3 Técnicas y Herramientas Cuantitativas, especialmente modelos probabilsticos, para gestionar la incertidumbre. En esta Primera parte se plantea el problema, se introduce conceptos fundamentales de probabilidad y se tratan tres temas: distribuciones de probabilidad, PERT y análisis Monte Carlo
Este documento presenta 5 problemas de contraste de hipótesis. El primero contrasta si los dados están bien hechos mediante un contraste bilateral y unilateral. El segundo contrasta si la duración media de las bombillas es de 1680 horas. El tercero contrasta si la media poblacional de los tubos es de 43 mm. El cuarto contrasta si al menos el 95% de las viviendas cumplen la certificación. El quinto contrasta si la media de memoria de los estudiantes es de 195 puntos.
El documento describe el análisis incremental y el cálculo del flujo de efectivo incremental para evaluar alternativas de inversión. Explica cómo ordenar las alternativas por inversión, calcular los flujos de efectivo incrementales usando el mínimo común múltiplo de las vidas útiles, e interpretar la tasa de rendimiento sobre la inversión adicional para seleccionar la mejor alternativa. También presenta un ejemplo numérico para ilustrar el proceso.
El documento describe los pasos del procedimiento para probar una hipótesis estadística. Explica que se comienza estableciendo una hipótesis nula y una hipótesis alterna. Luego se determina el criterio de contraste, que incluye el nivel de significancia, la distribución y los valores críticos. Después se calcula el estadístico de prueba y finalmente se toma una decisión sobre si rechazar o no la hipótesis nula basado en la comparación del estadístico de prueba con el
La distribución hipergeométrica modeliza procesos de Bernoulli con probabilidades no constantes en los que se realizan muestras o experiencias repetidas sin reemplazo. Representa situaciones donde se repiten pruebas dicotómicas de manera que cada resultado altera la probabilidad de la siguiente, como en muestras pequeñas sin reemplazo. Siguiendo esta distribución, la variable aleatoria X representa el número de resultados de tipo A obtenidos al extraer n elementos al azar de un total de N elementos, de los cuales Np son de tipo A y N
Este documento describe diferentes tipos de límites estadísticos como límites de confianza, predicción y tolerancia. Explica la diferencia entre ellos y cómo se aplican en diferentes contextos. También presenta ejemplos numéricos de cómo calcular intervalos de tolerancia y estimar la diferencia entre dos medias usando datos de muestras.
Este documento presenta conceptos sobre estimación estadística. Explica que la estimación estadística consiste en utilizar datos de una muestra para determinar valores desconocidos de parámetros de una población. Define estimadores, e introduce conceptos como estimador insesgado, consistente, eficiente y suficiente. Luego explica estimación puntual e interválica, e introduce fórmulas para calcular intervalos de confianza para la media poblacional basados en distribuciones normales. Finalmente presenta ejemplos para ilustrar los conceptos.
Este documento describe varias distribuciones de probabilidad discretas y continuas, incluyendo la distribución de Bernoulli, binomial, Poisson y exponencial. Explica sus fórmulas y provee ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular probabilidades usando cada distribución.
Este documento presenta los conceptos y procedimientos para realizar pruebas de hipótesis sobre el modelo de regresión. Explica los elementos clave de una prueba de hipótesis como las hipótesis nula y alternativa, el estadístico de prueba, y la región de rechazo. Luego, detalla cómo se aplican estas pruebas de hipótesis al modelo de regresión lineal simple, incluyendo pruebas t para la significancia individual de coeficientes y pruebas F para restricciones lineales múltiples. Final
Este documento presenta 5 problemas de contraste de hipótesis. El primero contrasta si los dados están bien hechos mediante un contraste bilateral y unilateral. El segundo contrasta si la duración media de las bombillas es de 1680 horas. El tercero contrasta si la media poblacional de los tubos es de 43 mm. El cuarto contrasta si al menos el 95% de las viviendas cumplen la certificación. El quinto contrasta si la media de memoria de los estudiantes es de 195 puntos.
El documento describe el análisis incremental y el cálculo del flujo de efectivo incremental para evaluar alternativas de inversión. Explica cómo ordenar las alternativas por inversión, calcular los flujos de efectivo incrementales usando el mínimo común múltiplo de las vidas útiles, e interpretar la tasa de rendimiento sobre la inversión adicional para seleccionar la mejor alternativa. También presenta un ejemplo numérico para ilustrar el proceso.
El documento describe los pasos del procedimiento para probar una hipótesis estadística. Explica que se comienza estableciendo una hipótesis nula y una hipótesis alterna. Luego se determina el criterio de contraste, que incluye el nivel de significancia, la distribución y los valores críticos. Después se calcula el estadístico de prueba y finalmente se toma una decisión sobre si rechazar o no la hipótesis nula basado en la comparación del estadístico de prueba con el
La distribución hipergeométrica modeliza procesos de Bernoulli con probabilidades no constantes en los que se realizan muestras o experiencias repetidas sin reemplazo. Representa situaciones donde se repiten pruebas dicotómicas de manera que cada resultado altera la probabilidad de la siguiente, como en muestras pequeñas sin reemplazo. Siguiendo esta distribución, la variable aleatoria X representa el número de resultados de tipo A obtenidos al extraer n elementos al azar de un total de N elementos, de los cuales Np son de tipo A y N
Este documento describe diferentes tipos de límites estadísticos como límites de confianza, predicción y tolerancia. Explica la diferencia entre ellos y cómo se aplican en diferentes contextos. También presenta ejemplos numéricos de cómo calcular intervalos de tolerancia y estimar la diferencia entre dos medias usando datos de muestras.
Este documento presenta conceptos sobre estimación estadística. Explica que la estimación estadística consiste en utilizar datos de una muestra para determinar valores desconocidos de parámetros de una población. Define estimadores, e introduce conceptos como estimador insesgado, consistente, eficiente y suficiente. Luego explica estimación puntual e interválica, e introduce fórmulas para calcular intervalos de confianza para la media poblacional basados en distribuciones normales. Finalmente presenta ejemplos para ilustrar los conceptos.
Este documento describe varias distribuciones de probabilidad discretas y continuas, incluyendo la distribución de Bernoulli, binomial, Poisson y exponencial. Explica sus fórmulas y provee ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular probabilidades usando cada distribución.
Este documento presenta los conceptos y procedimientos para realizar pruebas de hipótesis sobre el modelo de regresión. Explica los elementos clave de una prueba de hipótesis como las hipótesis nula y alternativa, el estadístico de prueba, y la región de rechazo. Luego, detalla cómo se aplican estas pruebas de hipótesis al modelo de regresión lineal simple, incluyendo pruebas t para la significancia individual de coeficientes y pruebas F para restricciones lineales múltiples. Final
Este documento contiene 8 problemas de estadística resueltos. Cada problema presenta datos estadísticos como medias, desviaciones estándar y tamaños de muestra, y pide calcular intervalos de confianza. Los intervalos de confianza proporcionan rangos de valores dentro de los cuales se espera que se encuentren parámetros poblacionales con cierta probabilidad.
Este documento presenta varios ejemplos y problemas resueltos sobre distribuciones de probabilidad discretas y continuas como la binomial, Poisson y normal. Explica conceptos como media, desviación estándar y probabilidades para estas distribuciones y aplica aproximaciones normales a la binomial. Resuelve 10 problemas ilustrando cálculos y gráficas de las diferentes distribuciones.
Este documento explica los conceptos básicos de los intervalos de confianza. Define intervalos de confianza como rangos donde se espera que se encuentre un parámetro poblacional, como una media o proporción, con una probabilidad predeterminada. Explica cómo calcular intervalos de confianza para la media cuando se conoce o no la desviación estándar poblacional, así como para la varianza y proporción, usando estadísticos pivotes y tablas estadísticas. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar los cál
Este documento presenta información sobre pronósticos en la administración de producción. Explica que los pronósticos son predicciones sobre eventos futuros que permiten la planeación. Describe diferentes tipos de pronósticos según su horizonte temporal y métodos cuantitativos como promedios móviles, suavización exponencial y regresión lineal. Finalmente, analiza formas de medir el error de los pronósticos como desviación absoluta promedio.
Este documento presenta una introducción a las cadenas de Markov. Explica que una cadena de Markov es un proceso estocástico discreto en el que la probabilidad de que ocurra un evento depende únicamente del evento anterior. Luego, describe algunos tipos de cadenas de Markov como cadenas irreducibles, positivo-recurrentes, regulares y absorbentes. Finalmente, introduce conceptos como la matriz de transición, el diagrama de transición y la probabilidad de transición estacionaria.
La distribución exponencial es una distribución continua que se usa para modelar el tiempo hasta que ocurre un evento. Modela fenómenos como el tiempo entre emisiones de partículas radiactivas o la vida útil de un circuito integrado. La media y la varianza de una distribución exponencial son iguales al inverso de la tasa del proceso subyacente.
El documento presenta información sobre las probabilidades de sacar diferentes manos en el juego de póker. Explica que la probabilidad de sacar una escalera de color es de 0.0000153, o 40 de cada 2,598,960 manos posibles. También menciona que la probabilidad de sacar una escalera real es de 1 en 649,740 cartas y que las probabilidades de otras manos como cuatro de un tipo, full house, flush, etc. se pueden calcular siguiendo métodos similares.
1) El documento habla sobre el análisis de riesgos en la evaluación de proyectos usando simulación de Montecarlo. 2) Explica que el riesgo y la incertidumbre se pueden describir mediante distribuciones de probabilidad y que la simulación de Montecarlo permite estimar la variabilidad total. 3) Describe diferentes métodos de muestreo, distribuciones de probabilidad y cómo generar valores aleatorios para realizar la simulación.
Este documento resume las medidas de rendimiento y probabilidades clave para modelos de colas M/M/s. Incluye la utilización promedio del sistema, la cantidad promedio de clientes en cola y en el sistema, la probabilidad de que un cliente tenga que esperar, y las probabilidades de que el sistema esté vacío o contenga un cierto número de clientes.
Este documento presenta dos problemas resueltos sobre cadenas de Markov. En el primer problema, se modela una situación en la que se pintan bolas de una urna aleatoriamente como una cadena de Markov de 6 estados. Se encuentra la matriz de probabilidades de transición y se calculan dos probabilidades después de pintar bolas. En el segundo problema, se modela el pago de primas de seguro de una compañía en función de los accidentes pasados de un cliente como una cadena de Markov de 3 o 4 estados. Se calcula la prima promedio pagada por un cliente en un año.
Este documento presenta la distribución Gamma, que es un modelo estadístico donde la densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua X depende de dos parámetros, α y β. Incluye la definición de la distribución Gamma, un gráfico ilustrativo y un ejemplo numérico donde se calcula la probabilidad de que el tiempo de mantenimiento de una máquina sea mayor a 8 horas y el costo promedio de mantenimiento.
APROXIMACIÓN BINOMIAL DE HIPERGEOMÉTRICAyaritza_ing
Se estima que 4000 de 10000 votantes de una ciudad están en contra de un nuevo impuesto a las ventas. Si se seleccionan al azar 15 votantes y se les pide su opinión, la probabilidad de que por lo menos 7 estén a favor del nuevo impuesto puede aproximarse mediante una distribución binomial, siendo 0.9049.
Este documento presenta diferentes distribuciones de probabilidad incluidas en el módulo de "Cálculo de probabilidades". Describe distribuciones discretas como la uniforme discreta, binomial y geométrica, así como distribuciones continuas como la normal, uniforme, exponencial, gamma y logística. Explica conceptos básicos como la función de distribución de probabilidad y los parámetros asociados a cada distribución.
Este documento presenta un modelo de transbordo para optimizar la distribución de bienes entre cinco nodos, donde los nodos 1 y 3 envían bienes y los nodos 4 y 5 los reciben. Se eliminan las columnas y filas correspondientes a los orígenes y destinos puros para formar una matriz 4x4, a la que se agrega la cantidad total a distribuir en las celdas intermediarias. Resolviendo este modelo de transporte, la solución óptima asigna cantidades específicas a transportar entre los nodos para minimizar los costos totales
La distribución binomial describe el número de éxitos en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes con una probabilidad fija p de éxito. La distribución de Poisson describe la probabilidad de que ocurran x eventos en un período de tiempo, área o producto, cuando el número promedio de ocurrencias es l. Ambas distribuciones son importantes en estadística pero la de Poisson es más adecuada para eventos raros con pequeñas probabilidades.
Este documento describe el sistema de colas M/M/C, donde las llegadas siguen un proceso de Poisson, los tiempos de servicio se distribuyen exponencialmente, y hay C servidores. Explica que la intensidad de tráfico debe ser menor que 1/C para alcanzar el estado estable, y presenta una aplicación numérica de un almacén con 2 cajeras.
Este documento presenta 36 ejercicios de probabilidad y estadística relacionados con distribuciones de probabilidad discretas y continuas como la uniforme, binomial, exponencial y Gamma. Los ejercicios incluyen calcular medias, varianzas, y probabilidades para variables aleatorias con diferentes distribuciones.
Este documento proporciona información sobre distribuciones exponenciales y lognormales en Minitab. Explica cómo calcular densidades de probabilidad, probabilidades acumuladas e inversas de probabilidades acumuladas para estas distribuciones. También incluye ejemplos de cómo usar estas funciones para resolver problemas estadísticos comunes.
Este documento describe los conceptos de cadenas de Markov de tiempo continuo. Explica que estas cadenas tienen un número finito de estados y probabilidades de transición estacionarias. Las variables de tiempo entre transiciones tienen distribución exponencial. También presenta las ecuaciones que describen las probabilidades de estado estable de la cadena. Como ejemplo, analiza un modelo de dos máquinas que se descomponen con distribución exponencial y se reparan.
Este documento describe el análisis de varianza (ANOVA), una técnica estadística para analizar datos experimentales. Explica que ANOVA separa la variación total en las partes atribuibles a cada fuente de variación en el experimento. Luego detalla dos esquemas de ANOVA, de un factor y de dos factores, y cómo se usa la técnica para determinar si existen diferencias significativas entre tratamientos. Finalmente, resume los componentes clave de un ANOVA como la tabla de resultados, sumas y medias de interés, y los supuestos del modelo.
Este documento describe diferentes herramientas cuantitativas para mejorar la calidad, incluyendo gráficos y diagramas. Se enfoca en explicar el uso de los gráficos de series de tiempo o run charts, detallando cómo ayudan a visualizar el desempeño de procesos a lo largo del tiempo y detectar cambios no aleatorios. También presenta un caso práctico donde una educadora de diabetes usa run charts con sus pacientes ancianos para mejorar el control de sus niveles de azúcar. Finalmente, explica cuatro reglas para identificar
Diseño, optimización y análisis estadístico de viabilidad de centrales termos...davidcanonescastellano
Este documento presenta un análisis estadístico de la viabilidad de una central termosolar de torre de 100 MW ubicada en Sevilla. Se optimiza la central de forma determinista y luego se realiza un análisis de sensibilidad para seleccionar las variables más influyentes. Finalmente, se aplica un análisis estadístico asignando distribuciones a las variables seleccionadas y calculando 1400 realizaciones, obteniendo un intervalo de confianza del 95% para el LCOE entre 13,76 y 48,49 ¢/kWh
Este documento contiene 8 problemas de estadística resueltos. Cada problema presenta datos estadísticos como medias, desviaciones estándar y tamaños de muestra, y pide calcular intervalos de confianza. Los intervalos de confianza proporcionan rangos de valores dentro de los cuales se espera que se encuentren parámetros poblacionales con cierta probabilidad.
Este documento presenta varios ejemplos y problemas resueltos sobre distribuciones de probabilidad discretas y continuas como la binomial, Poisson y normal. Explica conceptos como media, desviación estándar y probabilidades para estas distribuciones y aplica aproximaciones normales a la binomial. Resuelve 10 problemas ilustrando cálculos y gráficas de las diferentes distribuciones.
Este documento explica los conceptos básicos de los intervalos de confianza. Define intervalos de confianza como rangos donde se espera que se encuentre un parámetro poblacional, como una media o proporción, con una probabilidad predeterminada. Explica cómo calcular intervalos de confianza para la media cuando se conoce o no la desviación estándar poblacional, así como para la varianza y proporción, usando estadísticos pivotes y tablas estadísticas. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar los cál
Este documento presenta información sobre pronósticos en la administración de producción. Explica que los pronósticos son predicciones sobre eventos futuros que permiten la planeación. Describe diferentes tipos de pronósticos según su horizonte temporal y métodos cuantitativos como promedios móviles, suavización exponencial y regresión lineal. Finalmente, analiza formas de medir el error de los pronósticos como desviación absoluta promedio.
Este documento presenta una introducción a las cadenas de Markov. Explica que una cadena de Markov es un proceso estocástico discreto en el que la probabilidad de que ocurra un evento depende únicamente del evento anterior. Luego, describe algunos tipos de cadenas de Markov como cadenas irreducibles, positivo-recurrentes, regulares y absorbentes. Finalmente, introduce conceptos como la matriz de transición, el diagrama de transición y la probabilidad de transición estacionaria.
La distribución exponencial es una distribución continua que se usa para modelar el tiempo hasta que ocurre un evento. Modela fenómenos como el tiempo entre emisiones de partículas radiactivas o la vida útil de un circuito integrado. La media y la varianza de una distribución exponencial son iguales al inverso de la tasa del proceso subyacente.
El documento presenta información sobre las probabilidades de sacar diferentes manos en el juego de póker. Explica que la probabilidad de sacar una escalera de color es de 0.0000153, o 40 de cada 2,598,960 manos posibles. También menciona que la probabilidad de sacar una escalera real es de 1 en 649,740 cartas y que las probabilidades de otras manos como cuatro de un tipo, full house, flush, etc. se pueden calcular siguiendo métodos similares.
1) El documento habla sobre el análisis de riesgos en la evaluación de proyectos usando simulación de Montecarlo. 2) Explica que el riesgo y la incertidumbre se pueden describir mediante distribuciones de probabilidad y que la simulación de Montecarlo permite estimar la variabilidad total. 3) Describe diferentes métodos de muestreo, distribuciones de probabilidad y cómo generar valores aleatorios para realizar la simulación.
Este documento resume las medidas de rendimiento y probabilidades clave para modelos de colas M/M/s. Incluye la utilización promedio del sistema, la cantidad promedio de clientes en cola y en el sistema, la probabilidad de que un cliente tenga que esperar, y las probabilidades de que el sistema esté vacío o contenga un cierto número de clientes.
Este documento presenta dos problemas resueltos sobre cadenas de Markov. En el primer problema, se modela una situación en la que se pintan bolas de una urna aleatoriamente como una cadena de Markov de 6 estados. Se encuentra la matriz de probabilidades de transición y se calculan dos probabilidades después de pintar bolas. En el segundo problema, se modela el pago de primas de seguro de una compañía en función de los accidentes pasados de un cliente como una cadena de Markov de 3 o 4 estados. Se calcula la prima promedio pagada por un cliente en un año.
Este documento presenta la distribución Gamma, que es un modelo estadístico donde la densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua X depende de dos parámetros, α y β. Incluye la definición de la distribución Gamma, un gráfico ilustrativo y un ejemplo numérico donde se calcula la probabilidad de que el tiempo de mantenimiento de una máquina sea mayor a 8 horas y el costo promedio de mantenimiento.
APROXIMACIÓN BINOMIAL DE HIPERGEOMÉTRICAyaritza_ing
Se estima que 4000 de 10000 votantes de una ciudad están en contra de un nuevo impuesto a las ventas. Si se seleccionan al azar 15 votantes y se les pide su opinión, la probabilidad de que por lo menos 7 estén a favor del nuevo impuesto puede aproximarse mediante una distribución binomial, siendo 0.9049.
Este documento presenta diferentes distribuciones de probabilidad incluidas en el módulo de "Cálculo de probabilidades". Describe distribuciones discretas como la uniforme discreta, binomial y geométrica, así como distribuciones continuas como la normal, uniforme, exponencial, gamma y logística. Explica conceptos básicos como la función de distribución de probabilidad y los parámetros asociados a cada distribución.
Este documento presenta un modelo de transbordo para optimizar la distribución de bienes entre cinco nodos, donde los nodos 1 y 3 envían bienes y los nodos 4 y 5 los reciben. Se eliminan las columnas y filas correspondientes a los orígenes y destinos puros para formar una matriz 4x4, a la que se agrega la cantidad total a distribuir en las celdas intermediarias. Resolviendo este modelo de transporte, la solución óptima asigna cantidades específicas a transportar entre los nodos para minimizar los costos totales
La distribución binomial describe el número de éxitos en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes con una probabilidad fija p de éxito. La distribución de Poisson describe la probabilidad de que ocurran x eventos en un período de tiempo, área o producto, cuando el número promedio de ocurrencias es l. Ambas distribuciones son importantes en estadística pero la de Poisson es más adecuada para eventos raros con pequeñas probabilidades.
Este documento describe el sistema de colas M/M/C, donde las llegadas siguen un proceso de Poisson, los tiempos de servicio se distribuyen exponencialmente, y hay C servidores. Explica que la intensidad de tráfico debe ser menor que 1/C para alcanzar el estado estable, y presenta una aplicación numérica de un almacén con 2 cajeras.
Este documento presenta 36 ejercicios de probabilidad y estadística relacionados con distribuciones de probabilidad discretas y continuas como la uniforme, binomial, exponencial y Gamma. Los ejercicios incluyen calcular medias, varianzas, y probabilidades para variables aleatorias con diferentes distribuciones.
Este documento proporciona información sobre distribuciones exponenciales y lognormales en Minitab. Explica cómo calcular densidades de probabilidad, probabilidades acumuladas e inversas de probabilidades acumuladas para estas distribuciones. También incluye ejemplos de cómo usar estas funciones para resolver problemas estadísticos comunes.
Este documento describe los conceptos de cadenas de Markov de tiempo continuo. Explica que estas cadenas tienen un número finito de estados y probabilidades de transición estacionarias. Las variables de tiempo entre transiciones tienen distribución exponencial. También presenta las ecuaciones que describen las probabilidades de estado estable de la cadena. Como ejemplo, analiza un modelo de dos máquinas que se descomponen con distribución exponencial y se reparan.
Este documento describe el análisis de varianza (ANOVA), una técnica estadística para analizar datos experimentales. Explica que ANOVA separa la variación total en las partes atribuibles a cada fuente de variación en el experimento. Luego detalla dos esquemas de ANOVA, de un factor y de dos factores, y cómo se usa la técnica para determinar si existen diferencias significativas entre tratamientos. Finalmente, resume los componentes clave de un ANOVA como la tabla de resultados, sumas y medias de interés, y los supuestos del modelo.
Este documento describe diferentes herramientas cuantitativas para mejorar la calidad, incluyendo gráficos y diagramas. Se enfoca en explicar el uso de los gráficos de series de tiempo o run charts, detallando cómo ayudan a visualizar el desempeño de procesos a lo largo del tiempo y detectar cambios no aleatorios. También presenta un caso práctico donde una educadora de diabetes usa run charts con sus pacientes ancianos para mejorar el control de sus niveles de azúcar. Finalmente, explica cuatro reglas para identificar
Diseño, optimización y análisis estadístico de viabilidad de centrales termos...davidcanonescastellano
Este documento presenta un análisis estadístico de la viabilidad de una central termosolar de torre de 100 MW ubicada en Sevilla. Se optimiza la central de forma determinista y luego se realiza un análisis de sensibilidad para seleccionar las variables más influyentes. Finalmente, se aplica un análisis estadístico asignando distribuciones a las variables seleccionadas y calculando 1400 realizaciones, obteniendo un intervalo de confianza del 95% para el LCOE entre 13,76 y 48,49 ¢/kWh
El documento proporciona una introducción a la administración de proyectos. Define proyecto, identifica factores clave como el gerente de proyectos y el equipo de proyectos. Explica el ciclo de vida de los proyectos y métodos para planificar redes de actividades como PERT y CPM para estimar tiempos de finalización.
El documento describe las principales tecnologías de fabricación, incluyendo moldeo por deformación, separación y corte, y unión de piezas. Explica que el moldeo por deformación no desperdicia material y usa moldes para dar forma al material fundido. La separación y corte implica pérdida de material y usa procesos como forja, laminación y estampado. La unión de piezas fabrica elementos uniendo piezas individuales.
Este documento trata sobre probabilidades y experiencias aleatorias. Explica conceptos como espacio muestral, sucesos elementales y compuestos, operaciones con sucesos como unión e intersección, y reglas para calcular probabilidades como la regla de Laplace. También introduce nociones de probabilidad condicionada y sucesos dependientes e independientes. En resumen, provee los fundamentos teóricos básicos para comprender el cálculo de probabilidades.
Este documento trata sobre el cálculo de la probabilidad de ocurrencia de eventos mutuamente excluyentes y eventos complementarios según la regla de la suma. Explica que si dos eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra uno u otro es igual a la suma de sus probabilidades individuales. También define eventos complementarios como aquellos donde si no ocurre uno, necesariamente ocurre el otro, y provee ejemplos ilustrativos de estos conceptos.
El documento describe la cadena de suministros, incluyendo su origen, características, objetivos, agentes involucrados y los diferentes niveles de decisión. La cadena de suministros se refiere al flujo de productos, información y fondos entre clientes, minoristas, mayoristas, fabricantes y proveedores para satisfacer la demanda de los consumidores. Tiene el objetivo de mejorar la productividad, los niveles de servicio a clientes y las relaciones con socios de negocios.
Gestion del Riesgo 7 - Analisis cuantitativo de riesgos (oa)Alberto Palomares
El documento explica el proceso de realizar un análisis cuantitativo de los riesgos de un proyecto según el PMI. Este proceso analiza los riesgos identificados previamente para obtener información numérica sobre su impacto global en los objetivos del proyecto. Se requiere disponer de suficientes datos históricos y es complejo y costoso, por lo que solo organizaciones maduras en gestión de riesgos pueden llevarlo a cabo. El documento también presenta un ejemplo del método de valor monetario esperado para este aná
AYMONINO, Carlo. El significado de las ciudades Cap.VIIUrba2014
Las ciudades siempre han sido el centro de la vida social y económica, reuniendo a las personas y facilitando la interacción. El autor explora el significado y la importancia de las ciudades a lo largo de la historia, argumentando que su diseño y organización reflejan las necesidades y valores de la sociedad en cada época.
Este documento presenta los conceptos clave para elaborar un cronograma y estimar los costos de un proyecto. Explica cómo desarrollar un cronograma mediante la estimación de duraciones de actividades, la determinación de dependencias y la identificación de la ruta crítica. También cubre técnicas para estimar costos como la estimación análoga y la clasificación de costos directos, indirectos, fijos y variables, además de la importancia de incluir contingencias.
El documento presenta una guía sobre gestión de la cadena de suministro. Explica conceptos clave como cadena de suministro, logística y gestión de la cadena de suministro. Detalla los principales aspectos de la cadena de suministro como sus elementos, objetivos, pasos logísticos y su evolución. También cubre temas como predicción de la demanda, métodos de predicción de ventas, compras y toma de decisiones. El objetivo final es mejorar la eficiencia de la cadena de suministro para satisfacer las necesidades del cliente.
Este documento explica las reglas de la multiplicación y la probabilidad condicional en la probabilidad. La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de que ocurran dos sucesos A y B es P(A) x P(B) si A y B son independientes, o P(A) x P(B|A) si A y B son dependientes. También presenta ejemplos como calcular la probabilidad de responder correctamente dos preguntas de un examen o la probabilidad de seleccionar una vaina verde y luego una vaina amarilla en un experimento de Mendel.
El documento presenta una introducción a la teoría de probabilidades. Define conceptos básicos como experimento, espacio muestral, suceso, probabilidad y tipos de sucesos. Explica métodos de conteo como la regla de la multiplicación, permutaciones, variaciones y combinaciones. Finalmente, introduce conceptos como probabilidad condicional, eventos independientes, reglas de adición y multiplicación, y teoremas como el de Bayes. El documento provee una visión general de los principales elementos de la teoría de probabilidades.
Este documento describe el método de Montecarlo para calcular el valor de π. Explica que el método involucra lanzar una aguja de longitud conocida sobre una superficie con líneas paralelas equidistantes y contar el número de veces que la aguja corta una línea. La proporción de cortes entre lanzamientos tiende a π/2 a medida que se aumenta el número de lanzamientos. El documento también provee antecedentes históricos sobre el desarrollo del método de Montecarlo y ejemplos de su aplic
Este documento describe varios tipos de distribuciones de probabilidad como la distribución de Poisson, hipergeométrica y binomial. La distribución de Poisson fue desarrollada por Simeón Denis Poisson en 1834 y modela el número de eventos raros que ocurren en un período de tiempo, distancia o espacio. La distribución binomial se aplica a experimentos de Bernoulli y describe datos discretos como el número de consumidores que favorecen un producto en una muestra pequeña. La distribución hipergeométrica es apropiada para procesos donde se selecciona una
El documento discute diferentes distribuciones de probabilidad como la Gamma, Erlang y exponencial. La distribución Gamma depende de dos parámetros λ y k y generaliza la distribución exponencial. La distribución Erlang se usa para modelar sistemas de servicio masivo como líneas telefónicas. También presenta fórmulas para calcular la media y varianza de la distribución Gamma.
Planeación agregada (integrada) de producciónconny1991
Obtener el mejor plan agregado de producción; seleccionado mediante la evaluación de distintos planes, considerando la capacidad de planta, los recursos y sus costos
3 Técnicas y Herramientas para Gestionar la Incertidumbre en los ProyectosP.A. Ortiz Bochard
1) El documento presenta tres técnicas cuantitativas para gestionar la incertidumbre en proyectos: PERT recargado, análisis de Monte Carlo e introducción a conceptos de probabilidad como eventos mutuamente excluyentes e independientes y distribuciones de probabilidad. 2) Explica que la incertidumbre es un problema central en la gestión de proyectos y que herramientas probabilísticas pueden ayudar a gestionarla. 3) El objetivo es analizar estas técnicas cuantitativas para evaluar la incert
Este documento presenta métodos para cuantificar el riesgo en etapas tempranas de proyectos. Se critica el enfoque cualitativo tradicional de matrices de riesgo por ser ambiguo y subjetivo. Se proponen alternativas como el uso de axiomas, el método AHP de priorización, y rankings cuantitativos basados en probabilidad e impacto. El documento ilustra el método AHP aplicado a un caso práctico de seguridad bancaria electrónica.
Seminario breve para mostrar algunas de las principales ideas sobre las que se ha creado la estadística, así como algunos ejemplos. Celebrado el 6 de marzo de 2012 en la Universidad Popular Carmen de Michelena de Tres Cantos.
Más información en:
http://www.universidadpopularc3c.es/index.php/actividades/conferencias/event/219-conferencia-las-estadisticas-no-enganan
Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad y estadística. Explica la diferencia entre procesos deductivos e inductivos, y cómo la probabilidad se puede estimar mediante el cálculo de frecuencias relativas. También describe propiedades clave de la probabilidad como que debe estar entre 0 y 1, y la suma de probabilidades de todos los resultados posibles es 1. El documento proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos teóricos.
Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad y estadística para ingeniería y administración. Explica que la probabilidad mide el riesgo asociado con predicciones sobre resultados futuros incierto. Define procesos deductivos e inductivos, siendo la deducción partir de lo general a lo particular y la inducción de lo particular a lo general. También describe propiedades básicas de la probabilidad como que debe estar entre 0 y 1, y la suma de probabilidades de todos los resultados posibles es 1.
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La gama de productos de Miele se caracteriza por su innovación tecnológica y eficiencia energética, garantizando que cada electrodoméstico no solo cumpla con las expectativas, sino que las supere. Los refrigeradores Miele están diseñados para ofrecer un rendimiento óptimo y una conservación perfecta de los alimentos, con características avanzadas como la tecnología de enfriamiento Dynamic Cooling, sistemas de almacenamiento flexible y acabados premium.
En este catálogo, encontrarás detalles sobre los distintos modelos de refrigeradores y congeladores Miele, incluyendo sus especificaciones técnicas, características destacadas y beneficios para el usuario. Amado Salvador, como distribuidor oficial de electrodomésticos Miele, garantiza que todos los productos cumplen con los más altos estándares de calidad y durabilidad.
Explora el catálogo completo y encuentra el refrigerador Miele perfecto para tu hogar con Amado Salvador, el distribuidor oficial de electrodomésticos Miele.
La inteligencia artificial sigue evolucionando rápidamente, prometiendo transformar múltiples aspectos de la sociedad mientras plantea importantes cuestiones que requieren una cuidadosa consideración y regulación.
HPE presenta una competició destinada a estudiants, que busca fomentar habilitats tecnològiques i promoure la innovació en un entorn STEAM (Ciència, Tecnologia, Enginyeria, Arts i Matemàtiques). A través de diverses fases, els equips han de resoldre reptes mensuals basats en àrees com algorísmica, desenvolupament de programari, infraestructures tecnològiques, intel·ligència artificial i altres tecnologies. Els millors equips tenen l'oportunitat de desenvolupar un projecte més gran en una fase presencial final, on han de crear una solució concreta per a un conflicte real relacionat amb la sostenibilitat. Aquesta competició promou la inclusió, la sostenibilitat i l'accessibilitat tecnològica, alineant-se amb els Objectius de Desenvolupament Sostenible de l'ONU.
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3 Técnicas y Herramientas Cuantitativas para la Gestion de la Incertidumbre en los Proyectos-Parte I
1. 3 T&H Cuantitativas para
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Parte I
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP
Julio de 2010
2. Agenda
Objetivo
El problema de la Incertidumbre
Incertidumbre y el PMBOK
Fundamentos de Probabilidad
◦ Probabilidad
◦ Eventos mutuamente excluyentes e independientes
◦ Variables aleatorias
◦ Distribuciones de Probabilidad
◦ El Teorema Central del Límite
PERT recargado
Análisis Monte Carlo
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 2
3. Objetivo
Trabajar sobre el tema de la
incertidumbre en los
proyectos y analizar técnicas
y herramientas cuantitativas
(especialmente
probabilísticas) que nos
permitan gestionar la misma
“You cannot be certain about uncertainty”
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 3
4. Accidente TERAC 25
3 pacientes muertos
Incertidumbre
Túnel del Canal de la
Mancha
Atraso > 2 años 140% sobrecosto
Funciones recortadas Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 4
5. Incertidumbre
“Uncertainty is therefore imperfect knowledge and
risk is uncertain consequences”
“Hemos concluido que la incertidumbre existente en
cada proyecto es la principal causa subyacente
de muchos de los problemas”
E. Goldratt. Critical Chain
YOU CAN’T IMPOSE CERTAINTY ON UNCERTAINTY
YOU MUST LEARN TO MANAGE THE UNCERTAINTY
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 5
6. El Cono de Incertidumbre en los
Proyectos de TI Las estimaciones
tempranas en los
proyectos son siempre
ampliamente imprecisas
[+50%;-33%] PMBOK tiene un enfoque
similar pero asimétrico;
S. McConnell- 2007 ROM [+75%;-25%]??
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 6
7. La Incertidumbre y la Estimación
“As you have no doubt experienced, a project’s
greatest uncertainty is its completion date (which
also affects cost). When the project plan is laid
out in black and white with activities and times, it
becomes a very deterministic view. The project
manager must understand the effects of
probability and educate the stakeholders
concerning the challenges of accurate estimating
and its effect on a predetermined schedule”
Budd, C., y Budd C.S.. A practical guide to Earned Value Project Management, 2005
La mayoría del esfuerzo en la planificación de proyectos
actualmente se realiza de una forma estrictamente determinista,
donde las tareas del proyecto están asignadas y ejecutadas en un
marco de tiempo bien definido
Porqué?? Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 7
8. Breve historia de algunas T&H
GANTT
1910-1915 GP
1981
CPM
1946
PERT
1957 Gerente de
Proyecto
Cadena Monte
Crítica Carlo
1997 1949
Herramientas (GP-1963;
pre-PC’s 70% 17% viable
GP GP
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP
>80’s) 8
9. Estimaciones como afirmaciones
probabilísticas
Las estimaciones
se expresan
normalmente
como un solo
punto, lo cual no
es realista porque
no se indica la
probabilidad
asociada al punto
“Todos los puntos están asociados con una
S. McConnell., 2006
probabilidad, explícita o implícitamente”
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 9
11. Incertidumbre y el PMBOK
28 veces aparece la palabra “uncertainty” (aunque no
se define explícitamente) en el PMBOK (sin
considerar figuras o el glosario)
vinculado principalmente a las Gestión del
Alcance
siguientes Áreas de Conocimiento:
Gestión
de Gestión de
Gestión de Tiempos Tiempos Costos
Gestión de Costos
Gestión de Riesgos Gestión de Gestión de
Gestión de Calidad Calidad Riesgos
Gestión del Alcance
Específicamente vinculadas a las siguientes Ortiz, MSc, PMP
Julio 2010 Ing. Pablo
T&H: 11
12. T&H Costos
Análisis de
T Reservas
i
Estimación
e 3 puntos
m (PERT)
Cadena Simulación
p Crítica Monte Carlo Distribuciones
(What-If) de Probabilidad
o
s Análisis de Valor Monetario
Sensibilidad Esperado
Riesgos
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 12
13. Incertidumbre, Probabilidad y
Estadística
“Los GP exitosos son aquellos que
rápidamente comprenden la
necesidad de evaluar la
incertidumbre”
“La Gestión de Riesgos es el proceso,
pero la probabilidad y la estadística
proveen el respaldo…”
J. Googdpasture. Quantitative Methods in Project Management
“Probability is the language of Teorema COX
uncertainty” J.Schuyler, 2001 Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 13
15. Fundamentos de Probabilidad
1. Probabilidad
2. Eventos independientes y
mutuamente excluyentes
3. Variables Aleatorias
4. Distribuciones de Probabilidad
5. Teorema Central del Límite
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 15
16. Ejercicio clásico
En la convergencia de caminos del ejemplo adjunto, si las
probabilidades de completar las actividades 1,2, y 3 son 50%, 50%
y 50%, respectivamente, ¿cuáles son las chances de comenzar la
actividad 4 en el día 6?
Porqué?
a) 10% b) 13% c) 40% d) 50%
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 16
17. Frecuencia relativa y Probabilidad
Supongamos un experimento el cual tiene N posible
resultados. Entonces la probabilidad que un evento A
ocurra es igual al número de veces que el evento
pueda ocurrir, dividido el número total de posibles
resultados.
Número de veces que aparece A
Frecuencia relativa de un evento A =
N
Probabilidad de un suceso es el número al que
tiende la frecuencia relativa del suceso a medida
que el número de veces que se realiza el
experimento crece
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 17
18. Probabilidad
La Probabilidad es una forma de expresar el
conocimiento o la creencia que un evento va a ocurrir o
ha ocurrido
La probabilidad de un evento A es representado por
un número real en el rango de 0 a 1 y es escrito como
P(A), p(A) o Pr(A). Se asigna una probabilidad de 0 a
los eventos que no pueden ocurrir y una probabilidad
de 1 a aquellos que tienen certeza
0≤P(A)≤1 Wikipedia,2010
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 18
21. Probabilidades en el lanzamiento de
un par de dados
¿Cuál es la probabilidad de obtener 1 2/36
y 3?
¿Cuál es la probabilidad de obtener 1/36
dos 6?
¿Cuál es la probabilidad de que
11/36
cualquiera de los dos sea un 3?
http://gwydir.demon.co.uk/jo/probability/calcdice.htm
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 21
23. Diagramas de Venn
B
B A B A
S S A S
A∩B: intersección de A y B A∪B: unión de A y B A y B mutuamente excluyente
24. Eventos mutuamente excluyentes
Regla de la Suma
La intersección de dos eventos A y B, notados como
A I B, es el conjunto de todos los resultados que están
tanto en A y en B, por ej, si
A = {a, b, c, d} B = {b, d, f, g, h} entonces
A I B = {b, d}
Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes o
disjuntos si no tienen ningún resultado en común, o sea
su intersección es vacía => no pueden ocurrir a la misma
vez
Se cumple entonces: si A I B = , P(AUB)=P(A)+P(B)
Por ej. la probabilidad de obtener 1 ó 3 en un
lanzamiento de un dado es: P(1)+P(3)= Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP
Julio 2010 1/6+1/6= 2/6=1/3 24
25. ¿Donde se usa?
usa?
Valor Monetario Esperado. Arboles de Decisión
P(1.1)*O1.1+P(1.2)*O1.2+P(1.3)*O1.3
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 25
26. Eventos independientes
A
Regla de la multiplicación B
S
Dos eventos A y B son llamados independientes si la
ocurrencia de B no cambia la probabilidad de que A
ocurra. Por ej. si se tiran dos monedas la
probabilidad de obtener cara en ambas es P(obtener
cara en la primera y la segunda)= ½ x ½ = ¼
P(A∩B) = P(A) · P(B)
Otra forma de decirlo es que “no comparten
información”
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 26
27. Eventos Independientes y Mutuamente
Excluyentes
Si dos eventos son mutuamente excluyentes, entonces
no pueden ser independientes y viceversa
Problema planteado (d.17)…
1. ¿Son mutuamente 50%
excluyentes o
independientes? ¿porqué?
2. ¿Cuál es la probabilidad?
6?
P(A1∩A2 ∩A3)=P(A1).P(A2).P(A3)=0,5x0,5x0,5=0,125≈ 0,13=13%
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 27
28. Variables Aleatorias
En matemáticas una variable aleatoria (o estadística o
estocástica) es una variable cuyo valor es una función
del resultado de un experimento estadístico que da
valor numérico a cada suceso en Ω (espacio muestral):
fdp discreta
Existen dos tipos de variables aleatorias:
discretas y continuas. Nos importan estas fdp continua
últimas.
Una variable aleatoria tiene una distribución
de probabilidad asociada y frecuentemente una
función de densidad de probabilidad (fdp)
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 28
Wikipedia, 2010
29. Variables Aleatorias. Ejemplo
Supongamos que queremos representar la posibilidad
que mañana llueva lo cual puede ser representado por
la siguiente variable aleatoria:
= {llueve, no llueve}
1 ; si llueve
Esta variable
X= es discreta o
0 ; si no llueve continua?
si son igualmente probable cualquiera de los dos
eventos se define la función de densidad de
probabilidad (fdp):
½ ; si x= 1
f(x) = ½ ; si x= 0
0 ; de otra manera Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 29
31. Referencia en el PMBOK
PMBOK, 4ta. Ed. ,p. 298
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 31
32. ¿Qué es un Función de Distribución?
En teoría de la probabilidad, la
función de densidad de
probabilidad, función de densidad,
o, simplemente, densidad de una
variable aleatoria continua es una
función, usualmente denominada
f(x) que describe la densidad de la
probabilidad en cada punto del
espacio de tal manera que la
probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor
dentro de un determinado conjunto sea la integral de la
función de densidad sobre dicho conjunto.
Wikipedia, 2010
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 32
33. Propiedades
La Función de Probabilidad tiene las siguientes
propiedades:
Dado que las variables aleatorias continuas están
definidas sobre un rango continuo de valores (llamado
el dominio de la variable), la gráfica de la función de
densidad deberá ser continua sobre ese rango
El área debajo de la curva de la función es igual a 1
cuando es calculada sobre el dominio de la variable
La probabilidad que la variable aleatoria asuma un valor
entre a y b es igual al área bajo la función de densidad
en el rango acotado por a y b
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 33
34. Uniforme
Todos los valores dentro del rango factible tienen la
misma densidad de probabilidad
Parámetros : Uniforme (min,max)
Aplicaciones: U(0,1) se usa en la generación de los
valores de todas las demás distribuciones de
probabilidad en el muestreo aleatorio
Excel: ALEATORIO.ENTRE(min;max);
min +ALEATORIO()(max –min )
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 34
35. Ejemplos y Uso de
distribución uniforme
Lanzamiento de una moneda
Lanzamiento de un dado
Ruleta
Lotería
Ej. min=1;max=3
Uso
Cualquier valor entre el mínimo y el máximo tiene
igual probabilidad
Muchos lenguages de programación tienen la
habilidad de generar números pseudo-aleatorios los
cuales se distribuyen de acuerdo a la distribución
uniforme Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 35
36. Triangular
La bibliografía sugiere usar esta distribución cuando la
distribución subyacente se desconce y todo lo que
puede precisarse de la misma es el valor mínimo, el
valor máximo y el valor mas probable (“an inspired
guess as to what the modal value might be”)
Parámetros: Triang (min, +prob, max)
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 36
37. Triangular (cont.)
Sus propiedades estadísticas se derivan de su forma, no
de una teoría subyacente (no modela fenom. reales)
Es de definición intuitiva y de gran flexibilidad en cuanto
a geometrías posibles
La forma de la distribución usualmente lleva a
sobreestimar la densidad de las colas y a subestimar la
densidad en el “tronco” de la distribución.
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 37
39. Generación de una dist. Triangular
dist.
a partir de una distr. Uniforme
distr.
Sea p una variable generada a partir de una
distribución Uniforme en el intervalo (0,1), sea G(p) la
función inversa de F (F-1(p))* con distribución
triangular, se cumple: Excel
* Método de Transformación Inversa. Lo explicaremos en detalle en la Parte II
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 39
40. Triangular. Uso
La Distribución Triangular es típicamente usada como
una descripción subjetiva de una población para la cual
existe solamante un conjunto limitado de datos de
muestra, y especialmente cuando las relaciones entre
las variables es conocida pero son escasos
(posiblemente debido al alto costo de recolectarlos)
Es usada también cuando se quiere manejar una
estimación mas pesimista que la Beta (ver
justificación mas adelante)
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 40
41. Distribución Beta
La distribución Beta es una familia de distribuciones
de probabilidad continua definidas en el intervalo (0,
1) con dos parámetros positivos que determinan la
forma, típicamente notados como α y β
La distribución Beta puede tomar muchas formas,
según los valores de α y β
Es generalmente usada cuando no existen datos
históricos sólidos en los cuales basar la estimación de
las actividades
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 41
44. Relación entre la fórmula de PERT y la
distribución Beta
1. Otener las estimaciones para la tarea de los tiempos
optimistas, mas probable y pesimista
2. Estimar la media y desviación estándar usando las
ecuaciones (iii) y (iv):
3. Use las ecuaciones (v) y (vi) para calcular los
parámetros que son consistentes con la media y
desviación estándar
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 44
45. Interpretación informal (extraído del
Libro “Cadena Crítica” de E.Goldratt)
E.Goldratt)
◦ ¿Cuánto tiempo le lleva llegar a la Universidad?
pregunto
◦ “Alrededor de 25 minutos”, contesta Brian
◦ “Qué significa alrededor”, pregunta
◦ “A veces 30 minutos, a veces menos, depende el
tráfico”
E. Goldratt- Critical Chain, p. 43-45
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 45
46. Cont.
◦ “…Precisamente, ….5 minutos tiene 0 probabilidad,
25 minutos tiene la mayor probabilidad, pero aún 3
horas tienen una probabilidad positiva”
E. Goldratt- Critical Chain, p. 43-45 Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 46
47. Cont. II
◦ “…Cuanto mayor es la incertidumbre, mayor es el
largo de la cola de la distribución
E. Goldratt- Critical Chain, p. 43-45 Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 47
48. Aproximación de la Beta a la Normal
El Teorema Central del Límite
"Winwood Reade is good upon the
subject," said Holmes. "He remarks
that, while the individual man is an
insoluble puzzle, in the aggregate he
becomes a mathematical certainty.
You can, for example, never foretell
what any one man will do, but you can
say with precision what an average
number will be up to. Individuals
vary, but percentages remain
constant. So says the statistician.
A. Conan Doyle- The Sign of the Four (1890-Sherlock Holmes)
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 48
49. Aproximación Normal a la Beta
Cuando se trata el tema de la
distribución Beta, se afirma
que:
±σ ≈ 68% de los valores
±2σ ≈ 95% de los valores
±3σ ≈ 99% de los valores
Pero esto aplica a la Distribución
Normal, ¿porqué es válido?
• El uso de las propiedades de la Distribución Normal está basado
en la aplicación del Teorema Central del Límite el cual afirma que
la suma (o promedio) de actividades independientes es
normalmente distribuida si el número de actividades es grande (no
importa cual sea la distribución de estas variables)
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 49
50. Teorema Central del Límite (TCL)
muestra
…
…
El lanzamiento
de un dado La suma o promedio de una
tiene una en muestra (por ej. el
Distribución cambio…. lanzamiento de 12 dados)
Uniforme tiene una Distribución
Normal
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 50
51. Definición de TCL. Demostración práctica
El Teorema Central del Límite (TCL) expresa que la media y la
suma de una muestra suficientemente grande (usualmente n>30 o 25)
de una (escencialmente) distribución arbitraria tiene una
distribución aproximadamente normal.
Dada una muestra de variables aleatorias X1, . . . ,X n con µ = E(Xi) y
σ2= Var(Xi), se cumple:
1. La suma de la muestra: es aprox. normal
2. La media de la muestra: es aprox. normal
A.J. Hildebrand
Hoja de cálculo de
Microsoft Office Exce
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 51
52. If you are the expert, the best distribution is
¿Qué distribución the one that completely expresses your belief
usar? about the uncertainty, J. Schuyler
1. La distribución Triangular, tiene una media que es
igual al promedio de los 3 parámetros, estos es,
(Min+Moda+Max)/3. La media es igualmente sensitiva
a cada parámetro.
2. La distribución Beta tiene una media que es igual a
(Min+4*Moda+Max)/6, en otras palabras es el
promedio de los tres parámetros pero con un peso 4
veces mayor en la Moda.
3. a= tiempo optimista P(finalizar≤ a)= ≈.01, 1%=>
Percentil 10
b = tiempo pesimista P(finalizar ≥b) < ≈.01 => P 90
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 52
53. Cont I.
4. Tener presente que la distribución Triangular tiene 0
probabilidad en el Máximo, lo cual es improbable
(recordar ejemplo de Goldratt)
5. En la vida real, somos capaces de dar una estimación
mas confiable de la Moda (el valor mas frecuente) que
el de los extremos. Por ej. si se nos pregunta “¿cuál es
el costo máximo de este proyecto?” empezamos a
imaginar todas las cosas que pueden salir mal, lo cual
dificulta una respuesta definitiva
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 53
54. Cont. II
6. La distribución Triangular es mas pesimista que la PERT cuando el
sesgo es positivo y mas optimista en caso que es negativo. En el
ejemplo de la izquierda ambas tienen el valor mas probable igual
(30), pero el área a la derecha es 65% para la Beta y 78% para la
Triangular. La de la derecha con valor mas probable de 35 tienen
un área de 44% para la Beta y 38% para la Triangular
Kyritopolus, K, et al., 2008
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 54
55. Estadísticas para las Distribuciones
mas Comunes
J. Goodpasture- Quantitative Methods in Project Management, p. 53
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 55
57. Estimación de 3 Puntos
Media=
Optimista+ 4 *Mas probable + Pesimista
________________________________
6
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 57
58. Aproximaciones a PERT. Limitaciones.
• Los valores de media y desvío son aproximaciones
válidas y son exactas únicamente para valores
particulares de α y β, específicamente:
α =3- √2 ≈ 1,6 ó 3+√2 ≈ 4,4
β =3+ √2 ≈ 4,4 ó 3-√2 ≈ 1,6
Grubbs, 1962
• El camino crítico comprende pocas tareas, menos de la
que las que el teorema central del límite requiere (n~25)
• Enfoque excesivo en el camino crítico, ignorando
caminos casi críticos (near critical path) que pueden
volverse críticos (Williams, 2005)
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 58
59. Simulación Monte Carlo para el
análisis de la incertidumbre
“We balance
probabilities and
choose the most
likely. It is the
scientific use of the
imagination”
A. Conan Doyle. The Hound of the Baskervilles (1902)
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 59
60. Análisis Monte Carlo en el PMBOK
Gestión de Tiempos. Análisis de
Escenarios What-If.
“La técnica mas común es la del
Análisis Monte Carlo (Sección
11.4.2.2), en el cual se define una
distribución de duraciones
posibles para cada actividad, que
es usada para calcular una
distribución de posibles
resultados para todo el proyecto ”
(p.156 Ing., p.137 Esp.)
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 60
61. ¿Qué es la simulación Monte Carlo?
Método computacional usado para
estudiar el comportamiento de
sistemas matemáticos, físicos o de
cualquier índole, a partir del uso de
muestreo estadístico, números
aleatorios y pseudo-aleatorios.
Es iterativo -> requiere cálculos por
computador.
Las técnicas de Monte Carlo pueden
ser usadas para encontrar soluciones
aproximadas a problemas
cuantitativos, con o sin incertidumbre.
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 61
62. Introducción al Método Monte Carlo
El método Monte Carlo básicamente
es una forma de resolver problemas
complejos mediante aproximaciones
usando gran cantidad de números
aleatorios
Desarrollado por S. Ulam y N.
Metropolis en 1949
Modelo básico:
1. Un conjunto de variables de entrada
generadas aleatoriamente a partir de
determinadas distribuciones de probabilidad
Fuente:
2. Elección de un modelo http://www.vertex42.com/ExcelArticl
es/mc/MonteCarloSimulation.html
3. Resultado de la simulación
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 62
63. Ejemplo: Aproximación de π por el MMC
Área Círculo = π r2 = π
L=2
1 Área Cuadrado= L2= 4
Área Círculo = π
0.5
Área Cuadrado 4
r=1
4 * Área Círculo = π
Área Cuadrado
0
Si n es grande podemos
-0.5
pensar que es válida la aprox.:
-1
-1 -0,5 0 0,5 1 4 *puntos_en_el_circulo = π
n (total de ptos.)
Referencia: http://twtmas.mpei.ac.ru/mas/Worksheets/approxpi.mcd
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 63
64. ¿Qué podemos deducir?. Pasos
4 *puntos_en_el_circulo = aprox π
1. Crear un modelo paramétrico n
y = f(x1,…,x n)
Se generan nros. randómicos
2. Generar un conjunto de con distribución uniforme para
números randómicos xi1, ….xin x => g(xi1) ; g(xi2) ; …. g(xin) ;
3. Evaluar el modelo y guardar el aprox_π =
resultado como yk
yk = f(g(xki))
4. Repetir los pasos 2 a 3 para
i= 1 a n
5. Analizar los resultados usando
histogramas, intervalos de err= | aprox_π – π|
confianza, etc.
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP
Julio 2010 64
65. Resumiendo..
gi(x)
James F. Wright, 2002 Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 65
66. Ejemplo práctico Problema…
Actividad A 12
Actividad B 15
días
Actividad C 10
Actividad D 5
Actividad E 22
A Actividad F 6
B
“distribución de
C
duraciones posibles
para cada actividad “ D
(Uniforme)
E
700 1
F
Se puede definir la distribución mas 200 0,5
adecuada a la duración de cada TAREA y -300 0
no necesariamente al PROYECTO entero
“una distribución de posibles resultados
Nota: la cantidad de tareas debe ser >25, para todo el proyecto “
recordar TCL, este es un ejemplo simplificado
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 66
67. Hoja de Cálculo
Hoja de cálculo
de Microsoft Office Excel
Monte Carlo
Determinista PERT Tamaño de la muestra (n) 10.000
Duración Media 73,78
del 70 72,50 Desvío Estándar 4,58
Proyecto Desvío Estándar de la Pablo Ortiz, MSc, PMP
Media 0,046
Julio 2010 Ing. 67
68. Simulación con Distribución Triangular
Hoja de cálculo
de Microsoft Office Excel
Determinista PERT
Duración
del 70 72,50
Proyecto
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 68
69. Preguntas del GP. Lo importante…
Williams (2003) indica que la simulación Monte Carlo
ayuda al Gerente de Proyectos a responder preguntas
tales como: Probabilidad Objetivo
¿Cuál es la probabilidad de Días Probalidad Éxito
60 0,0%
alcanzar una fecha 62 0,3%
(duración) determinada del 64 1,2%
proyecto? 66 4,2%
68 10,6%
70 21,2%
¿Cuál es duración del 72 34,7%
proyecto con un confianza 74 51,4%
76 67,7%
del 90%? 78 81,1%
80 90,9%
Conociendo la probabilidad de 82 96,4%
terminar en una fecha 84 99,0%
determinada el GP puede 86 99,9%
90 100,0%
establecer una reserva en el crono
para el proyecto Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 69
70. Análisis MC, cuestiones pendientes…
1. ¿Cómo se simulan distribuciones Beta y Normales?
2. ¿Cuándo N es suficiente?
3. Gestión del Riesgo. Técnicas de Análisis y Modelación
del Riesgo. Modelación y Simulación.
“La simulación de un proyecto en un modelo que traduce
los detalles de incertidumbre del proyecto en su
potencial impacto en los objetivos del proyecto. Las
simulaciones iterativas son realizadas típicamente
usando la técnica Monte Carlo” (p. 299)
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 70
72. Bibliografía breve
PMBOK. 4th Edition (2008) . Project Management Institute
PMBOK. 4ta. Edición (2008). Project Management Institute
Goodpasture, J. (2004). Quantitative Methods in Project Management. Ed. J. Ross Publishing
Anbari, F. (1997). Quantitative Methods for Project Management. International Institute for
Learning Inc.
Williams, T. (2003). The Contribution of Mathematical Modeling to the Practice of Project
Management. IMA Journal of Management Mathematics. 14(1), p.3
Referencias de Internet
Priano, M., Ochkov, V. http://www.vertex42.com/ExcelArticles/mc/MonteCarloSimulation.html
(consultado 25 de marzo de 2010)
Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Monte_carlo_simulation
(consultado 15 de marzo de 2010)
Riskglossary.com. http://www.riskglossary.com/link/monte_carlo_method.htm
(consultado 08 de abril de 2010)
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 72
73. Bibliografía breve (cont)
(cont)
Wittwer, J.W., "Monte Carlo Simulation Example: Sales Forecast“,
http://www.vertex42.com/ExcelArticles/mc/SalesForecast.html
(consultado 26 de julio de 2010)
Software Libre
SimTools. http://home.uchicago.edu/~rmyerson/addins.htm
(consultado 3 de mayo de 2010)
MonteCarlito. www.montecarlito.com
(consultado 13 de mayo de 2010)
Monte Carlo Analysis for MS Project. http://sourceforge.net/projects/montecarloprj/
(consultado 13 de mayo de 2010)
Otras Presentaciones
El Dilema del Prisionero y la GP. http://www.slideshare.net/p.ortiz.bochard/dilema-del-prisionero
(Diciembre 2009)
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 73
74. Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 74
El Cono de Incertidumbre