Resolver una ecuación diferencial ordinaria de orden dos y primer grado para condiciones iniciales dadas, mediante los métodos: 1. Coeficientes Indeterminados 2. Variación de los Parámetros 3. Transformada de Laplace

1. Determinar la solución particular en una Ecuación Diferencial
de la forma F( D ) y = g(t) mediante varios métodos
Preparado por Profesora: Rosa Cristina De Peña
Presentamos una Ecuación Diferencial de la forma:
I. F ( D )y = g(t) para n = 2 tenemos que la ecuación I se puede expresar:
( A2 D2 + A1 D + A0 )y = g(t)
**¿Cómo obtener la misma solución particular con los tres métodos?:
1. Coeficientes indeterminados
2. Variación de los parámetros
3. Transformada de Laplace.
*** La Transformada de Laplace genera la solución particular.
1. Método de Coeficientes Indeterminados.
(D2 -5D + 6) y = 4 siendo t = 0 y = 4 Dy = -5
y = y c+ y p
r2-5r + 6 = 0 (r-3) (r-2) = 0 r 1= 3 r2 = 2
yc = C1e3t + C2 e2t
g(t) = 4 g’ (t) = 0 y p= A D yp = 0 D2 y p = 0
4 2
D2yp -5 D yp + 6 yp= 4 yp = =
6 3
2
Y = yc + yp = C1e3t + C2 e2t +
3
Y’ = 3 C1e3t + 2 C2 e2t
Para las condiciones iniciales :
2
4 = C1e3(0) + C2 e2(0) + = C1 + C2
3
-5 = 3 C1e3(0) + 2 C2 e2(0) = 3 C1 + 2 C2
35
Resolviendo el sistema anterior: C1= 15 C2 = −
3
35 2t + 2
Y= F(t) = 15 e3t − e
3 3
1

2. 2. Método de Variación de los Parámetros.
(D2 -5D + 6) y = 4 siendo t = 0 y = 4 Dy = -5
y = y c+ y p
r2-5r + 6 = 0 (r-3) (r-2) = 0 r 1= 3 r2 = 2
yc = C1e3t + C2 e2t
yp = µ 1 e 3 t + µ 2 e 2 t
y’p : µ '1 e 3t + µ ' 2 e 2t = 0
3µ '1 e 3t + 2 µ ' 2 e 2t = 4
e 3t e 2t
W = 3t 2t
= 2e 5t − 3e 2t = −e 5t
3e 2e
0 e 2t
4 2e 2 t − 4e 2 t 4 e −3 t
µ '1 = = = 4e − 3 t µ1 = ∫ 4e −3t dt =
− e 5t −e 5t
−3
e 3t 0
− 4e −2t
3t
3e 4 4e 3 t
µ '2 = = = − 4e − 2 t µ 2 = ∫ − 4e − 2t dt = = 2e − 2 t
− e 5t −e 5t
−2
− 4 − 3 t 3t −4 −4+6 2
yp = µ 1 e 3 t + µ 2 e 2 t = e e + 2e − 2 t e 2 t = +2= =
3 3 3 3
2

3. 2
y = yc+ yp = C1e3t + C2 e2t +
3
Y’ = 3 C1e3t + 2 C2 e2t
Para las condiciones iniciales :
2
4 = C1e3(0) + C2 e2(0) + = C 1 + C2
3
-5 = 3 C1e3(0) + 2 C2 e2(0) = 3 C1 + 2 C2
35
Resolviendo el sistema anterior: C1= 15 C2 = −
3
35 2t + 2
Y= F(t) = 15 e3t − e
3 3
3

4. 3. Transformada de Laplace
(D2 -5D + 6) y = 4 siendo t = 0 y = 4 Dy = -5
δ {D 2 y − 5Dy + 6 y} = δ {4}
δ {D 2 y}− 5δ {Dy} + 6δ {y} = 4δ { }
1
⎡1 ⎤
S2 F(s) –S F(0) – F’(0) – 5 [ S F(s) – F(0)] + 6 F(s) = 4 ⎢ ⎥
⎣s⎦
⎡1 ⎤
S2 F(s) – 4 S – (-5) – 5 S F(s) + 5 (4) + 6 F(s) = 4 ⎢ ⎥
⎣s⎦
⎡1 ⎤
S2 F(s) – 4 S + 5 – 5 S F(s) + 20 + 6 F(s) = 4 ⎢ ⎥
⎣s⎦
⎡1 ⎤
S2 F(s) – 4 S + 25 – 5 S F(s) + 6 F(s) = 4 ⎢ ⎥
⎣s⎦
⎡1 ⎤
S2 F(s) – 5 S F(s) + 6 F(s) = 4 ⎢ ⎥ + 4 s - 25
⎣s⎦
⎡1 ⎤
[S2 – 5 S + 6 ] F(s) = 4 ⎢ ⎥ + 4 s - 25
⎣s⎦
⎡ 1 ⎤⎡ 4 ⎤
F(s) = ⎢ 2 ⎥ ⎢ s + 4 s − 25⎥
⎣ s − 5s + 6 ⎦ ⎣ ⎦
4 + 4 s 2 − 25s 4 s 2 − 25s + 4
F(s) = =
s ( s − 3)( s − 2) s ( s − 3)( s − 2)
⎧ 4 s 2 − 25s + 4 ⎫
δ −1 {F ( s )} = δ −1 ⎨ ⎬
⎩ s ( s − 3)( s − 2) ⎭
4

5. 4 s 2 − 25s + 4 A B C
= + +
s ( s − 3)( s − 2) s s−3 s−2
4s2 -25 s + 4 = A( s2 -5s +6 ) + B( s2-2s) + C( s2 -3s)
4s2 -25 s + 4 = (A+ B + C ) s2 + (-5A -2B -3C)s + 6 A
2
T. I. : 4 = 6A A=
3
T. Lineal s : -25 = -5A -2B -3C
T. Cuadrático s2 : 4 = A+ B + C
10 10 65
Sustituyendo A : -25 = - − 2 B − 3C -25 + = −2 B − 3C - = −2 B − 3C
3 3 3
2 2 10
4 = + B+ C 4- =B+C = B+C
3 3 3
20
= 2 B + 2C
3
10 35
-15 = - C C = 15 B= − 15 = −
3 3
⎧ A⎫ ⎧ B ⎫ −1 ⎧ C ⎫
δ −1 {F ( s)} = δ −1 ⎨ ⎬ + δ −1 ⎨ ⎬+δ ⎨ ⎬
⎩s⎭ ⎩ s − 3⎭ ⎩s − 2⎭
⎧2⎫ ⎧ − 35 ⎫
⎪3⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎧ 15 ⎫
δ −1 {F ( s)} = δ −1 ⎨ ⎬ + δ −1 ⎨ 3 ⎬ + δ −1 ⎨
2 35 3t
⎬ = - e + 15 e2t
⎪s⎪ ⎪ s − 3⎪ ⎩s − 2⎭ 3 3
⎪ ⎪
⎩ ⎭ ⎪
⎩ ⎪
⎭
2 35 3t
Y= F(t) = - e + 15 e2t
3 3
5