El documento explica el método de Newton-Raphson para encontrar raíces de ecuaciones no lineales. Se describe el algoritmo del método, que incluye evaluar la derivada de la función, calcular una nueva estimación de la raíz basada en la derivada y verificar el error. El documento también presenta un ejemplo numérico para encontrar la profundidad a la que flota una bola usando el método de Newton en tres iteraciones.

1. 04/21/17 http://numericalmethods.eng.usf.edu 1
Raices de Ecuaciones No
Lineales
Tema: Metodo Newton-Raphson
Major: General Engineering

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Metodo Newton-Raphson
)(xf
)f(x
-= xx
i
i
ii
′+1
f(x)
f(xi)
f(xi-1)
xi+2 xi+1 xi
X
θ
( )[ ]ii xfx ,

3. http://numericalmethods.eng.usf.edu3
Derivacion
f(x)
f(xi)
xi+1 xi
X
B
C Aα )('
)(
1
i
i
ii
xf
xf
xx −=+
1
)(
)('
+−
=
ii
i
i
xx
xf
xf
AC
AB
=)αtan(

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Algoritmo Metodo
Newton-Raphson

5. http://numericalmethods.eng.usf.edu5
Paso 1
Evaluar f′(x) simbolicamente

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Paso 2
)f'(x
)f(x
-= xx
i
i
ii 1+
010x
1
1
x
- xx
=
i
ii
a
+
+
∈
Calcular la siguiente estimación de la raíz
Hallar el error aproximado absoluto relativo

7. http://numericalmethods.eng.usf.edu7
Paso 3
 Hallar el error aproximado absoluto relativo
si es mayor que el error pre-especificado de
tolerancia relativa.
 Si es así, volver al paso 2, de lo contrario
dejar el algoritmo.
 También verifique si el número de
iteraciones ha superado el número máximo
de iteraciones.

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Ejemplo
 Tu estas trabajando para "LA EMPRESA TOILET que
hace tanques de inodoro para ABC. La bola tiene un
peso específico de 0,6 y tiene un radio de 5,5 cm. Se le
pide encontrar la distancia x a la que el balón obtendrá
cuando el flotador este sumergido en el agua .

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Solucion
La ecuación que da la profundidad 'x' para que la pelota está
sumergido bajo el agua viene dada por
Utilice el método de Newton para
encontrar raíces de ecuaciones para
encontrar la profundidad 'x' para que
la pelota está sumergido bajo el agua.
Realizar tres iteraciones para calcular
la raíz de la ecuación anterior.
( )
( ) x.-xxf
.+x.-xxf -
3303
10x99331650
2
423
=
=

10. http://numericalmethods.eng.usf.edu10
Grafico de la funcion f(x)
( ) 423
10x99331650 -
.+x.-xxf =

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Iteracion #1
( )
( )
%96.75
0.08320
10x4.5
10.413x3
02.0
'
02.0
3
4
1
0
0
01
0
=∈
=
−
−=
−=
=
−
−
a
x
xf
xf
xx
x

12. http://numericalmethods.eng.usf.edu12
Iteracion #2
( )
( )
%86.42
0.05824
10x689.6
10x670.1
08320.0
'
08320.0
3
4
2
1
1
12
1
=∈
=
−
−
−=
−=
=
−
−
a
x
xf
xf
xx
x

13. http://numericalmethods.eng.usf.edu13
Iteracion #3
( )
( )
%592.6
0.06235
10x043.9
10x717.3
05284.0
'
05824.0
a
3
5
2
2
23
2
=∈
=
−
−=
−=
=
−
−
xf
xf
xx
x

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Ventajas
 Converge rápidamente, en caso de que
converge
 Requiere un solo pronostico

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Diagrama
-20
-15
-10
-5
0
5
10
-2 -1 0 1 2
1
2 3
f(x)
x
Punto de Infleccion
( ) ( ) 01
3
=−= xxf

16. http://numericalmethods.eng.usf.edu16
Diagrama (cont.)
-1.00E-05
-7.50E-06
-5.00E-06
-2.50E-06
0.00E+00
2.50E-06
5.00E-06
7.50E-06
1.00E-05
-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04
x
f(x)
0.02
Division por cero
( ) 010x4.203.0 623
=+−= −
xxxf

17. http://numericalmethods.eng.usf.edu17
Diagrama (cont.)
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-2 0 2 4 6 8 10
x
f(x)
-0.0630690.54990 4.462 7.53982
Saltos Raices
( ) 0== xSinxf

18. http://numericalmethods.eng.usf.edu18
Diagrama (cont.)
-1
0
1
2
3
4
5
6
-2 -1 0 1 2 3
f(x)
x
3
4
2
1
-1.75 -0.3040 0.5 3.142
Oscilaciones cercanas al Maximo o Minimo
( ) 022
=+= xxf