Este documento describe los fenómenos de espera y los sistemas de colas. Explica que la espera ocurre cuando la demanda de un servicio excede la capacidad actual de proporcionarlo. Luego describe los componentes clave de un sistema de colas, incluidas las llegadas de clientes, los mecanismos de servicio, la disciplina de la cola y las variables del modelo. El objetivo es lograr un balance óptimo entre los costos de servicio y los costos asociados con la espera.

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República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular de la Educación Superior
I.U.P Santiago Mariño – Ext. Maturín
Maturín – Edo. Monagas – Venezuela
Fenómenos de Espera
Maturín, Febrero de 2017.

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¿Qué tienen en común las siguientes
situaciones?
Barcos que esperan ser atendidos en un puerto
Automóviles que esperan para pagar en un peaje
Clientes que esperan su pago en el banco
Aviones que esperan para despegar de un aeropuerto
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LA ESPERA
¿Cuando ocurre?
Este fenómeno ocurre siempre que la demanda actual de un
servicio excede a la capacidad actual de proporcionarlo

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La manifestación de la espera es el resultado directo de la
aleatoriedad en la operación en instalaciones de servicio
Cuánto tiempo será
necesario para dar
servicio
Muchas veces es imposible predecir con exactitud
Cuándo llegarán las
unidades que buscan el
servicio y/o

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Proporcionar
demasiado servicio
COSTOS DE
SERVICIO
Carecer de la
capacidad de servicio
suficiente COLAS
INACTIVDAD
Costo de espera: Es el costo para el cliente al esperar
Costo de servicio: Es el costo de operación del servicio brindado
COSTOS DE
ESPERA

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Por tanto, la meta principal es:
Lograr un balance económico entre el costo de
servicio y el costo asociado con la espera por ese
servicio

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Con el estudio de los sistemas de colas se busca:
Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la
capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.
Definir cual debe ser la mejor configuración de tal forma que se
minimice el costo de operación del sistema
Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las
consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio
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Tras este estudio, es posible obtener diferentes medidas que
permiten analizar el comportamiento de un sistema de colas:
Tiempo medio que una unidad permanece en el sistema y la distribución de
frecuencia del tiempo de permanencia en el sistema.
Utilización de las estaciones de servicio.
Número medio de unidades en el sistema y distribución del número de
unidades del sistema.
Tiempo medio que permanece una unidad en cada una de las colas y su
distribución.
Número medio de unidades en cada una de las colas y su distribución.
Tiempo de inactividad de las estaciones de servicio, o porcentaje de
utilización
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Estructura
Llegadas
Cola
Instalación del
servicio
Disciplina
de la cola Salidas
Modelo Básico de un Sistema de Colas

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Estructura
Modelo de un Sistema de Colas con una línea y un servidor
Llegadas
Sistema de colas
Cola Servidor
Salidas

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Estructura
Modelo de un Sistema de Colas una línea y múltiples servidores
Llegadas
Sistema de colas
Cola
Servidor
Salidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas

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Llegadas
Sistema de colas
Cola Servidor
Salidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
Cola
Cola
Estructura
Modelo de un Sistema de Colas varias líneas y múltiples servidores

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Llegadas
Cola
Servidor
Salidas
Cola
Servidor
Estructura
Modelo de un Sistema de Colas una línea y servidores secuenciales

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Componentes
Llegada de clientes
Tamaño de la Población de Clientes: número total de clientes que pueden
requerir servicio en determinado momento.
Población Finita: grupo de clientes de tamaño limitado, que pueden requerir
servicio en determinado momento.
Población Infinita: es aquella lo bastante grande con relación al sistema de
servicio como para que el cambio de tamaño, ocasionado por sustracciones o
adiciones a la población, no afecte significativamente las probabilidades del
sistema.
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Un Cliente es todo individuo de la población potencial que solicita servicio.
Tiempo entre Llegadas: tiempo que transcurre entre dos llegadas sucesivas en el
sistema de colas.

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Componentes
Llegada de clientes
Tiempo entre Llegadas: tiempo que transcurre entre dos llegadas sucesivas en el
sistema de colas.
Tasa Media de Llegadas: número esperado de llegadas por unidad de tiempo.
Tiempo esperado entre llegadas: 1/λ . Ejemplo: si la tasa media de llegadas es λ
= 20 clientes por hora. Entonces el tiempo esperado entre llegadas es 1/λ = 1/20
= 0.05 horas o 3 minutos

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Componentes
Llegada de clientes
Llegadas poissonianas: según las cuales el número de clientes que llegan a requerir
servicio es un proceso de Poisson, o equivalentemente, el tiempo entre llegadas de
clientes sucesivos es exponencial.
Llegadas no estacionarias: Se presenta cuando la tasa de llegada no es constante, sino
que depende del instante de tiempo considerado
Tipos de Llegadas:
Llegadas regulares, a intervalos
constantes.
Llegadas en grupo.
Llegadas regulares con impuntualidad.
Llegadas en tiempos discretos.
Llegadas que siguen una distribución
general.
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Consiste en una o más instalaciones de servicio, cada una de ellas con uno o más
canales de servicio.
Componentes
Mecanismo de Servicios
Canal: Hace referencia al número de servidores o estaciones que prestan el
servicio.
Configuración de las estaciones de servicio: éstas pueden estar en paralelo,
cuando todas prestan el mismo servicio, y una unidad pasa solamente por una
estación; o en serie, cuando una unidad debe pasar por todas las estaciones.
Duración del servicio: tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un
cliente hasta su terminación en una instalación.
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Componentes
Disciplina de la Cola
Es el modo u orden en el que los clientes son seleccionados para ser servidos
FIFO o PEPS (First In, First Out o Primero en Entrar, Primero en Salir). La primera
unidad que llega, será la primera en ser atendida.
LIFO o UEPS (Last In, Last Out o Últimos en Entrar, Primeros en Salir). Los últimos
clientes en llegar, serán los primeros en ser atendidos.
SIRO o SOA (Service In Random Order o Servicio en Orden Aleatorio ). Selecciona a los
clientes de forma aleatoria.
Selección de acuerdo con la importancia o prioridad del cliente.
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Componentes
Filas o Líneas de Espera
Longitud. Número máximo de unidades que pueden esperar en frente de una estación.
Número de filas. Cuando hay varias estaciones en paralelo puede existir una fila única que
alimente todas las estaciones o puede existir una cola para cada estación. Además, en,
cada unidad que llega puede escoger la cola en la cual esperará. Cuando las estaciones
que prestan el servicio están ordenadas en serie, debe existir una cola para cada estación.
Disciplina de la Fila. Indica el método para determinar el orden de servicio a los clientes
que aguardan en la fila
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Las características de los sistemas de colas están
determinadas por:
Distribución de los
tiempos entre llegadas
Distribución de los
tiempos de servicio
Distribución
Exponencial
Distribución de
Poisson
Distribución
Exponencial
Distribución
Erlang

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Distribución Exponencial
Distribución de Poisson
k!
eλ
P(k)
λk −
=
Donde:
P(k) : probabilidad de k llegadas por unidad de tiempo
λ : tasa media de llegadas
e = 2,7182818
P X k
e
k !
= =
λ
λ
t)
k t
( )
(
−Donde:
l : esperanza de llegada de un
cliente por unidad de tiempo
t : intervalo de tiempo.
e = 2.7182818
Llegadas

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Condiciones necesarias para la existencia del
proceso de llegada Poisson
ContinuidadContinuidad:: Al menos un cliente debe llegar a la cola durante unAl menos un cliente debe llegar a la cola durante un
intervalo de tiempointervalo de tiempo..
EstacionarioEstacionario:: Para un intervalo de tiempo dado, la probabilidad de quePara un intervalo de tiempo dado, la probabilidad de que
llegue un cliente es la misma que para todos los intervalos de tiempollegue un cliente es la misma que para todos los intervalos de tiempo
de la misma longitud.de la misma longitud.
IndependenciaIndependencia:: La llegada de un cliente no tiene influencia sobre laLa llegada de un cliente no tiene influencia sobre la
llegada de otro.llegada de otro.

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Ejemplo de Distribución de Poisson
La tienda JB Sports, está abierto 14 Horas al día y en el último mes ha
promediado 20 clientes diarios en caja. ¿Qué probabilidad hay de que en
la siguiente hora llegue un cliente exactamente? ¿Cuál es la probabilidad
de que lleguen 2?
La media (λ) de clientes por hora es de 20/ 14 = 1,4285. Entonces tenemos n=1 (1
cliente), n=2 (2 clientes).
P X k
e
k !
= =
λ
λ
t)
k t
( )
(
−
P 1
e
1 !
=
1,4285)
1
( )
( − 1,42
85
P 2
e
2!
=
1,4285)
2
( )
( − 1,42
85
=.3424
= 34.24%
=. 2445
= 24.45%
Llegadas

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Distribución Exponencial
Servicios
donde :
m = es el número de clientes promedio que
pueden ser atendidos por período de tiempo
Posee un parámetro de forma k que determina su desviación estándar:
Distribución de Kerlang
media
k
1
=σ
Si k = 1, entonces la distribución Erlang es
igual a la exponencial
Si k = ∞, entonces la distribución Erlang es
igual a la distribución degenerada con
tiempos constantes
La forma de la distribución Erlang varía de
acuerdo con k

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Modelo de Colas
Existe una clasificación estándar para identificar los modelos de colas,
según sus características o propiedades, introducida en 1953 por el
investigador británico D. Kendall. Los modelos se identifican mediante la
siguiente convención, en letras:
a b c
:
d e f
a : Distribución de tiempo entre llegadas
b : Distribución de tiempos de servicio
c : Número de servidores
d : Disciplina del Servicio
e : Numero máximo de clientes que
pueden estar en el sistema
f : Fuente de Generación de Clientes
/ / / /

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En los parámetros a y b (distribución del tiempo entre llegadas y
del tiempo se servicio ) se emplea la siguiente convención:
M: Llegada con distribución Poisson y Servicio Exponencial
D: Llegada o Servicio Deterministico
E: Llegadas y Servicios con Distribución Erlang y Gamma
GI: Llegadas con una distribución general independiente
G: Servicios con una distribucion general independiente
En d se emplea la siguiente convención:
FIFO o PEPS (First In, First Out o Primero en Entrar, Primero en Salir)
LIFO o UEPS (Last In, Last Out o Últimos en Entrar, Primeros en Salir).
SIRO o SOA (Service In Random Order o Servicio en Orden Aleatorio ).
En e y f los valores puede ser un entero finito o infinito

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M/M/5: (FIFO/∞/∞)
Sistema de colas con tiempo entre llegadas exponencial, tiempo de servicio
exponencial, 5 servidores, disciplina de servicio FIFO, con un máximo infinito de
clientes y una fuente de generación infinita.
M/M/1: (FIFO/10/∞)
Sistema de colas con tiempo entre llegadas exponencial, tiempo de servicio
exponencial, 1 servidor, disciplina de servicio FIFO, con un máximo de 10
clientes y una fuente de generación infinita.
M/G/1
Sistema de colas con tiempo entre llegadas exponencial, tiempo de servicio con
distribución general y 1 servidor.
M/ M/2
Sistema de colas con tiempo entre llegadas exponencial, tiempo de servicio
exponencial y 2 servidores.
EJEMPLOS

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Variables de un modelo de colas
Variables exógenas o de entrada al sistema:
•Tiempo entre llegadas al sistema
•Tiempo de servicio en las diferentes estaciones.
•Prioridad de los clientes
•Número de estaciones de servicio
•Tasa de llegada de clientes al sistema
•Tasa de servicio de las diferentes estaciones o servidores
•Costos de prestación del servicio por unidad de tiempo
•Costo de espera o de inactividad por cliente

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Variables de un modelo de colas
Variables de estado:
•Tiempo que una orden cualquiera permanece en una cola.
•Tiempo que una estación esta inactiva, esperando la llegada de
un cliente.
•Número de unidades en el sistema en cualquier instante.
•Número de unidades en la cada cola.
•Número de estaciones inactivas en cualquier instante.
•Número de órdenes recibiendo servicio en un instante cualquiera.
•Tiempo de permanencia de un cliente en el sistema

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Variables de un modelo de colas
Variables endógenas:
•Número medio unidades en el sistema.
•Número medio de unidades en cada una de las colas.
•Número medio de unidades recibiendo servicio.
•Número medio de estaciones inactivas.
•Tiempo medio que una unidad permanece en el sistema.
•Tiempo medio que una unidad permanece en cada una de las
colas.