El documento explica los conceptos de multiplicación, división entera y sus propiedades. Incluye ejemplos de problemas de multiplicación y división, con sus respectivas resoluciones.

1. Prof. Jenner Huamán Callirgos

3. Dados 2 números naturales a y b, se llama producto de a y b la cual se
denota a.b al número natural P, tal que a.b = P.
Se denomina “multiplicación” a la operación que hace corresponder a
ciertos pares de números naturales (a;b) su producto a.b
Multiplicación
a . b = P
a: multiplicando
b: multiplicador
P: producto
5 2 4 x
6 7
3 6 6 8
3 1 4 4
3 5 1 0 8
multiplicando
multiplicador
Productos
parciales
Producto total

4. División
División Entera: Es la operación inversa de la multiplicación que tiene
por objeto, dados dos números: dividendo (D) y divisor (d). Hallar un
tercer número llamado cociente (q) que indica cuantas veces contiene
el dividendo al divisor.
dD
qR
D: dividendo
d : divisor
q : cociente
R : residuo

5. CLASES DE DIVISIÓN
A. División entera exacta: Es
aquella en la cual el dividendo
contiene al divisor un número
entero de veces, es decir cuando
el residuo es cero.
dD
q0
⇒ D = d . q
B. División entera inexacta:
Cuando el residuo es mayor que
cero.

6. B.1. División entera inexacta por defecto.
dD
qR
⇒ D = d . q + R
B.2. División entera inexacta por exceso.
dD
(q+1)Re
⇒ D = d(q + 1) - Re

7. PROPIEDADES
R + Re = divisor
I. En toda división se cumple que el
residuo es menor que el divisor.
cero ≤ residuo < divisor
II. En la división entera inexacta se
cumple que: Residuo máximo = divisor – 1
Residuo mínimo = 1
III. Cuando una división se realiza
por defecto y por exceso, se cumple
que la suma de residuos es igual al
divisor.
IV. Si se multiplica o divide el dividendo y divisor de una división entera
por un mismo número, el cociente no varía pero el residuo según el caso
queda multiplicado o dividido por dicho número.

10. Aplicación
1. ¿En cuantas veces su valor habrá aumentado el producto de
tres factores, sabiendo que uno de ellos aumentó en su duplo, otro
en su triple y el tercero en su cuádruple?
a) 24 veces b) 59 veces c) 60 veces
d) 20 veces e) 30 veces
Resolución

11. 2. El producto de dos números es 720, si se añaden 6 unidades al
multiplicando, el producto es entonces 816. ¿Cuál es el
multiplicador?
a) 72 b) 36 c) 45 d) 16 e) 32
Resolución

12. 3. Hallar un número de tres cifras que multiplicado por 73
termine en 417. Dar el producto de sus cifras.
a) 15 b) 18 c) 32 d) 42 e) 72
Resolución

13. 4. En una división el cociente es 18, el divisor el doble del cociente y
el residuo el máximo posible. Hallar la suma de cifras del dividendo.
a) 12 b) 17 c) 21 d) 25 e) 29
Resolución

14. 5. Hallar el mayor número entero que al dividirlo entre 70 se obtenga
un cociente que es la raíz cuadrada del resto.
a) 602 b) 632 c) 532 d) 624
e) 642
Resolución

15. 6. ¿Cuál es el mayor número entero que al dividirse entre 45 da
por residuo el triple del cociente? Dar como respuesta la suma de
sus cifras.
a) 10 b) 12 c) 16 d) 15 e) 572
Resolución

16. 7. ¿Cuántos números existen tales que al dividirlas entre 25, su
residuo es el doble del cociente? (UNFV-2010)
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
Resolución

17. 5x7abcde abcde78. Hallar: a + b + c + d + e, si: =
a) 19 b) 20 c) 21 d) 24 e) 27
Resolución

18. × =
× =
× =
abc m 2247
abc n 2568
abc p 2889
×abc mnp
9. Si:
Hallar:
A) 252369 B) 253296 C) 252396 D) 253692 E) 253269
Resolución

19. 10. Cuantos números de 4 cifras existen tal que al dividirlos entre 45
se obtiene un cociente que es el cuádruple del residuo.
A) 39 B) 41 C) 45 D) 47 E) 50
Resolución

20. 11. Si: mnpq ×999 = …5317.
Calcular: “m+n+p+q”
A) 16 B) 24 C) 21 D) 15 E) 18
Resolución

21. 12. Hallar un número de 5 cifras tal que al multiplicarse por el máximo
número de 5 cifras termina en 11456.
A) 87654 B) 88455 C) 88544 D) 77544 E) 88522
Resolución

22. 13. Hallar la suma de todos los números N, tales que multiplicados
por 7 se obtiene como resultado un número de 2 cifras cuyo orden
es distinto al que se obtiene cuando se multiplica N por 4.
a) 22 b) 24 c) 26 d) 28 e) 30
Resolución

23. 14. Hallar el mayor número de k cifras diferentes, tal que,
multiplicado por el mayor número de k cifras, el producto obtenido
tenga como suma de cifras el valor de 45. Señale como repuesta la
suma de las cifras del mayor y menor orden del número buscado.
a) 13 b) 14 c) 16 d) 15 e) 17
Resolución

24. 15. Hallar el mayor número que multiplicado por otro de dos cifras
diferentes, dé como resultado un número de 6 cifras iguales.
a) 62973 b) 76923 c) 92763
d) 90909 e) 27027
Resolución

26. 1. La suma de los productos parciales de es 4 887.
Hallar "a + b + c".
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥243
2. Si: abc . m = 615 y abc . n = 369, hallar abc . mnm y dar
como respuesta la suma de sus cifras.
a) 18 b) 21 c) 24 d) 27 e) 30
3. Hallar "a + b + c", si: abc × 87 = …511
a) 12 b) 15 c) 18 d) 21 e) 24

27. 4. Si: abc × 237 = dd973, calcule la suma de los productos
parciales.
a) 3 946 b) 3 947 c) 3 948 d) 3 949 e) 3 950
5. En una división inexacta, el dividendo es 379, el
cociente 18 y el residuo es máximo. Hallar el divisor.
a) 16 b) 17 c) 19 d) 20 e) 21
6. Hallar el mayor número que dividido entre 70 genera un
residuo que es el triple del cociente.
a) 1 512 b) 1 613 c) 1 679 d) 1 719 e) 1 812

28. 7. En una división inexacta, al residuo le faltan 15 unidades
para ser máximo y le sobran 9 unidades para ser mínimo.
Si el cociente es 18, hallar el dividendo.
a) 196 b) 252 c) 384 d) 424 e) 478
8. En una división inexacta, el divisor es 24 y el residuo 5.
¿Cuántas unidades se le deben adicionar como máximo al
dividendo, para que el cociente aumente en 3 unidades?
a) 72 b) 78 c) 81 d) 90 e) 100
9. Hallar "a + b + c + d", si: abcd × 9 999 = ... 3648
a) 12 b) 14 c) 16 d) 19 e) 23

29. 10. Sabiendo que: abc . a = 5 201
abc . b = 2 972
abc . c = 2 229
hallar la suma de las cifras de: abc2
a) 15 b) 18 c) 23 d) 24 e) 25
11. Al multiplicar un número por 37, se observa que la
diferencia de los productos parciales es 772. Hallar la suma
de las cifras del producto.
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

30. 12. Disminuyendo en 3 a cada término de una
multiplicación, el producto disminuye en 231. Halle los
factores, si la diferencia de ellos es 36.
a) 58 y 22 b) 57 y 21 c) 56 y 20 d) 59 y 23 e) 60 y 24
13. En una división inexacta, se observa que el divisor es 4
veces más que el residuo y si al residuo se le disminuye en
17 se volvería mínimo. Halle la suma de cifras del
dividendo, si el cociente es los 5/3 del residuo.
a) 15 b) 18 c) 10 d) 12 e) 13

31. 14. Se realiza una división tanto por defecto como por
exceso y se obtuvo que la suma de los cocientes fue 45,
la suma de los residuos fue 34 y el residuo por exceso
es excedido por el residuo por defecto en 14. Hallar el
dividendo.
a) 612 b) 657 c) 772 d) 814 e) 872
15. Si en el último día del año 2010, varios amigos
dividen su año de nacimiento entre el día en que
nacieron obtienen de residuo por exceso la edad que
tienen, ¿cuántos amigos son como máximo, si los días
de nacimiento son diferentes?
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

32. 16. ¿Cuántos números de cuatro cifras que comienzan
y terminan en 5 son tales que divididos entre otro
número entero se obtiene 17 de cociente y un residuo
máximo?
a) 11 b) 12 c) 10 d) 14 e) 15