Competencia matematica 2015_pisa_ed

LA COMPETENCIA
MATEMÁTICA EN EL
MARCO DE PISA 2015
ORIENTACIONES DIDÁCTICAS

la competencia
matemática en el marco
de pisa 2015
ORIENTACIONES DIDÁCTICAS

LA COMPETENCIA MATEMÁTICA EN EL MARCO DE PISA 2015 | ORIENTACIONES DIDÁCTICAS
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
Av. De la Arqueología, cuadra 2 - San Borja
Lima, Perú
Teléfono 615-5800
www.minedu.gob.pe
Tiraje: 0000
Propuesta de contenidos:
Roger Saavedra
Revisión pedagógica:
Manuel Núñez
Corrección de estilo:
Esteban Rodríguez / Gerson Rivera / Jesús Reynalte
Diseño y diagramación:
Hungria Alipio Saccatoma
Impreso por: nombre de imprenta
Dirección imprenta
RUC falta
© Ministerio de Educación
Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducción de este material por cualquier medio,
total o parcialmente, sin permiso expreso de los editores.
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú: Nº 2015-xxxxx
Impreso en el Perú / Printed in Peru

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Índice
Presentación......................................................................................................................... 5
1. Definición de la competencia según PISA 2015 .............................................................. 7
2. Medición de la competencia según PISA 2015 ............................................................... 9
2.1 Procesos matemáticos y capacidades matemáticas subyacentes ........................... 9
2.2 Capacidades matemáticas fundamentales ............................................................ 14
2.3 Conocimiento matemático específico que se utilizará
en las preguntas de la prueba ............................................................................... 15
2.3.1 Cambio y relaciones...................................................................................... 16
2.3.2 Espacio y forma............................................................................................. 16
2.3.3 Cantidad........................................................................................................ 17
2.3.4 Incertidumbre y datos................................................................................... 18
2.4 Contenidos temáticos que guían la evaluación de la competencia matemática...... 19
2.5 Los contextos en los que se insertarán las preguntas de la prueba ...................... 21
2.6 Estructura de la prueba de matemática de PISA 2015 .......................................... 22
3. Niveles de la competencia según PISA 2015 ................................................................ 24
3.1 ¿En qué situación están nuestros estudiantes según el proceso
de evaluación PISA 2012? ..................................................................................... 25
3.2 Relación entre las capacidades fundamentales y los niveles de competencia ...... 26
4. Formato de la prueba PISA 2015 para la competencia de matemática ........................ 29
4.1 Transición de los ítems en papel a los ítems en computadora .............................. 31
4.2 Uso de la calculadora en la prueba ....................................................................... 35
5. Diferencias y similitudes con marcos teóricos anteriores ............................................ 36
6. Articulación de la competencia de matemática según PISA 2015
con las Rutas del Aprendizaje ....................................................................................... 37
7. Recomendaciones pedagógicas para el desarrollo de la competencia
matemática en el marco de la evaluación PISA ............................................................ 39
Anexo 1: Análisis de algunas preguntas liberadas de la evaluación PISA .......................... 42
Anexo 2: Algunas preguntas liberadas en su versión electrónica ...................................... 49
Referencias ........................................................................................................................ 56

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Presentación
Estimados docentes:
El presente documento ha sido elaborado con la finalidad de facilitar la comprensión del marco
conceptual del Programa Internacional de Evaluación de Estudiantes (PISA, por sus siglas en inglés)
de la Organización para la Cooperación y Desarrollo Económico (OCDE).
La prueba PISA es una evaluación estandarizada internacional diseñada y aplicada en casi 70 países,
que mide el nivel de desarrollo de los estudiantes en cuatro competencias: lectora, matemática,
científica y financiera. Esta evaluación se aplica cada tres años y el 2015 se realizará la sexta edición,
en la cual participará el Perú.
Al inicio del documento, se fundamenta la importancia del desarrollo de una de las competencias
antes mencionadas, se presenta su definición y el enfoque provisto por la OCDE. Igualmente, se
aborda la descripción de los aspectos evaluados: contenido (información), capacidades y contextos
(en los que se aplica el conocimiento).
Asimismo, se explican los formatos y tipos de pregunta que se proponen en la evaluación PISA y se
brindan algunas recomendaciones sobre los aspectos a tener en cuenta para entender y trabajar
los niveles de desempeño de la competencia.
Porotrolado,sepresentaenformadidácticalaarticulaciónexistenteentrelasRutasdelAprendizaje
del VII ciclo (sus competencias y sus correspondientes capacidades) con las categorías en las que
se organizan las competencias del área según el enfoque de PISA 2015. Además, se plantean
recomendaciones para incorporar este enfoque en el quehacer pedagógico.
Cabe resaltar que en el caso de las competencias matemática, lectora y científica, el presente
material ha sido elaborado con base en documentos de trabajo producidos por la OCDE (ediciones
2015), constituyendo una adaptación y no una traducción literal de dichos documentos. En el caso
de la competencia financiera, la fuente es el texto en español del 2012, elaborado por el Ministerio
de Educación de España.
Si bien PISA es una evaluación que nos proporciona información acerca del nivel de desempeño que
alcanzan los estudiantes en diversas competencias, es importante considerar que los logros que se
obtengan en ella deben ser producto no de un trabajo que desarrolle destrezas para resolver una
prueba, sino del esfuerzo por concretar en el aula un enfoque curricular orientado por el logro de
competencias y capacidades, como indican las Rutas del Aprendizaje.
Contamos con ustedes para poner en práctica las orientaciones señaladas en el documento y
compartir con sus colegas los aprendizajes, dudas, ideas y propuestas que surjan de su lectura y
reflexión, con el fin de ayudar a nuestros estudiantes a desarrollar competencias que les permitirán
enfrentar los actuales retos que el mundo les ofrece.

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1. Definición de la competencia
según PISA 2015
La definición de la competencia matemática para los propósitos de la evaluación PISA 2015 es
la siguiente:
¿Qué aspectos relevantes para nuestra práctica pedagógica podríamos identificar en
esta definición?
Lo primero que llama la atención es la ausencia de la expresión “resolución de problemas” con
la que estamos habituados. No porque resulte irrelevante. Por el contrario, en la definición de
competencia matemática de PISA, el proceso de resolver un problema es descrito con base en
tres procesos básicos denominados formular, emplear e interpretar. Estos términos tienen
un sentido muy preciso en este marco teórico y resulta pertinente profundizar en ellos para
comprender mejor este marco.
Lo segundo es que se enfatiza el uso de la matemática en una variedad de contextos.
Precisamente, esta será una variable fundamental al momento de elaborar las preguntas con
las que se evalúa en PISA. En dicho marco son cuatro los contextos escogidos para evaluar la
competencia matemática: personal, profesional, social y científico.
Lacapacidaddelindividuoparaformular,empleareinterpretarlasmatemáticas
en distintos contextos. Incluye el razonamiento matemático y la utilización de
conceptos, procedimientos, datos y herramientas matemáticas para describir,
explicar y predecir fenómenos. Ayuda a los individuos a reconocer el papel que
las matemáticas desempeñan en el mundo y a emitir los juicios y las decisiones
bien fundadas que los ciudadanos constructivos, comprometidos y reflexivos
necesitan.

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Para comprender mejor cómo se relacionan estas variables, PISA presenta un esquema que
muestra cómo la competencia matemática se desenvuelve en la práctica.
La figura 1 muestra cómo el concepto de competencia matemática tiene lugar en un contexto de
resolución de problemas.
El recuadro exterior muestra los desafíos que el mundo real plantea, los mismos que pueden
ser caracterizados por dos variables o categorías, el contexto y el contenido. De esa manera
una persona se enfrentará a situaciones problemáticas surgidas en el mundo real que pueden
caracterizarse como de contexto personal, social, ocupacional y científico; cuyos contenidos
pueden categorizarse como relativos a cantidad, espacio y forma, cambio y relaciones o
incertidumbre y datos.
En lo que respecta al resolutor y los recursos que debe movilizar al enfrentarse a un problema
contextualizado, se distinguen el uso de conceptos, conocimientos, capacidades y los tres
procesos mencionados anteriormente (formular, emplear e interpretar).
El primer proceso denominado” formular” supone la transformación de un problema del mundo
real a uno matemático.
El segundo proceso denominado “emplear” supone el uso de conceptos, capacidades y
estrategias para la resolución del problema matemático antes formulado.
Finalmente, el proceso denominado “interpretar” implica que los resultados matemáticos
antes obtenidos deben interpretarse para dar respuesta al problema original. En ese sentido,
corresponde a una fase en la que es necesario pasar de “resultados matemáticos” a “resultados
en contexto” que respondan al problema del mundo real que originó todo el proceso.
Fig. 1. Un modelo de competencia matemática en la práctica
Categorías de contenidos matemáticos: cantidad; incertidumbre y datos; cambio relaciones, y
espacio y forma.
Categoría de contexto del mundo real: personal, social, profesional y científico. (Si profesional y
científico son categorías independientes)
Conceptos, conocimientos y destrezas matemáticas
Capacidades matemáticas fundamentales: comunicación; representación; diseño de
estrategias, matematización; razonamiento y argumentación; utilización de operaciones
y de un lenguaje formal y técnico y utilización de herramientas matemáticas.
Procesos: formular, emplear, interpretar/valorar.
Desafío en el contexto del mundo real
Pensamiento y acción matemática
Problemas en
contexto
Problema
matemático
Resultados en
contexto
Resultado
matemático
Valorar
Formular
Interpretar
Emplear

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2. Medición de la competencia
según PISA 2015
Para la evaluación de la competencia matemática PISA 2015, que mantiene la definición de
competenciadePISA2012,seasumeunmodelodemediciónqueconsideratresdimensionesdela
competencia matemática: los procesos y capacidades matemáticas, los contenidos matemáticos
y los contextos. Es decir, cada una de las preguntas de la evaluación se ha construido de manera
que reflejan el rango de procesos, contenidos y contextos además; hacen operativa la definición
de competencia matemática. Este modelo se puede representar mediante el siguiente esquema:
Fig. 2. Dimensiones de la competencia
2.1 Procesos matemáticos y capacidades matemáticas subyacentes
La definición de la competencia matemática hace referencia a la capacidad de las personas
para formular, emplear e interpretar las matemáticas. Estas tres palabras proporcionan una
estructura útil y significativa para organizar los procesos matemáticos que describen lo que hacen
las personas para relacionar el contexto de un problema con las matemáticas y, de este modo,
Proceso
Contenido
Pregunta
Contexto

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resolverlo. Las preguntas de la evaluación de matemáticas de PISA 2015 serán asignadas tal
como se hizo por primera vez en PISA 2012, a uno de dichos procesos matemáticos mencionados
anteriormente. Ello no implica que cada pregunta esté asociada a un único proceso. Por el
contrario, dos o más procesos suelen concurrir en una pregunta. Sin embargo, para efectos de
categorizar a las preguntas se escoge aquel que más se enfatiza en cada una de ellas.
Formular
¿Qué debemos entender por “formular”?
La palabra “formular” en la definición de la competencia matemática hace referencia a la
capacidad de las personas de reconocer e identificar oportunidades para usar matemáticas y luego
proporcionar una estructura matemática a un problema presentado en forma contextualizada. En
el proceso de formulación matemática de las situaciones, las personas determinan dónde pueden
emplear las matemáticas esenciales para analizar, plantear y resolver el problema. Realizan la
traducción de una situación del mundo real al ámbito de las matemáticas, con lo cual dotan de una
estructura, representación y especificidad matemática al problema de contexto real.
Ejemplo:
LA RUEDA DE LA FORTUNA
Una gigante rueda de la fortuna se encuentra al lado del río. Mira la foto y el
diagrama presentados a continuación.
La rueda de la fortuna tiene un diámetro exterior de 140 metros y su punto más
alto está a 150 metros por encima y a un lado del cauce del río Támesis. Esta gira
en el sentido indicado por las flechas.

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¿Por qué este ítem corresponde al proceso “formular”?
Antes de responder a esta pregunta conviene que intente resolver el problema anterior; si ya lo
hizo, ignore este párrafo.
¿Necesitó toda la información? O, por el contrario, ¿tuvo que seleccionar solo aquella que
resultaba necesaria? ¿Qué información fue esa? ¿Cómo utilizó dicha información? ¿Utilizó el
gráfico? ¿Modificó alguna parte del gráfico?
Aun cuando haya otros procesos involucrados este ítem corresponde a la categoría “formular”.
Ello porque es el estudiante quien tiene que distinguir qué información del contexto requiere
ser expresada en forma matemática. Expresar algo en forma matemática no significa
necesariamente escribir una ecuación. El gráfico que acompaña el ítem, y que seguramente
modificó parcialmente para llegar a la respuesta, es una manera de expresar una situación real
de un modo matemático. A dicha representación se denomina “modelo” matemático y al acto
de elaborar uno a partir de un problema real se denomina “modelizar”. Una ecuación es también
una forma de modelización, pero no la única. Los esquemas y gráficos son modelos tan legítimos
y útiles como las ecuaciones.
Emplear
¿Qué debemos entender por “emplear”?
Eltémino“emplear”,enladefinicióndelacompetenciamatemática,hacereferenciaalacapacidad
del individuo para aplicar conceptos, datos, procedimientos y razonamientos matemáticos en
la resolución de problemas formulados matemáticamente con el fin de llegar a conclusiones
matemáticas. En el proceso de empleo de conceptos, datos, procedimientos y razonamientos
matemáticos para resolver problemas, las personas ejecutan los procedimientos matemáticos
Pregunta PM934Q02
La rueda de la fortuna gira a una velocidad constante. La rueda da una vuelta
completa en exactamente 40 minutos.
Juan comienza su paseo en la rueda de la fortuna en el punto de embarque, P.
¿Dónde estará Juan después de media hora?
A. En R.
B. Entre R y S.
C. En S.
D. Entre S y P.

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necesarios para obtener resultados y encontrar una solución matemática (p. ej.: realizan
cálculos aritméticos, resuelven ecuaciones, realizan deducciones lógicas a partir de supuestos
matemáticos, llevan a cabo manipulaciones simbólicas, extraen información matemática de
tablas y gráficos, representan y manipulan formas en el espacio, y analizan datos). Además,
sobre un modelo de la situación del problema, establecen regularidades, identifican relaciones
entre entidades matemáticas y elaboran argumentos matemáticos.
Pregunta: PM957Q03
Elena fue en bicicleta desde su casa hasta el río que está a 4 km de distancia.
El viaje le tomó 9 minutos. Luego, volvió a casa montando su bicicleta por una
ruta más corta (de 3 km de longitud) que solo le tomó 6 minutos. ¿Cuál fue la
velocidad promedio de Elena en km/h para el trayecto de ida y vuelta a su casa?
Velocidad promedio del trayecto: ……….km/h
¿Por qué este ítem corresponde al proceso “emplear”?
Como en el caso anterior, antes de responder a esta pregunta conviene que intente resolver el
problema anterior; si ya lo hizo, ignore este párrafo.
Seguramente, usted ha debido realizar algún dibujo o esquema para comprender mejor el
problema. Sin embargo, el dibujo por sí mismo no permite calcular la velocidad promedio.
Es necesario, en principio, haber construido ese concepto y, lo más importante, poder emplearlo.
Interpretar
¿Qué debemos entender por “interpretar”?
El término “interpretar”, utilizado en la definición de competencia matemática, se centra en la
capacidad del individuo para reflexionar sobre soluciones, resultados o conclusiones matemáticas e
“interpretarlas” en el contexto de los problemas de la vida real. Esto implica traducir las soluciones
matemáticas o razonar de nuevo sobre el contexto del problema y determinar si los resultados son
razonables y si tienen sentido en dicho contexto. Esta categoría de proceso matemático incluye
tanto la flecha “interpretar” como la flecha “valorar” representadas en el modelo de competencia
matemáticaenlapráctica,definidaanteriormente(verfig.1).Losindividuosquetomanparteeneste
proceso pueden ser llamados a elaborar y comunicar explicaciones y argumentos en el contexto del
problema, reflexionando tanto en el proceso de construcción del modelo como en sus resultados.

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EL PODER DEL VIENTO
Villazed está considerando construir algunas estaciones de energía
eólica para producir electricidad. El Gobierno de Villazed recabó
información acerca del siguiente modelo:
Modelo: E-82
Altura de la torre: 138 metros
Número de aspas del rotor: 3
Longitud de un aspa del rotor: 40 metros
Máxima velocidad de rotación: 20 rotaciones por minuto
Costo de construcción: 3 200 000 zeds
Utilidad: 0,10 zeds por kWh generado
Costo de mantenimiento: 0,01 zeds por kWh generado
Eficiencia: opera el 97 % del año
Nota: kilowatt hora (kWh) es una medida de la energía eléctrica.
Pregunta PM922Q01
Determina si las siguientes afirmaciones acerca de la estación de energía eólica E-82 se
pueden deducir de la información brindada. Encierra en un círculo “Sí” o “No” en cada
afirmación.
Afirmación
¿Se puede deducir esta afirmación
a partir de la información
brindada?
La construcción de 3 estaciones de energía eólica
costará más de 8 000 000 zeds en total.
Sí / No
El costo de mantenimiento de la estación de energía
eólica corresponde, aproximadamente, al 5 % de su
utilidad.
Sí / No
El costo de mantenimiento de la estación de energía
eólica depende de la cantidad de kWh generados.
Sí / No
En exactamente 97 días por año, la estación de
energía eólica no estará operativa.
Sí / No
Ejemplo:

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¿Por qué este ítem corresponde al proceso “interpretar”?
Como en el primer caso, antes de responder a esta pregunta conviene que intente resolver el
problema presentado; si ya lo hizo, ignore este párrafo.
Seguramente, como en el proceso “formular”, para responder a cada pregunta ha debido
seleccionar la información pertinente. Sin embargo, lo que aquí se pretende es la tarea de evaluar,
valorar y argumentar determinadas afirmaciones. La tarea se convierte en una actividad donde
la capacidad de comprender el texto y deducir conclusiones a partir de él es clave. Precisamente
por ello, esta pregunta recae en la categoría “interpretar”. Una situación problemática con
enunciado verbal no es el único tipo de pregunta en esta categoría. La interpretación de gráficos
estadísticos, infografías o información expresada en cualquier otro soporte corresponde a esta
categoría.
2.2 Capacidades matemáticas fundamentales
Las siete capacidades matemáticas fundamentales usadas en este marco son las siguientes:
Matematización. Esta capacidad permite transformar un problema definido en el mundo real
en una forma propiamente matemática (que puede incluir la estructuración, conceptualización,
elaboración de suposiciones o formulación de un modelo). Es también interpretar o valorar un
resultado o un modelo matemático con relación al problema original.
Comunicación. Esta capacidad implica la lectura, decodificación e interpretación de enunciados,
preguntas, tareas u objetos para formar un modelo mental de la situación, que es un paso
importante para la comprensión, clarificación y formulación de un problema. Durante el proceso
de solución, puede ser necesario resumir y presentar los resultados intermedios. Posteriormente,
una vez encontrada la solución, la persona que resuelve el problema puede presentarla a otros
y tal vez dar una explicación o justificación.
Representación. Esta capacidad implica la selección, interpretación, traducción y utilización de
distintas representaciones para reflejar una situación, interactuar con un problema o presentar
el propio trabajo. Las representaciones pueden ser gráficos, tablas, diagramas, imágenes,
ecuaciones, fórmulas o materiales concretos.
Razonamiento y argumentación. Esta capacidad implica procesos de pensamiento arraigados
en forma lógica que exploran y conectan los elementos del problema para realizar inferencias
a partir de ellos, comprobar una justificación dada o proporcionar una justificación de los
enunciados o soluciones de los problemas.
Diseño de estrategias para resolver problemas. Esta capacidad implica un conjunto de procesos
de control fundamentales que guían a la persona para que reconozca, formule y resuelva

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problemas eficazmente. Se caracteriza por la selección o diseño de un plan o estrategia cuyo
fin es utilizar las matemáticas para resolver los problemas derivados de una tarea o contexto,
además de guiar su implementación. Esta capacidad puede ser requerida en cualquier etapa del
proceso de resolución de problemas.
Utilización de herramientas matemáticas1
. Esta capacidad implica el uso de herramientas físicas,
como los instrumentos de medición, además de calculadoras y herramientas informáticas, que
son cada vez más accesibles. En esta capacidad están implicados el conocimiento y la habilidad
para el uso de distintas herramientas que pueden favorecer la actividad matemática, así como
el conocimiento de sus limitaciones. Asimismo, las herramientas matemática pueden jugar un
papel crucial en la comunicación de los resultados.
Utilización de operaciones y un lenguaje simbólico, formal y técnico. Esta capacidad implica
la comprensión, interpretación, manipulación y utilización de expresiones simbólicas en
un contexto matemático (incluidas las expresiones y operaciones aritméticas) regido por
convenciones y reglas matemáticas. También supone la comprensión y utilización de constructos
formales basados en definiciones, reglas y sistemas formales, así como el uso de algoritmos
con estas entidades. Los símbolos, las reglas y los sistemas empleados varían en función de los
conocimientos concretos de contenido matemático que se requieren en un ejercicio específico
para formular, resolver e interpretar las matemáticas.
2.3 Conocimiento matemático específico que se utilizará en las
preguntas de la prueba
La comprensión de contenidos matemáticos y la capacidad para aplicar estos conocimientos
en la resolución de problemas contextualizados son consideradas de suma importancia para el
ciudadano actual. Con estas cuatro categorías, pueden organizarse los contenidos matemáticos
de modo que se garanticen la diversidad de preguntas de toda el área como el planteamiento de
problemas matemáticos ricos y desafiantes basados en situaciones reales.
Cambio y relaciones.
Espacio y forma.
Cantidad.
Incertidumbre y datos.
Si bien esta clasificación por categorías de contenidos es importante para la elaboración y
selección de las preguntas y la comunicación de los resultados, hay preguntas en la prueba que
implican más de una categoría de contenido; por ejemplo, la pregunta LA PIZZA, planteada en
el anexo del presente documento, implica contenidos de medición, cuantificación y cambio y
relaciones.
1 En algunos países, las “herramientas matemáticas” pueden referirse también a los procesos matemáticos establecidos, como
los algoritmos. Para los propósitos del marco PISA, se refieren solamente a las herramientas físicas y digitales descritas en esta
sección.

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A continuación se describen los conocimientos de contenido matemático que caracterizan las
categorías Cambio y relaciones, Espacio y forma, Cantidad, e Incertidumbre y datos.
2.3.1 Cambio y relaciones
El mundo natural y artificial muestran una multitud de relaciones temporales y permanentes
entre los objetos y circunstancias, donde los cambios ocurren dentro de los sistemas de objetos
relacionados entre sí o en circuntancias donde los elementos se influyen mutuamente. En
muchos casos, estos cambios ocurren en el tiempo, y en otros casos, los cambios en un objeto
o cantidad se relacionan con los cambios en otro. Algunas de estas situaciones experimentan
cambios discretos, otros cambian continuamente. Algunas relaciones son de naturaleza
permanente o invariante. Ser más alfabetizados en cambio y relaciones supone comprender
los tipos fundamentales de cambio y reconocer cuándo se producen, con el fin de utilizar los
modelos matemáticos adecuados para describirlos y predecirlos. Matemáticamente, esto
significa modelar el cambio y relaciones con las funciones apropiadas y las ecuaciones, así como
crear, interpretar y traducir entre representaciones simbólicas y gráficas de las relaciones.
La categoría cambio y relaciones se evidencia en diversas situaciones como el crecimiento de
los organismos, la música, el ciclo de estaciones, los patrones climáticos, los niveles de empleo y
las condiciones económicas. Aspectos de contenido matemático tradicional como las funciones
y el álgebra, incluyendo expresiones algebraicas, ecuaciones y desigualdades, representaciones
tabulares y gráficas, son fundamentales para describir, modelar e interpretar fenómenos de
cambio.
La evaluación electrónica de matemáticas de PISA 2015 hace que sea posible presentar a los
estudiantes imágenes dinámicas, representaciones múltiples que están conectadas en forma
dinámica, y la oportunidad de manipular funciones. Por ejemplo, el cambio a lo largo del
tiempo (como el crecimiento o el movimiento), puede reproducirse directamente mediante
animaciones y simulaciones, y representarse por medio de funciones, gráficos y tablas de
datos afines. El descubrimiento y la utilización de modelos matemáticos de cambio aumentan
cuando el sujeto puede explorar y describir el cambio mediante programas informáticos que
permitan representar funciones gráficamente, manipular parámetros, elaborar tabla de valores,
experimentar con relaciones geométricas, organizar y representar datos, y realizar cálculos
con fórmulas. La capacidad de las hojas de cálculo y las aplicaciones gráficas para trabajar con
fórmulas y representar datos tienen especial relevancia.
2.3.2 Espacio y forma
Espacio y forma abarca una amplia gama de fenómenos que se encuentran en todas partes en
nuestro mundo visual y físico: patrones, propiedades de objetos, posiciones y orientaciones,
representaciones de objetos, decodificación y codificación de la información visual, navegación
e interacción dinámica con formas reales, así como con las representaciones. La geometría sirve
como un fundamento esencial para el espacio y la forma, pero la categoría se extiende más
allá de la geometría tradicional en contenido, significado y método, basándose en elementos

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de otras áreas matemáticas, tales como la visualización espacial, la medición y el álgebra. Por
ejemplo, las formas pueden cambiar, y un punto puede moverse a lo largo de un lugar geométrico,
requiriéndose, por tanto, el concepto de función. Fórmulas de medición son fundamentales
en esta área. La manipulación y la interpretación de las formas en entornos que requieren
herramientas que van desde el software de geometría dinámica al software del sistema de
posicionamiento global (GPS, por sus siglas en inglés) se incluyen en esta categoría de contenido.
PISA presupone que la comprensión de un conjunto de conceptos básicos y habilidades básicas
es importante para la competencia matemática relativa a espacio y forma. La competencia
matemática en esta área de espacio y forma incluye una serie de actividades tales como la
comprensión de la perspectiva (por ejemplo en pinturas), la elaboración y lectura de mapas, la
transformación de las formas con o sin tecnología, la interpretación de vistas tridimensionales
desde diferentes perspectivas y la construcción de las representaciones de las formas.
La evaluación electrónica de PISA 2015 ofrece a los estudiantes la oportunidad de manipular
representacionesdinámicasdeformasyexplorarlasrelacionesenyentrelosobjetosgeométricos
en tres dimensiones, que prácticamente se puedan rotar para crear una imagen mental exacta.
Los estudiantes pueden trabajar con mapas donde los zums y las rotaciones son posibles para
construir la imagen mental de un lugar y utilizar estas herramientas para facilitar la planificación
de las rutas. Pueden elegir y usar herramientas virtuales para realizar mediciones (p. ej.: de
ángulos y segmentos) sobre los planos, imágenes y modelos, y utilizar los datos en los cálculos.
La tecnología permite a los estudiantes integrar conocimientos de geometría con información
visual para construir un modelo mental preciso. Por ejemplo, para obtener el volumen de una
taza, una persona podría manipular la imagen para determinar que se trata de un cono truncado,
para identificar la altura perpendicular y dónde puede medirse, y para establecer que lo que
parecen elipses en la parte superior e inferior de una imagen bidimensional son realmente
círculos en el espacio tridimensional.
2.3.3 Cantidad
La noción de cantidad puede ser el aspecto matemático más esencial y extendido de relacionarse
con el funcionamiento de nuestro mundo. Incorpora la cuantificación de los atributos de los
objetos, las relaciones y entidades en el mundo, interpretando distintas representaciones de esas
cuantificaciones, y juzgando interpretaciones y argumentos basados en la cantidad. Participar en
la cuantificación supone comprender las mediciones, los cálculos, las magnitudes, las unidades,
los indicadores, el tamaño relativo, las tendencias y los patrones numéricos. Aspectos del
razonamiento cuantitativo —como el sentido del número, las múltiples representaciones de
éstos, el cálculo mental, la estimación y la evaluación de la razonabilidad de los resultados—
constituyen la esencia de la competencia matemática relativa a la cantidad.
La cuantificación es el método más importante para describir y medir un vasto conjunto de
atributos de los aspectos del mundo. Permite construir modelos de las situaciones, examinar el
cambio y las relaciones, describir y manipular el espacio y la forma, organizar e interpretar datos
y medir y evaluar la incertidumbre. Por tanto, la competencia matemática de cantidad aplica
los conocimientos del número y las operaciones numéricas a una amplia variedad de contextos.

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La evaluación electrónica ofrece a los estudiantes la oportunidad de aprovechar la enorme
capacidad de cálculo de la tecnología moderna. Es importante señalar que, si bien la tecnología
puede librar al individuo del peso de los cálculos y liberar algunos recursos cognitivos para
centrarse en el significado y la estrategia a la hora de resolver problemas, esto no quita que los
individuos matemáticamente competentes deban seguir teniendo una comprensión profunda
de las matemáticas. Una persona que carezca de dicha comprensión puede, en el mejor de los
casos, utilizar la tecnología solo para tareas rutinarias, lo que no es coherente con la definición de
competencia matemática de PISA 2012. Además, la integración de la tecnología en la evaluación
electrónica opcional permite incluir preguntas que requieren unos niveles de cálculo numérico y
estadístico imposibles de realizar en forma escrita.
2.3.4 Incertidumbre y datos
En ciencia, tecnología y la vida cotidiana, la incertidumbre es un hecho probado. Por tanto,
la incertidumbre es un fenómeno que se encuentra en el corazón del análisis matemático de
muchas situaciones problemáticas, y la teoría de la probabilidad y la estadística, así como las
técnicas de representación y descripción de datos, se han establecido para darles respuesta a
estas situaciones. La categoría de contenido incetidumbre y datos, incluye el reconocimiento del
lugar de la variación en los procesos, la posesión de un sentido de cuantificación de esa variación,
la admisión de la incertidumbre y el error en las mediciones y los conocimientos sobre el azar.
Asimismo, comprende la elaboración, interpretación y valoración de las conclusiones extraídas
de situaciones donde la incertidumbre es fundamental. La presentación e interpretación de
datos son conceptos clave en esta categoría (Moore, 1997).
Hay incertidumbre en las predicciones científicas, los resultados electorales, las predicciones
meteorológicas y los modelos económicos. Existe variación en los procesos de fabricación, las
puntuaciones de los exámenes y los resultados de las encuestas y el azar es esencial en muchas
actividadesrecreativasdelasquedisfrutanlaspersonas.Loscontenidoscurricularestradicionales
de probabilidad y estadística ofrecen los medios formales para describir, modelar e interpretar
una determinada clase de fenómenos relativos a la incertidumbre y realizar inferencias. Además,
el conocimiento del número y de aspectos del álgebra, como los gráficos y las representaciones
simbólicas, facilita la participación en problemas de esta categoría de contenido.
La evaluación electrónica proporciona a los estudiantes la oportunidad de trabajar con series
más grandes de datos y la capacidad de cálculo y manejo de datos que necesitan para trabajar
con dichas series. Asimismo, se les da la oportunidad de elegir las herramientas adecuadas
para manipular, analizar y representar datos y tomar muestras de poblaciones de datos. Las
representaciones afines permiten a los estudiantes examinar y describir esos datos de diferentes
maneras. La capacidad para generar resultados aleatorios, incluidos números, permite examinar
mediante simulaciones las situaciones probabilísticas, como la probabilidad empírica de los
sucesos y las propiedades de las muestras.

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2.4 Contenidos temáticos que guían la evaluación
de la competencia matemática
Para comprender y resolver eficazmente problemas contextualizados que implican cambio y
relaciones, espacio y forma, e incertidumbre y datos, es necesario recurrir a diversos conceptos,
procedimientos, datos y herramientas matemáticas, pero a un nivel adecuado de profundidad
y sofisticación. Al ser una evaluación de la competencia matemática, PISA trata de evaluar
los niveles y los tipos de matemáticas que son apropiadas para estudiantes de 15 años en su
trayectoria para convertirse en ciudadanos constructivos, comprometidos y reflexivos, capaces
de emitir juicios y decisiones bien fundadas. También se da el caso de que PISA, no es ni pretende
ser una evaluación de currículo, intenta reflejar las matemáticas que los estudiantes han tenido
probablemente la oportunidad de aprender hasta los 15 años de edad.
Con la intención de desarrollar una evaluación que sea innovadora y que, a la vez, sea el reflejo
de las matemáticas que los estudiantes de 15 años han tenido seguramente la oportunidad de
aprender, se analizó una muestra de estándares de aprendizaje de matemáticas de once países
con el fin de determinar lo que se enseña en las clases de matemáticas de todo el mundo y
también lo que los países creen que es una preparación realista e importante para los estudiantes
a medida que se aproxima su incorporación al mercado laboral o su admisión en un centro de
educación superior. Tomando como base los elementos comunes identificados en estos análisis
y las opiniones de los expertos en matemáticas, se describe el contenido que se considera
apropiado para incluir en la evaluación de la competencia matemática de los estudiantes de 15
años en PISA 2012.
Las cuatro categorías de contenido —cambio y relaciones, espacio y forma, cantidad, e
incertidumbre y datos— sirven de base para identificar esta diversidad de contenido, aunque no
existeunacorrespondenciaunívocaentreloscontenidostemáticosyestascategorías.Porejemplo,
el razonamiento proporcional entra en juego en contextos tan dispares como la realización de
conversiones de medidas, el análisis de las relaciones lineales, el cálculo de probabilidades y
el examen de las longitudes de los lados de formas similares. El siguiente contenido pretende
reflejar la importancia de muchos de estos conceptos para las cuatro categorías de contenido y
reforzar la coherencia de las matemáticas como disciplina. Su intención es ilustrar los temas de
contenido incluidos en PISA 2015, más que ser un listado exhaustivo:
Funciones: el concepto de función, enfatizando p funciones lineales (pero sin limitarse a ellas),
sus propiedades y la variedad de sus descripciones y representaciones. Las representaciones
utilizadas normalmente son verbales, simbólicas, tabulares y gráficas.
Expresiones algebraicas: interpretación verbal y manejo de expresiones algebraicas que incluyen
números, símbolos, operaciones aritméticas, potencias y raíces simples.

20
Ecuaciones y desigualdades: ecuaciones lineales y afines y desigualdades, ecuaciones simples
de segundo grado y métodos de resolución analíticos y no analíticos.
Sistemas de coordenadas: representación y descripción de datos, posición y relaciones.
Relaciones en y entre objetos geométricos en dos y tres dimensiones: relaciones estáticas
como las conexiones algebraicas entre elementos de las figuras (p. ej.: el teorema de Pitágoras,
al definir la relación entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo), la posición
relativa, la semejanza y congruencia, y las relaciones dinámicas que implican la transformación
y el movimiento de objetos, así como las correspondencias entre los objetos bidimensionales y
tridimensionales.
Medida: cuantificación de las características de y entre las formas y objetos, como las medidas
de los ángulos, la distancia, la longitud, el perímetro, la circunferencia, el área y el volumen.
Números y unidades: conceptos; representaciones de los números y sistemas numéricos,
incluidas las propiedades de los números enteros y racionales; los aspectos relevantes de los
números irracionales; así como las cantidades y unidades que hacen referencia a fenómenos
como el tiempo, el dinero, el peso, la temperatura, la distancia, el área y el volumen, y las
cantidades derivadas y su descripción numérica.
Operaciones aritméticas: la naturaleza y propiedades de estas operaciones y las convenciones
de notación relativas a ellas.
Porcentajes, ratios y proporciones: descripción numérica de la magnitud relativa y aplicación de
las proporciones y el razonamiento proporcional en la resolución de problemas.
Principios de cálculo: combinaciones y permutaciones simples.
Estimación: aproximación de las cantidades y expresiones numéricas atendiendo a su función,
incluidas las cifras significativas y el redondeo.
Recogida, representación e interpretación de datos: naturaleza, génesis y recogida de distintos
tipos de datos y las diferentes formas de representarlos e interpretarlos.
Variabilidad y descripción de datos: conceptos como la variabilidad, distribución y tendencia
central de series de datos y las formas de describirlos e interpretarlos en términos cuantitativos.
Muestras y muestreo: conceptos de muestreo y muestreo de poblaciones de datos, incluidas las
inferencias simples basadas en las propiedades de las muestras.
Azar y probabilidad: noción de sucesos aleatorios, las variaciones aleatorias y su representación,
el azar y la frecuencia de los sucesos y los aspectos básicos del concepto de probabilidad.

21
2.5 Los contextos en los que se insertarán las preguntas
de las prueba
La introducción de los contextos como eje organizador del currículo es la contribución más
interesante, desde el punto de vista del diseño curricular, que aporta el denominado “currículo
por compentencias” (Goñi, 2008). Es decir, hay que desarrollar las competencias matemáticas
que sean precisas para poder integrarse de manera plena y activa en estos contextos.
Las competencias implican la movilización e intergracion de capacidades, conocimientos y
actitudes. Esta movilización solo es pertinente cuando está contextualizada y cada competencia
depende de la situación particular en la que es requerida (Perrenoud, 2004). Por ello, es
necesario que las actividades de evaluación recreen estos contextos particulares en los que una
determinada competencia tenga sentido.
Un aspecto importante de la competencia matemática es el uso de las matemáticas en la
resolución de problemas planteados en un contexto determinado. El contexto es el aspecto del
mundodelapersonaenlaquesitúanlosproblemas.Laeleccióndeestrategiasyrepresentaciones
matemáticas adecuadas depende normalmente del contexto en el que se presenta el problema.
Lacapacidadparatrabajarenuncontextosevaloraenormenteparaasignarexigenciasadicionales
a quien resuelve problemas (Watson y Callinghan, 2003).
Para PISA es importante la utilización de una amplia variedad de contextos, que ofrece la
posibilidad de conectar con una gama más amplia posible de intereses personales y el abanico
de situaciones en el que operan los individuos del siglo XXI. Para los efectos de la evaluacion de
matemáticas de PISA 2015, se han definido cuatro categorías de contexto que emplean para la
construcción y la clasificación de las preguntas:
Personal: los problemas clasificados en la categoría de contexto personal se centran en la
actividades del propio individuo, su familias o el grupo de sus pares. Los tipos de contextos
que pueden considerarse personales incluyen, aunque no se limitan solo a ellos, aquellos que
involucran la preparacion de alimentos, las compras, los juegos, la salud personal, el transporte
personal, los deportes, los viajes, la planificación personal y las propias finanzas.
Ocupacional: los problemas clasificados en esta categoría se centran en el mundo laboral. Las
preguntas clasificadas en este contexto pueden incluir, por ejemplo, aspectos como la medición,
el cálculo de costes, el pedido de materiales para la construcción, la nómina/contabilidad,
el control de calidad, la planificación, el inventario, el diseño, la arquitectura y la toma de
decisiones relacionadas con el trabajo. Los contextos profesionales pueden referirse a cualquier
tipo de mano de obra, desde el trabajador no especializado hasta el nivel más alto del trabajador
profesional, aunque las preguntas de la prueba PISA deben ser accesibles a los estudiantes de
15 años.

22
Social: los problemas clasificados en este contexto se centran en la propia comunidad ya sea
local, nacional o mundial. Pueden incluir, aunque sin limitarse solamente a estos, aspectos
como los sistemas electorales, el transporte público, gobierno, políticas públicas, demografía,
publicidad, las estadísticas nacionales y la economía. Aunque las personas están involucradas en
estos aspectos a título personal, en la categoría de contexto social los problemas ponen énfasis
en la perspectiva comunitaria.
Científico:losproblemasdecontextocientíficohacenreferenciaalaaplicacióndelasmatemáticas
al mundo natural y a cuestiones y temas relacionados con la ciencia y la tecnología. Determinados
contextos podrían incluir (aunque sin limitarse a estos) áreas como la meteorología o el clima, la
ecología, la medicina, las ciencias espaciales, la genética, las mediciones y el propio mundo de las
matemáticas. La pregunta “BASURA” (ver anexo 1) se sitúa en el contexto científico, puesto que
se centra en cuestiones relacionadas con el medio ambiente y, en particular, con información del
tiempo de descomposición. Las preguntas intramatemáticas, donde todos los ítems implicados
pertenecen al mundo de las matemáticas, entran en el contexto científico.
Los ítems de la evaluación PISA se organizan en unidades de manera que comparten el mismo
estímulo. Entiéndase que estímulo se denomina al enunciado o la descripción del problema, los
gráficos, tablas, imágenes, etc., o una combinación de ellos, a partir de los cuales se formula una
pregunta. Por cuanto comparten un mismo estímulo, los ítems de una unidad pertenecen a un
mismo contexto; excepcionalmente el mismo estímulo puede examinarse desde un punto de
vista personal en una pregunta, y desde el punto de vista social en otra.
La utilización de la categoría de contexto permite seleccionar distintos contextos para la
elaboración de preguntas y garantizar que la evaluación refleje una amplia variedad de usos de
las matemáticas, desde los personales cotidianos hasta las exigencias científicas de los problemas
mundiales. Además, es importante que cada categoría de contexto contenga ítems que reflejen
una amplia gama de dificultades. Puesto que la principal finalidad de estos contextos es retar a
los estudiantes, cada una de las categorías debe contribuir en forma sustancial a la medición de
la competencia matemática. El nivel de dificultad de las preguntas de la evalución que representa
una categoría de contexto no debe ser sistemáticamente mayor o menor que el de otra categoría.
2.6 Estructura de la prueba de matemática de PISA 2015
En PISA 2012, cuando la evaluación de la competencia matemática era el dominio principal,
el instrumento con soporte de papel contenía un total de 270 minutos de tiempo de prueba
de matemáticas distribuido en nueve grupos de preguntas, donde cada grupo representa 30
minutos de prueba. De este total, tres grupos (que representan 90 minutos de tiempo de
prueba) incluían preguntas de enlace utilizadas en anteriores evaluaciones de PISA, cuatro
grupos “estándar” (que representan 120 minutos de tiempo de prueba) contenían preguntas
nuevas con distintos niveles de dificultad y dos grupos fáciles (que representan 60 minutos de
prueba) estaban dedicados a preguntas con un nivel de dificultad más bajo.

23
La competencia matemática no será el dominio principal para el 2015 y los estudiantes tomarán
menos bloques.
La evaluación de matemáticas de PISA 2015 incluye preguntas con distintos niveles de dificultad,
equiparables a las distintas capacidades de estudiantes de 15 años. Contiene preguntas que
constituyen un reto para los estudiantes más capaces y hay preguntas para los estudiantes menos
capacitados, del conjunto de participantes en la evaluación de matemáticas. Desde una perspectiva
psicométrica, una prueba que está diseñada para medir a una cohorte particular de individuos
es más eficaz y eficiente cuando la dificultad de las preguntas de la evaluación coincide con la
capacidad de los sujetos medidos. Además, las escalas de competencia descritas, que se utilizan
como parte central de la presentación de los resultados de PISA, solo pueden incluir información
útil para todos los estudiantes, si las preguntas de las que se extraen las descripciones de la
competencia abarcan el abanico de las capacidades descritas. Las escalas de la competencia están
basadas en niveles crecientes de activación de las capacidades matemáticas fundamentales. Los
ciclos anteriores de PISA han demostrado que, en conjunto, estas capacidades son indicadores de
la demanda cognitiva y, por tanto, contribuyen en forma esencial a la dificultad de las preguntas
(Turner, 2012; Turner et al., 2013). La escala para PISA 2012, que continúa para el 2015, se elaboró
después de la prueba piloto PISA 2012, basado en la descripción de la activación requerida de estas
capacidades. Esta escala ofrece una medida empírica de la demanda cognitiva de cada pregunta.

24
3. Niveles de la competencia
según PISA 2015
Los resultados de la evaluación PISA de matemáticas se presentan de distintas maneras. Se
obtienen estimaciones de la competencia matemática global de los estudiantes seleccionados en
cada país participante y se definen una serie de niveles de competencia. Asimismo, se elaboran
descripciones del grado de competencia matemática típica de los estudiantes de cada nivel.
En la tabla 1 se facilitan las descripciones de los seis niveles de competencia presentados para la
escala general de matemáticas de PISA en los años 2003, 2006 y 2009, que constituyen la base
de la escala de matemáticas de PISA 2012. La escala final de PISA 2012 se utilizará para informar
los resultados de PISA 2015. Puesto que la competencia matemática es un dominio menor de
PISA 2015, se divulga solamente la escala general de la competencia.
Tabla 1:
Descripción de la competencia matemática por niveles (2003-2009)
Nivel Descripción de la competencia
6
Los estudiantes pueden conceptualizar, generalizar y utilizar información basada en sus
investigaciones y el modelamiento de situaciones problemáticas complejas. Pueden vincular
diferentes fuentes de información y representaciones y hacer traducciones flexibles entre ellas.
Son capaces de alcanzar el razonamiento y el pensamiento matemático avanzado. Aplican la
intuición y comprensión acompañadas de un manejo diestro de la relaciones y operaciones
matemáticas en el nivel formal y simbólico para desarrollar estrategias y aproximaciones nuevas
para manejar situaciones novedosas. Pueden comunicar y formular con precisión sus acciones
y razonamientos considerando sus hallazgos, interpretaciones, argumentos, y la adecuación de
estos a la situación original.
5
Los estudiantes pueden desarrollar y trabajar con modelos aplicables a situaciones complejas
identificando restricciones y especificando presuposiciones. Pueden seleccionar, comparar
y evaluar estrategias apropiadas de solución para tratar problemas complejos relativos a
estos modelos. Pueden trabajar estratégicamente usando habilidades de razonamiento y de
pensamientobiendesarrollado,representacionesadecuadamentevinculadas,caracterizaciones
formales y simbólicas e intuiciones propias de las situaciones complejas. Pueden razonar sobre
sus acciones y formular y comunicar sus interpretaciones y razonamientos.

25
3.1 ¿En qué situación están nuestros estudiantes según el
proceso de evaluación PISA 2012?
La descripción de estos niveles de competencia matemática es única para todos los países
participantes. Ello no significa que en todos los países los estudiantes evaluados se ubiquen a
lo largo de esos seis niveles. En nuestro país, por ejemplo, casi no hay estudiantes que puedan
ser ubicados en el nivel 4 (2,1 %) o posteriores (nivel 5: 0,5% y nivel 6: 0,0 %). Por el contrario,
el 47 % de los estudiantes evaluados se encuentra por debajo del nivel 1.
Precisamente, estos resultados nos obligan a seguir nutriendo nuestra práctica pedagógica con
enfoques que, como este, privilegien el concepto de competencia matemática; es decir, el pensar
matemáticamente y aplicar dicho pensamiento en contextos diversos. No es casualidad que las
competencias matemáticas vigentes en las Rutas del Aprendizaje enfaticen también dicho punto.
4
Los estudiantes pueden trabajar eficientemente con modelos explícitos aplicables a situaciones
concretas, pero complejas que pueden incluir restricciones y demandar presuposiciones.
Pueden seleccionar e integrar diferentes representaciones, incluyendo las simbólicas, para
ligarlas directamente a situaciones problemáticas del mundo real. En este nivel los estudiantes
pueden utilizar habilidades bien desarrolladas y razonamiento flexible junto con algunas
intuiciones. Pueden construir y comunicar explicaciones y argumentaciones basadas en sus
interpretaciones, argumentos y acciones.
3
Los estudiantes pueden ejecutar procedimientos previamente descritos incluyendo aquellos
que requiere decisiones secuenciales. Pueden seleccionar y aplicar estrategias simples de
solución de problemas. Pueden interpretar y usar representaciones basadas en diferentes
fuentes de información y razonar directamente sobre ellas. Pueden desarrollar comunicaciones
cortas informando sus interpretaciones, resultados y razonamientos.
2
Los estudiantes pueden interpretar y reconocer situaciones en contextos que requieren solo
inferencias directas. Pueden extraer información relevante de una sola fuente y hacer uso
de un modo específico de elaborar representaciones. Pueden utilizar algoritmos básicos,
fórmulas, procedimientos o convenciones. Pueden hacer uso del razonamiento directo y de
interpretaciones literales de los resultados.
1
Original: Los estudiantes pueden responder preguntas dentro de contextos familiares en los
que toda la información relevante está presente y las preguntas están claramente definidas.
Son capaces de identificar información y de realizar procedimientos rutinarios siguiendo
instrucciones directas en situaciones explicitas. Pueden realizar actividades que son obvias y
que se siguen inmediatamente del estímulo dado.

26
3.2 Relación entre las capacidades fundamentales y los niveles
de competencia
Las capacidades matemáticas fundamentales desempeñan un papel central a la hora de definir lo
que signfica estar en distintos niveles de las escalas de la competencia matemática. Por ejemplo,
en la descripción de la escala de competencia correspondiente al nivel 4 (ver en la tabla 6), la
segunda frase subraya aspectos de la matematización y representación que son evidentes en
este nivel. La oración final pone en relieve la comunicación, los razonamientos y los argumentos
característicos del nivel 4, que contrastan con los breves escritos y la falta de argumentos del
nivel 3 y la reflexión adicional del nivel 5.
Una buena guía de la dificultad empírica de las preguntas se puede obtener analizando qué
aspectos de las capacidades matemáticas fundamentales son necesarios para aplicar y ejecutar
una respuesta (Turner, 2012; Turner y Adams 2012; Turner et al, 2013). Las preguntas más fáciles
requerirán la activación de algunas capacidades de forma relativamente sencilla, mientras que
las más difíciles demandarán la activación compleja de varias.
Los siguientes apartados describen las características que hacen que la activación de las
capacidades sea más o menos compleja (Turner 2012)
Comunicación: son varios los factores que determinan el nivel y el alcance de la exigencia
comunicativa de una tarea, y la capacidad de un individuo para satisfacer estas exigencias indica
hasta qué punto posee esta capacidad de comunicación. Por lo que respecta a los aspectos
receptivos de la comunicación, estos factores incluyen la longitud y complejidad del texto u
otro objeto que haya que leer o interpretar; la familiaridad de las ideas o de la información a
las que un texto u objeto hacen referencia; el grado en que la información requerida deber ser
desligada de otra infomación; la clasificación de la información y si esta se corresponde con el
orden de los procesos de pensamiento necesarios para interpretarla y utilizarla, y el grado en el
que existen distintos elementos (texto, elementos gráficos, gráficos, tablas, planos) que deban
ser interpretados relacionándolos entre sí.
Por lo que respecta a los factores expresivos de la comunicación, se observa un bajo nivel de
complejidad en los ejercicios que exigen que se dé simplemente una respuesta numérica. A
medida que se exije que la respuesta sea más larga, por ejemplo, cuando se pide una explicación
o justificación verbal o escrita del resultado, la exigencia comunicativa aumenta.
Matematización: en algunas tareas no es necesaria la matematización, pues o bien el problema
ya está en una forma suficientemente matemática, o la relación entre el modelo y la situación que
representanoesnecesariapararesolverelproblema.Ensuformamássencilla,lamatematización
es imprescindible cuando el sujeto que resuelve el problema tiene que interpretar o inferir
directamente a partir de un modelo dado o traducir directamente una situación a términos
matemáticos (p.ej.: estructurar o conceptualizar la situación de forma relevante, identificar y
seleccionar variables relevantes, recopilar mediciones relevantes o elaborar diagramas).
La demanda de matematización aumenta con requisitos adicionales para modificar o utilizar
un modelo dado con el fin de reflejar las nuevas condiciones o interpretar relaciones inferidas;

27
para seleccionar un modelo familiar dentro de unas restricciones limitadas y claramente
articuladas; o crear un modelo en el que las variables, relaciones o restricciones exigidas sean
claras o explícitas. En un nivel aún más alto, la demanda de matematización está asociada con
la necesidad de crear o interpretar un modelo en una situación donde deben identificarse o
definirse muchos supuestos, variables, relaciones y restricciones y comprobar que el modelo
satisface los requisitos del ejercicio; o valorar o comparar modelos.
Representación: esta capacidad matemática es necesaria en su nivel más bajo para manejar
directamente una representación familiar dada, por ejemplo, para pasar directamente de texto
a números o leer directamente un valor en un gráfico o tabla. Las tareas de representación son
más exigentes desde un punto de vista cognitivo, cuando requieren seleccionar o interpretar una
representación estándar o familiar con relación a una situación.
Unnivelmásaltodedemandaescuandoserequieretraduciroutilizardosomásrepresentaciones
distintas de forma conjunta con relación a una situación, incluida la modificación de una
representación; o cuando lo que se requiere idear es una representación directa de la situación.
La exigencia cognitiva de nivel superior se caracteriza por la necesidad de comprender y utilizar
una representación no estándar que requiere una notable decodificación e interpretación;
diseñar una representación que refleje los aspectos clave de una situación compleja; o comparar
o valorar distintas representaciones.
Razonamiento y argumentación: en las tareas que requieren de una activación muy baja de esta
capacidad, el razonamiento exigido puede ser, sencillamente, seguir las instrucciones dadas.
En un nivel de exigencia ligeramente superior, las preguntas requieren una cierta reflexión
para asociar distintas informaciones con el fin de realizar inferencias (p.ej.: relacionar distintos
elementos presentes en un problema, o utilizar el razonamiento directo dentro de un aspecto
del problema).
En un nivel superior, las tareas requieren el análisis de la información para seguir o crear un
argumento compuesto de varios pasos o relacionar distintas variables; a razonar a partir de
fuentes de información afines. En un nivel aún más alto de demanda, hay la necesidad de
sintetizar y evaluar la información, utilizar o crear cadenas de razonamiento para justificar
inferencias, o para hacer generalizaciones recurriendo a múltiples datos o combinando varios
elementos de información de una manera sostenida y dirigida.
Diseño de estrategias: en tareas con una demanda relativamente baja de esta capacidad, suele
ser suficiente la realización de actuaciones directas, donde la estrategia requerida está indicada o
es obvia. En un nivel de exigencia ligeramente superior puede ser que sea necesario decidirse por
una estrategia adecuada que utilice la información relevante dada para llegar a una conclusión.
Lademandacognitivaseacentúaaúnmáscon lanecesidad deidear yconstruiruna estrategiaque
transforme la información dada para llegar a una conclusión. Incluso los ejercicios más exigentes
requieren el desarrollo de una estrategia elaborada para encontrar una solución exhaustiva o
una conclusión generalizada; o valorar o comparar diferentes estrategias posibles.

28
Utilización de operaciones y un lenguaje simbólico, formal y técnico: la demanda para la
activación de esta capacidad varía enormemente de una tarea a otra. En las tareas más sencillas,
no hay reglas matemáticas o expresiones simbólicas que deben activarse más allá de los cálculos
aritméticos fundamentales, cuando se opera con números pequeños o fácilmente manejables.
El trabajo con tareas más exigentes puede suponer realizar cálculos aritméticos secuenciales
o emplear en forma directa una relación funcional simple, ya sea implícita o explícita (p.ej.:
relaciones lineales habituales); utilizar símbolos matemáticos formales (p.ej.: mediante
sustitución directa o cálculos aritméticos continuos con fracciones y decimales); o activar y usar
directamente una definición matemática formal, convención o concepto simbólico.
Una demanda cognitiva mayor se caracteriza por la necesidad de usar y manipular símbolos
de forma explícita (p.ej.: la reorganización algebraica de una fórmula), y por la activación y el
uso de reglas matemáticas, definiciones, convenciones, procedimientos o fórmulas matemáticas
empleando una combinación de múltiples relaciones o conceptos simbólicos. Un nivel aún más
altodedemandasecaracterizaporlanecesidaddeunaaplicacióndeprocedimientosmatemáticos
formales que requieren múltiples pasos, el trabajo flexible con relaciones algebraicas funcionales
o complejas, o la utilización de técnicas y conocimientos matemáticos para producir resultados.
Uso de herramientas matemáticas: las tareas y actividades que impliquen un nivel de demanda
relativamente baja de esta capacidad puede requerir el uso directo de herramientas familiares,
como los instrumentos de medición, en situaciones donde el uso de esas herramientas es
bastante practicada. Mayores niveles de demanda surgen cuando el uso de herramientas
implica una secuencia de procesos, o la vinculación de diferentes informaciones utilizando la
herramienta, y cuando la familiaridad de las herramientas en sí es menor o cuando la situación
en la que se requiere la aplicación de la herramienta es menos familiar.
Mayor aumento de la demanda se ve cuando la herramienta se va a utilizar para procesar y
relacionar varios elementos de datos, cuando la aplicación de una herramienta es requerida
en una situación muy diferente de las aplicaciones familiares, cuando la herramienta es más
compleja por sí misma con múltiples funcionalidades y cuando hay la necesidad de reflexionar
para comprender y evaluar las ventajas y limitaciones de la herramienta.

29
Estímulo
Pregunta
Pregunta
4. Formato de la prueba PISA 2015
para la competencia de matemática
El cuestionario de preguntas de matemáticas de PISA está compuesto de unidades de evaluación.
Una unidad de evaluación está compuesta por un estímulo y por una o más preguntas. El estímulo
describe el contexto o la situación problemática de forma verbal y, con frecuencia, acompañado
con otra información como tablas, planos, gráficos o diagramas.
LA RUEDA DE LA FORTUNA
Una gigante rueda de la fortuna se encuentra al lado del río. MIra la foto y el
diagrama presentados a continuación.
La rueda de la fortuna tiene un diámetro exterior de 140 metros y su punto más alto
está a 150 metros por encima y a un lado del cauce del río Támesis. Esta gira en el
sentido indicado por las flechas.
Pregunta 116: LA RUEDA DE LA FORTUNA PM934Q01 - 0 1 9
La letra M en el diagrama indica el centro de la rueda.
¿A cuántos metros (m) por encima del cauce del río se encuentra el punto M?
Respuesta: ........................... m
Pregunta 117: LA RUEDA DE LA FORTUNA PM934Q02
La rueda de la fortuna gira a una velocidad constante. La rueda da una vuelta
completa en exactamente 40 minutos.
Juan comienza su paseo en la rueda de la fortuna en el punto de embarque P.
¿Dónde estará Juan después de media hora?
A En R
B Entre R y S
C En S
D Entre S y P
En el caso de una unidad de evaluación con más de una pregunta, quienes redactan las preguntas
intentan garantizar la máxima independencia posible entre ellas. Ello quiere decir, en forma
simple, que no es necesario responder a la primera pregunta para poder responder a la segunda.

30
Las preguntas además pueden ser de tres tipos o formatos:
De respuesta construida abierta.
De respuesta construida cerrada.
Selección de respuesta.
Las primeras requieren una respuesta escrita de cierta extensión por parte del estudiante.
Asimismo, estas preguntas pueden pedirle al estudiante que indique los pasos dados o que
explique cómo ha obtenido la respuesta. Para estas preguntas es necesario contar con expertos
cualificados que codifiquen manualmente las respuestas de los estudiantes.
Las preguntas de respuesta construida cerrada ofrecen un contexto más estructurado para
presentar las soluciones de los problemas y provocan una respuesta del estudiante que puede
valorarse fácilmente como correcta o incorrecta. Las respuestas construidas cerradas más
frecuentes son solo números. La primera pregunta de la unidad de evaluación “La rueda de la
fortuna” corresponde a este formato.
En las preguntas de respuesta seleccionada es necesario elegir una o más respuestas de una
serie de opciones. Por lo general, las respuestas a estas preguntas se pueden procesar de
forma automática. La segunda pregunta de la unidad de evaluación “La rueda de la fortuna”
corresponde a este formato.
Para elaborar los instrumentos de evaluación se ha utilizado un número aproximadamente igual
de cada uno de estos tipos de formato de pregunta.
Por el tipo de material empleado para la presentación de las preguntas, estas se clasifican en
preguntas con soporte impreso y preguntas con soporte electrónico. En el caso de las primeras,
las preguntas de la evaluación se presentan en forma impresa y las respuestas se registran en
forma escrita, para lo cual los estudiantes utilizan el lápiz y el papel como recurso principal. En
cambio, las preguntas con soporte electrónico se presentan en la pantalla de la computadora y
las respuestas de los estudiantes se registran directamente haciendo uso de recursos sencillos
de este sistema electrónico.

31
Fig. 2.
Editor de PISA 2015
En ambos tipos de soporte, sea impresa o electrónica, se utilizan los mismos formatos: preguntas
de selección de respuesta, respuesta construida abierta y respuesta construida cerrada. Para la
formulación de respuestas a preguntas de estos últimos formatos, los estudiantes harán uso del
editorPISA2015,talcomosemuestraenlafigura2,yotrasherramientassencillasdelacomputación.
Criterios de calificación de las respuestas
Aunque la mayoría de las preguntas se puntúan en forma dicotómica (es decir, con o sin
puntuación),aveceslaspreguntasderespuestaconstruidaabiertapuedenincluirunapuntuación
parcial, lo que permite asignar a las respuestas una puntuación en función de los distintos grados
de “corrección”. Para este tipo de preguntas, se proporciona una guía detallada de codificación,
que permite asignar a cada una de estas preguntas una puntuación máxima, parcial o ninguna
puntuación. Esta guía se facilita al personal formado para codificar las respuestas de los
estudiantes en los distintos países participantes, con el fin de garantizar que las respuestas se
codifiquen en forma consistente y fiable.
4.1 Transición de los ítems en papel a los ítems en computadora
El recojo de información para la evaluación PISA 2012, se realizó principalmente mediante
instrumentos con soporte impreso. Sin embargo, a partir de PISA 2015 se generalizará la
evaluación con soporte electrónico y para garantizar la comparabilidad de los resultados, las
mismas preguntas de PISA 2012 se presentarán en formato electrónico.

32
La definición de competencia matemática de PISA 2015 reconoce el importante papel de
las herramientas electrónicas al señalar lo que se espera de los individuos competentes en
matemáticas: que hagan uso de dichas herramientas en sus esfuerzos por describir, explicar y
predecir fenómenos. En esta definición, el término “herramienta” se refiere a las calculadoras y
computadoras, además de otros objetos físicos como las reglas y los transportadores utilizados
en las mediciones y construcciones.
Una segunda consideración es que el uso de las mejoras que ofrece la tecnología informática
se traduce en preguntas de evaluación más atractivas para los estudiantes, con más colorido y
más fáciles de entender. Por ejemplo, se puede presentar a los estudiantes un estímulo móvil,
representaciones de objetos tridimensionales que se pueden rotar o un acceso más flexible a la
información relevante. Los nuevos formatos de pregunta, como los que obligan a los estudiantes
a «arrastrar y soltar» información o a utilizar «zonas activas» en una imagen, están diseñados
para atraer a los alumnos, ofrecer una mayor diversidad de tipos de respuesta y proporcionar un
panorama más completo de la competencia matemática.
Finalmente, las investigaciones revelan que las exigencias matemáticas en un trabajo ocurren,
cada vez más, en presencia de la tecnología electrónica, de manera que la competencia
matemática y el uso de computadoras se fusionan (Hoyles et al. 2002)
Al igual que las evaluaciones de lápiz y papel, que se basan en un conjunto de habilidades para
trabajar con materiales impresos, las evaluaciones basadas en computadora dependen de
un conjunto de habilidades fundamentales de las TIC para el uso de las computadoras. Estos
incluyen conocimientos de hardware básico (por ejemplo, teclado y ratón) y convenciones
básicas (por ejemplo, las flechas para moverse hacia adelante, y presionar botones específicos
para ejecutar comandos). La intención es mantener estas habilidades a un nivel mínimo básico
en la evaluación con computadoras.
En las siguientes páginas se muestran dos preguntas en versión electrónica. Tal como se puede
apreciar, para responder a la pregunta el estudiante debe estar familiarizado con determinados
entornos informáticos y manipular adecuadamente sus elementos para desenvolverse con
comodidad. Asimismo, debe ser capaz de explicar sus procedimientos utilizando un soporte
informático.
Procesos de piloteo (ensayos preliminares para contextualizar la prueba PISA a nuestra realidad)
dan cuenta de la poca familiaridad de los estudiantes con estos entornos. Ello nos da una señal
clara de que debemos exponer más a los estudiantes a entornos informáticos en el contexto de
su actividad matemática.

33
Para cualquier figura, un punto (S) se
llama punto de estrella si al unirlo con
cualquier otro punto (P) la línea (SP) se
queda dentro de la figura.
Así se utilizan los botones PUNTO (S) y
LÍNEA (SP).
Pincha el botón PUNTO (S) y luego
pincha una de las figuras para crear
un solo punto.
Pincha el botón LÍNEA (SP) y luego
pincha una de las figuras para crear
una línea entre los puntos S y P.
Para cambiar un punto o una línea,
pincha encima y arrastra el punto o
la línea.
Para borrar un punto o una línea,
pincha el punto o la línea.
Figura 1
S es un punto de estrella
Figura 2
S no es un punto de estrella
Figura 3 Figura 4
PUNTOS DE ESTRELLA
PUNTO (S) LINEA (SP) REINICIAR
Pregunta 1: PUNTOS DE ESTRELLA CM020Q01
Arriba se muestran cuatro figuras planas. En la Figura 1, el punto S es un punto de estrella
porque, donde quiera que pongas P, la línea SP siempre queda dentro de la figura. Pero
en la Figura 2, el punto S no es un punto de estrella porque hay algunas líneas SP, como se
muestra en el ejemplo, que van por fuera de la figura.
Crea un punto de estrella para la Figura 3 y un punto que no sea un punto de estrella para
la Figura 4.
?

34
Nótese cómo la pregunta demanda en el estudiante la necesidad de manipular y construir objetos
(líneas y puntos) que respondan a unas características dadas. En ese sentido, el estudiante debe
comprender y utilizar herramientas, tales como los botones PUNTO (S), LÍNEA (SP) y REINICIAR
como un medio para responder a la pregunta.
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precios muestran los precios
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valores en la casilla “Número
de copias” para hallar el costo
exacto del duplicado y de la
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2000
1600
1200
800
400
0
0
Número de copias
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Precio de la copia de CD utilizando el
duplicado o la réplica.
Precio de la réplica Tu presupuesto: réplica
Precio del duplicado Tu presupuesto: duplicado
CALCULADORA DE PRECIO
Número de copias Precio de la réplica Precio del duplicado
100 420 000 zeds 360 000 zeds
Pregunta 2: PRODUCCIÓN DE CD CM015Q03
Zedtec hace la siguiente afirmación en su anuncio: “El duplicado es más barato para
cantidades pequeñas de copias (hasta 500 CD)”.
Explica por qué el número citado en la afirmación anterior, 500 CD, es incorrecto
¿Cuál es el máximo número de copias que haría que la afirmación fuese correcta?
Número de copias =
?

35
Nótese cómo, en este caso, la pregunta demanda explicar la falsedad de una afirmación. El
estudiante no solo debe entonces estar en capacidad para responder correctamente a una
situación problemática, sino que también debe desarrollar la habilidad de argumentar con
claridad las razones detrás de sus acciones.
4.2 Uso de la calculadora en la prueba
LapolíticadePISApermitealosestudianteselusodelacalculadoraenelcomponenteconsoporte
impreso, tal como se utiliza normalmente en las instituciones educativas. Esto representa la
evaluación más auténtica de lo que los estudiantes pueden lograr y proporciona la comparación
más instructiva del rendimiento de los sistemas educativos.
En el componente impreso de PISA 2012 se dio acceso a los estudiantes a una calculadora en
línea o a programas informáticos con una funcionalidad equivalente en el caso de preguntas
donde esto pudiese ser relevante.
PISA 2015 incluirá una herramienta que permitirá a los estudiantes dar respuestas construidas
y mecanografiadas y mostrar su trabajo como sea requerido por la competencia matemática. La
herramienta permite introducir textos y números a los estudiantes. Ajustando los botones, los
estudiantes pueden introducir una fracción, raíz cuadrada o exponente. Los símbolos adicionales
como pi (π), mayor o igual (≥), menor o igual (≤), estarán disponibles, así como los operadores
de multiplicación y división, etc. Un entorno similar para desarrollar la habilidad en el uso de
estas herramientas es el ofrecido en algunos procesadores de texto como Microsoft World, que
cuentan con un editor de ecuaciones con una lógica similar al utilizado en la evaluación PISA.

36
5. Diferencias y similitudes
con marcos teóricos anteriores
El programa PISA a la fecha ha realizado cinco evaluaciones del rendimiento de los estudiantes
de 15 años en comprensión lectora, matemática y ciencias. Esta evaluación se ha llevado a cabo
cada tres años desde el año 2000.En cada uno de los ciclos se ha enfatizado la evaluación en una
de las áreas, tal como se puede observar en la siguiente tabla:
PISA 2000 PISA 2003 PISA 2006 PISA 2009 PISA 2012 PISA 2015
C. lectora C. lectora C. lectora C. lectora C. lectora C. lectora
Matemática Matemática Matemática Matemática Matemática Matemática
Ciencias Ciencias Ciencias Ciencias Ciencias Ciencias
Área evaluada con mayor énfasis
En los ciclos PISA 2003 y PISA 2012, el área enfatizada fue matemática, lo que ha implicado la
evaluación de la competencia matemática con mayor profundidad, que se tradujo en la aplicación
de mayor número de preguntas y la utilización de un marco de evaluación más amplio.
El marco PISA 2015 se ha actualizado para reflejar los cambios en el modo de aplicación de
instrumentos, incluyendo una discusión de las consideraciones de la transición de la evaluación
de matemáticas en papel a la evaluación en computadora. Sin embargo, la definición y los
constructos de competencia matemática permanecen invariables y constantes con PISA 2012
(OECD, 2013: 3).
El nuevo marco de evaluación de PISA ofrece continuidad al marco anterior, de manera que
se pueda medir las tendencias entre una evaluación y otra. La comparación entre las nociones
centrales y entre las categorías manejadas en los marcos teóricos de PISA de 2003 y de 2012,
ponendemanifiestounamayorprecisiónconceptualyterminológica,unavanceyprofundización
derivados de la necesidad de interpretar con mayor rigor y precisión los resultados de las
evaluaciones. Los cambios muestran una mejora derivada del análisis conceptual del estudio y
mayor potencia de las categorías utilizadas para el análisis didáctico resultante.

37
6. Articulación de la competencia de
matemáticas según PISA 2015
con las Rutas del Aprendizaje
Un análisis comparativo de los marcos de evaluación PISA con los marcos curriculares vigentes
evidenciados en las Rutas del Aprendizaje da cuenta de una convergencia entre ambos. Esa
convergencia se manifiesta en aspectos tales como:
El desarrollo de la competencia matemática y no solo del conocimiento matemático per se
Así, la competencia matemática se entiende como “la facultad de toda persona para actuar
conscientemente sobre una realidad, sea para resolver un problema o cumplir un objetivo,
haciendousoflexibleycreativodelosconocimientos,lashabilidades,lasdestrezas,lainformación
o las herramientas que tenga disponibles y considere pertinentes a la situación” (Minedu 2014,
citado en Rutas del Aprendizaje versión 2015).
La manera de categorizar las situaciones en las que surgen los fenómenos matemáticos
Así,lascompetenciasseformulancomoactuarypensarmatemáticamenteatravésdesituaciones
de cantidad; regularidad, equivalencia y cambio; forma, movimiento y localización; gestión de
datos e incertidumbre. Todo ello en la misma línea en que el marco de evaluación PISA organiza
sus propios contenidos (Cantidad, Cambio y relaciones, Incertidumbre y datos y Espacio y forma).
Esta organización de los contenidos, como se ha indicado entre paréntesis, está fuertemente
articulada con la propuesta en el marco de la evaluación PISA.
En lo relativo a las capacidades matemáticas fundamentales, la articulación también se da,
aunque las denominaciones cambian ligeramente.
De este modo, las siete capacidades fundamentales planteadas en el marco teórico PISA se
encuentran reorganizadas en cuatro capacidades según las Rutas del Aprendizaje. Así tenemos:
Matematiza situaciones
Eslacapacidaddeexpresarunproblema(reconocidoenunasituación)enunmodelomatemático.
En su desarrollo se usa, interpreta y evalúa el modelo matemático, de acuerdo a la situación que
le dio origen. Ello correspondería a matematización.

38
Comunica y representa ideas matemáticas
Es la capacidad de comprender el significado de las ideas matemáticas, y expresarlas en forma
oral y escrita usando el lenguaje matemático y diversas formas de representación con material
concreto, gráfico, tablas, símbolos y recursos TIC, y transitando de una representación a otra.
Ello correspondería a comunicación, representación y utilización de operaciones y un lenguaje
simbólico, formal y técnico.
Elabora y usa estrategias
Es la capacidad de planificar, ejecutar y valorar una secuencia organizada de estrategias y diversos
recursos (entre ellos las tecnologías de información y comunicación) empleándolas de manera
flexible y eficaz en el planteamiento y resolución de problemas, incluidos los matemáticos. Esto
implica ser capaz de elaborar un plan de solución, monitorear su ejecución, pudiendo incluso
reformular el plan en el mismo proceso con la finalidad de llegar a la meta. Asimismo, revisar
todo el proceso de resolución, reconociendo si las estrategias y herramientas fueron usadas
de manera apropiada y óptima. Ello correspondería al diseño de estrategias y utilización de
herramientas matemáticas.
Razona y argumenta generando ideas matemáticas
Eslacapacidaddeplantearsupuestos,conjeturasehipótesisdeimplicanciamatemáticamediante
diversas formas de razonamiento (deductivo, inductivo y abductivo), así como el verificarlos y
validarlos usando argumentos. Esto implica partir de la exploración de situaciones vinculadas
a la matemática para establecer relaciones entre ideas, establecer conclusiones a partir de
inferencias y deducciones que permitan generar nuevas conexiones e ideas matemáticas. Ello
correspondería a razonamiento y argumentación.
Análisis comparativo entre las capacidades fundamentales según el marco de
evaluación PISA y el marco curricular vigente (Rutas del Aprendizaje versión 2015)
MARCO EVALUACIÓN PISA RUTAS DEL APRENDIZAJE
Matematización Matematiza situaciones
Comunicación
Comunica y representa ideas matemáticas
Representación
Utilización de operaciones y un lenguaje
simbólico, formal y técnico.
Razonamiento y argumentación
Razona y argumenta generando ideas
matemáticas
Diseño de estrategias
Elabora y usa estrategias
Utilización de herramientas matemáticas.

39
7. Recomendaciones pedagógicas
para el desarrollo de la competencia
matemática en el marco de la
evaluación PISA
El enfoque basado en la resolución de problemas orienta el proceso educativo hacia la resolución
de problemas matemáticos en situaciones de diversos contextos (Gramvemijer K., Teruel J.,
Freudental H., 2000). Para hacer realidad este enfoque en situaciones de enseñanza es necesario
que se planteen y resuelvan problemas de diversos contextos y que respondan a las necesidades
e intereses de los estudiantes.
Un insumo de primera calidad para el desarrollo de la competencia matemática lo proveen las
Rutas del Aprendizaje, en las que se plantean actividades de aprendizaje para el desarrollo de las
competencias matemáticas de los estudiantes.
Por otro lado, es posible abordar los ítems tipo PISA en los proceso de evaluación y de enseñanza.
Aunque en realidad, enseñar y evaluar son dos caras de la misma moneda, y se distinguen
solamente por la intencionalidad con que se realizan y por las decisiones que se derivan de cada
uno de estos procesos, tal como afirman Coll y Martín (1996):
Las prácticas de la evaluación son inseparables de las prácticas pedagógicas. No son dos cosas
distintas, ni siquiera dos cosas complementarias: son una sola y misma cosa vista desde dos
perspectivas diferentes. La evaluación es inseparable de la planificación y desarrollo de la acción
didáctica. Cuando se toma una opción de metodología didáctica, se está tomando, aunque sea
implícitamente, una decisión de evaluación.
Mientras evaluamos, enseñamos; pero también cuando enseñamos, estamos evaluando.
A continuación, algunas recomendaciones finales para el desarrollo de la competencia
matemática:

40
1. Utilice la matemática en situaciones contextualizadas reales y genuinas.
Las competencias no son en sí mismas conocimientos, saberes o actitudes, movilizan
e integran este tipo de recursos, y esta movilización es pertinente solo cuando está
contextualizada.
2. Plantee situaciones problemáticas de alta demanda cognitiva.
Asimismo, las competencias implican la puesta en marcha de actividades complejas,
por lo que no es suficiente con situar las actividades en determinado contexto,
conviene que estas actividades sean problemáticas.
3. Incluya situaciones de evaluación auténtica.
Para el desarrollo de la competencia matemática es necesario plantear actividades
de evaluación auténtica. Recordemos que una actividad de evaluación es auténtica
cuando las condiciones de la prueba y la demanda cognitiva se corresponden con las
necesidades reales de los estudiantes en tanto ciudadanos o futuros profesionales.
Usted puede encontrar más ejemplos de este tipo de situaciones en los siguientes
enlaces:
<http://www.mecd.gob.es/dctm/inee/internacional/pisa2012-
resolucionproblemas/preguntasliberadasmatematicasweb.
pdf?documentId=0901e72b81936c1a>
<http://umc.minedu.gob.pe/wp-content/uploads/2012/05/Matem%C3%A1tica-
preguntas-PISA-liberadas-2000-2003-2012.pdf>
Sin embargo, es recomendable que usted mismo dedique un tiempo a crear
actividades y evaluaciones de este tipo. El acceso a información diversa con
contenido matemático se ha visto enormemente facilitado con el uso de internet.
Navegue en internet en busca de situaciones que considere de interés y que tengan
un contenido matemático aprovechable. Algunas ideas pueden ser:
<http://www.sutran.gob.pe/portal/images/ranking_ipa/ranking_Ene_jun2012.pdf>
<http://www.profesorenlinea.cl/fisica/Detencion_de_movil.html>
<http://www.fierasdelaingenieria.com/los-aviones-de-pasajeros-mas-grandes-del-
mundo/>

41
4. Incorpore el uso de soportes electrónicos para la manipulación, cálculo,
justificación y registro de procedimientos matemáticos.
Entre ellos, editores de ecuaciones y software matemáticos de uso libre, tales como
GeoGebra,Desmos,etc.Losenlacesadichosprogramassemuestranacontinuación:
<https://www.desmos.com/calculator>
<https://www.geogebra.org/>
Asimismo en este enlace encontrará más ejemplos de preguntas de PISA en formato
electrónico.
<http://erasq.acer.edu.au/index.php?cmd=toMaths>
5. Promueva entre sus estudiantes la argumentación o explicación de sus
ideas matemáticas.
Utilice en su práctica cotidiana actividades de argumentación y explicación de
sus razonamientos. Plantee situaciones que generen debates sobre estrategias,
procedimientos o conclusiones lógicas para que sus estudiantes analicen la
corrección fundamentando claramente sus razones.
6. Incentive la escritura en la clase de matemática y la comprensión de textos
matemáticos.
La comprensión de los enunciados y soportes gráficos es fundamental para la
resolución de problemas en general. Asegúrese de que sus estudiantes comprenden
lo que leen, plantéeles preguntas al respecto, solicite que usen sus propias palabras
para describir la situación problemática, que identifiquen qué información les
resultará útil para responder a una pregunta o no.
7. Incluya actividades de modelamiento.
Plantee a sus estudiantes patrones diversos y contextualizados y anímelos a
generalizar estos haciendo uso de variables y otro tipo de representaciones.
8. Anime asusestudiantesaresolver unproblemausandodiversasestrategias
y discuta sobre ellas.
El peso en la clase de matemática debe trasladarse de encontrar la respuesta a un
problema (muchas veces de forma irreflexiva), a una reflexión profunda sobre las
estrategias con las que este puede ser resuelto. Otorgue una importancia clave a las
representaciones gráficas.

42
Anexo 1:
Análisis de algunas preguntas liberadas de la evaluación PISA
Los nuevos CD de los grupos BTA Bailar y Caballos Desbocaos salieron a la venta
en enero. En febrero los siguieron los CD de los grupos Amor de Nadie y Los
Metalgaites. El siguiente gráfico muestra las ventas de CD de estos grupos desde
enero hasta junio.
LISTA DE ÉXITOS
Pregunta 1:
¿Cuántos CD de la banda Metalgaites se han vendido en abril?
A. 250
B. 500
C. 1000
D. 1270
Pregunta 2:
¿En qué mes vendió por primera vez el grupo Amor de Nadie más CD que el
grupo Caballos Desbocaos?
A. En ningún mes.
B. En marzo.
C. En abril.
D. En mayo.
BTA Bailar
Amor de Nadie
Caballos Desbocaos
Los Metalgaites
1250
1500
1750
2000
2250
1000
750
500
250
0
Mes
Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio
Ventas de CD por mes
NúmerodeCDvendidospormes

43
Pregunta 3:
El mánager de Caballos Desbocaos está preocupado porque el número de CD
vendidos disminuyó de febrero a junio. ¿Cuál es el volumen de ventas estimado
para julio si continúa la misma tendencia negativa?
A. 70 CD
B. 370 CD
C. 670 CD
D. 1340 CD
Análisis:
Las tres preguntas de esta unidad pertenecen a la categoría de contenido incertidumbre y datos,
pues en ellas se pide a los estudiantes que lean, interpreten y utilicen datos presentados de
forma gráfica y matemática.
La pregunta 1 requiere la lectura directa de los datos del gráfico para responder a una cuestión
sobre el contexto. Los estudiantes tenían que familiarizarse con la información presentada,
identificar la serie de datos que representa las ventas del grupo mencionado y la barra
correspondiente al mes indicado en esa serie, y leer el valor de 500 CD directamente en el eje
vertical.
Para responder a la pregunta 2, los estudiantes deben prestar atención a la relación entre dos
series de datos que se muestran en el gráfico de barras y tener en cuenta cómo varía esa relación
a lo largo del periodo indicado, para ver que la circunstancia especificada en la pregunta se
produjo por primera vez en abril.
La pregunta 3 es algo distinta de las dos primeras, pues se centra fundamentalmente en la
comprensión de una relación matemática representada en el gráfico y su extrapolación para
predecir el valor del siguiente mes.
Las tres preguntas están incluidas en la categoría de contexto social, pues los datos están
relacionados con información de carácter público sobre las ventas de la música, del tipo que
podría encontrarse en un periódico, revista musical o internet.
Las dos primeras preguntas son un ejemplo de la categoría de proceso “interpretación”, pues
entrañan la interpretación de la información matemática presentada en el gráfico con relación a
las características contextuales presentadas; pero la tercera pregunta encaja en la categoría de
“emplear”, pues se centra en la aplicación de conocimientos procedimentales para manipular la
representación matemática con el fin de realizar una nueva inferencia.

44
El Monte Fuji es un famoso volcán inactivo del Japón.
SUBIDA AL MONTE FUJI
Pregunta 1:
La subida al Monte Fuji solo está abierta al público desde el 1 de julio hasta el
27 de agosto de cada año. Alrededor de unas 200 000 personas suben al Monte
Fuji durante este periodo.
Como media, ¿alrededor de cuántas personas suben al Monte Fuji cada día?
A. 340
B. 710
C. 3400
D. 7100
E. 7400
Pregunta 2:
La ruta de Gotemba, que lleva hacia la cima del Monte Fuji, tiene unos 9
kilómetros (km) de longitud. Los caminantes tienen que de la caminata de 18
km a las 20:00 horas.
Toshi calcula que puede ascender la montaña caminando a 1,5 kilómetros por
hora, como media, y descenderla al doble de velocidad. Estas velocidades tienen
en cuenta las paradas para comer y descansar.
Según las velocidades estimadas por Toshi, ¿a qué hora puede, como muy tarde,
iniciar su caminata de modo que pueda estar de vuelta a las 20:00 horas?
Respuesta:
Pregunta 3:
Toshi llevó un podómetro para contar los pasos durante su recorrido por la ruta
de Gotemba. Según el podómetro, dio 22 500 pasos en la subida.
Calcula la longitud media del paso de Toshi en su ascención de 9 km por la ruta
de Gotemba. Expresa tu respuesta en centímetros (cm).
Respuesta cm

45
SUBIDA AL MONTE FUJI
La segunda unidad de ejemplo es la titulada “SUBIDA AL MONTE FUJI”. La primera pregunta es
de elección múltiple sencilla y la segunda y la tercera son de respuesta construida y requieren
una contestación numérica.
La pregunta 1 requiere que se calcule el número medio de personas al día. La estrategia usual
supone obtener el número de días a partir de las fechas facilitadas y utilizar esa información para
determinar la media.
La pregunta 2 implica elaborar un plan con tres partes principales. Se tiene que calcular las
horas que lleva ascender y descender la montaña a partir de las velocidades medias para, a
continuación, calcular la hora de salida a partir de la hora de llegada y la duración de la caminata.
En la pregunta 3 el principal objetivo es calcular la longitud media del paso a partir de la distancia
y el número de pasos, siendo obligatoria la conversión de las unidades.
Las preguntas 1 y 3 pertenecen a la categoría de contenido cantidad, pues en ellas se pide a los
alumnos que realicen cálculos utilizando fechas y medidas y que hagan conversiones.
El concepto clave de la pregunta 2 es la velocidad y, por tanto, se encuentra en la categoría de
contenido cambio y relaciones.
Todas ellas pertenecen a la categoría de contexto social, pues los datos hacen referencia al
acceso del público al Monte Fuji y a sus rutas.
Las dos primeras preguntas son ejemplos de la categoría de proceso “formular”, ya que la
principal exigencia de estas preguntas implica la elaboración de un modelo matemático que
pueda dar respuesta a las preguntas planteadas.
Lapregunta3seubicaenlacategoría“emplear”,puesenestecasolaprincipalexigenciaescalcular
un promedio, asegurándose de que la conversión de las unidades se realiza correctamente, de
ahí que se trabaje fundamentalmente en los detalles del problema más que en la asociación de
esos detalles con los elementos contextuales.

46
PIZZA
Una pizzería ofrece dos pizzas redondas del mismo grosor en diferentes tamaños.
La pequeña tiene 30 cm de diámetro y cuesta 30 zeds. La grande tiene 40 cm de
diámetro y cuesta 40 zeds.
¿Qué pizza es la mejor opción en relación con su coste? Escribe tu razonamiento.
LA PIZZA
La pregunta de respuesta construida abierta titulada “LA PIZZA” es simple en su forma pero rica
en contenido e ilustra varios elementos del marco de matemáticas.
“LA PIZZA” se inserta en el contexto personal, con el que estarían familiarizados muchos jóvenes
de 15 años. Esto es así porque la pregunta planteada es qué pizza es la mejor opción para el
comprador en relación con su coste.
Los precios se presentan en una moneda neutral denominada zed. El tamaño y el precio están
relacionados a través del concepto de relación calidad-precio.
La pregunta hace uso de diversas áreas de las matemáticas. Tiene elementos geométricos que
normalmente se clasifican dentro de la categoría de contenido espacio y forma. Las pizzas se
pueden modelar como cilindros finos, de modo que se necesita el área del círculo. La pregunta
también incluye la categoría de contenido cantidad, con la necesidad implícita de comparar
la cantidad de pizza con la cantidad de dinero. No obstante, la clave del problema está en la
conceptualización de las relaciones entre las propiedades de las pizzas y en cómo las propiedades
relevantes cambian de la pizza pequeña a la grande. Puesto que esos aspectos constituyen la
parte fundamental del problema, esta pregunta se clasifica dentro de la categoría de contenido
cambio y relaciones.
La pregunta pertenece a la categoría de proceso “formulación”. Un paso clave para resolver
este problema, de hecho la mayor exigencia cognitiva, es la de formular un modelo matemático
que refleje el concepto de relación calidad-precio. La persona que resuelve el problema debe
reconocer que, puesto que en teoría las pizzas tienen un grosor uniforme y los grosores son
idénticos, el análisis puede centrarse en el área de la superficie circular de la pizza en vez de
en el volumen o la masa. De ese modo, la relación entre la cantidad de pizza y la cantidad
de dinero queda reflejada en el concepto de relación calidad-precio bajo la forma «coste por
LA PIZZA
Una pizzería ofrece dos pizzas redondas del mismo grosor en diferentes tamaños.
La pequeña tiene 30 cm de diámetro y cuesta 30 zeds. La grande tiene 40 cm de
diámetro y cuesta 40 zeds.
¿Qué pizza es la mejor opción en relación con su coste? Escribe tu razonamiento.

47
unidad de área». Variantes tales como área por coste unitario también son posibles. Dentro
del mundo matemático, la relación calidad-precio puede entonces calcularse directamente y
compararse para los dos círculos, correspondiendo una cantidad más pequeña al círculo mayor.
La interpretación en el mundo real es que la pizza grande es la mejor opción en relación con su
coste.
Una forma alternativa de razonamiento que revela aún más claramente la clasificación de la
pregunta en cambio y relaciones sería decir (explícita o implícitamente) que el área de un círculo
aumenta en proporción al cuadrado del diámetro, de modo que ha aumentado en una razón de
(4/3)2
, mientras que el precio solo se ha incrementado en una proporción de (4/3). Puesto que
(4/3)2
es mayor que (4/3), la pizza grande es la mejor opción.
Si bien la principal exigencia y la clave para resolver este problema procede de la formulación,
lo que sitúa a esta pregunta en la categoría de proceso “formula”, hay aspectos de los otros
dos procesos matemáticos que son evidentes en esta pregunta. El modelo matemático, una vez
formulado, debe emplearse de forma eficaz, aplicando el razonamiento adecuado junto con el
uso de los conocimientos matemáticos apropiados y los cálculos del área y la razón. El resultado
debe entonces interpretarse correctamente en relación con la pregunta original.
BASURA
Para hacer un trabajo sobre el medio ambiente, unos estudiantes han recogido
información sobre el tiempo de descomposición de varios tipos de basura que
la gente desecha:
Un estudiante piensa en cómo representar los resultados mediante un diagrama
de barras. Da una razón de por qué no resulta adecuado un diagrama de barras
para representar estos datos.
Tipos de basura Tiempo de descomposición
Cáscara de plátano 1-3 años
Cáscara de naranja 1-3 años
Cajas de cartón 0,5 años
Chicles 20-25 ños
Periódicos Unos pocos días
Vasos de plástico Más de 100 años

48
La pregunta “BASURA”, mostrada en la página anterior, también se presenta para ilustrar los
aspectos del marco de matemáticas. Esta pregunta se enmarca en un contexto científico, pues
maneja datos de naturaleza científica (tiempos de descomposición). La categoría de contenido
matemático es incertidumbre y datos, ya que está relacionada fundamentalmente con la
interpretación y presentación de datos, aunque la cantidad está presente en la exigencia implícita
de reconocimiento de las dimensiones relativas de los intervalos de tiempo pertinentes. La
categoría de proceso matemático es “interpreta”, puesto que se presta atención a la valoración
de la eficacia del resultado matemático (en este caso un diagrama de barras imaginado o
esbozado) en la representación de los datos relativos a los elementos contextuales del mundo
real. La pregunta implica razonar sobre los datos facilitados, pensar de forma matemática sobre
las relaciones entre ellos y su presentación y valorar el resultado. La persona que resuelve
el problema debe darse cuenta de que sería difícil presentar estos datos adecuadamente en
un diagrama de barras por una de dos razones: o bien por el amplio intervalo de tiempo de
descomposición de algunas categorías de basura (dicho intervalo no se puede mostrar fácilmente
en un diagrama de barras estándar), o bien por la enorme variación en la variable tiempo entre
los tipos de basura (de modo que en un eje temporal donde se pudiese representar el periodo
más largo, los periodos más cortos serían invisibles). Respuestas como las que se reproducen a
continuación obtuvieron puntuación.
Respuesta 1:
«Porque sería difícil hacerlo en un diagrama de barras, pues hay 1-3; 1-3;
0,5, etc., de modo que sería difícil hacerlo exactamente».
Respuesta 2:
«Porque hay una enorme diferencia entre la suma más alta y la más baja,
por tanto, resultaría difícil ser precisos con 100 años y unos cuantos días».

49
Anexo 2:
Algunas preguntas liberadas en su versión electrónica
GRÁFICOS
Este gráfico no tiene título ni etiquetas en los ejes.
Pregunta 1: GRÁFICOS CM010Q01
¿Qué título de gráfico y etiquetas de ejes encajan mejor con los datos anteriores?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Variación de la cantidad de carbón que queda en una mina activa.
Tiempo (meses)
Cantidaddecarbónquequeda
Gráfico
A

50
Variación de la masa corporal de un bebé sano
Tiempo (meses)
Masacorporal
Gráfico
C
Variación de la temperatura máxima mensual de una ciudad
Tiempo (meses)
Temperaturamáximamensual
Gráfico
B
Variación de temperatura en una taza de café caliente
Tiempo (meses)
Temperatura
Gráfico
D
?

51
Pregunta 2: GRÁFICOS CM010Q02
Arrastra y coloca cada una de las barras sobre el eje Tiempo (años) para señalar cómo han
cambiado las reservas de petróleo a lo largo del periodo de 10 años.
?
GRÁFICOS
Los datos sobre las reservas de petróleo de un país son registrados durante un periodo de
10 años.
El país no importa petróleo ni se han descubierto nuevas reservas de petróleo en ese país
durante dicho periodo.
El diagrama de abajo muestra un conjunto de ejes etiquetados.
Las barras de la derecha del diagrama representan la cantidad de reservas de petróleo de
cada año, pero no están en el orden correcto.
Variación en las reservas de petróleo de un país a lo largo de 10 años
1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Reservas de
petróleo
(millones de
toneladas)
REINICIAR
Tiempo (años)

52
IMPRESIÓN DE FOTOS
La tabla muestra los precios de cuatro tiendas de fotografía digital online.
Puedes comparar los precios de todos los formatos, desde el formato pequeño de 4”x6” a
los pósters de 20”x30”.
Todos los precios están en zeds y son por foto. Los descuentos y los gastos de envío no
están incluidos en esta tabla.
1. Para más información sobre
descuentos y gastos de envío, por
favor, pincha en el nombre de la
tienda en la primera columna.
2 . El índice de satisfacción del cliente se
basa en una encuesta a los clientes
en la que se les pide que valoren
la calidad del servicio de 0 a 3. La
puntuación es media y está entre 0
y 3, siendo 3 la puntuación más alta
posible. La barra amarilla muestra la
puntuación. Situando el cursor sobre
cada barra, puedes ver el número de
clientes que contestaron a la encuesta.
Pregunta 1: IMPRESIÓN DE FOTOS CM030Q01
Según la información de la tabla, ¿es Foto 2000 la tienda más barata para imprimir una
foto en cada formato? Explica tu respuesta.

53
Esteban dice que en ImpreZona, el formato 20”x30” cuesta, aproximadamente, 30 veces
más que el formato 4”x6” cuando solo quieres imprimir una foto.
Está equivocado. ¿Por qué?
Foto 2000 ofrece un descuento para pedidos grandes, como se puede ver al pinchar sobre
el nombre de la tienda en la tabla. Además, este mes tiene una oferta con un descuento
adicional del 10 %.
¿Cuánto pagará Esteban en Foto 2000 por 100 fotos en formato 4»x6», sin incluir los
gastos de envío?
Respuesta: zeds
El índice de satisfacción del cliente para Superfoto es muy alto, pero este valor puede ser
menos fiable de lo que es para las otras tres tiendas.
Explica por qué.

54
Capturas de pantalla al pinchar en el nombre de cada una de las tiendas.
Nótese que en cada caso aparece información adicional relativa al precio por cantidad de fotos y
gastos de envío. Esta información es necesaria para responder a la pregunta 3.
Capturas de pantalla al situar el cursor sobre cada barra.

55
Nótese que, en cada caso, aparece información adicional relativa al número de clientes que
contestaron la encuesta. Esta información es necesaria para responder a la pregunta 4.

56
Referencias
GOÑI ZABALA, Jesús María (2008). El desarrollo de la competencia matemática en el currículo
escolar de la Educación Básica. País Vasco: Consulta: 15 de marzo de 2015.
˂http://revistas.um.es/educatio/article/view/71091˃
MINISTERIO DE EDUCACIÓN DEL PERÚ (s. f.). Preguntas PISA de ciclos anteriores (PISA 2000 –
PISA 2003 – 2012). Lima: Minedu. Consulta: 15 de marzo de 2015.
˂http://umc.minedu.gob.pe/wp-content/uploads/2012/05/Matem%C3%A1tica-preguntas-
PISA-liberadas-2000-2003-2012.pdf˃
MINISTERIO DE EDUCACIÓN DEL PERÚ (2015). Rutas del Aprendizaje Versión 2015. ¿Qué y
cómo aprenden nuestros estudiantes? VI Ciclo. Área Curricular Matemática. 1° y 2° grados de
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