Un cuadrado mágico es una disposición de números enteros en una matriz cuadrada donde la suma de los números por filas, columnas y diagonales es la misma constante mágica. Los primeros cuadrados mágicos datan del siglo VIII en manuscritos árabes, aunque se atribuyen a Apolonio de Tiana del siglo I. En los siglos posteriores, matemáticos europeos como Agrippa y Euler estudiaron sus propiedades y métodos de construcción. Existen cuadrados mágicos famosos en obras de arte como los de Durero

1. CUADRADOS
MÁGICOS CON
NÚMEROS

2. DEFINICIÓN
Un CUADRADO MÁGICO es la disposición de una
serie de números enteros en un cuadrado o matriz,
de igual o más de 3 x 3 casillas, de forma tal que la
suma de los números por columnas, filas y
diagonales sea la misma, la constante mágica.
Normalmente los números empleados para rellenar
las casillas:
• Son consecutivos, de 1 a n², siendo n el número
de columnas y filas del cuadrado mágico.
• No se repiten

3. HISTORIA
El primer texto en que se muestra un cuadrado
mágico, es un manuscrito árabe del Siglo VIII.
Se trataba de un cuadrado de 3x3, cuyo autor se lo
atribuye a APOLONIO DE TIANA, que vivió en el
Siglo I.
Un cuadrado de estas características aparece de
nuevo en un trabajo del matemático judío IBN
ESRA, del Siglo XII.
En el siglo XIV los cuadrados mágicos fueron
introducidos en Europa por el gramático bizantino

4. MOSCHOPOULOS, que en uno de sus manuscritos
muestra:
• Varios cuadrados de lado 4n, de lado impar, con
el procedimiento general para construirlos.
• Un cuadrado de 6x6
CORNELIUS AGRIPPA, en quot;De oculta philosophia
libri tresquot; (Colonia, 1533), introduce cuadrados
mágicos, desde 3x3 hasta 9x9, tanto en cifras
arábigas como en caracteres hebreos, y los llama
Saturni, Jovis, Martis, Solis, Veneris, Mercurii,
Lunae.

5. No proporciona ningún
método de construcción, y
se ocupa solamente de las
propiedades que tendrían
como talismanes.
Grabado del libro de Agrippa: Tabula Saturni
Esos amuletos, de uso común entre los siglos XVI y
XVII, que han llegado a nuestras manos,
representan, el modo en que los cuadrados
mágicos llegarían al conocimiento popular.
Entre los matemáticos famosos que en los siglos
XVI y XVII se ocuparon de los cuadrados mágicos
se encuentran STIEFFEL, FERMAT y PASCAL.

6. Cuadrado mágico encontrado junto con los guerreros de SIAM
De La Loubere, embajador de Luis XIV en Siam
durante 1687 y 1688, publicó en 1691 quot;Du royaume
de Siamquot;, en el que propone su conocido método de
construcción de cuadrados impares.

7. Euler, en quot;De quadratis magicisquot; (1776) y en
quot;Recherches sur une nouvelle espece des carrés
magiques (1782) se ocupa de los cuadrados
eulerianos.
En el Siglo XIX, matemáticos de la talla de Lucas,
Tarry, y Rouse Ball, también se ocuparon del tema.
Finalmente, en el Siglo XX, la atención de los
matemáticos, se centró en la estructura y la
contabilización de los cuadrados, obteniéndose
avances significativos.

8. EJEMPLOS FAMOSOS
Cuadrado ideado por el pintor
alemán Alberto Durero e
incorporado a su famoso
grabado «Melancholia»

9. Cuadrado supermágico
dispuesto de forma que:
• Las filas verticales,
horizontales y diagonales
suman 34.
• Las cuatro casillas
centrales dan un total de
34.
• La fecha del grabado en
las dos casillas centrales,
de la parte inferior (1514)

10. Cuadrado mágico de orden
4 en la Fachada de la
Pasión de la iglesia de la
Sagrada Familia (Barcelona,
España) diseñada por J.
Subirachs.
En este caso la constante
mágica es 33, la edad de
Jesucristo en la Pasión.

11. MÉTODOS DE CONSTRUCCIÓN
LADO IMPAR LADO PAR NO
LADO UN MÚLTIPLO DE 4
DIVISIBLE POR 4
MÉTODO X
MÉTODO LOUBÈRE
MÉTODO LUX

12. CUADRADOS
MÁGICOS CON
LETRAS

13. PALÍNDROMO CUADRADO
El más enigmático y aún
no descifrado, de todos los
palíndromos se encontró
en los muros de Pompeya.
Se trata de un verso
anacíclico perfecto, legible
en ambas direcciones con
idéntico resultado y al que
se le atribuye un claro
carácter mágico

14. Antes de su descubri-
miento, en los años 60
en las excavaciones
de Pompeya, por
hallarse en muchas
iglesias, se llegó a
pensar que era un
amuleto medieval de
los templarios.

15. Durante mucho tiempo se ha discutido su
significado que parece oscilar entre:
• Un simple anuncio
“El sembrador Arepo tiene ruedas para el
trabajo”
• Un mensaje místico
“El creador tiene las inestables claves de su
Obra”

16. CURIOSIDADES
• La frase entera es capicúa
• Todas las letras iniciales, leídas
consecutivamente, forman la
primera palabra, todas las letras
segundas, la segunda palabra, y
así.
• Esto funciona también al revés: la última letra de
la última palabra, seguida de las últimas letras de
la cuarta, la tercera, la segunda y la primera

17. palabras forman otra vez SATOR; con todas las
penúltimas letras se forma de abajo para arriba
otra vez AREPO, y así.
Todo ello se construye con:
- una palabra capicúa:
→ (TENET)
- cuatro palabras que, por
parejas, son bifrontes:
→ SATOR/ROTAS
→ REPO/OPERA.

18. Félix Grosser di Chemnitz en 1926, encontró que:
• Con todas las letras del
cuadrado mágico se
formaba una cruz que
contiene dos veces la
frase PATER NOSTER,
cruzandose en la N
central.

19. • Uniendo con líneas las
cuatro O y las cuatro A,
queda otra cruz cuyos
brazos vendrían a ser el
Alfa y el Omega, es decir
el principio y el fin.