El documento explica cómo resolver triángulos rectángulos mediante el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas. Se presentan cuatro ejemplos de resolución de triángulos rectángulos dados diferentes datos, como un cateto, la hipotenusa o un ángulo. También se resuelven cuatro problemas que implican triángulos rectángulos, como calcular alturas o distancias.

1. RESOLUCIÓN DE
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Bloque II * Tema 056
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 1

2. CASOS DE RESOLUCIÓN
• Sea un triángulo rectángulo de lados a, b y c
• El lado a es la hipotenusa y los lados b y c los
catetos.
• Los lados cumplirán siempre con el teorema de
Pitágoras: a2=b2+c2
• Sean A, B y C los ángulos de dicho triángulo, donde
A=90º
• Los ángulos B y C serán siempre complementarios:
B+C=90º
• Resolver un triángulo (rectángulo o no) es hallar sus
tres lados y sus tres ángulos.
• De esos 6 datos, es suficiente conocer 3 de ellos.
• Si además, el triángulo es rectángulo, al conocer un
ángulo (A=90º), será suficiente con darnos 2 de los
restantes 5 datos, excepto si nos dan los ángulos B y
C, en cuyo caso el triángulo queda indeterminado.
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 2
Datos
necesarios
a, b b, B
a, c b, C
b, c c, B
a, B c, C
a, C B, C

3. • Dado un cateto y el ángulo opuesto
• En un triángulo rectángulo el lado b mide 8 cm y el ángulo
opuesto al mismo mide 60º. Hallar los restantes datos, el
perímetro y la altura.
• Resolución
• Aplicando la definición de seno de un ángulo:
• sen B = b/a
• sen 60º = 8 / a  a = 8 / sen 60º = 8 / 0,866 = 9,24 cm
• El ángulo C será:
• C=90 – B = 90 – 60 = 30º
• El lado c se puede calcular por el T. de Pitágoras:
• c = √(a2 – b2) = √(9,242 – 82) = √21,33 = 4,62 cm
• El perímetro y el área serán:
• P=a+b+c = 9,24+8+4,62 = 21,86 cm
• A=b.c/2 = 8.4,62/2 =18,48 cm2
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 3
b=8 cm
A B =60º
Ejercicio_1

4. • Dado un cateto y el ángulo adyacente
• En un triángulo rectángulo el lado b mide 8 cm y el ángulo
opuesto al mismo mide 30º. Hallar los restantes datos, el
perímetro y la altura.
• Resolución
• Aplicando la definición de coseno de un ángulo:
• cos C = b/a
• cos 30º = 8 / a  a = 8 / cos 30º = 8 / 0,866 = 9,24 cm
• El ángulo B será:
• B=90 – C = 90 – 30 = 60º
• El lado c se puede calcular por el T. de Pitágoras:
• c = √(a2 – b2) = √(9,242 – 82) = √21,33 = 4,62 cm
• El perímetro y el área serán:
• P=a+b+c = 9,24+8+4,62 = 21,86 cm
• A=b.c/2 = 8.4,62/2 =18,48 cm2
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 4
C =30º
b=8 cm
A
Ejercicio_2

5. • Dado un cateto y la hipotenusa
• En un triángulo rectángulo el lado b mide 8 cm y el ángulo
opuesto al mismo mide 30º. Hallar los restantes datos, el
perímetro y la altura.
• Resolución
• El lado c se puede calcular por el T. de Pitágoras:
• c = √(a2 – b2) = √(102 – 82) = √36 = 6 cm
• Aplicando la definición de seno de un ángulo:
• Sen B = b/a
• Sen B = 8 / 10 = 0,8  B = arc sen 0,8 = 53,13º
• El ángulo C será:
• C=90 – B = 90 – 53,13 = 36,87º
• El perímetro y el área serán:
• P=a+b+c = 10+8+6 = 24 cm
• A=b.c/2 = 8.6/2 =24 cm2
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 5
b=8 cm
A
a =10 cm
Ejercicio_3

6. • Dado los dos catetos
• En un triángulo rectángulo el lado b mide 8 cm y el lado c
mide 6 cm. Hallar los restantes datos, el perímetro y la
altura.
• Resolución
• El lado a se puede calcular por el T. de Pitágoras:
• a = √(b2 + c2) = √(82 + 62) = √100 = 10 cm
• Aplicando la definición de tangente de un ángulo:
• tg B = b/c
• tg B = 8 / 6 = 1,33  B = arc tg 1,33 = 53,13º
  B = arc tg 1,33 = 233,13º, que no valdría al ser > 90º
• El ángulo C será:
• C=90 – B = 90 – 53,13 = 36,87º
• El perímetro y el área serán:
• P=a+b+c = 10+8+6 = 24 cm
• A=b.c/2 = 8.6/2 =24 cm2
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 6
b=8 cm
A
c =6 cm
Ejercicio_4

7. Problema_1
• Para medir la altura de un edificio vertical inaccesible,
hemos medido la distancia a su pie (10 m) y el ángulo
que forma la visual con el suelo plano (60º). Hallar
dicha altura.
• Resolución
• Aplicando la definición de tangente de un ángulo:
• tg α = h/d
• tg 60 = h / 10  h = 10.tg 60º = 10.1,732 = 17,32 m
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 7
h
α=60º
d=10 m

8. Problema_2
• Hallar la distancia, D, entre las cúspides de dos edificios para poder
construir una pasarela entre ambos.
d=60 m
d’=24 m
α=30º
D
β
h
H
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 8

9. • Resolución:
• La altura, h, del edificio más bajo la podemos calcular por trigonometría,
aplicando la tangente del ángulo conocido al formarse un triángulo
rectángulo:
• tg α = h/d
• tg 30 = h / 60 = 1,33  h = 60. 0,5773 = 34,64 m
• El ángulo β será igual al ángulo α, ya que las cúspides están alineadas con
la visual trazada desde donde nos encontramos:
• β =30ºB
• En el triángulo rectángulo que forman las cúspides conocemos:
• Un ángulo, β= 30º, y un cateto, 24 m, que es la separación horizontal de las
torres.
• Por trigonometría:
• Cos β = d’ / D
• Cos 30º = 24 / D
• D= 24/cos 30º
• D= 24/0,866
• D= 27,7136 m
•
β
d’=24 m
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 9
D

10. Problema_3
• Hallar la altura, h, de un edificio inaccesible, sabiendo que desde donde nos
encontramos la visual a la cúspide forma un ángulo de 45º con el suelo plano, y que
al alejarnos 60 m dicho ángulo mide 30º.
α=30º β=45º
60 m d
h
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 10

11. • Resolución:
• En el triángulo rectángulo pequeño, el de la posición inicial, tenemos:
• Catetos d y h y un ángulo conocido.
• Por trigonometría: tg 45 = h / d  1 = h / d  h = d
• En el triángulo rectángulo grande, el de la posición final, tenemos:
• Catetos (60 + d) y h y un ángulo conocido.
• Por trigonometría: tg 30 = h / (60+d)
• Como nos había dado: h = d
• Sustituimos el valor de d por h:
• tg 30 = h / (60+h)
• Operamos:
• 0,57735.(60+h) = h
• 34,64 + 0,57735.h = h
• 34,64 = h – 0,57735.h
• 34,64 = 0,42265.h
• h= 34,64 / 0,42265
• h= 81,96 m
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 11

12. Problema_4
• Una plaza tiene forma de trapecio rectángulo, del cual conocemos la medida de la
base menor, 40 m, la altura, 60 m, y el ángulo obtuso, 120º.
• Hallar los restantes lados.
• Resolución:
• Trazando una línea paralela a la altura, se forma un triángulo rectángulo del que
conocemos:
• Un cateto, la altura h=60 m.
40 m
• Un ángulo, 120 – 90 = 30º
• Por trigonometría:
• Cos 30º = 60 / l  l = 60 / cos 30º
α=120º
• l = 60 / 0,866 = 69,28 m el lado oblicuo.
• El otro cateto del triángulo rectángulo valdrá:
• c = √(69,282 – 602) = √(4799,72 – 3600) =
• = √1199,72 = 34,64 m
• La base mayor medirá pues:
• B = 40 + 34,64 = 74,64 m B
@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 12
l
60 m