Este documento presenta 8 problemas relacionados con el cálculo de rentabilidad esperada, varianza y desviación estándar de portafolios de inversión utilizando el modelo CAPM. Los problemas incluyen calcular estas métricas para portafolios compuestos por diferentes activos, determinar las tasas de retorno esperadas de acciones dados sus betas, y calcular los pesos óptimos de activos en una cartera.

1. 1
Ejercicios resueltos de Riesgo y Rentabilidad
Problema 1 : Calcule la rentabilidad esperada, la varianza y el desvío standard de un portafolio
formado por ambas acciones en partes iguales:
Escenario Probabilidad Retorno de A Retorno de B
Recesión 25% -4 % 9 %
Normal 40% 8% 4 %
Boom 35% 20% -4 %
E(r)A = 0.25 (-0.04) + 0.40 0.08 + 0.35 0.20 = 0.092
E(r) = 05825.0
2
0245.0092.0


E(r)B = 0.25 0.09 + 0.40 0.04 + 0.35 (-0.04)= 0.0245
(HACER EL DESVIO)
Rta: E(r )=5,83% 2,1%
Problema 2 : Un inversor posee un capital de $100.000 y está evaluando cómo invertirlo.
Suponga que está considerando invertir en dos activos riesgosos, A y B, y un activo libre de
riesgo, F. A continuación se proporciona la información sobre rentabilidades esperadas, riesgo
y correlación:
Rendimiento Esperado Desvío
Acción A 20% 30%
Acción B 15% 20%
Bonos del Tesoro (F) 5%
El coeficiente de correlación entre la rentabilidad de la acción A y la de la acción B es 0.25.
a) La rentabilidad esperada y el riesgo del portafolio si el inversor decide invertir $50.000 en
el activo A y $50.000 en el activo B.
%20
400%20*%30*25.0*5.0*5.0*220*5.030*5.0
%5.17%15*5.0%20*5.0)(
22222



p
p
prE


b) La rentabilidad esperada y el riesgo de un portafolio compuesto por $25.000 en el
activo A y $75.000 en bonos del tesoro.
%5.7
25.5630*25.0
%75.8%5*75.0%20*25.0)(
222



p
p
prE

 Los bonos del tesoro no tienen riesgo.

2. 2
c) La rentabilidad esperada y el riesgo de un portafolio compuesto por los tres activos en
las siguientes proporciones: 35% en A, 25% en B y 40% en F.
%71.12
5.16120*30*25.0*25.0*35.0*220*25.030*35.0
%75.12%5*4.0%15*25.0%20*35.0)(
22222



p
p
prE


d) Conforme al CAPM, si conocemos que el beta del activo A es 1,05 ¿Cuál sería la
rentabilidad esperada del portafolio de mercado y el beta de los otros dos activos, B y
F?
 
0
:esFactivodelbetaEl
7.0
5285.19
515
:seráBactivodelbetaEl
%285.195
05.1
520
)5(*05.1520
)(
F
B















fm
fB
mm
fmAfA
rr
rr
rr
rrrrE
e) ¿Cuál sería el costo del capital propio de la acción de una empresa C, conforme al
CAPM, si tal acción tiene la misma volatilidad o desvío estándar que la de la empresa
B?
Respuesta: Para conocer el rendimiento esperado de la acción de la empresa C
deberíamos conocer su Beta, información que no se nos brinda. Dos activos pueden
tener la misma volatilidad o desvío estándar pero ello no significa que deban tener la
misma rentabilidad esperada conforme al CAPM. El beta de un activo determina su
rentabilidad esperada, pues este es la medida del riesgo relevante o remunerable de un
activo (riesgo sistemático, de mercado o no diversificable).
f) Si la correlación entre el activo A y el activo B fuera 1 ¿Cuál sería el desvío estándar de
la cartera del punto a)?
%25
625%20*%30*1*5.0*5.0*220*5.030*5.0 22222


p
p


g) Puede comprobar fácilmente que el desvío estándar de la rentabilidad del portafolio del
punto anterior es un promedio ponderado del desvío de los activos que lo integran ¿Es
este resultado siempre válido?
Respuesta:

3. 3
%2520*5.030*5.0 p
La afirmación que el desvío estándar del portafolio es un promedio ponderado del
desvío de los activos que lo integran es correcta en este caso que rho=1. Pero ese
resultado no es válido para coeficientes de correlación distintos de 1. En el caso
planteado, no hay efecto diversificación pues los activos están perfectamente
correlacionados. Para coeficientes de correlación diferentes de 1 el desvío del
portafolio será menor al promedio del desvío de los activos (efecto diversificación.)
h) Si los rendimientos del activo A y del activo B fueran independientes (coef. De
correlación igual a 0) ¿Cuál sería el desvío del portafolio del punto anterior? Hay en
este caso efecto diversificación?
%03.18
325%20*%30*0*5.0*5.0*220*5.030*5.0 22222


p
p


Si, hay efecto diversificación.
Problema 3: ¿Cuál es el rendimiento esperado del portafolio de mercado en un momento en
que el rendimiento de las letras del Tesoro es de 5% y una acción con una beta de 1,25 tiene
un rendimiento esperado de 14%?
  122.005.0
25.1
05.014.0
)(05.0)(25.105.014.0 

 MM rErE
Rta.: 12,2%
Problema 4: ¿Cuál es la tasa de retorno esperada por un inversor sobre una acción que tiene
una beta de 0,9 cuando el rendimiento del mercado es del 15%, y las Letras del Tesoro rinden
un 7%?
  142.007.015.09.007.0)( rE
Rta.: 14,2%
Problema 5: ¿Qué retorno podría esperar un inversor cuyo portafolio está compuesto en un
75% por el portafolio del mercado y en un 25% por Letras del tesoro, si la tasa libre de riesgo
es del 5% y la prima de riesgo del mercado es de 9%?
1175.005.025.014.075.0)(
14.005.009.0)(


rE
rE M
Rta: 11,75%

4. 4
Problema 6 : Una acción tiene a = 0,8 y E(ra) = 13% anual. La rentabilidad del activo libre de
riesgo es 4% anual.
1. ¿Cuál será el rendimiento esperado de una cartera igualmente invertida en ambos
activos?
085.004.05.013.05.0)( cartrE
2. Si el  de una cartera formada por estos dos activos es 0,6 ¿cuál será el peso de cada
activo?
25.01
75.0
8.0
6.0
08.0


af
afacart
xx
xxx
Problema 7: La rentabilidad de las letras del tesoro es del 4%, y la rentabilidad esperada de la
cartera de mercado es de 12%. Basándose en el CAPM:
1. ¿Cuál es la prima de riesgo de mercado?
08.004.012.0 prima
2. Cuál es la rentabilidad deseada para una inversión con un beta de 1,5?
16.008.05.104.0)( rE
3. Si el mercado espera una rentabilidad de 11,2% de la acción X, ¿cuál es la beta de
esta acción?
09.0
04.012.0
04.0112.0



X
Problema 8: Suponga que usted hubiera invertido 30.000 dólares en las cuatro siguientes
acciones.
Título Cantidad Invertida Beta
Acciones A $5.000 0.75
Acciones B $10.000 1.10
Acciones C $8.000 1.36
Acciones D $7.000 1.88
La tasa libre de riesgo es de 4% y el rendimiento esperado de la cartera de mercado es de
15%. Basándose en el CAPM ¿cuál será el rendimiento esperado de la cartera?
Respuesta: El beta de la cartera es un promedio ponderado del beta de los activos que lo
integran.

5. 5
Entonces este beta será:
(5000/30000)*0,75+(10000/30000)*1,10+(8000/30000)*1,36+(7000/30000)*1,88= 1,293
La rentabilidad esperada de la cartera será:
4 + 1.293 (15 – 4) = 18.22%