Finco Investment Corporation debe decidir cómo invertir $100,000 en cinco inversiones (A, B, C, D, E) o en fondos del mercado durante los próximos tres años. Se utiliza un modelo de programación lineal de múltiples períodos para maximizar el efectivo disponible al final del período 3, sujeto a restricciones sobre los flujos de efectivo entre períodos y los límites de inversión máxima por opción.

1. Cesar Suarez
Sebastian Arévalo
Universidad de ciencias aplicadas y ambientales (U.D.C.A)
Ingeniera comercial
Investigación de operaciones

2.  ¿Cómo se puede usar la programación lineal para
modelar problemas de administración de efectivo
de múltiples periodos?

3.  La clave esta en la determinación de las relaciones
existentes entre el efectivo en caja durante
diferentes periodos.

4. Por ejemplo:
 Finco Investment Corporation tiene que
determinar una estrategia de inversión
para los próximos tres años. Actualmente
(tiempo 0) dispone de 100,000 dólares
para ser invertidos en las inversiones
A,B,C,D y E. A continuación se dan los
flujos de efectivo, asociados con la
inversión de 1 dólar en cada inversión.

5. Flujo de efectivo en el tiempo
(dólares)0 1 2 3
De la inv. A -1 +0,50 +1 0
De la inv. B 0 -1 +0,50 +1
De la inv. C -1 +1,2 0 0
De la inv. D -1 0 0 +1,9
De la inv. E 0 0 -1 +1,5
Nota: tiempo 0= tiempo actual; tiempo 1= después de 1 año; tiempo 2= después de 2
años; tiempo 3= después de 3 años ( todos a punto de abrir)

6. Por ejemplo la inversión de 1 dólar en la inversión B,
requiere un desembolso de caja de 1 dólar en el
tiempo 1, y rinde 50 centavos en el tiempo 2, y 1 dólar
en el tiempo 3. Para asegurar una cartera
diversificada para la compañía, Finco requiere que se
invierta a lo mas 75,000 dólares en una sola inversión.
Además de las inversiones A-E, Finco puede obtener
intereses de 8% anuales al colocar el dinero sin invertir
en fondos del mercado de valores. Se pueden volver
a invertir inmediatamente los intereses obtenidos de
las inversiones. Por ejemplo, se pueden invertir
inmediatamente en la inversión B, el flujo de efectivo
positivo recibido de la inversión C en el tiempo 1.
Finco no puede pedir prestado fondos; por lo tanto el
dinero disponible para la inversión en cualquier
momento se limita al efectivo en caja. Formule un PL
que maximice el efectivo en caja en el tiempo 3.

8. Finco tiene que decidir cuanto dinero hay que colocar en cada inversión
(incluyendo los fondos del mercado de valores). De esta manera definimos las
siguientes variables de decisión.
 A= dólares invertidos en A
 B= dólares invertidos en B
 C= dólares invertidos en C
 D= dólares invertidos en D
 E= dólares invertidos en E
 𝑆1 = 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡(𝑡0,1,2)

9. Finco quiere maximizar el efectivo en caja, en el
tiempo 3, En el tiempo 3, el efectivo en caja de finco
será la suma de todos los flujos en el tiempo 3. De la
descripción de las inversiones A-E, y del hecho de que
del tiempo 2 al tiempo 3, S2 habra aumentado a 1,08 S2.
El efectivo en caja en el tiempo 3=B+1,9D+1,5E+1,08 𝑆2
Así la función objetivo de Finco es:
max 𝑍 = 𝐵 + 1,9𝐷 + 1,5𝐸 + 1,08𝑆2

10. En modelos financieros de múltiples periodos, se usa normalmente el
siguiente tipo de restricciones para relacionar las variables de
decisión de diferentes periodos:
 Dinero disponible en el tiempo 𝑡 = 𝑑𝑖𝑛𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡 +
𝑑𝑖𝑛𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑖𝑒𝑟𝑒 𝑎𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡 + 1
 Si consideramos los fondos del mercado de valores como
inversiones, vemos que 𝑑𝑖𝑛𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑚𝑝𝑜 𝑡 =
𝑑𝑖𝑛𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡
 Ya que se disponen de las inversiones A,C,D y 𝑆0 en el tiempo 0, y
de 100,000 dólares para realizar las inversiones, se convierte en lo
siguiente, para el tiempo 0:
100,000 = 𝐴 + 𝐶 + 𝐷 + 𝑆0

11.  En el tiempo 1, se dispone de 0.5A +1.2C +1,08𝑆0
para invertir, y están disponibles las inversiones B y
𝑆1. Entonces, para 𝑡 = 1, se convierte en
 0,5A +1,2C +1,08𝑆0= B+𝑆1
 En el tiempo 2, se dispone de A +0,5B+1,08𝑆1
Para invertir, y están disponibles las inversiones E y 𝑆2.
Por lo tanto, para t= 2, se reduce a:
 A+0,5B+1,08𝑆1=E+𝑆2

12.  No hay que olvidar que se pueden colocar a lo
mas 75,000 dólares en cualquiera de las inversiones
A-E. Para tomar esto en cuenta, añadimos las
restricciones:
 𝐴 ≤ 75.000
 B ≤ 75.000
 𝐶 ≤ 75.000
 𝐷 ≤ 75.000
 E ≤ 75.000

13.  Al combinar (max 𝑍 = 𝐵 + 1,9𝐷 + 1,5𝐸 + 1,08𝑆2) y (100,000 = 𝐴 + 𝐶 +
𝐷 + 𝑆0) – (E ≤ 75.000) con las restricciones de signo (las variables
≥0), obtenemos el PL siguiente:
 max 𝑍 = 𝐵 + 1,9𝐷 + 1,5𝐸 + 1,08𝑆2
s.a
𝐴 + 𝐶 + 𝐷 + 𝑆0 = 100,000
0,5A +1,2C +1,08𝑆0 =B+𝑆1
A +0,5B +1,08𝑆1 =E+𝑆2
 𝐴 ≤ 75.000
 B ≤ 75.000
 𝐶 ≤ 75.000
 𝐷 ≤ 75.000
 E ≤ 75.000
A,B,C,D,E,𝑆0, 𝑆1, 𝑆2 ≥ 0

16. Método Simplex Dos fases
Max z = 1B + 1,9D + 1,5E + 1,08 𝑆2
s.a
(1) Restriccion 1A + 1C + 1D + 1 𝑆0 = 100000
(2) Restriccion 0,5A + 1,2C + 1,08S0 = B + 𝑆1
(3) Restriccion 1A + 0,5B + 1,08S1 = E + 𝑆2
(4) Restricción 1A <= 75000
(5) Restricción 1B <= 75000
(6) Restricción 1C <= 75000
(7) Restriccion 1D <= 75000
(8) Restriccion 1E <= 75000
A B C D E 𝑆0 𝑆1 𝑆2 >= 0

17. PASO A PASO
Paso 1
Modifique las restricciones de tal manera que el segundo miembro o lado derecho de cada una sea no negativo. Para lograrlo, se
multiplica cada restricción con
un segundo miembro negativo
por -1
Paso 1'
Identifique cada restricción que ahora es (después del paso 1) una restricción = o >=. En el paso 3 se suma una variable artificial a cada
una de estas restricciones.
Paso 2
Convierta cada restricción de desigualdad en la forma estándar. Si la restricción i es una restricción <= se suma entonces una variable
de holgura Si. Si la restricción i es una restricción >=, se resta una variable de exceso e1.
(4) Restricción 1 A + ℎ1 ≤ 75000
(5) Restriccion 1 B + ℎ2 ≤ 75000
(6) Restriccion 1 C + ℎ3 ≤ 75000
(7) Restriccion 1 D + ℎ4 ≤ 75000
(8) Restriccion 1 E + ℎ5 ≤ 75000

18. Paso 3
Si (después de haber terminado el paso 1) la restriccion i es una restriccion >= o = sume una variable artificial 𝑎𝑖. También sume la restricción
de signo 𝑎𝑖 >= 0
1A + 1C + 1 D + 1 𝑠0 + 𝑎1 = 100000
0,5A - 1B + 1,2 C + 1,08S0 - 𝑠1 + 𝑎2 = 0
1A + 0,5B - 1 E + 1,08S1 - 𝑠2 + 𝑎3 = 0
Por ahora ignore la función objetivo del PL original. Mientras, resuelva un PL cuya función objetivo es min w' = (suma de todas las variables
artificiales) A esta parte se le denomina Pl de la fase 1. El hecho de resolver el PL de la fase 1 forzara a las variables artificiales a ser cero.
Como cada 𝑎𝑖 >= 0, al resolver el PL de la fase 1 dará como resultado uno de los tres casos siguientes:
El valor optimo de w' es mayor que cero. En este caso, el PL original no tiene solución factible
El valor optimo de w' es igual a cero y ninguna variable artificial esta en la base optima de la fase 1. En este caso, se suprimen todas
las columnas del arreglo optimo de la fase 1 que corresponden a las variables artificiales. Luego se combinan la funcion objetivo
original y las restricciones del arreglo optimo de la fase 1. Así se obtiene el PL de la fase 2. La solución optima para el PL de la fase 2 es
la solucion optima del PL original.
El valor optimo de w' es igual a cero y por lo menos una variable artificial esta en la base optima de la fase 1. En este caso se puede
encontrar la solucion optima del PL original si al final de la fase 1 se eliminan, del arreglo optimo de la fase 1, todas las variables
artificiales no básicas y cualquier variable del problema original que tenga coeficiente negativo en el renglón 0 del arreglo optimo de
la fase 1

19. Paso 4
Min w' = 1a1 + 1a2 + 1a3
w' -1a1 - 1a2 - 1a3 = 0
s.a
(1) Restriccion 1A + 1C + 1D + 1S0 + 1a1 = 100000
(2) Restriccion 0,5A - 1B + 1,2C + 1,08S0 - 1S1 + 1a2 = 0
(3) Restriccion 1A + 0,5B - 1E + 1,08S1 - 1S2 + 1a3 = 0
(4) Restriccion 1A + h1 <= 75000
(5) Restriccion 1B + h2 <= 75000
(6) Restriccion 1C + h3 <= 75000
(7) Restriccion 1D + h4 <= 75000
(8) Restriccion 1E + h5 <= 75000
(9) Restriccion de signos A, B, C, D, E, S0, S1, S2, a1, a2, a3, h1, h2, h3, h4, h5 <= 0
Este conjunto de ecuaciones proporciona una sbf de inicio para lá fase 1 (a1 = 100000, a2 = 0, a3 = 0, h1, = 75000, h2 = 75000,
h3 = 75000, h4 = 75000, h5 = 75000)
Antes de poder resolver la fase 1, se deben eliminar del renglón 0 a1, a2, a3. Para esto se suman los renglones que contengan
dichas variables en esta caso renglón 1, 2 y 3 al renglón 0 para eliminar a1, a2, a3 del renglón 0:
Renglón 0: 1w' - 1 a1 - 1 a2 - 1a3 = 0
(+) Renglon 1: + 1A + 1C + 1 D + 1S0 + 1 a1 =
10000
0
(+) Renglon 2: + 0,5A - 1B + 1,2C + 1,08S0 - 1S1 + 1 a2 = 0
(+) Renglón 3: + 1A + 0,5B - 1 E + 1,08S1 - 1 S2 + 1a3 = 0
(=)Nuevo renglon 0: 1w' + 2,5A - 0,5B + 2,2C + 1 D - 1 E + 2,08S0 + 0,08S1 - 1 S2 =
10000
0

20. Fase 2
Como W' = 0 concluyo la fase 1, se encontró la solucion factible básica B=12500, E = 31250, A =
25000, h1 = 50000, h2 = 62500, h3 = 75000, D = 75000, h5 = 43500
Ninguna variable artificial esta en la base de la fase 1. Por consiguiente, el problema es un ejemplo del caso 2. Ahora
se suprimen las columnas de la variable artificial a1, a2 y a3 y se reintroduce la funcion objetivo original.
Max z = 1B + 1,9D + 1,5E + 1,08
S
2
Se iguala a 0
Z-1B - 1,9D - 1,5E - 1,08
S
2
Puesto que B, D, E y S2 están en la base optima de la fase 1, deben ser eliminadas del
renglón 0 de la fase 2.
Renglon 0: 1Z - 1B - 1,9D - 1,5E - 1,08
S
2 = 0
(+) Renglon 1: + 1B - 0,7C - 0,58S0 + 1
S
1 - 0,5h4 = 12500
(+) Renglon 2: +
0,97
5C + 1,5E + 1,065S0 - 0,87
S
1 + 1,5
S
2 - 1,875h4 = 46875
(+) Renglon 7: + 1,9D + 1,9h4 =
14250
0
(=)Nuevo renglon 0: 1Z +
0,27
5C + 0,485S0 + 0,13
S
1 + 0,42
S
2 - 0,475h4 =
20187
5

21. Solucion de forma simplex

26. Segunda fase

27. Z = 218500
A = 60000
B = 30000
C = S0 = S1 = S2 = 0
D = 40000
E = 75000

28. encontramos como solución optima:
 Z=218,500, A=60,000, B=30,000, D=40,000, E=75,000,
C= 𝑆0= 𝑆1= 𝑆2=0. Así, Finco no tiene que invertir en
fondos del mercado de valores. En el tiempo 0,
Finco tiene que invertir 60,000 dólares en A y 40,000
dólares en D. Después, en el tiempo 1, hay que
invertir los 30,000 dólares de intereses de la
inversión A en B. finalmente, en el tiempo 2, hay
que invertir los 60,000 dolares de réditos de A y los
15,000 dolares de réditos ( Renta de un capital) de
B en E. En el tiempo 3, los 100,000 dolares de finco
se habrán convertido en 218,500 dólares

29.  La pregunta es: ¿ como ese
planteamiento asegura que Finco nunca
invierta mas dinero de lo que tenga en
cualquier momento?
 Esto se logra mediante el hecho de que
cada variable 𝑆𝑖 tiene que ser no negativa.
 Por ejemplo , 𝑆0 ≥ 0 es equivalente a 100,000-
A-C-D ≥0, lo que asegura que se invertirá a lo
mas 100,000 dolares en el tiempo 0.