7 procesos estocasticos

Francisco Sandoval
fasandoval@utpl.edu.ec
2017
Análisis Estadístico y
Probabilístico

AGENDA
CAP. 7: Procesos Estocásticos

Agenda
CAP. 7: Procesos Estocásticos
• Definición
• Clasificación de los Procesos Estocásticos
• Ejemplos de Procesos Estocásticos
• Especificación de Procesos Estocásticos
• Momentos de Procesos Estocásticos
• Algunos Procesos Estocásticos Usuales
• Estacionalidad de Procesos Estocásticos
• Densidad Espectral de Potencia
• Caracterización Conjunta de Procesos Estocásticos
• Procesos Estocásticos y Sistemas Lineales
• Procesos Estocásticos Gaussianos

Objetivos
• Introducir las nociones básicas necesarias para el estudio de
procesos estocásticos.
• Presentar ejemplos de carácter práctico.
• Introducir diversas maneras de especificar los procesos y la noción
de momento.
• Presentar ejemplos de procesos estocásticos específicos y el
concepto de estacionalidad.
• Elaborar un concepto de especificación, definiendo la especificación
conjunta de procesos.
• Introducir las nociones de independencia, descorrelación y
ortogonalidad entre procesos.
• Estudiar una clase particular de procesos estocásticos, los Procesos
Gaussianos.
• Analizar el paso de procesos estocásticos a través de sistemas
lineales.
• Definir la densidad espectral de potencia

Definición
𝜔
Ω
ℝ𝑥
𝜔
Ω
ℝ2𝒙
𝒙(𝜔)
Variable Aleatoria
Vector Aleatorio
Función de
Variables Aleatorias

Definición
Definición 1: Procesos Estocásticos
Un mapa que asocia a cada punto de muestra 𝜔 ∈ Ω una función
real de un parámetro 𝑡 perteneciente un conjunto Υ (en la mayoría
de los procesos estocásticos, el parámetro 𝑡 está asociado al
tiempo). Se crea de esta manera una familia 𝔽 de funciones de 𝑡,
(𝑡 ∈ Υ).
De este modo se puede decir que un proceso estocástico (P.E.) es un
mapa definido por
𝑥: Ω ⟼ 𝔽
𝜔 ⟼ 𝑥 𝑡, 𝜔 , 𝑡 ∈ Υ

Definición

Definición
• Un P.E. es una función de dos variables, 𝜔 y 𝑡,
cuyos dominios son Ω y Υ ⊂ ℝ, respectivamente.
• Es común denominar cada función perteneciente
a la familia 𝔽 por función-muestra del P.E. y el
conjunto de todas las funciones por ensemble.
• Una interpretación interesante es obtenida al fijar,
por ejemplo, el valor 𝜔𝑖 para 𝜔. En este caso el
P.E. pasa a representar una única función 𝑥(𝑡, 𝜔𝑖)
de 𝑡.

Definición
• Si el valor 𝑡1 es fijado para el parámetro 𝑡, lo que se
obtiene es una v.a. que asocia a cada punto de muestra
un número real 𝑥(𝑡1, 𝜔).
• De manera análoga, al fijar 𝑛 valores 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡 𝑛 del
parámetro 𝑡 se obtiene un vector aleatorio
𝑥(𝑡1, 𝜔)
𝑥(𝑡2, 𝜔)
⋮
𝑥(𝑡 𝑛, 𝜔)
• Finalmente, si los valores de 𝑡 y 𝜔 son ambos fijos, el
P.E. representa apenas un número real.

Definición
𝑥(𝑡) puede representar cinco situaciones diferentes:
1. Una familia de funciones (𝑡 y 𝜔 variables);
2. Una única función del tiempo (𝑡 variable y 𝜔 fijo);
3. Una v.a. (𝑡 fijo y 𝜔 variable);
4. Un vector aleatorio (𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡 𝑛 fijos y 𝜔 variable); y
5. Un único número real (𝑡 y 𝜔 fijos).
La notación, 𝑥(𝑡, 𝜔), usada para representar un P.E. será
simplificada al omitirse la variable 𝜔, siendo utilizada la
representación 𝑥(𝑡).

CLASIFICACIÓN DE LOS PROCESOS
ESTOCÁSTICOS

Clasificación de P.E.
• Los P.E. pueden ser clasificados de acuerdo
con los valores que asume o de acuerdo con
los valores que su parámetro puede asumir.

Clasificación de P.E.
de parámetro continuo de parámetro discreto

EJEMPLOS DE PROCESOS
ESTOCÁSTICOS

Ejemplo 1: Llamadas Telefónicas llegando a una
central
• Recordando el ejemplo de un determinado
número de usuarios llamando a una central
telefónica, es de interés conocer como varía, a
partir de un instante (tomado como origen), el
número de llamadas que llega a la central. Ese
número 𝑛, función del tiempo, es un proceso
estocástico discreto de parámetro continuo.

Ejemplo 1: Llamadas Telefónicas llegando a una
central

Ejemplo 2: Ruido Térmico en los Terminales
de un Resistor
• El movimiento térmico de electrones libres en
un conductor (ej. resistor) da origen a una
tensión de ruido cuya variación a lo largo del
tiempo no es posible representar
determinísticamente.
• Esta tensión constituye un P.E. continuo de
parámetro continuo.

Ejemplo 2: Ruido Térmico en los Terminales
de un Resistor

Ejemplo 3: Señal de voz muestreada
• La señal de voz transmitida por un sistema de
comunicaciones es esencialmente no-determinística,
constituyendo claramente un P.E.
• Cuando se trata de transmitir esta señal en forma
digital, el primer paso en el proceso de la señal de voz
consiste en muestrearla a una determinada frecuencia
de muestreo (𝑓0 muestras por segundo, ej.).
• Resulta de esta operación una secuencia de valores de
tensión en puntos aislados del eje del tiempo que,
debido a lo impredecible de su variación, es
adecuadamente modelada por un P.E. Se trata
claramente de un P.E. continuo, de parámetro discreto.

Ejemplo 3: Señal de voz muestreada

Ejemplo 4: Señal recibida en una llamada
• El problema de las variaciones impredecibles
de la amplitud de la señal recibida en una
llamada radioeléctrica constituye el fenómeno
de desvanecimiento.
• La imposibilidad de describir estas variaciones
determinísticamente, lleva a modelar la
amplitud de la señal recibida por un P.E.
continuo de parámetro continuo, con función
muestra 𝑠(𝑡, 𝜔).

Ejemplo 4: Señal recibida en una llamada

ESPECIFICACIÓN DE PROCESOS
ESTOCÁSTICOS

Especificación de P.E.
• Al fijar el parámetro 𝑡, (𝑡 ∈ Υ) de un P.E. 𝑥(𝑡),
se obtiene una v.a., representada aquí por 𝑥𝑡.
• Asociada a esta v.a. se tiene una FDP 𝐹𝑥 𝑡
(𝑋) y,
consecuentemente una fdp 𝑝 𝑥 𝑡
𝑋 .
• Para cada valor distinto de 𝑡 ∈ Υ, se obtiene
una v.a. diferente.

• Las fdp’s 𝑝 𝑥 𝑡
𝑋 , 𝑡 ∈ Υ son denominadas
fdp’s de primer orden del P.E. 𝑥(𝑡).
Definición 2: Especificación de 1° Orden de un P.E.
Se dice que un P.E. está especificado hasta el primer orden cuando
la fdp 𝑝 𝑥 𝑡
(𝑋) es conocida para cualquier valor de 𝑡 ∈ Υ.

Ejemplo: Especificación de 1° orden
Considere un P.E. 𝑥(𝑡), cuyas funciones muestra son rectas de la
forma
𝑥 𝑡 = 𝑎1 𝑡 + 𝑎2
donde 𝑎1 y 𝑎2 son v.a. conjuntamente gaussianas, o sea, ellas
forman un vector gaussiano 𝒂. Suponga que:
𝒎 𝒂 = 𝟎 =
0
0
y
𝑲 𝒂 =
1
1
2
1
2
1
Determinar la fdp de 1° orden de este P.E.

La v.a. 𝑥𝑡 es función del vector aleatorio 𝒂. En
particular.
𝑥𝑡 = 𝑎1 𝑡 + 𝑎2
o sea
𝑥𝑡 = 𝑨 𝒂
donde 𝑨 es una matriz de dimensión 1 × 2 dada
por
𝑨 = (𝑡 1)

Como 𝒂 es un vector gaussiano se tiene que
𝑥𝑡 es una v.a. gaussiana. Además
𝑚 𝑥 𝑡
= 𝑨 𝒎 𝒂 = 0
y
𝜎𝑥 𝑡
2
= 𝑨 𝑲 𝒂 𝑨 𝑇
= 𝑡2
+ 𝑡 + 1
se tiene así:
𝑝 𝑥 𝑡
(𝑋) =
1
2𝜋 𝑡2+𝑡+1
𝑒
−
𝑋2
2 𝑡2+𝑡+1

• La fdp de 1° orden del P.E. 𝑥(𝑡) puede ser utilizada para
calcular la probabilidad de algunos eventos definidos sobre el
P.E. 𝑥(𝑡).
• Ejemplo: suponga que se desea calcular la probabilidad de
tener una función muestra del procesos que, en el instante
𝑡 = 5, exceda el valor 0.
𝑃 𝑥 5 > 0 = 𝑃 𝑥5 > 0 = න
0
∞
𝑝 𝑥5
𝑋 𝑑𝑋
donde 𝑝 𝑥5
(𝑋) es obtenido haciendo 𝑡 = 5 en la fdp 𝑝 𝑥 𝑡
(𝑋).
Finalmente se obtiene
𝑃 𝑥 5 > 0 = න
0
∞
1
2𝜋 31
𝑒−
𝑋2
62 𝑑𝑋 = 𝑄 0 =
1
2

• El conocimiento de la fdp de 1° orden de un
P.E. no siempre es suficiente para determinar
las probabilidades deseadas.
• Existen ejemplos que requieren el
conocimiento de las fdp’s conjunta de dos
v.a.’s, ambas definidas sobre el mismo proceso
𝑥(𝑡).
• Este hecho induce a la definición de
especificación de 2° orden de un P.E.

Definición 3: Especificación de 2° Orden de un P.E.
Se dice que un P.E. está especificado hasta el segundo orden
cuando la fdp conjunta 𝑝 𝑥 𝑡1 𝑥 𝑡2
(𝑋1, 𝑋2) (fdp de segundo orden del
P.E. 𝑥(𝑡)) es conocida para cualquier par de valores de 𝑡1 ∈ Υ, t2 ∈
Υ.

Considere el P.E. 𝑥(𝑡), definido en el ejemplo anterior. Determine la
fdp de 2° orden de este proceso estocástico.

Definición 4: Especificación de Orden 𝑚 de un P.E.
Se dice que un P.E. está especificado hasta el orden 𝑚 cuando la fdp
conjunta 𝑝 𝑥 𝑡1 𝑥 𝑡2…𝑥 𝑡 𝑚
𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑚 (fdp de orden 𝑚 del P.E. 𝑥(𝑡))
es conocida para cualquier conjunto de valores de 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡 𝑚 ,
tales que 𝑡1 ∈ Υ, t2 ∈ Υ, … , 𝑡 𝑚 ∈ Υ.
Un P.E. especificado hasta el orden 𝑚, está también especificado hasta cualquier orden
inferior a 𝑚.
Definición 5: Especificación completa de un P.E.
Se dice que un P.E. está especificado completamente si el está
especificado hasta el orden 𝑚, para cualquier valor entero 𝑚.

MOMENTOS DE PROCESOS
ESTOCÁSTICOS

Momentos de Procesos Estocásticos
• Los momentos de un proceso estocástico son
los momentos de variables aleatorias definidas
en cualquier instante del proceso.
Definición 6: Media de un Proceso Estocástico
La media de un proceso estocástico 𝑥(𝑡), representada por 𝑚 𝑥(𝑡),
es definida como la media de la variable aleatoria 𝑥(𝑡) (en
notación más compacta, 𝑥𝑡) asociada a un instante cualquiera 𝑡 ∈
Υ, o sea,
𝑚 𝑥 𝑡 = 𝐸 𝑥 𝑡 ; 𝑡 ∈ Υ

Definición 7: Función Autocorrelación de un Proceso Estocástico
La función Autocorrelación de un procesos estocástico 𝑥(𝑡),
representada por 𝑅 𝑥(𝑡1, 𝑡2), es definida como la correlación entre
las variables aleatorias 𝑥(𝑡1) y 𝑥(𝑡2) (en notación más compacta
𝑥𝑡1
y 𝑥 𝑡2
) asociadas a dos valores cualquiera 𝑡1 ∈ Υ y 𝑡2 ∈ Υ del
parámetro del proceso, o sea,
𝑅 𝑥 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑥 𝑡1 𝑥 𝑡2 ; 𝑡1 ∈ Υ , 𝑡2 ∈ Υ
El valor de la función de un P.E. cuando 𝑡1 = 𝑡2 = 𝑡 es denominado
valor medio cuadrático del proceso estocástico, siendo dado por
𝑅 𝑥 𝑡, 𝑡 = 𝐸 𝑥2
𝑡 ; 𝑡 ∈ Υ

Definición 8: Función Autocovarianza de un P.E.
La función autocovarianza de un P.E. 𝑥(𝑡), representada por
𝐾𝑥 𝑡1, 𝑡2 , es definida como la covarianza entre las variables
aleatorias 𝑥(𝑡1) y 𝑥(𝑡2) asociadas a dos valores cualquiera 𝑡1 ∈ Υ
y 𝑡2 ∈ Υ del parámetro del proceso, o sea,
𝐾𝑥 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑥 𝑡1 − 𝑚 𝑥 𝑡1 𝑥 𝑡2 − 𝑚 𝑥 𝑡2 ; 𝑡1 ∈ Υ , 𝑡2 ∈ Υ
Es posible llegar a la relación
𝐾𝑥 𝑡1, 𝑡2 = 𝑅 𝑥 𝑡1, 𝑡2 − 𝑚 𝑥 𝑡1 𝑚 𝑥(𝑡2)

Ejemplo
Considere el P.E. 𝑥(𝑡), definido en el ejemplo anterior. Determine la
media, la función autocorrelación y la función autocovarianza.

PROCESOS ESTOCÁSTICOS USUALES

Transmisión Binaria Semi-Aleatoria
• Considere el P.E. 𝑥(𝑡) que caracteriza una transmisión
binaria semi-aleatoria, definida de la siguiente manera:
durante cualquiera de los intervalos
𝐼 𝑛 = 𝑛 − 1 𝑇, 𝑛𝑇 ; 𝑛 entero
el proceso 𝑥 𝑡 puede asumir uno de entre dos valores,
𝐴 y −𝐴.

• Considerar que el valor del P.E. en un
determinado intervalo es estadísticamente
independiente de su valor en los demás
intervalos. Se supone además que los valores 𝐴 y
− 𝐴 ocurren con probabilidad 𝑝 y (1 − 𝑝),
respectivamente.
• Para un instante genérico cualquiera 𝑡, la fdp de
1° orden del P.E. se expresa
𝑝 𝑥 𝑡
𝑋 = 𝑝𝛿 𝑋 − 𝐴 + 1 − 𝑝 𝛿(𝑋 + 𝐴)
• La media de este proceso estocástico es
𝑚 𝑥 𝑡 = 𝐸 𝑥 𝑡 = ‫׬‬−∞
∞
𝑋𝑝 𝑥 𝑡
𝑋 𝑑𝑋 = 𝐴(2𝑝 − 1)

• Para calcular la función autocorrelación, considere la
v.a. 𝑦 = 𝑥 𝑡1 𝑥 𝑡2 donde 𝑡1 y 𝑡2 son instantes
cualquiera satisfaciendo la condición
ቊ
𝑡1 ∈ 𝐼 𝑛1
𝑡2 ∈ 𝐼 𝑛2
• Se consideran dos situaciones:
– Los instantes 𝑡1 y 𝑡2, que definen las v.a.’s 𝑥𝑡1
y 𝑥𝑡2
,
pertenecen al mismo intervalo, o sea 𝑛1 = 𝑛2. En este
caso, la v.a. 𝑦 asume siempre el valor 𝐴2
.
Consecuentemente:
𝑝 𝑦|𝑛1=𝑛2
𝑌 = 𝛿 𝑌 − 𝐴2
– 𝑛1 ≠ 𝑛2, la v.a. 𝑦 puede asumir los valores 𝐴2
y −𝐴2
. Por
tanto

𝑃 𝑦 = 𝐴2
𝑛1 ≠ 𝑛2
= 𝑃 𝑥 𝑡1
= 𝐴, 𝑥 𝑡2
= 𝐴 𝑛1 ≠ 𝑛2
+ 𝑃 𝑥 𝑡1
= −𝐴, 𝑥 𝑡2
= −𝐴 𝑛1 ≠ 𝑛2
y
𝑃 𝑦 = −𝐴2 𝑛1 ≠ 𝑛2
= 𝑃 𝑥 𝑡1
= 𝐴, 𝑥 𝑡2
= −𝐴 𝑛1 ≠ 𝑛2
+ 𝑃 𝑥 𝑡1
= −𝐴, 𝑥 𝑡2
= 𝐴 𝑛1 ≠ 𝑛2
dado que 𝑛1 ≠ 𝑛2, la v.a. 𝑥(𝑡1) toma valores
independientemente de la v.a. 𝑥(𝑡2), se obtiene

𝑃 𝑦 = 𝐴2
|𝑛1 ≠ 𝑛2 = 𝑝2
+ 1 − 𝑝 2
= 2𝑝2
− 2𝑝 + 1
y
𝑃 𝑦 = −𝐴2
𝑛1 ≠ 𝑛2 = 2𝑝 1 − 𝑝 = 2𝑝 − 2𝑝2
Consecuentemente
𝑝 𝑦|𝑛1≠𝑛2
𝑌
= 2𝑝2 − 2𝑝 + 1 𝛿 𝑌 − 𝐴2 + 2𝑝 − 2𝑝2 𝛿 𝑌 + 𝐴2
Como
𝑅 𝑥 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑥 𝑡1 𝑥 𝑡2 = 𝐸[𝑦]

• se obtiene que
𝑅 𝑥 𝑡1, 𝑡2 = ൝
𝐴2
; 𝑛1 = 𝑛2
𝐴2
2𝑝 − 1 2
; 𝑛1 ≠ 𝑛2

Onda Senoidal con Fase Aleatoria
• Considere el P.E. 𝑥(𝑡) definido por una señal sinosoidal
con un ángulo de fase aleatorio, o sea
𝑥 𝑡 = 𝐴 sin 2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜃
donde 𝜃 es una v.a. uniformemente distribuida en el
intervalo, (0, 2𝜋] o sea,
𝑝 𝜃 Θ = ቊ
12𝜋 ; Θ ∈ (0, 2𝜋]
0 ; Θ ∉ (0, 2𝜋]

Onda Senoidal con Fase Aleatoria
• La media de este P.E. es dada por
𝑚 𝑥 𝑡 = 𝐸 𝐴 sin 2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜃
= න
−∞
∞
𝐴 sin 2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜃 𝑝 𝜃 Θ 𝑑Θ = න
0
2𝜋
𝐴 sin 2𝜋𝑓0 𝑡 + Θ
1
2𝜋
𝑑Θ = 0
La Función autocorrelación del P.E. es dada por
𝑅 𝑥 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑥 𝑡1 𝑥 𝑡2 = 𝐸 𝐴2 sin 2𝜋𝑓0 𝑡1 + 𝜃 sin 2𝜋𝑓0 𝑡2 + 𝜃
=
𝐴2
2
𝐸 cos 2𝜋𝑓0 𝑡2 − 𝑡1 −
𝐴2
2
𝐸 cos 2𝜋𝑓0 𝑡2 − 𝑡1 + 2𝜃
Finalmente
𝑅 𝑥 𝑡1, 𝑡2 =
𝐴2
2
cos 2𝜋𝑓0 𝑡2 − 𝑡1

Estacionariedad de un P.E.
• Un P.E. puede ser estacionario en diversos
grados de estacionalidad.
Definición 9: Estacionalidad de Orden 𝒎
Un proceso estacionario 𝑥(𝑡) es dicho estacionario de orden 𝑚
cuando su fdp de orden 𝑚 no varia con un desplazamiento en el
tiempo, o sea, cuando
𝑝 𝑥1 𝑥2 𝑥3…𝑥 𝑡 𝑚
𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑚 = 𝑝 𝑥 𝑡1+𝑥 𝑡2+𝜏…𝑥 𝑡 𝑚+𝜏
𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑚 ; ∀𝜏

Observaciones:
• Un P.E. 𝑥(𝑡) es dicho estacionario de 1° orden
cuando
𝑝 𝑥 𝑡
𝑋 = 𝑝 𝑥 𝑡+𝜏
𝑋 ; ∀𝜏
• Un P.E. 𝑥 𝑡 es dicho estacionario de 2° orden
cuando
𝑝 𝑥1
𝑝 𝑥2
𝑋1, 𝑋2 = 𝑝 𝑥 𝑡1+𝜏+𝑥 𝑡2+𝜏
𝑋1, 𝑋2 ; ∀𝜏
• Si 𝑥 𝑡 es un P.E. estacionario de orden 𝑚, el es
también estacionario de orden 𝑘, para cualquier
valor 𝑘 < 𝑚.

Definición 10: Estacionalidad en el sentido Estricto
Un P.E. es dicho estacionario en el sentido estricto, o estrictamente
estacionario, cuando él es estacionario de orden 𝑚 para cualquier
valor entero de 𝑚.
Definición 11: Estacionalidad en el sentido Amplio
Un P.E. 𝑥(𝑡) es dicho estacionario en sentido amplio, si
𝑚 𝑥 𝑡 = η 𝑥 ; ∀𝜏
y
𝑅 𝑥 𝑡1, 𝑡2 = 𝑅 𝑥 𝜏 ; 𝜏 = 𝑡2 − 𝑡1
o sea, cuando su media es constante y su función autocorrelación
depende de la diferencia 𝑡2 − 𝑡1.

Propiedades de la Función Autocorrelación de
P.E. Estacionarios en el Sentido Amplio.
• En el caso de P.E. en el sentido amplio, por el
hecho de que la función autocorrelación
𝑅 𝑥 𝑡1, 𝑡2 depende apenas de la diferencia
𝑡2 − 𝑡1, es usual representar la función
autocorrelación como función de una única
variable 𝜏 = 𝑡2 − 𝑡1
𝑅 𝑥 𝜏 = 𝐸 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡 + 𝜏

Propiedades de la Función Autocorrelación de P.E.
Estacionarios en el Sentido Amplio (P.E.E.S.A.)
1. La función autocorrelación de P.E.E.S.A. es par, o sea
𝑅 𝑥 𝜏 = 𝑅 𝑥 −𝜏
2. El valor de la función autocorrelación de P.E.E.S.A. en 𝜏 = 0 es igual al
valor medio cuadrático del proceso, o sea
𝑅 𝑥 0 = 𝐸 𝑥2 𝑡
3. Si un P.E.E.S.A. contiene una componente periódica de periodo 𝑇, o sea,
si
𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 + 𝑛𝑇 ; 𝑛 entero
entonces, su función autocorrelación posee una componente periódica del
mismo periodo que
𝑅 𝑥 𝜏 = 𝑅 𝑥 𝜏 + 𝑛𝑇 ; 𝑛 entero
4. Si un P.E.E.S.A. no contiene componentes periódicas, entonces
lim
𝜏→∞
𝑅 𝑥 𝜏 = 𝑚 𝑥
2 𝑡 = η 𝑥
2
5. La función autocorrelación de P.E.E.S.A. es máxima para 𝜏 = 0, o sea,
𝑅 𝑥 𝜏 ≤ 𝑅 𝑥 0 ; ∀𝜏 ≠ 0

DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA

Densidad Espectral de Potencia
• En el análisis o proyección de sistemas, el
conocimiento de la manera por la cual la potencia
se distribuye a lo largo del espectro de frecuencia
es de extrema importancia.
• La Densidad Espectral de Potencia de una señal
es una función de la frecuencia 𝑓 que, cuando se
integra a lo largo de una banda de frecuencias
proporciona el valor de la potencia de la señal
existente en la banda de frecuencias considerada.

• En el caso de una señal determinística cualquier 𝑥 𝑡 , la función
densidad espectral de potencia a ella asociada es definida por
𝑆 𝑥 𝑓 = lim
𝑇→∞
𝑋 𝑇 𝑓 2
𝑇
donde
𝑋 𝑇 𝑓 = ℱ 𝑥 𝑇 𝑡
con
𝑥 𝑇 𝑡 =
𝑥(𝑡) ; 𝑡 ≤
𝑇
2
0 ; 𝑡 >
𝑇
2

• En el caso de P.E.E.S.A., la densidad espectral de
potencia es dada por la transformada de su
función autocorrelación.
𝑆 𝑥 𝑓 = න
∞
∞
𝑅 𝑥 𝜏 𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝜏
𝑑𝜏 = ℱ 𝑅 𝑥 𝜏
• La potencia media de un proceso 𝑥(𝑡) en una
banda de frecuencias caracterizadas por el
intervalo [𝑓1, 𝑓2] es dada por
𝑃𝑥 𝑓1,𝑓2
= න
−𝑓2
−𝑓1
𝑆 𝑥 𝑓 𝑑𝑓 + න
𝑓2
𝑓1
𝑆 𝑥 𝑓 𝑑𝑓

• La potencia media total del proceso puede ser
obtenida de la ecuación anterior, haciendo
𝑓1 = 0 y 𝑓2 = ∞. Se tiene así
𝑃𝑥 = ‫׬‬−∞
0
𝑆 𝑥 𝑓 𝑑𝑓 + ‫׬‬0
∞
𝑆 𝑥 𝑓 𝑑𝑓 = ‫׬‬−∞
∞
𝑆 𝑥 𝑓 𝑑𝑓
• En el caso de que 𝑥 𝑡 sea un P.E.E.S.A. se
puede escribir
𝑃𝑥 = 𝑅 𝑥 0 = 𝐸 𝑥2
𝑡

• La función autocorrelación de un proceso de
ruido blanco es
𝑅 𝑥 𝜏 = 𝐶𝛿 𝜏
Definición 12: Ruido Blanco
Un P.E. 𝑥 𝑡 , E.S.A., es dicho un proceso de ruido blanco si su densidad
espectral de potencia es constante a lo largo de todo el espectro de
frecuencias, o sea, si
𝑆 𝑥 𝑓 = 𝐶

CARACTERIZACIÓN CONJUNTA DE
P.E.

Especificación Conjunta de dos P.E.
Definición 13: Especificación Conjunta de Orden 𝑚 + 𝑛 de Dos
P.E.’s
Se dice que dos P.E. 𝑥(𝑡) e 𝑦(𝑡) están conjuntamente especificados
hasta el orden 𝑚 + 𝑛 cuando, para todo conjunto de 𝑚 + 𝑛 valores
𝑡1, 𝑡2, ⋯ , 𝑡 𝑚, 𝑡1
′
, 𝑡2
′
, ⋯ , 𝑡 𝑛
′ , la función densidad de probabilidad
conjunta de las variables aleatorias
𝑥 𝑡1 , 𝑥 𝑡2 , ⋯ , 𝑥 𝑡 𝑚 , 𝑦 𝑡1
′
, 𝑦 𝑡2
′
, ⋯ , 𝑦(𝑡 𝑛
′ ) es conocida.
Definición 14: Especificación Conjunta Completa de Dos P.E.’s
Se dice que dos P.E. 𝑥 𝑡 y 𝑦(𝑡) están conjunta o completamente
especificados cuando ellos están conjuntamente especificados
hasta el orden 𝑛 + 𝑚 para cualquier valor de 𝑚 + 𝑛.

Momentos Conjuntos de Dos P.E.’s
Definición 15: Función Correlación Cruzada
La función correlación cruzada 𝑅 𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 de dos P.E. 𝑥 𝑡 y 𝑦 𝑡 es
definida como la correlación entre las v.a.’s 𝑥(𝑡1) y 𝑦(𝑡2) definidas
sobre cada uno de los procesos, respectivamente. Esto significa que
𝑅 𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑥 𝑡1 𝑦 𝑡2
Definición 16: Función Covarianza Cruzada
La función covarianza cruzada 𝐾𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 de dos P.E.’s 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡)
es definida como la covarianza entre las v.a.’s 𝑥(𝑡1) y 𝑦 𝑡2
definidas sobre cada uno de los procesos, respectivamente, o sea,
𝐾𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑥 𝑡1 − 𝑚 𝑥 𝑡1 𝑦 𝑡2 − 𝑚 𝑦 𝑡2
𝐾𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 𝑅 𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 − 𝑚 𝑥 𝑡1 𝑚 𝑦(𝑡2)

Independencia, Descorrelación y
Ortogonalidad
Definición 21: P.E.’s Estadísticamente Independientes (e.i.)
Dos P.E.’s 𝑥(𝑦) y 𝑦(𝑡) son dichos e.i. cuando, para cualquiera de los
valores enteros positivos 𝑚 y 𝑛, y para cualquier conjunto de
valores {𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡 𝑚, 𝑡1
′
, 𝑡2
′
, … , 𝑡 𝑛
′ }, la fdp conjunta de las v.a.’s
{𝑥 𝑡1 , 𝑥 𝑡2 , … , 𝑥 𝑡 𝑚 , 𝑦 𝑡1
′
, 𝑦 𝑡2
′
, … , 𝑦(𝑡 𝑛
′ )}, puede ser escrita
como el producto de la función densidad de probabilidad conjunta
de las v.a.’s {𝑥 𝑡1 , 𝑥 𝑡2 , … , 𝑥(𝑡 𝑚)} con la fdp conjunta de las v.a.’s
𝑦 𝑡1
′
, 𝑦 𝑡2
′
, … , 𝑦 𝑡 𝑛
′ , o sea,
𝑝 𝑥 𝑡1 𝑥 𝑡2…𝑥 𝑡 𝑚 𝑦 𝑡1
′ 𝑦 𝑡2
′ …𝑦 𝑛
′ 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑚, 𝑌1, 𝑌2, … , 𝑌𝑛
= 𝑝 𝑥 𝑡1 𝑥 𝑡2…𝑥 𝑡 𝑚
𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑚 𝑝 𝑦 𝑡1
′ 𝑦 𝑡2
′ …𝑦 𝑡 𝑛
′ 𝑌1, 𝑌2, … , 𝑌𝑛 ; ∀𝑛, 𝑚

Independencia, Descorrelación y
Ortogonalidad
Definición 22: Procesos Estocásticos Descorrelacionados
Dos P.E. 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡) son dichos descorrelacionados cuando su
función covarianza cruzada es nula para cualquiera de los valores
de 𝑡1 y 𝑡2, o sea,
𝐾𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 0 ; ∀ 𝑡1, 𝑡2
Una condición equivalente para P.E.’s descorrelacionados es
𝐾𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 𝑚 𝑥 𝑡1 𝑚 𝑦(𝑡2)
Definición 23: Procesos Estocásticos Ortogonales
Dos P.E.’s 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡) son dichos ortogonales cuando su función
correlación cruazda es nula para cualquiera de los valores de 𝑡1 y
𝑡2, o sea,
𝑅 𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 0 ; ∀𝑡1, 𝑡2

PROCESOS ESTOCÁSTICOS Y
SISTEMAS LINEALES

P.E. y Sistemas Lineales
• Las representaciones matemáticas de P.E.’s presentadas
anteriormente pueden ser útiles para caracterizar la
salida de un sistema lineal, cuando éste es excitado por
un proceso estocástico.
• Se considerará únicamente sistemas lineales invariantes
en el tiempo, cuyo comportamiento puede ser
representado alternativamente por su respuesta al
impulso ℎ(𝑡) o su respuesta de frecuencia 𝐻(𝑓),
definida como la transformada de Fourier de su
respuesta al impulso.
• Por conveniencia en la mayoría de los casos las
condiciones iniciales son nulas. Cualquier condición
inicial no nula puede considerarse a partir de los
métodos usuales de análisis de sistemas lineales.

• La Figura representa un sistema lineal
invariante en el tiempo, en el dominio del
tiempo.
• 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡) representan, respectivamente, la
entrada y la salida del sistema lineal y ℎ(𝑡) su
respuesta al impulso.
ℎ(𝑡)
𝑥(𝑡) 𝑦(𝑡)

• La salida de un sistema lineal invariante en el tiempo se
relaciona con su entrada a través de la integral de
convolución, o sea,
𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 = න
−∞
∞
𝑥 𝛼 ℎ 𝑡 − 𝛼 𝑑𝛼
• Los resultados siguientes se restringen al caso de sistemas
físicamente realizables y estables en el sentido BIBO
(bounded input – bounded output). Restricción matemática
que puede expresarse por
ℎ 𝑡 = 0 ; 𝑡 < 0
y
න
−∞
∞
ℎ 𝑡 𝑑𝑡 < +∞

• Satisfaciendo la condición anterior, la integral de
convolución se reduce a
𝑦 𝑡 = න
−∞
𝑡
𝑥 𝛼 ℎ 𝑡 − 𝛼 𝑑𝛼
• Equivalente a
𝑦 𝑡 = න
0
∞
𝑥 𝑡 − 𝛽 ℎ 𝛽 𝑑𝛽
realizando una cambio de variables de integración
𝛽 = 𝑡 − 𝛼.

• Considerar que la entrada 𝑥(𝑡) de un sistema
lineal sea un P.E.E.S.A. Determinar la media y
la función autocorrelación del P.E. 𝑦(𝑡) que
caracteriza la salida del sistema lineal.

media de 𝑦(𝑡)
𝑚 𝑦 𝑡 = 𝐸 𝑦 𝑡 = න
−∞
∞
𝐸 𝑥 𝛼 ℎ 𝑡 − 𝛼 𝑑𝛼
o sea
𝑚 𝑦 𝑡 = 𝑚 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡)
considerando que 𝑥(𝑡) es E.S.A. y consecuentemente
𝑚 𝑥 𝑡 = 𝜂 𝑥, se tiene
𝑚 𝑦 𝑡 = 𝜂 𝑥 න
−∞
∞
ℎ 𝑡 − 𝛼 𝑑𝛼
= 𝜂 𝑥 න
−∞
∞
ℎ 𝛽 𝑑𝛽 = 𝜂 𝑥 𝐻 0 = 𝜂 𝑦
Observar: la media de 𝑦(𝑡) es constante.Y si el sistema lineal
es estable la integral es finita y consecuentemente 𝜂 𝑦 < +∞

Función autocorrelación de 𝑦(𝑡)
𝑅 𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑦 𝑡1 𝑦 𝑡2
= න
−∞
∞
න
−∞
∞
𝐸 𝑥 𝛼 𝑥 𝛽 ℎ 𝑡1 − 𝛼 ℎ 𝑡2 − 𝛽 𝑑𝛼𝑑𝛽
o
𝑅 𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑦 𝑡1 𝑦 𝑡2
= න
−∞
∞
න
−∞
∞
𝑅 𝑥(𝛼, 𝛽)ℎ 𝑡1 − 𝛼 ℎ 𝑡2 − 𝛽 𝑑𝛼𝑑𝛽
considerando que 𝑥(𝑡) es E.S.A., se obtiene
𝑅 𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑦 𝑡1 𝑦 𝑡2
= න
−∞
∞
න
−∞
∞
𝑅 𝑥(𝛼 − 𝛽)ℎ 𝑡1 − 𝛼 ℎ 𝑡2 − 𝛽 𝑑𝛼𝑑𝛽
esta expresión puede simplificarse al considerar un cambio de las
variables de integración dados por

Función autocorrelación de 𝑦(𝑡)
ቊ
𝜆 = 𝑡1 − 𝛼
𝛾 = 𝑡2 − 𝛽
se tiene entonces, con 𝜏 = 𝑡1 − 𝑡2
𝑅 𝑥 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑦 𝑡1 𝑦 𝑡2
= න
−∞
∞
න
−∞
∞
𝑅 𝑥 𝑡1 − 𝑡2 − 𝜆 + 𝛾 ℎ 𝜆 ℎ 𝛾 𝑑𝜆𝑑𝛾 = 𝑅 𝑦(𝜏)
𝑦(𝑡) es E.S.A.
Luego de algunas manipulaciones algebraicas, es posible
simplificar la expresión
𝑅 𝑦 𝜏 = ℎ −𝜏 ∗ ℎ 𝜏 ∗ 𝑅 𝑥(𝜏)

Función correlación cruzada
La función correlación cruzada 𝑅 𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 de los
P.E. 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡) pueden ser obtenidas considerando
𝑅 𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 = 𝐸 𝑥 𝑡1 𝑦 𝑡2
= න
−∞
∞
𝐸 𝑥 𝑡1 𝑥 𝛼 ℎ 𝑡2 − 𝛼 𝑑𝛼
haciendo 𝛽 = 𝑡2 − 𝛼
𝑅 𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 = න
−∞
∞
𝑅 𝑥 𝑡1, 𝑡2 − 𝛽 ℎ 𝛽 𝑑𝛽

Función correlación cruzada
como 𝑥(𝑡) es E.S.A.
𝑅 𝑥𝑦 𝑡1, 𝑡2 = න
−∞
∞
𝑅 𝑥 𝑡2 − 𝛽 − 𝑡1 ℎ 𝛽 𝑑𝛽
= 𝑅 𝑥𝑦 𝜏 ; 𝜏 = 𝑡2 − 𝑡1
o en notación más simple
𝑅 𝑥𝑦 𝜏 = 𝑅 𝑥 𝜏 ∗ ℎ(𝜏)

• Se concluye, que en un sistema lineal invariante
en el tiempo y estable, si la entrada es un
P.E.E.S.A. , entonces los P.E. de entrada y de salida
del sistema lineal son conjuntamente E.S.A.
• La densidad espectral de potencia del P.E. 𝑦(𝑡)
puede ser obtenida aplicando la transformada de
Fourier a ambos lados de la función
autocorrelación.
𝑆 𝑦 𝑓 = 𝐻 𝑓 ∗
𝐻 𝑓 𝑆 𝑥(𝑓)

o
𝑆 𝑦 𝑓 = 𝐻 𝑓 2
𝑆 𝑥(𝑓)
De manera análoga, la densidad espectral
cruzada de los P.E. 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡) puede ser
obtenida aplicando la transformada de Fourier a
ambos lados de la función correlación cruzada
𝑆 𝑥𝑦 𝑓 = 𝐻 𝑓 𝑆 𝑥(𝑓)

Ejemplo
Considere un P.E. de ruido blanco 𝑥(𝑡) con media nula y densidad
espectral de potencia dada por
𝑆 𝑥 𝑓 =
𝑁0
2
se tiene en este caso
𝑅 𝑥 𝜏 = ℱ−1 𝑆 𝑥 𝑓 =
𝑁0
2
𝛿(𝜏)
Determinar la media, la función autocorrelación y la potencia
media del P.E. 𝑦(𝑡) obtenida por el paso del proceso estocástico
𝑥(𝑡) a través del filtro RC de la figura.

Ejemplo
La respuesta en frecuencia de un filtro 𝑅𝐶 como el de la Figura es
𝐻 𝑓 =
1
𝑗2𝜋𝑓𝐶
𝑅 +
1
𝑗2𝜋𝑓𝐶
=
1
1 + 𝑗2𝜋𝑓𝑅𝐶
La media del proceso 𝑦(𝑡) es
𝑚 𝑦 𝑡 = 𝜂 𝑥 𝐻 0 = 0
Para obtener la función autocorrelación del P.E. 𝑦 𝑡 , en primer lugar se puede calcular
la densidad espectral de potencia:
𝑆 𝑦 𝑓 = 𝐻 𝑓 2
𝑆 𝑥 𝑓 =
𝑁0
2
1 + 4𝜋2 𝑓2 𝑅2 𝐶2
La función autocorrelación de 𝑦(𝑡) se obtiene a través de la transformada de Fourier,
𝑅 𝑦 𝜏 =
𝑁0
4𝑅𝐶
𝑒−
1
𝑅𝐶
|𝜏|
Finalmente, la potencia media del P.E. 𝑦(𝑡) es
𝑃𝑦 = 𝐸 𝑦2 𝑡 = න
−∞
∞
𝑆 𝑥 𝑓 𝑑𝑓 = 𝑅 𝑦 0 =
𝑁0
4𝑅𝐶

Teoría de filas
• Trabajo grupal

Referencias
• ALBUQUERQUE, J. P.A.; FORTES, J. M.; FINAMORE,W.A.
(1993) Modelos Probabilísticos em Engenharia Elétrica;
Rio de Janeiro: Publicação CETUC.
• Marco Grivet, Procesos Estocásticos I, Centro de Estudios
em Telecomunicaciones – CETUC, 2006. [Slide]
• Universidad de Cantabria, Teoría de la Probabilidad,Teoría
de la Comunicación, Curso 2007-2008. [Slide]
• ALBERTO LEON-GARCIA, Probability, Statistics, and
Random Processes For Electrical
Engineering, Third Edition, Pearson – Prentice Hall,
University of Toronto, 2008.

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