Este documento describe los modelos matemáticos de la cinética de la reacción enzimática. Explica la ecuación de velocidad inicial de Michaelis-Menten y los supuestos en los que se basa, como que la concentración de sustrato es mucho mayor que la de enzima y que la reacción está en equilibrio. También describe el significado de las constantes Km y Vmax de esta ecuación y compara los modelos de Michaelis-Menten y Briggs-Haldane.

1. INSTITUTO TECNOLOGICO
DE MERIDA
MODELOS MATEMÁTICOS DE LA CINÉTICA
DE LA REACCIÓN ENZIMÁTICA-
JORGE CARLOS VAZQUEZ SANCHEZ

2. Cinética Enzimática
 La derivación de la primera ecuación de velocidad para una
reacción catalizada por enzimas fue derivada en 1903 por Henri y
se basó en los siguientes supuestos.
 1. La enzima es un catalizador (propuesto por Berzelius en 1835-1837).
 2. La enzima y el sustrato reaccionan rápidamente para formar un complejo
enzima- sustrato (propuesto en 1902 por Brown)
 3. Sólo 1 sustrato y un complejo enzima-sustrato están involucrados, y el
complejo ES se rompe directamente para formar E libre y producto.
 4. La enzima, el sustrato y el complejo enzima-sustrato están en equilibrio,
esto es la velocidad a la cual ES se disocia a E + S es mucho más rápida que
la velocidad a la cual ES se rompe para formar E + P.
 5. La [S] es mucho mayor que la [E], de modo que la formación del complejo
ES no altera la [S]. Los paréntesis cuadrados [] indican concentraciones.
 6. La velocidad de la reacción está limitada por el rompimiento del complejo
ES para formar E libre y P (etapa limitante).
 7. La velocidad es medida durante tiempos muy cortos, de modo que la
velocidad de la reacción reversa es insignificante

3. MECANISMO ENZIMATICO
k1 k3
E +S ES E+P
k2
Substrato se une al sitio activo de la enzima

4. Constantes de Velocidad
 La velocidad a la cual ocurre la reacción (1) es consecuencia de lo
siguiente:
 El número posible de choques entre S y E, que es directamente
proporcional al producto de sus concentraciones [S][E]
 El número de choques por un tiempo determinado capaces de producir
reacción, el cual será proporcional al número de choques posibles
 Así pues, la velocidad de la reacción será proporcional a [S][E]:
 Velocidad1 (v1) = k1 [S][E]
 En donde k1 es la constante de velocidad

5. Constantes de Velocidad
 La velocidad a la cual ocurre la inversa de la reacción (1)
puede deducirse del siguiente modo:
 Una determinada cantidad de E liberará cierta cantidad de
S durante el tiempo en que la reacción progresa
 La velocidad de la reacción inversa será entonces directamente proporcional a ES
 Velocidad2 (v2) = k2 [ES]
 En donde k2 es la constante de velocidad

6. Constantes de Velocidad
• La velocidad a la cual ocurre la reacción (2) puede
deducirse del siguiente modo: Una determinada cantidad
de E1 producirá cierta cantidad de P durante un
tiempo definido de la reacción La velocidad de
producción de P será entonces directamente
proporcional a [E1] Velocidad3 (v3) = k3 [ES] En
donde k2 es la constante de velocidad

7. Constantes de Velocidad
 En este esquema, k1, k2 y k3 son las constantes
cinéticas individuales de cada proceso y también
reciben el nombre de constantes microscópicas
de velocidad. Según esto, podemos afirmar
que:
 v1 = k1 [E] [S]
 v2 = k2 [ES]
 v3 = k3 [ES]

8. ECUACIÓN DE MICHAELIS-MENTEN
 La ecuación de Michaelis-Menten describe como varía la
velocidad de las reacciones catalizadas por enzimas de
acuerdo a la concentración de sustrato:
 Para utilizar la ecuación de Michaelis-Menten deben
asumirse diferentes cosas :
1. Las concentraciones relativas de E y S
2. La reacción esta en equilibrio
3. Velocidad Inicial

9. Las concentraciones relativas de E y S:
 La concentración de sustrato ([S]) es mucho mayor
que la concentración de enzima ([E]), de manera que
la proporción de sustrato fijo a la enzima es siempre
relativamente pequeña.

10. La reacción esta en equilibrio:
 [ES] no cambia durante el tiempo (la reacción se
asume en equilibrio de flujos), es decir, la velocidad
de formación de ES es igual a la velocidad de su
transformación en E + S y en E + P).

11. Velocidad Inicial:
 Deben usarse velocidades iniciales (vo). Esto
significa que la velocidad de la reacción debe
determinarse tan pronto como el sustrato y la
enzima son mezclados. En dicho tiempo, la
concentración de productos es despreciable y, por lo
tanto, la reacción inversa de productos a sustratos
puede ser ignorada

12. Primero veamos la reacción como la disociación
del complejo ES en S y E
 Ks
 ES E +S
Así tendremos KS que es la constante de sustrato,
para luego resolver para la concentración de
enzima libre [E]

13. Cont
 Luego planteamos la ecuación de conservación para
la enzima [E]0

14. Tomamos a [ES] como factor común
De esta manera tendremos [ES] en términos de cosas que
podemos medir
E +S ES E+P

15. La segunda parte, será una reacción de velocidad
de primer grado
 k2
 ES E+P
A muy altas concentraciones de sustrato la KS es la que se
hace despreciable

16. Vmax
La Vmax se alcanza cuando todos los centros activos están ocupados
con sustrato

17. la ecuación resultante será la de una hipérbola
rectangular.

18. Una cinética hiperbólica implica un proceso saturante:
Hay un número limitado de sitios en la enzima para fijar
substrato; una vez que están ocupados todos, por mucho que
aumente la concentración de substrato, la velocidad
permanecerá constante tendiendo a un valor asintótico
k1 k3
E+S ES E+P
k2

19. Analizaremos empíricamente el significado de la KS
cuando la vo es exactamente Vmax/2.
de esta forma, llamaremos Constante de Michaelis KM a
la concentración de sustrato [S] necesaria para alcanzar
½ de la Vmax de la reacción.

20. Vmax
Velocidad de la reacción (v)
Vmax/2
Km Concentración de Sustrato [S]
A mayor Km, menor es la afinidad de la enzima por el sustrato
A menor Km mayor es la afinidad de la enzima por el sustrato

21. Relación entre Km y Vmax
Vmax Michaelis y Menten
Velocidad de la reacción (v)
Vmax/2
Km Concentración de Sustrato [S]
La Km es la concentración de sustrato donde se
obtiene la mitad de la Vmax

22. Así tendremos la Ecuación de Michaelis y
Menten
Cabe señalar que el término Ks resulta de una condición de
equilibrio rápido, mientras que KM proviene de considerar
un estado pseudoestacionario, utilizándose ambas de forma
indistinta
La ecuación puede ser usada para demostrar que la
concentración de sustrato necesaria para alcanzar la
mitad de Vmáx, es numéricamente igual a Km

23. 2.2. APROXIMACIÓN DEL ESTADO ESTACIONARIO: Tratamiento de
Briggs-Haldane
* La formulación o tratamiento de Michaelis y Menten se basa en
suponer la existencia de un equilibrio rápido para la primera etapa y en
suponer que la constante de velocidad para la segunda etapa es
despreciable frente a la constante de la reacción inversa del equilibrio.
*Hay sistemas enzimáticos estas condiciones no se cumplían
Kcat <<<k2
•En 1925, Briggs y Haldane propusieron un nuevo modelo, más
general, que incluía los dos anteriores:
1. No requiere la restricción de rápido equilibrio
2. Condición es la del estado estacionario

24. k1 k3
E + S == ES --- E + P
k2
(Modelo de Briggs y Haldane)
- En este modelo también se cumple que:
[E] = [Eo] – [ES]
y
d[ES]/dt = k1[E][S] – k2[ES] – k3[ES]
Haldane proponen la existencia de un estado estacionario en el que la
concentración de cualquiera de las formas en que se encuentre la enzima,
prácticamente es constante, y por tanto:
d[E]/dt = 0 y d[ES]/dt = 0

25. Detengámonos un poco en el análisis del término: estado
estacionario
* La condición, pues, de estado estacionario es aquella que nos dice
que la variación de la concentración de cualquier especie química en
la que pueda encontrarse la enzima, con respecto al tiempo es cero.
O dicho de otra manera, su concentración permanece constante.
* En nuestro caso, como ya hemos indicado:
d(E)/dt = 0 y d(ES)/dt =0

26. - De acuerdo con el modelo expuesto, la condición de estado
estacionario limita la resolución de la ecuación de velocidad inicial
- El valor de la velocidad inicial vendrá dado por la concentración del
complejo [ES] en el estado estacionario, según la ecuación:
v = k2 [ES]
- Como ya hemos indicado anteriormente, d(ES)/dt = 0

27. Por lo que:
d ES
k1 E S k 2 ES k 3 ES 0
dt
k1 E S k 2 ES k 3 ES
k 1 ( Eo ES ) S k 2 ES k 3 ES
k 1 Eo S k 1 ES S k 2 ES k 3 ES
k 1 Eo S k 1 ES S k 2 ES k 3 ES
k 1 Eo S ES ( k1 S k2 k3 )
Reordenando, obtenemos:
k 1 Eo S
ES
k1 S k2 k3
-Sustituyendo este valor en la siguiente ec.
v= k2 [ES]

28. k 1 Eo S
v k 2 ES k2
k1 S k2 k3
dividiendo por k1
Eo S
v k2
k2 k3 Km
S
k1
k2 k3
Km
k1
NOTA: La ecuación de Briggs y Haldane, tiene la misma estructura que la Michaelis-
Menten

30. R e p re s e n ta c ió n d ire c ta
v
100
Vmax
80
60
Vm x s
v
40 Km s
20
s
0
0 20 40 60 80 100
Km

32. Significado de la constante Km
1. Constante de equilibrio de disociación del complejo ES
(en condiciones de equilibrio rápido)
2. Medida inversa de la afinidad de la enzima por el substrato
(en condiciones de equilibrio rápido)
3. Mide la función de fijación (en cond.de equilibrio rápido)
4. Concentración de substrato para la que la velocidad se hace
igual a la mitad de la máxima (s0.5)
5. Se define para una pareja enzima-substrato
6. Se mide en unidades de concentración

33. Significado de la constante Vmax = k2E*S
1. Velocidad asintótica para s
2. Directamente proporcional a la concentración de enzima (hoy
se prefiere caracterizar a la enzima por k2)
3. Mide función de transformación catalítica
4. Se expresa en unidades de velocidad

34. Bibliografia
 http://shaker.umh.es/docencia/bioquimica_estruct
ural/BE_T08/BE_T08.swf
 http://www.fagro.edu.uy/~bioquimica/docencia/ma
terial%20nivelacion/4%20ENZIMAS%202010.pdf

35. Glosario
 Asiontota: En matemática, se le llama asíntota a una línea
recta que se aproxima continuamente a otra función
o curva; es decir que la distancia entre las dos tiende a cero,
a medida que se extienden indefinidamente.
También se puede decir que es la curva la que se aproxima
continuamente a la recta; o que ambas presentan
un comportamiento asintótico.