Este documento presenta 5 ejercicios resueltos sobre el cálculo de áreas de regiones bajo curva utilizando integrales definidas. En cada ejercicio, se grafican las funciones que delimitan la región y se calcula el área utilizando la integral correspondiente. También incluye un ejercicio adicional donde se pide calcular el área de una parcela delimitada por una parábola y la curva de Agnesi.

1. Departamento de Ciencias – UPNC Ciclo Académico – 2019 -1
CÁLCULO II
Facultad de Estudios Generales
UNIDAD: Integral definida y sus aplicaciones
SESIÓN: Cálculo de áreas de regiones bajo curva
EJERCICIOS RESUELTOS
01. En los siguientes ejercicios, esbozamos la gráfica y calculamos el área de la región limitada por:
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3, el eje X, para 𝑥 ∈ [−1,2]
b) 𝑦 = 𝑥2
+ 2𝑥 + 1; 𝑦 = 3𝑥 + 3
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 𝑥2
− 6𝑥, 𝐸𝑗𝑒 𝑋
d) 𝑦 = 𝑥; 𝑦 = 2 − 𝑥2
e) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛 𝑥; 𝑔(𝑥) =
2𝑐𝑜𝑠 𝑥
3
; −
𝜋
3
≤ 𝑥 ≤
𝜋
3
Solución:
a) 𝐹(𝑥) = 2𝑥 + 3, el eje X, para 𝑥𝜖[−1,2]
𝐴(𝑅) = ∫ (2𝑥 + 3)𝑑𝑥
2
−1
= (𝑥2
+ 3𝑥)
= 10 − (−2) = 12
b) 𝑦 = 𝑥2
+ 2𝑥 + 1; 𝑦 = 3𝑥 + 3
𝐴( 𝑅) = ∫ (3𝑥 + 3 − ( 𝑥2
+ 2𝑥 + 1))𝑑𝑥
2
−1
= ∫ (2 + 𝑥 − 𝑥2) 𝑑𝑥
2
−1
= (2𝑥 +
𝑥2
2
−
𝑥3
3
)|
−1
2
=
9
2
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 𝑥2
− 6𝑥, 𝐸𝑗𝑒 𝑋
𝐴(𝑅) = ∫ (𝑥3
− 𝑥2
− 6𝑥)𝑑𝑥
0
−2
+ ∫ (−𝑥3
+ 𝑥2
+ 6𝑥)𝑑𝑥
3
0
= [
𝑥4
4
−
𝑥3
3
− 3𝑥2
]
−2
0
+ [−
𝑥4
4
+
𝑥3
3
+ 3𝑥2
]
0
3
= 0 − (−
16
3
) + (
63
4
) =
253
12

2. Departamento de Ciencias – UPNC Ciclo Académico – 2019 -1
CÁLCULO II
Facultad de Estudios Generales
d) 𝑦 = 𝑥; 𝑦 = 2 − 𝑥2
𝐴(𝑅) = ∫ ((2 − 𝑥2) − 𝑥)𝑑𝑥
1
−2
= ∫ (2 − 𝑥 − 𝑥2) 𝑑𝑥
1
−2
= [2𝑥 −
𝑥2
2
−
𝑥3
3
]
−2
1
=
9
2
e) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛 𝑥; 𝑔(𝑥) =
2𝑐𝑜𝑠 𝑥
3
; −
𝜋
3
≤ 𝑥 ≤
𝜋
3
𝐴(𝑅) = ∫ (
2𝑐𝑜𝑠 𝑥
3
− 𝑡𝑎𝑛 𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
6
−
𝜋
3
+ ∫ (
2𝑐𝑜𝑠 𝑥
3
− 𝑡𝑎𝑛 𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
3
𝜋
6
= [
2𝑠𝑒𝑛 𝑥
3
+ ln(cos 𝑥)]
−
𝜋
3
𝜋
6
+ [
2𝑠𝑒𝑛 𝑥
3
+ 𝑙𝑛 (𝑐𝑜𝑠 𝑥)] 𝜋
6
𝜋
3
=
2
√3
02. Un magnate desea construir una casa de campo, cuya parcela lo obtiene por medio de la
parábola 𝑦 =
𝑥2
4
y la curva de agnesi 𝑦 =
8
𝑥2+4
Calcular dicha parcela.
Solución:
𝐴(𝑅) = ∫ (
8
𝑥2 + 4
−
𝑥2
4
) 𝑑𝑥
2
−2
= [2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
𝑥
2
) −
𝑥3
12
]
−2
2
= 𝜋 −
16
12
= 1.8083