j k j k           
ˆˆ ˆ ˆ ˆ( 10 9 5 ) ( 3 12 )i j k i j      
8712539010  ))(())(())((

4. LIC.: MIGUEL ANGEL TARAZONA GIRALDO 4
d) )( cb

34  =
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4(4 3 3 ) 3( 4 ) 16 9i j k j k i j      
ˆ ˆ(4 3 ) 16 9b c i j     
kjib ˆˆˆ 6682 

ˆˆ ˆ
(4 3 ) 2 16 9 0
8 6 6
i j k
b c b    

ˆˆ ˆ54 96 24i j k  
e) Ángulos que forma a

con los ejes coordenados
Con el eje X:
º,cos 3122
14
2


 
a
ax
Con el eje Y:
º,cos 736
14
3
 
a
ay
Con el eje Z:
º,cos 574
14
1
 
a
az
f) Angulo entre los vectores cyb

23 
3 ( 2 ) 3 . 2 cos
90 306 68 cos
128,6º
b c b c 


   
  
 
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r3.html