ALGEBRA DE FUNCIONES

1. Página 20
ALGEBRA DE FUNCIONES
Dadas dos funciones definidas por f(x) y g(x) es posible formar, bajo ciertas condiciones, una
nueva función resultante de sumarlas, restarlas, multiplicarlas o dividirlas.
Es así que:
1.- f + g = { (x, y) / y = f(x) + g(x) ; x  dom f  dom g}
2.- f - g = { (x, y) / y = f(x) - g(x) ; x  dom f  dom g}
3.- f . g = { (x, y) / y = f(x) . g(x) ; x  dom f  dom g}
4.- f / g = { (x, y) / y = f(x) / g(x) ; x  dom f  dom g y g(x)  0}
 Como vemos las operaciones: suma, diferencia y producto sólo podrán efectuarse si:
dom f  dom g  
 la operación cociente sólo podrá efectuarse si:
dom f  dom g   y
g(x)  0
Aplicación:
Sean las funciones definidas por 2)(  xfxf ; 3)(  xgxg , determine,
si existen: (f+g)(3) ; (f+g)(0) ; (f .g)(6) ; (f /g)(2) ; (g / f )(2)
a) determino dominio de ambas funciones:
 
 

,3;303
,2;202
domgxx
domfxx
b) determino dom f  dom g
dom f  dom g = [2, )  
c) las operaciones: suma, diferencia y producto pueden formarse en [2, ):
 
 
   
 









63626)6(.3.2.
,20)0(32
613323)3(32
,2
gfxxgf
xporqueformarpuedesenogfxxgf
gfxxgf
d) el dominio de f/g será también [2, ) porque el valor que anula el denominador es -3 el cuál
no está contenido en [2, ), entonces:   03222)2(32/  gfxxgf
e) el dominio de g/f es (2, ), porque el valor que anula el denominador es x = -2 el cuál está
contenido en [2, ), entonces :
  )/(2)2(23/ fgdomxporqueformarpuedesenofgxxfg 
-3 2

2. Página 21
FUNCIÓN COMPUESTA
Además de las operaciones definidas anteriormente podemos definir otra operación
llamada composición de funciones o función compuesta.
Frecuentemente dos funciones definidas f(x) y g(x) que de ahora en adelante llamaremos f y g,
están relacionadas de forma tal que el rango de una de una de ellas coincide con el dominio de
la otra.
Ejemplo: f = { (-1,3) ; ( 2,4) ; (0,8 ) ; (8,6) }
g = { (4,0) ; (3,-1) ; (6,5) }
lo cual se expresa gráficamente:
Si formamos una función F cuyos pares ordenados (x, y) estén formados por sólo aquellos
valores de x cuyas imágenes sean a la vez parte del domino de g y su correspondientes
imágenes, tendremos: F = {(x, y) / (-1, -1); (2,0) ; (8,5) }
En general:
Si escogemos un x, el correspondiente elemento del rango de f es f(x) y como f(x) coincide con
el dominio de g, el correspondiente rango de g será g[f(x)], al cuál para simplificarlo llamamos
y. Queda formado así el par (x, y) donde x pertenece al dominio de f e y pertenece al rango de
g.
 -1
 2
 0
 8
 3
 4
 8
 6
 5

 -1
 5
 0
 3
g
f
 x
 f(x)
 g[f(x)]
g
f

3. Página 22
El conjunto de todos los pares ordenados (x, y) así formados recibe el nombre de FUNCIÓN
COMPUESTA g[f(x)] definida por :
g[f(x)]= g(f) = {(x, y) / y= g[f(x)]
esta nueva función existe si y solo sí el rango de f (es decir f(x)) coincide con el dominio de g (es
decir g(x)).
Simbólicamente:  fdomfrgog(f)
El dominio de g(f) será:
 gdomf(x)fdomxg(f)dom 
En forma similar se puede definir la FUNCIÓN COMPUESTA f(g).
Podemos representar la función compuesta como una máquina, tal como se muestra a
continuación. En este caso se representó g[f(x)].
Ejercicio para el alumno:
Defina la función compuesta f(g), dé condiciones para su existencia, y exprese también su
dominio.
Ayuda:
 x
 g(x)
 f[g(x)]
f
g
x
f
f(x)
g
g [f(x)]

4. Página 23
Ejercicio:
Dadas las funciones definidas por: 1)(42)(  xgxgyxfxf se pide:
a) determine analíticamente dom f(g)
b) formar la función compuesta f(g)
Solución
a) Para determinar el dominio de f(g):
 debemos comprobar si rgo g  dom f  , es decir debo determinar rgo g  dom f.
  ,; 01 grgoentoncesydepositivosvalorestomafunciónlacomoxg
42  xf ;
   

,,
;;;;
22
2224242042
fdom
xoxxxxx
realizamos la intersección:
rgo g  dom f = [2,  )
 debemos determinar que valores del dominio de g que pertenecen a dicha intersección
 
 
 




,3)(3
41
2)2(
2
1
21exp
,21
gdomfx
x
x
xresaseque
x
el dominio de la función compuesta f(g) está dado por:     3,g(x)f
c) podemos formar entonces la función compuesta pedida:
  42)1x(f(g)g(x)f 
-2 0 2

5. Página 24
I) a) queremos determinar dom f(g) para ello determinamos rgo f  dom g
42)(  xfxf ; rgo f = [0, ) ;
 


,1
1;01
1)(
domg
xx
xgxg
II) rgo f  dom g = [0, )
b) determinemos los valores del dominio de f que pertenecen a dicha intersección
 
   







,22,)(:)(22;2
42;42;042;0
2
42;042;,042
fdomgesfgdedominioelentoncesxyxx
xxxxxx
e) formamos g(f): 142)(  xfg
-1 0