Este documento presenta diferentes modelos de teoría de colas (queueing theory) para sistemas de servicio. Describe los modelos M/M/C/FIFO/∞/∞, M/M/C/FIFO/N/∞, M/M/R/FIFO/K/K, y (M/G/1) o modelo de Pollaczek-Khintchine, incluyendo sus definiciones, ecuaciones y ejemplos numéricos de aplicación.

1. Teoría de colas modelo
M/M/C/FIFO/∞/∞
Investigación de Operaciones II
Autor: Luis Cabello 25265957

2. Definición
• Este modelo se ocupa de “c” servidores paralelos idénticos, y se
asume que los clientes no abandonan el sistema por limitaciones del
mismo.
λ= λefectiva μ
μ
μ

3. Ecuaciones del modelo
• λn=λ , n≥0
• μn=
• Pn =
• 1
nμ , n<c
c μ ,n≥ c
, n<c
,n≥ c
, ρ/c <1
Ls = Lq+ρ
Ws = Ls/λ Wq = Lq/λ
C* = λ/(c μ)
*

4. Ejemplo
• Una pequeña oficina de correos tiene dos ventanillas abiertas. Los clientes llegan
según una distribución de Poisson a razón de 1 cliente cada 3 minutos. No obstante,
solo el 80% de los clientes busca servicio en las ventanillas . El tiempo de servicio por
cliente es exponencial , con una media de 5 minutos.
• Todos los clientes que llegan forman una sola línea frente a las ventanillas y pasan
según una disciplina FIFO.
Determine:
a)La probabilidad de que un cliente que llega espere en la línea.
b)La probabilidad de que ambas ventanillas estén ociosas.
c)La longitud promedio de la cola.
d)El tiempo promedio en el sistema.
e)El % de ocio de las ventanillas.
f)¿Es posible ofrecer un servicio razonable con una sola ventanilla?
Explique.

5. Teoría de colas modelo
M/M/C/FIFO/N/∞ ,
Investigación de Operaciones II

6. Definición
• Este modelo se ocupa de “c” servidores paralelos idénticos. No
obstante, el sistema tiene una capacidad finita igual a N. Los clientes
dejan de llegar cuando el sistema esta lleno.
λ efectiva
μ
μ
μ
Población
λ perdida
λ
N= COLA+ SERVIDORES

7. Ecuaciones del modelo
Ls = Lq+ρ
Ws = Ls/λef Wq = Lq/λef
C* = λtotal/(c μ)

8. Ejemplo
• Los alumnos de primer ingreso en la U de A se caracterizan, porque tratan de llegar a clase en automóvil.
Durante el primer par de semanas del semestre de otoño, en el campus prevalece una confusión de tráfico
porque los alumnos tratan desesperadamente encontrar cajones de estacionamiento.
Con una dedicación extraordinaria, esperan pacientemente en los carriles del estacionamiento a que
alguien salga, para poder estacionarse. Imaginemos el siguiente escenario específico: el estacionamiento
tiene 30 cajones, pero también pueden caber 10 automóviles más en los carriles.
Esos 10 automóviles adicionales no se pueden estacionar en forma permanente en los carriles, y deben
esperar que haya disponible uno de los 30 cajones de estacionamiento.
Los alumnos de ingreso reciente llegan al estacionamiento siguiendo una distribución de Poisson, con 20
por hora de promedio. El tiempo de estacionamiento por automóvil es de 60 minutos en promedio, pero
en realidad tiene una distribución exponencial.
Determine:
a) ¿Cuál es el porcentaje de alumnos que se salen por no caber en el estacionamiento?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil que llegue espere en los carriles?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil que llegue ocupe el único cajón vacío en el
estacionamiento?
d) Calcule la cantidad promedio de cajones ocupados.
e) Calcule la cantidad promedio de espacios ocupados en los carriles.
f) Calcule la cantidad de alumnos que no llegan a clase durante un periodo de 8 horas porque el
estacionamiento está totalmente lleno.
0.014%
(19.99)
(0.0462)
(1-Pn<=29=0.2467)

9. Teoría de colas modelo
M/M/R/FIFO/K/K ,
Investigación de Operaciones II

10. Definición
• Este modelo se ocupa de “R” servidores paralelos idénticos. La
fuente es finita, y de tamaño K. Este sistema generalmente se asocia
a un taller con K máquinas, de tal manera que tener “n” máquinas
en el sistema equivale a tener “n” máquinas descompuestas.
μ
μ
μ
Población
de tamaño
K
λ=Tasa de
descomposturas por
máquina
Kλ =TASA TOTAL DE
LLEGAS AL SISTEMA
K TAMAÑO DE LA FUENTE = CAPACIDAD DEL SISTEMA
λ perdida
λ efectiva

11. Ecuaciones del modelo

12. Ejemplo
• Un operador atiende a 5 máquinas automáticas. Cuando una máquina termina un
lote, el operador la debe restablecer para iniciar el siguiente lote. El tiempo para
terminar un procesamiento de lote es exponencial, con 45 minutos de promedio. El
tiempo de preparación de la máquina también es exponencial con un promedio de 8
minutos.
Determine:
a) Calcule la cantidad promedio de máquinas que esperan su
restablecimiento, o que están siendo restablecidas.
b) Calcule la probabilidad de que todas las máquinas estén trabajando.
c) Determine el tiempo promedio que una máquina está sin trabajar.
d) La utilización del operador.

13. Teoría de colas
Modelo (M/G/1) : (DG//)—FÓRMULA DE
POLLACZEK-KHINTCHINE (P-K),
Investigación de Operaciones II

14. Definición
Los modelos no
markovianos son
complejos, y se sugiere
analizarlos con
simulación.
Sin embargo, P-K
permite obtener
resultados en los casos
en que:
El tiempo de servicio t
se represente por una
distribución de
probabilidades con
media E(T) y Varianza
Var(t).
Los resultados de este
modelo permiten
calcular Ls, Lq, Ws y
Wq.
No es posible calcular
Pn ya que por su
complejidad no puede
realizarse de forma
analítica.

15. Ecuaciones del modelo
Distribución uniforme.

16. Ejemplo
• Optica, Ltd., fabrica anteojos bajo receta de acuerdo con los pedidos de los clientes.
Cada trabajador se especializa en ciertos tipos de anteojos. La empresa ha tenido
demoras inusuales en el procesamiento de recetas bifocales y trifocales. El trabajador
a cargo recibe 30 pedidos en cada día de 8 horas. Después de tardar entre 2 y 4
minutos, distribuidos uniformemente, en la inspección de los anteojos, el trabajador
puede comenzar una nueva receta.
• Calcule lo siguiente:
a) La probabilidad de que el trabajador a cargo no esté haciendo nada.
b) La cantidad de recetas bifocales y trifocales en lista de espera, en Optica.
c) El tiempo promedio que un cliente debe esperar para que se le entreguen sus
anteojos.