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   CONVIVENCIA,                RUFINO JOSÉ CUERVO - CENTRO
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 DOCENTE: Víctor de Jesús Osorio Rodríguez
 ÁREA: Matemáticas
 TEMA: Geometría Analítica: Inclinación y Pendiente
 Logro: Identificar la pendiente de una recta a partir de dos puntos dados en ella.
                                      INCLINACIÓN Y PENDIENTE
 Tomemos una recta (L) que intercepte el eje x en el punto x1. El ángulo         entre el eje x y L,
 medido en dirección antihorario (menor que 180º) se llama la inclinación de L.
                                                 La inclinación de una recta paralela al eje x se toma
                                                 como 0º.
                                                 La pendiente de una recta, designada por m, se
                                                 define como la tangente trigonométrica de su ángulo
                                                 de inclinación. Esto es:   m  Tan
                                                 Ya que Tan0º= 0, La pendiente de una recta paralela
                                                 al eje x es 0.



 La pendiente de una recta es el incremento de la ordenada (y), cuando la abscisa (x) se incrementa
 en una unidad.

 Es fácil ver también, que la pendiente de una recta es la tangente trigonométrica del ángulo a que
 forma la recta con la parte positiva del eje X:



 La pendiente de una recta paralela al eje y no esta definida. Esto es así porque si la recta L
 se gira en sentido antihorario al rededor del punto x1, de modo que  se aproxime a 90º, la
 pendiente m crece sin límite.
      Decimos que una recta vertical no tiene pendiente (o que su pendiente es infinita).
 La pendiente de una recta se puede expresar en términos de las coordenadas de dos puntos,
 digamos P1=(x1, y1) y P2=(x2, y2).
 Para tal fin, construyamos un triángulo rectángulo de catetos x2 – x1 y y2 – y1, como se
 muestra en la figura:
 El ángulo      es la inclinación de la recta. De acuerdo con la definición trigonométrica de la
                                          y y
 tangente tenemos:
                               Tan         2     1


                                          x x
                                             2     1


 Pero Tan    ,   es precisamente la pendiente m de la recta. Por lo tanto, la ecuación se

                         y y
 transforma en:    m      2     1


                         x x
                           2    1


La pendiente de una recta no vertical es el cociente entre la diferencia de las ordenadas y la
             diferencia de las abscisas, en el mismo orden, de dos puntos en ella.
Ejemplo: Una recta contiene los puntos A= (5, 2) y B=(9, 6). Hallemos La inclinación y la
pendiente.

                                                                                y  y 62 4
Solución: Aplicando la fórmula de la pendiente tenemos:                  m      2
                                                                                         1
                                                                                         1


                                                                                x  x 95 4
                                                                                 2       1



Ahora bien, ya que      m  Tan , en donde             es el ángulo de inclinación, por lo tanto:

m  Tan        , entonces 1  Tan y así:             Tan 1 1
                                                                      por eso     45º .
R/ La pendiente es 1 y el ángulo de inclinación es 45º.
                                                     Ejercicios
    1. Encontrar la pendiente y el ángulo de inclinación de las siguientes rectas, que pasan
    por los siguientes puntos:
    a. (3, -2) y (9, 6)                                      c. (8, -4) y (-7, 4)

    b. (4, -3) y (-1, 9)                                     d. (5, -8) y (-7, 8)

    2. Encontrar la pendiente y el ángulo de inclinación de las siguientes rectas, que pasan
        por los siguientes puntos, además hallar la distancia entre ellos y las coordenadas del
        punto medio.
    a) (-1, 1) y (3, 4)                                             c) (8, -5) y (-1, 2)
    b) (2, 2) y (5, -1)                                             d) (0, 3) y (3, 6)
    Graficar los puntos y trazar la recta.

                                               El jardín del rey

Un rey fue hasta su jardín y descubrió que sus               ¡Somos esto que somos!!!
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                                                             Vivimos marchitándonos en nuestras propias
El Roble le dijo que se moría porque no podía ser            insatisfacciones,   en    nuestras      absurdas
tan alto como el Pino.                                       comparaciones con los demás: "Si yo fuera" "si yo
                                                             tuviera" "si mi hombre y/o mujer fuera".
Volviéndose al Pino, lo halló caído porque no podía
dar uvas como la Vid.
                                                             Siempre conjugando el futuro incierto en vez del
Y la Vid se moría porque no podía florecer como la           presente concreto, empecinados en no querer ver,
Rosa.                                                        que la felicidad es un estado subjetivo, voluntario.

La Rosa lloraba por no ser fuerte y sólida como el           Podemos elegir hoy, estar felices con lo que somos,
Roble.                                                       con lo que tenemos; o vivir amargados por lo que
                                                             no tenemos o no puede ser.
Entonces encontró una planta, un Clavel floreciendo
y más fresco que nunca.
                                                             Sólo podremos florecer el día que aceptemos que
                                                             somos lo que somos, que somos únicos y que nadie
El rey le preguntó:
                                                             puede hacer lo que nosotros vinimos a hacer
- ¿Cómo es que creces tan saludable en medio de
                                                             Tomado de www.enplenitud.com
este jardín mustio y sombrío?.

La flor contestó:
- No lo sé. Quizás sea porque siempre supuse que
cuando me plantaste, querías claveles. Si hubieras
querido un Roble, lo habrías plantado.

En aquel momento me dije: "Intentaré ser Clavel de
la mejor manera que pueda" y heme aquí el más
hermoso y bello clavel de tu jardín.

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11.pendiente analitica

  • 1. “SI QUIERES MEJORAR LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA CONVIVENCIA, RUFINO JOSÉ CUERVO - CENTRO EMPIEZA POR TI” DOCENTE: Víctor de Jesús Osorio Rodríguez ÁREA: Matemáticas TEMA: Geometría Analítica: Inclinación y Pendiente Logro: Identificar la pendiente de una recta a partir de dos puntos dados en ella. INCLINACIÓN Y PENDIENTE Tomemos una recta (L) que intercepte el eje x en el punto x1. El ángulo  entre el eje x y L, medido en dirección antihorario (menor que 180º) se llama la inclinación de L. La inclinación de una recta paralela al eje x se toma como 0º. La pendiente de una recta, designada por m, se define como la tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación. Esto es: m  Tan Ya que Tan0º= 0, La pendiente de una recta paralela al eje x es 0. La pendiente de una recta es el incremento de la ordenada (y), cuando la abscisa (x) se incrementa en una unidad. Es fácil ver también, que la pendiente de una recta es la tangente trigonométrica del ángulo a que forma la recta con la parte positiva del eje X: La pendiente de una recta paralela al eje y no esta definida. Esto es así porque si la recta L se gira en sentido antihorario al rededor del punto x1, de modo que  se aproxime a 90º, la pendiente m crece sin límite. Decimos que una recta vertical no tiene pendiente (o que su pendiente es infinita). La pendiente de una recta se puede expresar en términos de las coordenadas de dos puntos, digamos P1=(x1, y1) y P2=(x2, y2). Para tal fin, construyamos un triángulo rectángulo de catetos x2 – x1 y y2 – y1, como se muestra en la figura: El ángulo  es la inclinación de la recta. De acuerdo con la definición trigonométrica de la y y tangente tenemos: Tan  2 1 x x 2 1 Pero Tan , es precisamente la pendiente m de la recta. Por lo tanto, la ecuación se y y transforma en: m 2 1 x x 2 1 La pendiente de una recta no vertical es el cociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas, en el mismo orden, de dos puntos en ella.
  • 2. Ejemplo: Una recta contiene los puntos A= (5, 2) y B=(9, 6). Hallemos La inclinación y la pendiente. y  y 62 4 Solución: Aplicando la fórmula de la pendiente tenemos: m 2   1 1 x  x 95 4 2 1 Ahora bien, ya que m  Tan , en donde  es el ángulo de inclinación, por lo tanto: m  Tan , entonces 1  Tan y así:   Tan 1 1 por eso   45º . R/ La pendiente es 1 y el ángulo de inclinación es 45º. Ejercicios 1. Encontrar la pendiente y el ángulo de inclinación de las siguientes rectas, que pasan por los siguientes puntos: a. (3, -2) y (9, 6) c. (8, -4) y (-7, 4) b. (4, -3) y (-1, 9) d. (5, -8) y (-7, 8) 2. Encontrar la pendiente y el ángulo de inclinación de las siguientes rectas, que pasan por los siguientes puntos, además hallar la distancia entre ellos y las coordenadas del punto medio. a) (-1, 1) y (3, 4) c) (8, -5) y (-1, 2) b) (2, 2) y (5, -1) d) (0, 3) y (3, 6) Graficar los puntos y trazar la recta. El jardín del rey Un rey fue hasta su jardín y descubrió que sus ¡Somos esto que somos!!! árboles, arbustos y flores se estaban muriendo. Vivimos marchitándonos en nuestras propias El Roble le dijo que se moría porque no podía ser insatisfacciones, en nuestras absurdas tan alto como el Pino. comparaciones con los demás: "Si yo fuera" "si yo tuviera" "si mi hombre y/o mujer fuera". Volviéndose al Pino, lo halló caído porque no podía dar uvas como la Vid. Siempre conjugando el futuro incierto en vez del Y la Vid se moría porque no podía florecer como la presente concreto, empecinados en no querer ver, Rosa. que la felicidad es un estado subjetivo, voluntario. La Rosa lloraba por no ser fuerte y sólida como el Podemos elegir hoy, estar felices con lo que somos, Roble. con lo que tenemos; o vivir amargados por lo que no tenemos o no puede ser. Entonces encontró una planta, un Clavel floreciendo y más fresco que nunca. Sólo podremos florecer el día que aceptemos que somos lo que somos, que somos únicos y que nadie El rey le preguntó: puede hacer lo que nosotros vinimos a hacer - ¿Cómo es que creces tan saludable en medio de Tomado de www.enplenitud.com este jardín mustio y sombrío?. La flor contestó: - No lo sé. Quizás sea porque siempre supuse que cuando me plantaste, querías claveles. Si hubieras querido un Roble, lo habrías plantado. En aquel momento me dije: "Intentaré ser Clavel de la mejor manera que pueda" y heme aquí el más hermoso y bello clavel de tu jardín.