1) Un dilema es un argumento lógico cuya premisas son condicionales con antecedentes complementarios y consecuentes negativos que concluyen necesariamente. 2) Existen diferentes tipos de dilemas como los constructivos y destructivos que siguen leyes de implicación notable. 3) La reducción al absurdo es un método lógico que consiste en negar una proposición para llegar a una contradicción y así demostrar la proposición original.

1. ¿QUÉ ES UN DILEMA? RAFAEL MORA

2. DEFINICIÓN Es un argumento cuyas premisas son condicionales que tienen antecedentes complementarios y, además, tienen consecuentes negativos que constituyen la conclusión necesaria. Lógicamente, 1. p -> q 2.  p -> q 3. p   p //  q Esto tenemos que demostrarlo pero para ello estudiaremos primero otros dilemas, la reducción al absurdo y una tautología. La lógica proposicional considera como dilemas a los constructivos (simples o complejos) y a los destructivos (simples o compuestos) que veremos a continuación como leyes de implicaciones notables adicionales.

3. LEYES DE IMPLICACIONES NOTABLES Dilema Constructivo Compuesto (DCC): a partir de dos fórmulas condicionales y de la disyunción de sus antecedentes, se obtiene la disyunción de sus consecuentes. 1. A->B 2. C->D 3. A  C_//  B  D Ley de DCC: [(p->q)  (r->s)  (p  r)] -> (q  s) Dilema Constructivo Simple (DCS): a partir de dos fórmulas condicionales que tienen los mismos consecuentes y de la disyunción de los antecedentes se obtiene ese consecuente que se repite. 1. A->B 2. C->B 3. A  C_//  B Ley de DCS: [(p->q)  (r->q)  (p  r)] -> q

4. LEYES DE IMPLICACIONES NOTABLES Dilema Destructivo Compuesto (DDC): a partir de dos fórmulas condicionales y de la disyunción de las negaciones de sus consecuentes, se obtiene la disyunción de las negaciones de sus antecedentes. 1.A->B 2. C->D 3. ~B  ~D_//  ~A  ~C Ley del DDC: [(p->q)  (r->s)  (~q  ~s)] -> (~p  ~r) Dilema Destructivo Simple (DDS): a partir de dos fórmulas condicionales que tienen los mismos antecedentes y de la disyunción de las negaciones de sus consecuentes, se obtiene la negación de ese antecedente que se repite. 1. A->B 2. A->C 3. ~B  ~C //_  ~A Ley del DDS: [(p->q)  (p->r)  (~q  ~r)] -> (~p)

5. EQUIVALENCIA PROBLEMA : Sabiendo que (V -> F) ↔ F queremos saber a qué equivale (p -> F) SOLUCIÓN: Se tantea: si p es verdadero, entonces V->F será falso, y si p es falso, entonces F->F será verdadero. Es decir, el valor de la expresión será la negación de p. Por ello: (p -> F) ↔ ~p

6. REDUCCIÓN AL ABSURDO La reducción al absurdo es un método en lógica que consiste en negar lo que se quiere demostrar para llegar a una contradicción. 1. A 2. B //  C 3.  C //  ¿Por qué es malo llegar a una contradicción? Porque hace que se pueda deducir cualquier proposición lo cual significa que nuestro sistema se vuelve inconsistente. Veamos a continuación cómo una contradicción implica cualquier proposición.

7. CONSISTENCIA 1. p  ~p //  q 2. p 1 Simplif. 3. ~p 1 Simplif. 4. p  q 2 Adición 5. q 3, 4 Silogismo disyuntivo Y acabamos de demostrar que de una contradicción se sigue cualquier. Es como lo que con actitud medieval se afirmaría al respecto de la inexistencia de Dios: “Si Dios no existe, todo está permitido”. Una contradicción no es un buena propiedad de los sistemas puesto que los vuelve inconsistentes. Se dice que un conjunto de axiomas es consistente si a partir de él no puede deducirse simultáneamente una proposición ( p ) y su contraria (¬ p ). Los sistemas lógicos formales deben procurar la consistencia, no pueden albergar contradicción.

8. DEMOSTRACIÓN DEL DCC 1. A -> B 2. C -> D 3. A  C //  B  D 4. ~(B  D) //  5. ~B  ~D 4 De Morgan 6. ~B 5 Simplif. 7. ~D 5 Simplif. 8. ~A 1 y 6 Modus Tollens 9. ~C 2 y 7 Modus Tollens 10. ~A  ~C 8 y 9 Conjunción 11. ~(A  C) 10 De Morgan 12. (A  C)  ~(A  C) 3 y 11 Conjunción 13. ~(B  D)->[(A  C)  ~(A  C)] 4 – 12 Prueba Condicional 14. ~~(B  D) 13 Reducción al absurdo 15. (B  D) 14 Doble Negación

9. DILEMA LÓGICO 1. p -> q 2.  p -> q 3. p   p //  q 4.  q //   5. p 1 y 4 Modus Tollens 6.  p 2 y 4 Modus Tollens 7. p   p 5 y 6 Conjunción 8.  q -> (p  p) 4 – 7 Prueba Condicional 9.  q 8 Reducción al absurdo 10. q 9 Doble negación

10. DILEMA Y CONTRADILEMA Si definimos un dilema como el argumento que defiende una tesis necesaria; el contradilema será definido como un argumento que defiende la negación de esa tesis necesaria. La posibilidad de formular dilemas y contradilemas hacen que un sistema de oraciones sea inconsistente pues supone la deducción de p y su negación (  p). Analicemos el dilema y el contradilema presentados en la paradoja de Protágoras.

11. DILEMA Y CONTRADILEMA “ Pactó Protágoras con su discípulo Evatlo de enseñarle la oratoria forense por cierta paga, con la condición de que el discípulo daría de entrada la mitad de aquel tanto, y la otra mitad luego que defendiese algún pleito y lo ganase. Como se pasase mucho tiempo sin verificarse la condición pactada, pidió Protágoras el resto de la deuda, a lo que Evatlo satisfizo diciendo que todavía no había ganado ni orado causa alguna. Pero no se aquietó Protágoras, antes le puso pleito sobre ello; y hallándose ambos ante los jueces, dijo Protágoras: -De cualquier modo que este pleito salga, debes pagarme; pues si te condenan a ello, me habrás de pagar por sentencia; y si te libran, me pagarás por nuestro pacto.- A esto respondió Evatlo: -Disculpe, pero por todo lo mismo no debo yo pagarle; pues si los jueces me absuelven, quedo libre por sentencia; y si pierdo el pleito, lo quedo por nuestro pacto.”

12. ANÁLISIS DE LA PARADOJA Vemos en esta vieja paradoja (o aporía) griega el encuentro de un dilema y su respectivo contradilema. Lo que dice Protágoras es un dilema (si gano este juicio me pagas (por la sentencia) y si lo pierdo también me pagas (por el pacto)) y tiene la siguiente forma: 1. p -> q 2.  p -> q 3. p   p //  q En cambio lo que dice Evatlo es el respectivo contradilema (si gano este juicio no te pago (por la sentencia) y si lo pierdo no te pago (por el pacto) (¡Relativizaron al maestro!) ) y tiene la siguiente forma: 1. r -> ~q 2.  r -> ~q 3. r   r //  ~q Notamos que tanto q como ~q son ambos deducibles de la situación de la paradoja de Protágoras.