Este documento introduce los conceptos matemáticos básicos de la optimización, como la maximización de funciones de una y múltiples variables. Explica cómo encontrar el máximo de una función mediante la derivada y las condiciones de primer y segundo orden. También cubre reglas para calcular derivadas parciales de funciones de varias variables.
1) El documento trata sobre un curso de Investigación de Operaciones I en la Universidad Nacional José Faustino Sánchez Carrión. 2) Dos alumnas, Geraldine Marleni Bellon Pacheco y Ayda Maribel Ramírez Montalvo, presentan un proyecto sobre el "Año del Centenario de Machu Picchu para el Mundo". 3) El proyecto analiza la optimización de recursos para la gestión del Santuario Histórico de Machu Picchu.
Este documento explica el problema dual y el método simplex dual para resolver problemas de programación lineal. 1) El problema dual asocia un problema de minimización a un problema de maximización primal, intercambiando restricciones y variables. 2) El método simplex dual se aplica a problemas con restricciones >= o una combinación de >= y <=. 3) Siguiendo pasos como añadir variables holgura, identificar la variable básica con valor negativo más alto, e intercambiar variables, el método simplex dual resuelve el problema dual asociado.
Este documento describe la distribución geométrica y proporciona ejemplos de su aplicación. La distribución geométrica modela procesos de prueba repetitiva donde se busca el primer éxito. Se define mediante la probabilidad p de éxito y q de fracaso, siendo la probabilidad de x ensayos para el primer éxito q^(x-1)p. Se resuelven seis ejemplos calculando estas probabilidades para procesos como lanzar una moneda o inspeccionar productos.
Este documento resume el método algebraico para resolver problemas de programación lineal. Explica conceptos clave como conjuntos convexos, soluciones básicas, variables básicas y no básicas. Describe el procedimiento del método, el cual genera soluciones básicas posibles evaluando si son óptimas, e intercambiando variables entre la base y no base para encontrar la solución óptima. Finalmente, presenta un ejemplo para ilustrar los pasos del método.
Semana 4 - Programación lineal para minimización.pdfEduardoVilca8
El documento presenta información sobre el método simplex para problemas de minimización en programación lineal. Explica cómo se resuelven este tipo de problemas utilizando el método simplex y el método de la Gran M cuando hay variables artificiales. También incluye dos ejemplos resueltos paso a paso para ilustrar los métodos.
Este documento resume las principales fórmulas del sistema de cola M/M/K para calcular: 1) el factor de utilización, 2) la probabilidad de que no haya unidades en el sistema, 3) la probabilidad de que haya n unidades en cola, 4) el número promedio de unidades en cola, 5) el número promedio de unidades en el sistema, 6) el tiempo promedio que una unidad pasa en una cola, 7) el tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema, y 8) la probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por el serv
Este documento presenta información sobre un curso de Matemáticas II dictado en la Universidad de Cartagena para el programa de Administración de Empresas durante el segundo semestre del año 2010. El tutor del curso es José Felipe Rhenals Almanza y el documento contiene apuntes sobre integración por partes e integración de funciones trigonométricas.
1) El documento trata sobre un curso de Investigación de Operaciones I en la Universidad Nacional José Faustino Sánchez Carrión. 2) Dos alumnas, Geraldine Marleni Bellon Pacheco y Ayda Maribel Ramírez Montalvo, presentan un proyecto sobre el "Año del Centenario de Machu Picchu para el Mundo". 3) El proyecto analiza la optimización de recursos para la gestión del Santuario Histórico de Machu Picchu.
Este documento explica el problema dual y el método simplex dual para resolver problemas de programación lineal. 1) El problema dual asocia un problema de minimización a un problema de maximización primal, intercambiando restricciones y variables. 2) El método simplex dual se aplica a problemas con restricciones >= o una combinación de >= y <=. 3) Siguiendo pasos como añadir variables holgura, identificar la variable básica con valor negativo más alto, e intercambiar variables, el método simplex dual resuelve el problema dual asociado.
Este documento describe la distribución geométrica y proporciona ejemplos de su aplicación. La distribución geométrica modela procesos de prueba repetitiva donde se busca el primer éxito. Se define mediante la probabilidad p de éxito y q de fracaso, siendo la probabilidad de x ensayos para el primer éxito q^(x-1)p. Se resuelven seis ejemplos calculando estas probabilidades para procesos como lanzar una moneda o inspeccionar productos.
Este documento resume el método algebraico para resolver problemas de programación lineal. Explica conceptos clave como conjuntos convexos, soluciones básicas, variables básicas y no básicas. Describe el procedimiento del método, el cual genera soluciones básicas posibles evaluando si son óptimas, e intercambiando variables entre la base y no base para encontrar la solución óptima. Finalmente, presenta un ejemplo para ilustrar los pasos del método.
Semana 4 - Programación lineal para minimización.pdfEduardoVilca8
El documento presenta información sobre el método simplex para problemas de minimización en programación lineal. Explica cómo se resuelven este tipo de problemas utilizando el método simplex y el método de la Gran M cuando hay variables artificiales. También incluye dos ejemplos resueltos paso a paso para ilustrar los métodos.
Este documento resume las principales fórmulas del sistema de cola M/M/K para calcular: 1) el factor de utilización, 2) la probabilidad de que no haya unidades en el sistema, 3) la probabilidad de que haya n unidades en cola, 4) el número promedio de unidades en cola, 5) el número promedio de unidades en el sistema, 6) el tiempo promedio que una unidad pasa en una cola, 7) el tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema, y 8) la probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por el serv
Este documento presenta información sobre un curso de Matemáticas II dictado en la Universidad de Cartagena para el programa de Administración de Empresas durante el segundo semestre del año 2010. El tutor del curso es José Felipe Rhenals Almanza y el documento contiene apuntes sobre integración por partes e integración de funciones trigonométricas.
El Método Simplex es un método iterativo para resolver problemas de programación lineal mediante la transformación de restricciones de desigualdad a igualdad a través de variables de holgura y exceso. Comienza con una solución factible y mejora la función objetivo en cada paso moviéndose de un vértice a otro adyacente del poliedro de soluciones hasta alcanzar la solución óptima.
El documento describe el algoritmo de transporte, el cual determina las cantidades óptimas de envío entre puntos de origen y destino para minimizar costos totales de transporte satisfaciendo la oferta y demanda. El algoritmo organiza los cálculos de una forma más eficiente basada en la estructura del modelo de transporte, siguiendo pasos similares al método simplex para encontrar una solución óptima.
Este documento describe el método algebraico para resolver problemas de programación lineal. Introduce variables de holgura para transformar las desigualdades en igualdades y obtener un sistema de ecuaciones lineales. A través de sustituciones sucesivas, se despejan las variables hasta obtener una función objetivo en términos de las variables de decisión, cuya maximización determina la solución óptima. Se ilustra el método con un ejemplo de maximización de beneficios sujeto a restricciones de recursos.
Este documento presenta un software llamado POM-QM que contiene métodos cuantitativos para resolver problemas de Investigación de Operaciones. El software incluye modelos como programación lineal, transporte, asignación, PERT-CPM, redes, teoría de juegos, análisis de Markov y teoría de colas. Se explican los pasos para definir un problema, desarrollar un modelo matemático, obtener datos, encontrar una solución óptima y analizar los resultados usando el software POM-QM. Se incluyen ejemplos resu
El árbol de decisión es una técnica para la toma de decisiones secuenciales basadas en probabilidades que representa gráficamente todos los posibles resultados de una decisión a través de nodos y ramas. Se utiliza para encontrar la solución más ventajosa considerando las probabilidades de distintos resultados.
El documento describe un problema de programación lineal de dos fases para minimizar una función objetivo sujeto a restricciones. En la primera fase, se minimizan las variables holguras para convertir las restricciones en igualdades. En la segunda fase, se resuelve el problema original eliminando las variables holguras y artificiales. La solución óptima encontrada es X1=2/5, X2=9/5, Z=17/5.
El documento describe varios diseños y análisis estadísticos para experimentos con un solo factor, incluyendo: 1) el diseño completamente al azar de ANOVA, 2) notación de puntos, 3) ANOVA para diseño completamente al azar, 4) cálculos manuales y diagramas de cajas, 5) comparaciones múltiples, 6) comparación con un control, 7) contrastes, 8) verificación de supuestos como normalidad y varianza constante, 9) diseños en bloques completos al azar y 10) diseños en cuadros latinos y grecolatin
Este documento presenta una introducción a la teoría de colas y diferentes modelos matemáticos para analizar el desempeño de sistemas de colas con un servidor. Explica conceptos como tasas de llegada y servicio, medidas de desempeño como tiempo de espera promedio y número de clientes promedio, y diferentes modelos como M/M/1, M/G/1, M/D/1 y M/Ek/1. También incluye ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo de medidas usando estos modelos.
Este documento presenta los conceptos básicos de una prueba de hipótesis, incluyendo la formulación de hipótesis nula y alternativa, el cálculo del estadístico de prueba y criterio de rechazo, y un ejemplo de análisis de regresión lineal para evaluar la relación entre el porcentaje de fibra y la resistencia de un material. El resumen concluye que el modelo de regresión propuesto es significativo para predecir la resistencia sobre la base del rechazo de las hipótesis nulas en los an
El documento describe la programación dinámica como una técnica matemática útil para resolver una serie de decisiones secuenciales donde cada decisión afecta las futuras. Explica que la programación dinámica divide un problema complejo en subproblemas más pequeños y los resuelve de manera recursiva, empezando por el último subproblema hasta llegar al primero. También presenta un ejemplo de cómo aplicar la técnica al problema de una diligencia que debe elegir la ruta más segura entre estados.
Este documento describe el análisis de varianza (ANOVA), incluyendo sus conceptos básicos, supuestos y cálculos. Explica que el ANOVA compara la variación total de un conjunto de muestras y la descompone en variaciones debidas a diferentes variables explicativas. También provee ejemplos para ilustrar cómo se aplica el ANOVA para comparar grupos en una variable cuantitativa y determinar si existen diferencias significativas entre ellos.
Series2 - Analisis de series temporalesMiguel Jerez
Este documento presenta los conceptos básicos de las series temporales y su modelización mediante procesos ARMA. Explica las transformaciones de datos como la logarítmica y las diferencias para estabilizar la media y varianza de las series. También describe los operadores retardo y diferencia usados para representar los procesos estocásticos, así como las condiciones de estacionariedad. Incluye ejemplos con datos de pasajeros aéreos para ilustrar las transformaciones.
El documento describe diferentes métodos de programación no lineal como la programación separable, cuadrática y geométrica. Explica que la programación no lineal involucra optimizar funciones que no son lineales sujetas a restricciones, y que métodos como el de búsqueda directa y el gradiente se usan comúnmente para resolver estos problemas. También analiza conceptos como algoritmos, funciones objetivo y factibilidad.
5.3 arbol de expansión minima algoritmo de primADRIANA NIETO
El documento describe el algoritmo de Prim para encontrar el árbol de expansión mínima en una red. El algoritmo comienza conectando un nodo a su vecino más cercano, luego iterativamente conecta el nodo no conectado más cercano al árbol existente, hasta que todos los nodos estén conectados en un árbol sin ciclos y de costo mínimo total.
El documento describe las características de la distribución normal. Explica que la distribución normal tiene forma de campana, es simétrica respecto a la media, y se extiende indefinidamente en ambas direcciones. También introduce la distribución normal estándar y cómo convertir cualquier distribución normal en esta distribución estándar mediante la sustracción de la media y la división entre la desviación estándar.
Este documento presenta una introducción a la programación dinámica. Explica que la programación dinámica es un enfoque para resolver problemas de toma de decisiones en múltiples etapas mediante el análisis recursivo de cada etapa. Describe el principio de optimalidad de Bellman, que establece que la subsecuencia óptima de cualquier secuencia óptima también es óptima. Proporciona ejemplos como el problema del viajero de negocios y explica las diferencias entre programación dinámica y programación lineal.
Este documento presenta el algoritmo del método de los multiplicadores para resolver problemas de transporte. Introduce el problema de transporte de SunRay Transport Company y muestra cómo determinar la solución inicial, identificar la variable de entrada y salida, y actualizar la solución utilizando ecuaciones de multiplicadores.
El documento describe la longitud de una curva como la medida de la distancia recorrida a lo largo de una curva. Explica que históricamente ha sido difícil determinar esta longitud para segmentos irregulares, pero que el cálculo trajo métodos generales para aproximarla mediante segmentos rectos cada vez más pequeños. También presenta una fórmula para calcular la longitud de una curva suave basada en la derivada de la función y el teorema de Pitágoras. Finalmente, incluye ejemplos de aplicación de esta fórmula.
Este documento presenta los conceptos matemáticos básicos de la optimización, incluida la maximización de funciones de una y múltiples variables, derivadas parciales, condiciones de primer y segundo orden, y el teorema de la envolvente. Proporciona ejemplos para ilustrar cómo se aplican estos conceptos para resolver problemas de maximización en economía.
Este documento presenta la planificación de un curso de optimización que consta de 5 semanas. Cada semana se cubrirán aproximadamente 2 temas. Habrá un parcial a mediados del curso y un proyecto final al final del curso. El documento también incluye conceptos teóricos básicos de optimización como funciones objetivo, restricciones y regiones factibles.
El Método Simplex es un método iterativo para resolver problemas de programación lineal mediante la transformación de restricciones de desigualdad a igualdad a través de variables de holgura y exceso. Comienza con una solución factible y mejora la función objetivo en cada paso moviéndose de un vértice a otro adyacente del poliedro de soluciones hasta alcanzar la solución óptima.
El documento describe el algoritmo de transporte, el cual determina las cantidades óptimas de envío entre puntos de origen y destino para minimizar costos totales de transporte satisfaciendo la oferta y demanda. El algoritmo organiza los cálculos de una forma más eficiente basada en la estructura del modelo de transporte, siguiendo pasos similares al método simplex para encontrar una solución óptima.
Este documento describe el método algebraico para resolver problemas de programación lineal. Introduce variables de holgura para transformar las desigualdades en igualdades y obtener un sistema de ecuaciones lineales. A través de sustituciones sucesivas, se despejan las variables hasta obtener una función objetivo en términos de las variables de decisión, cuya maximización determina la solución óptima. Se ilustra el método con un ejemplo de maximización de beneficios sujeto a restricciones de recursos.
Este documento presenta un software llamado POM-QM que contiene métodos cuantitativos para resolver problemas de Investigación de Operaciones. El software incluye modelos como programación lineal, transporte, asignación, PERT-CPM, redes, teoría de juegos, análisis de Markov y teoría de colas. Se explican los pasos para definir un problema, desarrollar un modelo matemático, obtener datos, encontrar una solución óptima y analizar los resultados usando el software POM-QM. Se incluyen ejemplos resu
El árbol de decisión es una técnica para la toma de decisiones secuenciales basadas en probabilidades que representa gráficamente todos los posibles resultados de una decisión a través de nodos y ramas. Se utiliza para encontrar la solución más ventajosa considerando las probabilidades de distintos resultados.
El documento describe un problema de programación lineal de dos fases para minimizar una función objetivo sujeto a restricciones. En la primera fase, se minimizan las variables holguras para convertir las restricciones en igualdades. En la segunda fase, se resuelve el problema original eliminando las variables holguras y artificiales. La solución óptima encontrada es X1=2/5, X2=9/5, Z=17/5.
El documento describe varios diseños y análisis estadísticos para experimentos con un solo factor, incluyendo: 1) el diseño completamente al azar de ANOVA, 2) notación de puntos, 3) ANOVA para diseño completamente al azar, 4) cálculos manuales y diagramas de cajas, 5) comparaciones múltiples, 6) comparación con un control, 7) contrastes, 8) verificación de supuestos como normalidad y varianza constante, 9) diseños en bloques completos al azar y 10) diseños en cuadros latinos y grecolatin
Este documento presenta una introducción a la teoría de colas y diferentes modelos matemáticos para analizar el desempeño de sistemas de colas con un servidor. Explica conceptos como tasas de llegada y servicio, medidas de desempeño como tiempo de espera promedio y número de clientes promedio, y diferentes modelos como M/M/1, M/G/1, M/D/1 y M/Ek/1. También incluye ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo de medidas usando estos modelos.
Este documento presenta los conceptos básicos de una prueba de hipótesis, incluyendo la formulación de hipótesis nula y alternativa, el cálculo del estadístico de prueba y criterio de rechazo, y un ejemplo de análisis de regresión lineal para evaluar la relación entre el porcentaje de fibra y la resistencia de un material. El resumen concluye que el modelo de regresión propuesto es significativo para predecir la resistencia sobre la base del rechazo de las hipótesis nulas en los an
El documento describe la programación dinámica como una técnica matemática útil para resolver una serie de decisiones secuenciales donde cada decisión afecta las futuras. Explica que la programación dinámica divide un problema complejo en subproblemas más pequeños y los resuelve de manera recursiva, empezando por el último subproblema hasta llegar al primero. También presenta un ejemplo de cómo aplicar la técnica al problema de una diligencia que debe elegir la ruta más segura entre estados.
Este documento describe el análisis de varianza (ANOVA), incluyendo sus conceptos básicos, supuestos y cálculos. Explica que el ANOVA compara la variación total de un conjunto de muestras y la descompone en variaciones debidas a diferentes variables explicativas. También provee ejemplos para ilustrar cómo se aplica el ANOVA para comparar grupos en una variable cuantitativa y determinar si existen diferencias significativas entre ellos.
Series2 - Analisis de series temporalesMiguel Jerez
Este documento presenta los conceptos básicos de las series temporales y su modelización mediante procesos ARMA. Explica las transformaciones de datos como la logarítmica y las diferencias para estabilizar la media y varianza de las series. También describe los operadores retardo y diferencia usados para representar los procesos estocásticos, así como las condiciones de estacionariedad. Incluye ejemplos con datos de pasajeros aéreos para ilustrar las transformaciones.
El documento describe diferentes métodos de programación no lineal como la programación separable, cuadrática y geométrica. Explica que la programación no lineal involucra optimizar funciones que no son lineales sujetas a restricciones, y que métodos como el de búsqueda directa y el gradiente se usan comúnmente para resolver estos problemas. También analiza conceptos como algoritmos, funciones objetivo y factibilidad.
5.3 arbol de expansión minima algoritmo de primADRIANA NIETO
El documento describe el algoritmo de Prim para encontrar el árbol de expansión mínima en una red. El algoritmo comienza conectando un nodo a su vecino más cercano, luego iterativamente conecta el nodo no conectado más cercano al árbol existente, hasta que todos los nodos estén conectados en un árbol sin ciclos y de costo mínimo total.
El documento describe las características de la distribución normal. Explica que la distribución normal tiene forma de campana, es simétrica respecto a la media, y se extiende indefinidamente en ambas direcciones. También introduce la distribución normal estándar y cómo convertir cualquier distribución normal en esta distribución estándar mediante la sustracción de la media y la división entre la desviación estándar.
Este documento presenta una introducción a la programación dinámica. Explica que la programación dinámica es un enfoque para resolver problemas de toma de decisiones en múltiples etapas mediante el análisis recursivo de cada etapa. Describe el principio de optimalidad de Bellman, que establece que la subsecuencia óptima de cualquier secuencia óptima también es óptima. Proporciona ejemplos como el problema del viajero de negocios y explica las diferencias entre programación dinámica y programación lineal.
Este documento presenta el algoritmo del método de los multiplicadores para resolver problemas de transporte. Introduce el problema de transporte de SunRay Transport Company y muestra cómo determinar la solución inicial, identificar la variable de entrada y salida, y actualizar la solución utilizando ecuaciones de multiplicadores.
El documento describe la longitud de una curva como la medida de la distancia recorrida a lo largo de una curva. Explica que históricamente ha sido difícil determinar esta longitud para segmentos irregulares, pero que el cálculo trajo métodos generales para aproximarla mediante segmentos rectos cada vez más pequeños. También presenta una fórmula para calcular la longitud de una curva suave basada en la derivada de la función y el teorema de Pitágoras. Finalmente, incluye ejemplos de aplicación de esta fórmula.
Este documento presenta los conceptos matemáticos básicos de la optimización, incluida la maximización de funciones de una y múltiples variables, derivadas parciales, condiciones de primer y segundo orden, y el teorema de la envolvente. Proporciona ejemplos para ilustrar cómo se aplican estos conceptos para resolver problemas de maximización en economía.
Este documento presenta la planificación de un curso de optimización que consta de 5 semanas. Cada semana se cubrirán aproximadamente 2 temas. Habrá un parcial a mediados del curso y un proyecto final al final del curso. El documento también incluye conceptos teóricos básicos de optimización como funciones objetivo, restricciones y regiones factibles.
Este documento presenta una introducción al equilibrio general. Explica cómo se determinan los precios de equilibrio utilizando las curvas de frontera de posibilidades de producción y las curvas de indiferencia. También resume la prueba de Walras de la existencia de precios de equilibrio general a través de un proceso iterativo de ajuste de precios.
El documento describe los conceptos de equilibrio general, la hipótesis de la mano invisible de Adam Smith, y la eficiencia en la asignación de recursos. Según Smith, el sistema de mercado competitivo asigna los recursos de manera eficiente donde más se valoran, sin necesidad de planificación central. Los mercados competitivos pueden lograr una asignación de Pareto eficiente si las firmas toman decisiones que igualan los costos marginales y las tasas de sustitución técnica.
Este documento resume los conceptos clave del análisis de preferencia revelada. Explica que al observar las elecciones de consumo para diferentes presupuestos, se revela información sobre las preferencias del consumidor. Presenta los supuestos de preferencias estrictamente convexas y monotónicas, y describe cómo la preferencia se puede revelar directa o indirectamente. Finalmente, introduce los axiomas débil y fuerte de preferencia revelada que deben satisfacer los datos para aplicar correctamente este análisis.
Este documento describe el modelo de Robinson Crusoe para analizar la elección entre trabajo y ocio de un agente. Explica que Robinson Crusoe tiene 24 horas para trabajar y producir cocos o disfrutar del ocio. Maximiza su utilidad eligiendo el nivel de trabajo L* que iguala su salario w con el producto marginal del trabajo, logrando el máximo de cocos C* y utilidad π*.
El documento explica cómo cambian las cantidades demandadas de dos bienes (x1 y x2) ante cambios en sus precios (p1 y p2) o el ingreso del consumidor (m), manteniendo los otros parámetros constantes. Examina las curvas de demanda ordinaria y oferta precio, y cómo se presentan para diferentes tipos de preferencias como Cobb-Douglas, complementos o sustitutos perfectos.
El documento describe los conceptos de equilibrio general, la hipótesis de la mano invisible de Adam Smith, y la eficiencia en la asignación de recursos. Según Smith, el sistema de mercado competitivo asigna los recursos de manera eficiente donde más se valoran, sin necesidad de planificación central. Los mercados competitivos pueden lograr una asignación de Pareto eficiente si las firmas toman decisiones que igualan los costos marginales y las tasas de sustitución técnica.
1) El documento describe los conceptos básicos de las preferencias del consumidor, incluyendo canastas de consumo, relaciones de preferencia, curvas de indiferencia y relación marginal de sustitución.
2) Explica que las preferencias del consumidor pueden ser completas, reflexivas y transitivas y cómo esto afecta las curvas de indiferencia.
3) Resalta que la pendiente de las curvas de indiferencia mide la relación marginal de sustitución entre bienes.
Este documento explica conceptos clave relacionados con las funciones de utilidad y las curvas de indiferencia. Define qué es una función de utilidad y cómo representa las preferencias de un individuo. Explica que las curvas de indiferencia contienen combinaciones igualmente preferidas y que todas las combinaciones en una curva de indiferencia tienen el mismo nivel de utilidad. También cubre conceptos como bienes, males y neutros, y utilidad marginal y tasa marginal de sustitución.
1) El documento describe diferentes funciones de utilidad y sus curvas de indiferencia asociadas. 2) Se explican conceptos como bienes, males y bienes neutros a través de ejemplos de funciones de utilidad. 3) También se analizan funciones de utilidad específicas como Cobb-Douglas, CES y cuasi-lineales y las formas de sus curvas de indiferencia.
Teoria De La Utilidad Y Curva De Indiferenciaguested6102
Este documento resume los conceptos clave de la elección racional del consumidor, incluyendo la restricción presupuestaria, las preferencias del consumidor representadas por curvas de indiferencia, y el equilibrio del consumidor donde se maximiza la utilidad al tangenciar la curva de indiferencia con la recta presupuestaria. Explica gráficamente y algebraicamente cómo el consumidor toma decisiones óptimas basadas en sus preferencias y limitaciones financieras.
El documento habla sobre la utilidad y la demanda en microeconomía. Explica conceptos como la restricción presupuestal, la utilidad total y marginal, y cómo los consumidores toman decisiones para maximizar su utilidad total dada sus preferencias y limitaciones presupuestarias. También analiza cómo los cambios en precios e ingresos afectan la demanda de bienes sustitutos.
El documento presenta el método gráfico para resolver problemas de programación lineal con dos variables. Explica cómo graficar las restricciones y función objetivo, y encontrar la solución óptima evaluando la función objetivo en las esquinas del área factible o usando la función objetivo para determinar la esquina que la optimiza. Presenta ejemplos de problemas con una solución única, múltiples soluciones, soluciones indeterminadas y sin solución.
Ejercicios Resueltos de Teoría del Consumidor (Microeconomía UNAB)Mauricio Vargas 帕夏
Este documento presenta cinco problemas de microeconomía resueltos. El primer problema analiza el equilibrio de mercado en diferentes períodos cuando la oferta y demanda están dadas por funciones lineales. El segundo problema examina los efectos de un impuesto o subsidio en el equilibrio. El tercer problema maximiza la utilidad de un consumidor sujeto a una restricción presupuestaria. El cuarto problema encuentra el equilibrio de un consumidor cuando la utilidad depende de dos bienes. El quinto problema analiza los efectos de cambios en el salario e ingreso no
El documento presenta un ejercicio de microeconomía sobre la restricción presupuestaria de un consumidor. Se le pide al lector que determine la función de restricción presupuestaria, calcule cantidades máximas de bienes comprables y grafique diferentes escenarios de restricción presupuestaria ante cambios en la renta o precios. La solución provee detalles algebraicos y gráficos sobre cada parte del ejercicio.
El documento explica la restricción presupuestaria del consumidor. 1) La restricción presupuestaria representa el conjunto de canastas de bienes factibles dado el ingreso y precios del consumidor. 2) Cambios en precios o ingreso afectan el conjunto presupuestario y la restricción presupuestaria. 3) Impuestos uniformes equivalen a una reducción del ingreso, mientras que impuestos selectivos cambian la pendiente de la restricción presupuestaria.
Este documento presenta conceptos clave sobre límites y derivadas. Explica cómo calcular límites de funciones, incluidos límites en el infinito y de funciones racionales. También define la derivada y presenta reglas para derivar funciones como potencias, sumas, productos y cocientes. Además, introduce la derivada de una cadena y aplicaciones de la derivada en economía.
El documento presenta los pasos para derivar las ecuaciones de difusión del calor en coordenadas cilíndricas y esféricas. Primero define un volumen de control diferencial y los procesos de transferencia de energía relevantes. Luego, aplica la ecuación de conservación de la energía para el volumen de control. Finalmente, usando la ley de Fourier, deriva las ecuaciones de difusión del calor en cada sistema de coordenadas.
El documento analiza conceptos básicos de funciones como dominio, recorrido, límites y límites infinitos. Explica que una función asocia cada valor de una variable independiente (x) a un único valor de una variable dependiente (y). Define dominio como el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente y recorrido como el conjunto de valores de la variable dependiente. Además, introduce la noción de límite de una función en un punto de manera intuitiva y formal mediante la definición ε-δ.
Función de varias variables límite y continuidad.pdfRichQ1
1) El documento presenta conceptos básicos sobre funciones de varias variables, incluyendo su definición, dominio e imagen.
2) Explica los conceptos de límite y continuidad para funciones de dos variables, incluyendo definiciones de límites reiterados y direccionales.
3) Detalla el cálculo de límites utilizando cambios a coordenadas polares.
Este documento presenta la unidad 3 sobre derivadas de funciones algebraicas. La unidad tiene como propósito que los estudiantes aprendan a obtener derivadas usando reglas de derivación, las cuales son un método más eficiente que usar la definición de derivada. Al final de la unidad, los estudiantes podrán derivar funciones polinomiales, aplicar correctamente las reglas de derivación y entender la relación entre funciones y sus derivadas.
El documento presenta conceptos básicos sobre límites en cálculo diferencial. Introduce la noción de límite como la variación de la pendiente de una recta secante a medida que se aproxima a un punto. Explica que un límite existe cuando los valores de una función pueden acercarse arbitrariamente a un valor L al aproximarse el argumento a un valor a. También cubre propiedades de límites, continuidad de funciones y límites infinitos.
Este documento trata sobre el cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables. Explica conceptos como funciones de dos y tres variables, gráficas y curvas de nivel de funciones de varias variables, límites, continuidad y derivadas parciales. Incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos y habilidades para aplicarlos al cálculo de funciones de varias variables.
El modelo de Ramsey describe un problema de maximización intertemporal sujeto a restricciones dinámicas. El agente elige las trayectorias óptimas de consumo para maximizar su utilidad a lo largo del tiempo. La solución implica condiciones de primer orden que determinan la tasa de crecimiento óptima de consumo en función de la tasa de interés y la tasa de descuento. Existen tres posibles trayectorias de consumo dependiendo de si la tasa de interés es mayor, igual o menor que la tasa de descuento.
El documento presenta las fórmulas básicas para calcular la derivada de funciones. Explica que la derivada es un operador matemático representado por d/dx y que se aplica a funciones para obtener su tasa de cambio. Luego introduce cinco fórmulas básicas como la derivada de una constante es cero, la derivada de x es 1, y la derivada de una suma es la suma de las derivadas individuales. Proporciona ejemplos para ilustrar cómo aplicar estas fórmulas al calcular derivadas de funciones como x^6
El documento presenta las fórmulas básicas para calcular la derivada de funciones algebraicas y trascendentes. Explica que la derivada de una constante es cero, la de x es 1, y la de x^n es nx^(n-1). También cubre las fórmulas para derivar sumas, productos y cocientes de funciones, así como funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Finaliza con 12 ejemplos de aplicación de estas fórmulas.
1. El documento presenta las notaciones para derivadas de orden superior, incluyendo derivadas parciales y mixtas. Proporciona ejemplos de calcular derivadas de funciones de varias variables.
2. También explica la regla de la cadena para calcular derivadas de funciones compuestas. Presenta ejemplos de aplicar esta regla.
3. Finalmente, cubre conceptos sobre máximos y mínimos de funciones de dos variables, incluyendo puntos críticos, reglas para identificar extremos y ejemplos.
El documento introduce el concepto de derivada. Explica que la derivada surge de querer encontrar la pendiente de la recta tangente a una función en un punto, lo que llevó al análisis de rectas secantes que se acercan cada vez más a dicho punto. Finalmente, la derivada se define como el límite de la pendiente de estas rectas secantes a medida que se acercan a la tangente, representando así la pendiente de la recta tangente.
Este documento describe los fundamentos teóricos y computacionales del análisis de Fourier aplicado al diseño geométrico asistido por computadora. Explica cómo el análisis de Fourier y la operación de convolución pueden usarse para suavizar curvas y superficies mediante la selección de funciones kernel apropiadas. También presenta ejemplos de aplicaciones como el modelado de terrenos a partir de curvas de nivel.
El documento presenta los conceptos básicos de derivadas, incluyendo su interpretación geométrica como la pendiente de la tangente a una curva. Explica cómo calcular derivadas mediante la definición de límite, usando ejemplos como hallar la derivada de funciones como x^2, 2x+3, x y (2x-3)/(3x+4). Finalmente, indica que también es posible calcular derivadas usando reglas sin aplicar los pasos de la definición de límite.
Este documento presenta varios teoremas sobre derivadas. El Teorema 1 establece que la derivada de una función constante es cero. El Teorema 2 establece que la derivada de la función f(x)=x es igual a 1. El Teorema 3 establece una fórmula para derivar funciones de la forma f(x)=xn. También se presentan teoremas sobre cómo calcular la derivada de sumas, diferencias, productos y cocientes de funciones. Finalmente, se presenta la regla de la cadena para calcular la derivada de funciones compuestas.
Este documento describe el método de Crank-Nicholson para resolver la ecuación de difusión. El método discretiza el espacio en elementos finitos y el tiempo en pasos discretos. Se aproxima la solución mediante funciones lineales por elementos. Esto conduce a un sistema de ecuaciones matriciales que relaciona los valores de la solución en los nodos en cada paso de tiempo. El método proporciona una aproximación numérica estable y precisa de la solución de la ecuación de difusión.
Este documento explica los conceptos básicos de límites de funciones. Define el límite como el valor al que se aproxima una función cuando la variable independiente se aproxima a un valor particular. Explica que para que un límite exista, los límites laterales izquierdo y derecho deben coincidir y ser finitos. También presenta algunas reglas y propiedades para calcular límites, incluyendo el uso del teorema del sandwich y cómo lidiar con indeterminaciones como 0/0.
Este documento presenta las funciones lineal y cuadrática. Explica que la función lineal se define por la ecuación f(x)=mx+b, donde m es la pendiente y b es la ordenada en el origen. La función cuadrática se define por f(x)=ax2+bx+c, donde su gráfica es una parábola. El documento analiza las aplicaciones de ambas funciones y cómo identificar sus elementos clave, como el vértice de una función cuadrática.
1) El documento explica el concepto de derivada como el límite del cambio en la función entre el cambio en la variable cuando este último tiende a cero. 2) También presenta las reglas para calcular la derivada de funciones como sumas, diferencias, productos, cocientes y funciones exponenciales. 3) Incluye un ejemplo de calcular la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto.
1) El documento explica el concepto de derivada como el límite del cambio en la función entre el cambio en la variable cuando este último tiende a cero. 2) También presenta las reglas para calcular la derivada de funciones como sumas, diferencias, productos, cocientes y funciones exponenciales. 3) Incluye un ejemplo de calcular la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto.
Similar a Módulo 1: Análisis Matemático de la Optimización (20)
Este documento introduce los conceptos de equilibrio general y equilibrio parcial. Explica el intercambio económico entre dos individuos y dos productos usando la caja de Edgeworth. Luego presenta la producción económica de dos productos usando dos factores por parte de dos empresas. Finalmente, define las condiciones para alcanzar el equilibrio general en los mercados de productos y factores.
Este documento trata sobre la eficiencia económica y el análisis de bienestar en los mercados competitivos. Explica que el equilibrio de mercado maximiza el excedente total del consumidor y productor, representado por el área entre la curva de oferta y demanda. También analiza cómo los controles de precios, impuestos y costos de transacción pueden reducir este excedente total y causar pérdidas de bienestar.
Este documento explica los conceptos de demanda de mercado y oferta de mercado de corto plazo. Define la demanda de mercado como la suma de las demandas individuales de todos los compradores en el mercado. Explica cómo se deriva la curva de demanda de mercado y cómo cambios en factores como los ingresos o precios de sustitutos afectan esta curva. También define la oferta de mercado de corto plazo como la suma de las ofertas de todas las firmas, y cómo se determina el precio de equilibrio donde la oferta iguala
El documento describe cómo se determina la curva de oferta de largo plazo de una industria competitiva. En el largo plazo, las firmas pueden entrar o salir de la industria. La oferta de largo plazo depende del número de firmas que maximiza sus ganancias al precio de equilibrio. Cuando la demanda aumenta, el precio y la producción de cada firma también aumentan, hasta que una nueva firma obtenga ganancias positivas al entrar en la industria.
El documento describe cómo una empresa decide su nivel de producción a corto y largo plazo. A corto plazo, la empresa fija su producción donde el precio iguala al costo marginal. Si el precio es menor que el costo marginal variable, la producción será cero. A largo plazo, la empresa maximiza beneficios fijando la producción donde el precio iguala al costo marginal.
Este documento describe el concepto de maximización de beneficios para una empresa competitiva. Explica que la empresa toma los precios de los bienes y factores como dados y busca maximizar su beneficio económico. Para lograr esto, iguala la pendiente de la recta de iso-beneficio más alta posible con la pendiente de su función de producción, lo que determina el plan de producción óptimo.
El documento describe diferentes tipos de curvas de costos como curvas de costo total, variable, fijo y marginal. Explica la relación entre estas curvas y cómo se relacionan los costos promedio y marginales. También discute cómo una mayor cantidad de insumos fijos afecta las curvas de costo total de corto plazo de una empresa.
El documento describe el problema de minimización de costos para una firma. Explica que la firma busca producir cada nivel de producción al menor costo total posible. Se define la función de costo total y se describe el problema matemático de minimización sujeto a la función de producción. Finalmente, se presenta un ejemplo numérico con una función Cobb-Douglas para ilustrar cómo se derivan las curvas de demanda condicional de los insumos.
El documento describe las funciones de producción y tecnología. Explica que una tecnología es un proceso por el cual los insumos se convierten en producto. También describe las cestas de insumos, funciones de producción, conjuntos tecnológicos e isocuantas para una y múltiples tecnologías. Finalmente, explica las tecnologías Cobb-Douglas, cuyas isocuantas son hiperbólicas.
El documento explica el concepto de excedente del consumidor como una medida de la utilidad neta obtenida por un consumidor a través del intercambio. Define la curva de precios de reserva del consumidor y cómo esta se relaciona con la curva de demanda ordinaria para aproximar el área bajo la curva de precios de reserva, que representa el excedente del consumidor. Explica que el excedente del consumidor es una medida exacta de las ganancias del intercambio cuando la función de utilidad del consumidor es cuasi-lineal en el
El documento resume los conceptos fundamentales de la demanda de mercado y la elasticidad. Explica que la demanda de mercado es la suma horizontal de las demandas individuales de los consumidores. También define la elasticidad como una medida de la sensibilidad de una variable ante cambios en otra variable, y analiza la elasticidad precio de la demanda en particular.
El documento trata sobre conceptos básicos de microeconomía como compra y venta, dotaciones, restricciones presupuestarias, demandas netas y oferta de trabajo. Explica que la compra y venta involucran intercambio entre compradores y vendedores. Define la dotación como los recursos iniciales de un consumidor y cómo esta determina su restricción presupuestaria. También cubre cómo los cambios en precios afectan las demandas netas de los bienes y revisa la ecuación de Slutsky descomponiendo los efectos de un cambio
1) La ecuación de Slutsky descompone el cambio total en la demanda debido a un cambio de precio en el efecto sustitución y el efecto ingreso.
2) Para bienes normales, los efectos sustitución e ingreso se refuerzan, dando como resultado una curva de demanda negativa.
3) Para bienes inferiores, los efectos sustitución e ingreso se oponen, lo que puede dar lugar a una curva de demanda positiva en casos extremos llamados bienes Giffen.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
2. Matemática de la Optimización
• Muchas teorías económicas empiezan con el
supuesto de que un agente económico quiere
encontrar el valor óptimo de alguna función
– consumidores buscan maximizar utilidad
– empresas buscan maximizar utilidad
• Este capítulo introduce a las matemáticas que
se emplean en estos problemas
2
3. Maximización de una función de una
variable
• Ejemplo: Administrador de una firma desea
maximizar beneficios
f (q)
Utilidad máxima
* * ocurre en q*
= f(q)
Cantidad
q*
3
4. Maximización de una función de una
variable
• El admimistrador posiblemente intentará variar q para
ver dónde se obtienen los beneficios máximos
– un incremento de q1 a q2 produce un aumento en
*
2 = f(q)
0
q
1
Cantidad
q1 q2 q*
4
5. Maximización de una función de una
variable
• Si el producto se incrementa más alla de q*, las
utilidades disminuirán
– un incremento de q* a q3 conduce a una caída en
*
= f(q)
0
q
3
Cantidad
q* q3
5
6. Derivadas
• La derivada de = f(q) es el límite de / q para
cambios muy pequeños en q
d df f (q1 h) f (q1 )
lim
dq dq h 0
h
• El valor de este ratio depende del valor de
q1
6
7. Valor de una derivada en un punto
• La evaluación de la derivada en el punto q =
q1 puede ser denotado
d
dq q q1
• En nuestros ejemplos previos,
d d d
0 0 0
dq q q1
dq q q3
dq q q*
7
8. Condición de primer orden para un
máximo
• Para que una función de una variable to
alcance su valor máximo en algún punto, la
derivada en ese punto debe ser cero
df
0
dq q q*
8
9. Condiciones de segundo orden
• La condición de primer orden (d /dq) es una
condición necesaria para un máximo, pero no es
una condición suficiente
Si la función de utilidad tuviese forma de
u, con la condición de primer orden se
obtendría q* donde se minimizaría
*
Cantidad
q*
9
10. Condiciones de segundo orden
• Esto puede significar que para que q* sea
un óptimo,
d d
0 para q q* y 0 para q q*
dq dq
• Por lo tanto, en q*, d /dq debe ser
decreciente
10
11. Segundas derivadas
• La derivada de una derivada se denomina
segunda derivada
• La segunda derivada puede denotarse por
2 2
d d f
2
o 2
o f " (q)
dq dq
11
12. Condiciones de segundo orden
• La condición de segundo orden para un
máximo (local) es
2
d
2
f " (q ) q q*
0
dq q q*
12
13. Reglas para hallar derivadas
db
1. Si b es una constante, entonces 0
dx
d [bf ( x)]
2. Si b es una constante, entonces bf ' ( x)
dx
b
dx b 1
3. Si b es constante, entonces bx
dx
d ln x 1
4.
dx x 13
14. Reglas para hallar derivadas
x
da x
5. a ln a para cualquier constante a
dx
– un caso especial de esta regla es dex/dx = ex
14
15. Reglas para hallar derivadas
• Supongamos que f(x) y g(x) son dos
funciones de x y f’(x) y g’(x) existe
• Entonces
d [f ( x ) g ( x )]
6. f '(x) g'(x)
dx
d [f ( x ) g ( x )]
7. f ( x )g ' ( x ) f ' ( x )g ( x )
dx
15
16. Reglas para hallar derivadas
f ( x)
d
g ( x) f ' ( x) g ( x) f ( x) g ' ( x)
8. 2
dx [ g ( x )]
dado que g ( x) 0
16
17. Reglas para hallar derivadas
• Si y = f(x) y x = g(z) y si existen f’(x) y
g’(x), entonces:
dy dy dx df dg
9.
dz dx dz dx dz
• Se denomina la regla de la cadena. La regla
de la cadena nos permite estudiar cómo una
variable (z) afecta otra variable (y) a través
de su influencia sobre alguna variable
intermedia (x) 17
18. Reglas para hallar derivadas
• Algunos ejemplos de la regla de la cadena
incluyen
ax ax
de de d (ax ) ax ax
10. e a ae
dx d (ax ) dx
d [ln( ax )] d [ln( ax )] d (ax )
11. ln( ax ) a a ln( ax )
dx d (ax ) dx
2 2 2
d [ln( x )] d [ln( x )] d ( x ) 1 2
12. 2 2
2x
dx d(x ) dx x x
18
19. Ejemplo de maximización de utilidad
• Suponga que la relación entre utilidad y producto es
= 1,000q - 5q2
• La condición de primer orden para un máximo es
d /dq = 1,000 - 10q = 0
q* = 100
• Dado que la segunda derivada es siempre -10, q =
100 es un máximo global
19
20. Funciones de varias variables
• La mayoría de los objetivos de los agentes
económicos dependen de varias variables
– existen trade-offs (disyuntivas)
• La dependencia de una variable (y) sobre una serie
de otras variables (x1,x2,…,xn) se denota por
y f (x1, x 2 ,..., xn )
20
21. Derivadas
• La derivada parcial de y con respecto a x1 se
denota por
y f
o o f x1 o f1
x1 x1
• Se entiende que al calcular una derivada
parcial, todas las demás x’s se mantienen
constantes
21
22. Derivadas parciales
• Una definición más formal de la derivada
parcial es
f f ( x1 h, x 2 ,..., x n ) f ( x1, x 2 ,..., x n )
lim
x1 x 2 ,...,x n
h 0 h
22
23. Calculando derivadas parciales
2 2
1. If y f ( x1 , x2 ) ax1 bx1 x2 cx2 , entonces
f
f1 2ax1 bx2 y
x1
f
f2 bx1 2cx2
x2
ax1 bx2
2. Si y f ( x1 , x2 ) e , entonces
f ax1 bx2 f ax1 bx2
f1 ae y f2 be
x1 x2
23
25. Derivadas parciales
• Las derivadas parciales son la expresión
matemática del supuesto ceteris paribus
– muestra cómo los cambios en una variable
afectan algunos resultados cuando otras
influencias se mantienen constantes
25
26. Derivadas parciales
• Debemos tener en cuenta cómo están
medidas las variables
– Si q representa la cantidad de gasolina
demandada (medida en billones de litros) y p
representa el precio en dólares por litro,
entonces q/ p medirá el cambio en la demanda
(en billones de litros por año) para un cambio
en el precio de un dólar por litro
26
27. Elasticidad
• Las elasticidades miden el efecto
proporcional del cambio en una variable
sobre otra
• La elasticidad de y con respecto a x es
y
y y x y x
ey , x
x x y x y
x 27
28. Elasticidad y forma funcional
• Suponga que
y = a + bx + otros términos
• En este caso,
y x x x
ey ,x b b
x y y a bx
• ey,x no es constante
– es importante notar el punto en el cual la
elasticidad va a ser computada
28
30. Elasticidad y forma funcional
• Supongamos que
ln y = ln a + b ln x
• En este caso,
y x ln y
ey , x b
x y ln x
• Las elasticidades pueden calcularse a través
de la diferenciación logarítmica
30
31. Derivada parcial de segundo-orden
• La derivada parcial de una derivada parcial
se denomina derivada parcial de segundo-
orden
2
( f / xi ) f
fij
xj x j xi
31
32. Teorema de Young
• Bajo condiciones generales, no importa el
orden en el cual se realiza la diferenciación
parcial para evaluar las derivadas parciales
de segundo orden
fij f ji
32
33. Uso de las parciales de
segundo-orden
• Las parciales de segundo-orden juegan un papel
importante en muchas teorías económicas
• Una de las más importantes es la parcial de
segundo orden de la misma variable, fii
– muestra cómo la influencia marginal de xi sobre y
( y/ xi) cambia a medida que se incrementa xi
– un valor de fii < 0 indica rendimiento maginal
decreciente
33
34. Diferencial total
• Supongamos que y = f(x1,x2,…,xn)
• Si todas las x’s varían en una pequeña
cantidad, el efecto total sobre y será
f f f
dy dx1 dx 2 ... dx n
x1 x2 xn
dy f1dx1 f2dx 2 ... fn dx n
34
35. Condición de primer orden para un
máximo (o mínimo)
• Una condición necesaria para un máximo (o mínimo)
de la función f(x1,x2,…,xn) es que dy = 0 para
cualquier combinación de cambios pequeños en las x’s
• La única forma de que esto sea cierto es si
f1 f2 ... fn 0
• Un punto en el que esta condición se verifica se
denomina punto crítico
35
36. Encontrar un máximo
• Supongamos que y es una función de x1 y x2
y = - (x1 - 1)2 - (x2 - 2)2 + 10
y = - x12 + 2x1 - x22 + 4x2 + 5
• Condiciones de primer orden implican que
y
2 x1 2 0 *
x1 1
x1 O *
y x2 2
2x2 4 0
x2
36
37. Frontera de posibilidades de producción
• Ejemplo anterior: 2x2 + y2 = 225
• Puede re-escribirse: f(x,y) = 2x2 + y2 - 225 = 0
• Dado que fx = 4x y fy = 2y, la disyuntiva de coste
de oportunidad entre x e y es
dy fx 4x 2x
dx fy 2y y
37
38. Teorema de la función implícita
• No siempre será posible resulver funciones
implícitas de la forma g(x,y)=0 para funciones
explícitas de la forma y = f(x)
– los matemáticos han derivado las condiciones
necesarias
– en muchas aplicaciones económicas, estas
condiciones son las mismas que las condiciones de
segundo orden para un máximo (o mínimo)
38
39. El teorema de la envolvente
• El teorema de la envolvente considera cómo el
valor óptimo de una función en particular
cambia cuando un parámetro de esa función
cambia
• La forma más simple de verlo es mediante un
ejemplo
39
40. El teorema de la envolvente
• Supongamos que y es una función de x
y = -x2 + ax
• Para valores diferentes de a, esta función
representa una familia de parábolas invertidas
• Si a a asignamos un valor específico, entonces
y es una función de x solamente y el valor de x
que maximiza y puede calcularse
40
41. El teorema de la envolvente
Valores óptimos de x e y para valores alternativos de a
Valor de a Valor de x* Valor de y*
0 0 0
1 1/2 1/4
2 1 1
3 3/2 9/4
4 2 4
5 5/2 25/4
6 3 9
41
42. El teorema de la envolvente
y*
10
A medida que a aumenta,
9
el valor máximo de
8
7
for y (y*) se incrementa
6
5
4 La relación entre a
3
ey
2
1
es cuadrática
0 a
0 1 2 3 4 5 6 7
42
43. El teorema de la envolvente
• Supongamos que estamos interesados en
cómo y* cambia a medida que a cambia
• Hay dos formas de hacer esto
– calculamos la pendiente de y directamente
– mantenemos x constante en su valor óptimo y
calculamos y/ a directamente
43
44. El teorema de la envolvente
• Para calcular la pendiente de la función,
debemos resolver para el valor óptimo de x
para cualquier valor de a
dy/dx = -2x + a = 0
x* = a/2
• Sustituyendo, obtenemos
y* = -(x*)2 + a(x*) = -(a/2)2 + a(a/2)
y* = -a2/4 + a2/2 = a2/4
44
45. El teorema de la envolvente
• Por lo tanto,
dy*/da = 2a/4 = a/2 = x*
• Pero, podemos ahorrar tiempo utilizando el
teorema de la envolvente
– Para cambios pequeños en a, dy*/da puede ser
computado manteniendo x en x* y calculando y/
a directamente de y
45
46. El teorema de la envolvente
y/ a = x
• Manteniendo x = x*
y/ a = x* = a/2
• Es el mismo resultado obtenido anteriormente
46
47. El teorema de la envolvente
• El teorema de la envolvente afirma que el cambio
en el valor óptimo de una función con respecto a un
parámetro de la función puede ser encontrado
diferenciando parcialmente la función objectivo
mientras se mantiene constante x (o varias x’s) en
este valor óptimo
dy * y
{x x * (a)}
da a
47
48. El teorema de la envolvente
• El teorema de la envolvente puede extenderse al
caso donde y es una función de varias variables
y = f(x1,…xn,a)
• Encontrar un valor óptimo para y consistiría en
resolver n ecuaciones de primer orden
y/ xi = 0 (i = 1,…,n)
48
49. El teorema de la envolvente
• Valores óptimos para estas x’s se determinarían
como una función de a
x1* = x1*(a)
x2* = x2*(a)
.
.
.
xn*= xn*(a)
49
50. El teorema de la envolvente
• Sustituyendo en la función objectivo original
resulta en una expresión para el valor óptimo de
y (y*)
y* = f [x1*(a), x2*(a),…,xn*(a),a]
• Diferenciando resulta
dy * f dx1 f dx 2 f dx n f
...
da x1 da x2 da xn da a
50
51. El teorema de la envolvente
• Debido a las condiciones de primer orden, todos
los términos excepto f/ a son iguales a cero si
las x’s están en sus valores óptimos
• Por lo tanto,
dy * f
{x x * (a)}
da a
51
52. Maximización restringida
• ¿Qué ocurre si no son posibles todos los valores de
las x’s?
– puede ser que todos los valores de x tengan que ser
positivos
– las elecciones de los consumidores están limitadas por la
cantidad de poder adquisitivo disponible
• Un método para resolver problemas de
maximización restringidas es el método del
multiplicador Lagrangiano
52
53. Método del multiplicador
Lagrangiano
• Supongamos que queremos encontrar los
valores de x1, x2,…, xn que maximizan
y = f(x1, x2,…, xn)
sujeta a una restricción que permite utilizar
sólo ciertos valores de las x’s
g(x1, x2,…, xn) = 0
53
54. Método del multiplicador
Lagrangiano
• El método del multiplicador Lagrangiano
comienza con la siguiente expresión
L = f(x1, x2,…, xn ) + g(x1, x2,…, xn)
donde es una variable adicional
denominada multiplicador de Lagrange
• Cuando la restricción se mantiene, L = f
porque g(x1, x2,…, xn) = 0
54
55. Método del multiplicador
Lagrangiano
• Condiciones de primer orden
L/ x1 = f1 + g1 = 0
L/ x2 = f2 + g2 = 0
.
.
.
L/ xn = fn + gn = 0
L/ = g(x1, x2,…, xn) = 0
55
56. Método del multiplicador
Lagrangiano
• Generalmente las condiciones de primer
orden pueden resolverse para x1, x2,…, xn y
• La solución tendrá dos propiedades:
– las x’s cumplirán con la restricción
– estas x’s harán del valor de L (y por lo tanto de
f) tan grande como sea posible
56
57. Método del multiplicador
Lagrangiano
• El multiplicador Lagrangiano ( ) tiene una
importante interpretación económica
• Las condiciones de primer orden implican que
f1/-g1 = f2/-g2 =…= fn/-gn =
– los numeradores miden el beneficio marginal que una
unidad más de xi tendrán para la función f
– los denominadores reflejan la carga agregada sobre la
restricción de utilizar más xi
57
58. Método del multiplicador
Lagrangiano
• En las elecciones óptimas para las x’s, el ratio del
beneficio marginal de incrementar xi y el coste
marginal de incrementar xi sería el mismo para cada
x
• es el ratio común de coste-beneficio para todas
las x’s
beneficio marginal de xi
coste marginal de xi
58
59. Método del multiplicador
Lagrangiano
• Si se relajase la restricción en una pequeña
cantidad, no importaría que x está cambiando
• El multiplicador Lagrangiano provee una
medida de cómo la relajación dela restricción
afectaría el valor de y
• provee un “precio sombra” para la
restricción
59
60. Método del multiplicador
Lagrangiano
• Un valor alto de indica que y puede
incrementarse sustancialmente relajando la
restricción
– cada x tiene un alto ratio coste-benecio
• Un valor bajo de indica que no hay mucho
que ganar al relajar la restricción
• =0 implica que la restricción no es
vinculante (cambiando la restricción no
cambia la solución óptima)
60
61. Dualidad
• Cualquier problema de maximización
restringida está vinculado con un problema
dual de minimización restringida que enfoca
la atención sobre las restricciones del
problema original
61
62. Dualidad
• Individuos que maximizan su utilidad sujeta a una
restricción presupuestaria
– problema dual: los individuos minimizan el gasto
necesario para lograr un nivel dado de utilidad
• Las firmas minimizan el coste de los insunmos para
producir un nivel dado de producto
– problema dual: las firmas maximizan el producto para
costes de insumos adquiridos
62
63. Maximización restringida
• Supongamos que un agricultor tiene cierta
extensión de valla (P) y desea encerrar la forma
rectangular más grande posible
• Denotemos x como la extensión de un lado
• Denotemos y como la extensión del otro lado
• Problema: escoger x e y tal que se maximiza el
área (A = x·y) sujeta a la restricción de que el
perímetro es fijo en P = 2x + 2y
63
64. Maximización restringida
• Configurando el multiplicador Lagrangiano
L = x·y + (P - 2x - 2y)
• Las condiciones de primer orden para un
máximo son
L/ x = y - 2 = 0
L/ y = x - 2 = 0
L/ = P - 2x - 2y = 0
64
65. Maximización restringida
• Dado que y/2 = x/2 = , x debe ser igual a y
– el campo sería cuadrado
– x e y serían escogidos tal que el ratio de beneficios
marginales y costes marginales serían iguales
• Dado que x = y e y = 2 , podemos utilizar la
restricción para mostrar que
x = y = P/4
= P/8
65
66. Maximización restringida
• Interpretación del multiplicador de Lagrange
– si el agricultor estuviese interesado en conocer qué
campo adicional puede tener valla agregando un
metro adicional de valla, sugiere que puede
saberlo dividiendo el perímetro presente (P) por 8
– por lo tanto, el multiplicador Lagrangiano provee
información acerca del valor implícito de la
restricción
66
67. Maximización restringida
• Problema dual: escoger x e y para minimizar la
cantidad de valla requirida para rodear el
campo
minimizar P = 2x + 2y sujeta a A = x·y
• Configurando el Lagrangiano:
LD = 2x + 2y + D(A - x y)
67
68. Maximización restringida
• Conditiones de primer orden:
LD/ x = 2 - D·y =0
LD/ y = 2 - D·x =0
LD/ D = A - x·y = 0
• Resolviendo, tenemos
x = y = A1/2
• El multiplicador Lagrangiano ( D) = 2A-1/2
68
69. Teorema de la envolvente &
maximización restringida
• Supongamos que queremos maximizar
y = f(x1,…,xn;a)
sujeta a la restricción
g(x1,…,xn;a) = 0
• Una forma de resolver sería fijando la
expresión para el Lagrangiano y resolver las
condiciones de primer orden
69
70. Teorema de la envolvente &
Maximización restringida
• Alternativamente, puede demostrarse que
dy*/da = L/ a(x1*,…,xn*;a)
• El cambio en el valor máximo de y que resulta
cuando a cambia puede encontrarse
diferenciando parcialmente L y evaluando la
derivada parcial en el punto óptimo
70
71. Restricciones con desigualdad
• En algunos problemas económicos no necesitamos
que las restricciones se cumplan exactamente
• Por ejemplo, supongamos que buscamos
maximizar y = f(x1,x2) sujeta a
g(x1,x2) 0,
x1 0, and
x2 0
71
72. Restricciones con desigualdad
• Una forma de resolver este problema es
introduciendo tres nuevas variables (a, b, y
c) que convierte las desigualdades en
igualdades
• Para asegurar que se cumplen las
desigualdades, elevamos al cuadrado estas
nuevas variables para asegurar que sus
valores son positivos
72
73. Restricciones con desigualdad
g(x1,x2) - a2 = 0;
x1 - b2 = 0; and
x2 - c2 = 0
• Cualquier solución que obedece estas tres
restricciones de igualdad también cumplirán
con las restricciones de desigualdad
73
74. Restricciones de desigualdad
• Podemos establecer el siguente Lagrangiano
L = f(x1,x2) + 1 [g(x1,x2) - a2] + 2[x1 - b2] + 3[x2 -
c2]
• Con lo cual obtendremos ocho condiciones
de primer orden
74
76. Restricciones de desigualdad
• De acuerdo con la tercera condición, ya sea a o 1
=0
– si a = 0, la restricción g(x1,x2) se cumple exactamente
– si 1 = 0, la disponibilidad de alguna holgura de la
restricción implica que su valor para la función objetivo
es 0
• Similares relaciones de complementariedad de
holguras (formadas por el conjunto de las
restricciones de menor o igual multiplicadas por
su correspondiente ) también se cumplen para x1
y x2
76
77. Restricciones de desigualdad
• A estos resultados se los conoce como las
condiciones de Kuhn-Tucker
– muestran que las soluciones para problemas de
optimización que involucran a restricciones con
desigualdades diferirán de problemas similares que
involucran restricciones con igualdades
– no podemos equivocarnos trabajando principalmente
con restricciones con igualdades, hay que considerar las
desigualdades
77
78. Condiciones de segundo orden –
funciones de una variable
• Denotemos y = f(x)
• Una condición necesaria para un máximo es
que
dy/dx = f ’(x) = 0
• Para asegurar que el punto es un máximo, y
debe ser decreciente para los movimientos
fuera de él
78
79. Condiciones de segundo orden-
funciones de una variable
• La diferencial total mide el cambio en y
dy = f ’(x) dx
• Para estar en un máximo, dy debe ser
decreciente para incrementos pequeños en x
• Para ver los cambios en dy, debemos utilizar la
segunda derivada de y
79
80. Condiciones de segundo orden –
funciones de una variable
2 d [f ' ( x )dx ] 2
d y dx f " ( x )dx dx f " ( x )dx
dx
• Notemos que d 2y < 0 implica que f ’’(x)dx2 <
0
• Dado que dx2 debe ser positivo, f ’’(x) < 0
• Esto significa que la función f debe tener una
forma cócava en el punto crítico
80
81. Condiciones de segundo orden –
funciones de dos variables
• Supongamos que y = f(x1, x2)
• Las condiciones de primer orden para un máximo
son
y/ x1 = f1 = 0
y/ x2 = f2 = 0
• Para asegurar que el punto es un máximo, y debe
disminuir para movimientos en cualquier
dirección fuera del punto crítico
81
82. Condiciones de segundo orden –
funciones de dos variables
• La pendiente en la dirección x1 (f1) debe ser
decreciente en el punto crítico
• La pendiente en la dirección x2 (f2) debe ser
decreciente en el punto crítico
• Pero, se deben establecer condiciones sobre las
derivadas parciales cruzadas (f12 = f21) para
asegurar que dy es decreciente para todos los
movimientos a través del punto crítico
82
83. Condiciones de segundo orden –
funciones de dos variables
• La diferencial total de y está dado por
dy = f1 dx1 + f2 dx2
• La diferencial de esta función es
d 2y = (f11dx1 + f12dx2)dx1 + (f21dx1 + f22dx2)dx2
d 2y = f11dx12 + f12dx2dx1 + f21dx1 dx2 + f22dx22
• Por el teorema de Young, f12 = f21 y
d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22
83
84. Condiciones de segundo orden-
funciones de dos variables
d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22
• Para que esta ecuación sea indefectiblemente negativa
para cualquier cambio en las x’s, f11 y f22 deben ser
negativas
• Si dx2 = 0, entonces d 2y = f11 dx12
– para d 2y < 0, f11 < 0
• Si dx1 = 0, entonces d 2y = f22 dx22
– para d 2y < 0, f22 < 0
84
85. Condiciones de segundo orden –
funciones de dos variables
d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22
• Si ni dx1 o dx2 son cero, entonces d 2y será sin
ambigüedad negativo sólo si
f11 f22 - f122 > 0
– las derivadas parciales de segundo orden (f11 y f22)
deben ser suficientemente negativas tal que compensan
cualquier tipo de efectos contratio de las derivadas
parciales cruzadas (f12 = f21)
85
86. Maximización restringida
• Supongamos que queremos escoger x1 y x2
para maximizar
y = f(x1, x2)
• Sujeta a la restricción linear
c - b1x1 - b2x2 = 0
• Podemos establecer el Lagrangiano
L = f(x1, x2) + (c - b1x1 - b2x2)
86
87. Maximización restringida
• Las condiciones de primer orden son
f1 - b 1 = 0
f2 - b 2 = 0
c - b1x1 - b2x2 = 0
• Para asegurar que tenemos un máximo,
debemos usar la diferencial total de “segundo”
orden
d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22
87
88. Maximización restringida
• Sólo los valores de x1 y x2 que satisfacen la
restricción pueden ser consideradas como
alternativas válidas para el punto crítico
• Por ello, debemos calcular la diferencial total de la
restricción
-b1 dx1 - b2 dx2 = 0
dx2 = -(b1/b2)dx1
• Estos son los cambios relativos permitidos en x1 y x2
88
89. Maximización restringida
• Debido a las condiciones de primer orden que
implican que f1/f2 = b1/b2, podemos sustituir y
obtener
dx2 = -(f1/f2) dx1
• Dado
d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22
podemos sustituir dx2 y tenemos
d 2y = f11dx12 - 2f12(f1/f2)dx12 + f22(f12/f22)dx12
89
90. Maximización restringida
• Combinando términos y reordenando
d 2y = f11 f22 - 2f12f1f2 + f22f12 [dx12/ f22]
• Por lo tanto, para d 2y < 0, debe ser cierto que
f11 f22 - 2f12f1f2 + f22f12 < 0
• Esta ecuación caracteriza un conjunto de funciones
denominadas funciones cuasi-cóncavas
– cualquier par de puntos dentro del conjunto puede formar
una línea introducida completamente en el conjunto
90
91. Funciones cóncavas y cuasi-
cóncavas
• Las diferencias entre las funciones cóncavas
y cuasi-cóncavas pueden ilustrarse con la
función
y = f(x1,x2) = (x1 x2)k
donde las x’s pueden tomar solamente
valores positivos y k puede tomar una
variedad de valores positivos
91
92. Funciones cóncavas y cuasi-
cóncavas
• No importa que valores toma k, esta función
es cuasi-cóncava
• Si la función es cóncava o no depende del
valor de k
– si k < 0.5, la función es cóncava
– si k > 0.5, la función es convexa
92
93. Funciones homogéneas
• Una función f(x1,x2,…xn) es homogénea de
grado k si
f(tx1,tx2,…txn) = tk f(x1,x2,…xn)
– cuando una función es homogénea de grado uno,
duplicando todos los argumentos duplica el valor
de la función
– cuando una función es homogéna de grado cero,
duplicando todos los argumentos deja la función
sin cambios
93
94. Funciones homogéneas
• Si una función es homogénea de grado k, las
derivadas parciales de la función será
homogénea de grado k-1
94
95. Teorema de Euler
• Si diferenciamos la definición de
homogeneidad con respecto a la
proporcionalidad del factor t, obtenemos
ktk-1f(x1,…,xn) x1f1(tx1,…,txn) + … + xnfn(x1,…,xn)
• Esta relación se denomina teorema de Euler
95
96. Teorema de Euler
• El teorema de Euler muestra que, para
funciones homogéneas, hay una relación
definida entre los valores de la función y
los valores de sus derivadas parciales
96
97. Funciones homotéticas
• Una función homotética es una que se
forma tomando una transformación
monotónica de una función homogénea
– no tienen las propiedades de homogeneidad de
sus funciones subyacentes
97
98. Funciones homotéticas
• Tanto para funciones homogéneas como
para las homotéticas, las disyuntivas
implícitas entre las variables en la función
dependen solamente de los ratios de
aquellas variables, no de sus valores
absolutos
98
99. Funciones homotéticas
• Supongamos que examinamos la función implícita
de dos variables f(x,y) = 0
• La disyuntiva implícita entre x e y para una
función de dos variables
dy/dx = -fx/fy
• Si asumimos que f es homogénea de grado k, sus
derivadas parciales serán homogéneas de grado k-
1
99
100. Funciones homotéticas
• La disyuntiva implícita entre x e y es
k 1
dy t fx (tx , ty ) fx (tx , ty )
k 1
dx t fy (tx , ty ) fy (tx , ty )
• Si t = 1/y,
x x
F ' fx ,1 fx ,1
dy y y
dx x x
F ' fy ,1 fy ,1
y y
100
101. Funciones homotéticas
• La disyuntiva no está afectada por la
transformación monotónica y permanece
una función solamente del ratio x e y
101
102. Puntos importantes a
considerar:
• Utilizando matemáticas tenemos una
forma conveniente para que los
economistas desarrollen sus modelos
– las implicaciones de varios supuestos
económicos pueden estudiarse a través de
herramientas matemáticas
102
103. Puntos importantes a
considerar:
• Las derivadas se usan a menudo en
economía porque los economistas están
interesados en cómo los cambios marginales
en una variable afectan a otras
– las derivadas parciales incorporan el supuesto
ceteris paribus utilizando en muchos modelos
económicos
103
104. Puntos importantes a
considerar:
• Las matemáticas para optimización es
una herramienta importante para el
desarrollo de modelos que asumen que
los agentes económicos racionalmente
persiguen algunas metas
– las condiciones de primer orden requieren
todas las derivadas parciales sean cero
104
105. Puntos importantes a
considerar:
• La mayoría de los problemas de
optimización económica involucran
restricciones en las elecciones que los
agentes pueden realizar
– las condiciones de primer orden para un
máximo sugieren que cada actividad puede
operar a un nivel en el cual el beneficio
marginal de la actividad es igual a su coste
marginal
105
106. Puntos importantes a
considerar:
• El multiplicador Lagrangiano se emplea
para ayudar a resolver problemas de
maximization
– el multiplicador Lagrangiano puede ser
interpretado como el valor implícito (precio
sombra) de la restricción
106
107. Puntos importantes a
considerar:
• El teorema de la función implícita ilustra
la dependencia de las elecciones que
resultan de un problema de optimización
sobre los parámetros del problema
107
108. Puntos importantes a
considerar:
• El teorema de la envolvente examina
cómo las elecciones óptimas cambiarán
a medida que cambia el parámetro del
problema
• Algunos problemas de optimización
pueden involucrar restricciones que son
desigualdades antes que igualdades
108
109. Puntos importantes a
considerar:
• Condiciones de primer orden son
necesarias pero no suficientes para
asegurar un máximo o un mínimo
– las condiciones de segundo orden que
describen la curvatura de una función deben
revisarse
109
110. Puntos importantes a
considerar:
• Ciertos tipos de funciones ocurren en muchos
problemas económicos
– funciones cuasi-cóncavas obedecen las condiciones
de segundo orden de problemas de máximo o
mínimo restringido donde las restricciones son
lineales
– las funciones homotéticas tienen la propiedad de
que las disyuntivas implícitas entre las variables
dependen solamente de los ratios de estas variables
110