Este documento presenta información sobre identidades trigonométricas del ángulo doble y mitad. Incluye fórmulas como sen2θ = 2senθcosθ, cos2θ = cos2θ - sen2θ, y tan2θ = 2tanθ/(1-tan2θ). También presenta ejemplos numéricos para aplicar estas identidades y resuelve problemas relacionados.

1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-09 Ingreso Directo



























1xCscxCot
1xCotxscC
Zn;nRx;1xCotxCsc
1xSecxTan
1xTanxSec
Zn;
2
1)(2nRx;1xTanxSec
xSen1xCos
xCos1xSen
Rx;1xCosxSen
22
22
22
22
22
22
22
22
22
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2015-II
TRIGONOMETRÍA
“Identidades Trigonométricas del
ángulo doble y mitad”
Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Objetivos:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con Identidades trigonométricas.
 Aplicar técnicas de comprobación en diversas identidades trigonométricas.
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DEL
ÁNGULO DOBLE



También:


Ejemplos:
 Sen80° = 2Sen40°Cos40°
 2Sen3xCos3x = Sen6x
 Cos72° = Cos2
36° – Sen2
36°
 Cos10x = 2Cos2
5x – 1
 Cos5x = 1 – 2Sen2
2
x5
 2Cos2
8

– 1 = Cos
4

 1 – 2Sen2
25° = Cos50°
 


30Tg
15Tg1
15Tg2
2
Triángulo del Ángulo Doble:
Así tenemos:
Ejemplos:
 Sen18° =


9Tg1
9Tg2
2
 Cos8x =
x4Tg1
x4Tg1
2
2


Fórmulas de Degradación:




sen2 = 2sen cos  
sen2 =
sen40º =
sen8 =


cos = cos - sen  
2 2
2
cos2 =
cos40º =
cos4 =


tan2 =
tan2 = __________________
tan2 =

 __________________
2tan
1 - tan


2
xSen21x2Cos 2

1xCos2x2Cos 2

Tan2 2
Tan1
 2
Tan1
2





2
2
2
Tan1
Tan12Cos
Tan1
Tan2
2Sen
Tan2 2
Tan1
 2
Tan1
2





2
2
2
Tan1
Tan12Cos
Tan1
Tan2
2Sen
Tan2 2
Tan1
 2
Tan1
2
x2Cos43xCos8x2Cos1xCos2
x2Cos43xSen8x2Cos1xSen2
42
42


x2Cot2TanxCotx x2Csc2TanxCotx 
x2Cot2TanxCotx x2Csc4xCscxSec 222
x2Csc2TanxCotx 
x2Sec
Tanx
x2Tan
1x2SecxTanx2Tan 
Semana Nº 9

2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-09 Ingreso Directo


cos1 

sen


cos1 

sen




4Cos
8
3
8
5
CosSen
4Cos
4
1
4
3
CosSen
66
44
Ejemplos:
 2Sen4
3x = 1 – Cos 6x
 2Cos2
18
 = 1 + Cos
9

 1 – Cos60° = 2Sen2
30°
 1 + Cos74° = 2Cos37°
 Cot15° + Tg15° = 2Csc30°
 Cot3x – Tg3x = 2Cot6x
 Sen4
15° + Cos4
15° =
4
1
4
3
 Cos60°
 Sen6
8
 + Cos6
8
 =
2
Cos
8
3
8
5 

IDENTIDADES DEL ÁNGULO MITAD
NOTA: el signo (±) se elige según el
cuadrante del arco
2
 y de la R.T. a la
que afecta.
AUXILIARES



  
radicalesn
sen n
""
2...222
2
2 1



  
radicalesn
n
""
2...222
2
cos2 1


PROBLEMAS RESUELTOS
1. Halle “x”
A) 17
15
B) 8
15
C) 1
15
D) 4
15
E) 5
18
RESOLUCIÒN

2
2tg
tg2
1 tg

 
 
2
1
2
4
tg2
1
1
4
 
 
  
 
  
 
1
82tg2 tg2
15 15
16
    
 8 x 1 32
x 1
15 4 15

   
; 17
x
15

RPTA.: A
2. Si: 9
4








tg
Halle E = 2ctg
A) - 9
40
B) 5
18
 C) 1
40
 D) 11
40
E) 1
25
RESOLUCIÒN
tg tgx 9
4
 
    
 
; x x
4 4
 
      
M ctg2 ctg 2 x
4
  
     
  
M ctg 2x tg2x
2
 
   
 
 
 
2 2
2 92tgx 18
M
1 tg x 1 811 9
  
 
18
M
80


 9
M
40
 
RPTA.: A
3. Reduce: 2x x
E ctg 2cos ctgx
2 2
   
    
   
A) 1 B) cos x C) sen x D) tg xE) ctg x
RESOLUCIÒN
2x x
E ctg 2cos ctgx
2 2
   
    
   
E csc x ctgx 1 cos x ctgx     
E cscx ctgx ctgx cosxctgx   
2
1 cosx 1 cos
E cosx
senx senx senx

  
1x2Sec
Tanx
x2Tan
1x2Secx 
1 cos
sen
2 2
  
 
1 cos
cos
2 2
  
 
1 cos
tg
2 1 cos
  
 
 
tg csc ctg
2

   
ctg csc ctg
2

   

 1
4
x

3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-09 Ingreso Directo
2
sen x
E
senx

E senx RPTA.: C
4. Reduce:
x
tg ctgx
2
M
x
ctgx ctg
2
 
 
 
 
  
 
A) 1 B) -1 C) 0 D) ½ E) 1/3
RESOLUCIÒN
x
ctgx tg
2
M
x
ctgx ctg
2
 
   
 
 
  
 
 
 
ctgx csc x ctgx
M
ctgx csc x ctgx
  

 
ctgx csc x ctgx csc x
M
ctgx csc x ctgx csc x
   
 
  
M = 1 RPTA.: A
Problemas DE CLASE
1) Si 𝑆𝑒𝑛𝑥. 𝐶𝑜𝑠𝑥 = 0,4 , entonces, la suma de
todos los posibles valores que asume Tg x, es :
A)
1
2
B) 2 C)
5
2
D) −
3
2
E)
7
2
1º EXAMEN ORDINARIO – UNS 2014 - II
2) En un triángulo rectángulo ABC (∡𝐴 = 90º)
expresar: Sec 2B + Tg 2B en términos de los
catetos b y c del triángulo.
A)
𝑐−𝑏
𝑏+𝑐
B)
𝑏+𝑐
𝑐−𝑏
C)
𝑏+𝑐
𝑏−𝑐
D)
𝑏−𝑐
𝑏+𝑐
E)
𝑏+𝑐
𝑏−2𝑐
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - III
3) En la figura, AP = PC. Calcular
𝐸 = 𝑆𝑒𝑐2𝛼– 𝑡𝑔 2𝛼 . 𝐶𝑡𝑔𝛼
A) ½ B) -1 C) 0 D) -½ E) 1
1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - III
4) El valor de:
1−4.𝑆𝑒𝑛10º.𝑆𝑒𝑛70º
2𝑆𝑒𝑛10º
es:
A) 0 B) 1 C) -1 D) ½ E) – ½
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - III
5) Calcule 𝑆𝑒𝑛
𝛼
2
si:
A) √37 B) 37 C)
2
√37
D)
√37
37
E)1
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - II
6) Si 𝑥𝜖 〈
3𝜋
2
; 2𝜋〉 , reduce la siguiente
expresión : 𝐸 = |
𝑆𝑒𝑛𝑥+𝐶𝑜𝑠𝑥+1
𝑆𝑒𝑛𝑥−𝐶𝑜𝑠𝑥+1
|
a) Tgx b) Ctgx c) −𝑇𝑔
𝑥
2
d) −𝐶𝑡𝑔
𝑥
2
e) 𝑇𝑔 (𝑥 +
3𝜋
4
)
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - II
7) Para que valor de “m” se cumple que:
𝑆𝑒𝑛 (
𝜋
2 𝑛
) =
{
1
2
−
1
2
[
1
2
+
1
2
〈
1
2
+
1
2
(
1
2
+
√2
4
)
1
2
〉
1
2]
1
2
}
1
2
A) 0 B) 1 C) ¼ D) ½ E) ¾
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - I
8) Dado un triángulo BAC (recto en A), hallar
𝑇𝑔
𝐶
2
en función de los lados a, b y c.
A)
𝑐
2𝑏
B)
𝑎+𝑏+𝑐
𝑎+𝑏−𝑐
C)
𝑏+𝑐−𝑎
𝑎+𝑏−𝑐
D)
𝑏+𝑐−𝑎
𝑎−𝑏+𝑐
E)
𝑎+𝑏−𝑐
𝑎−𝑏+𝑐
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - III
9) Simplificando:
xTgxTg
xTgxTg
P
3.51
35
22
22


 ,
Se obtiene:
A) xTgxTg 3.4 B) xTgxTg 5.2
C) xTgxTg 2.8 D) xTgTgx 6. E) TgxxTg .3
EXAMEN ORDINARIO – UNS 2013 - I
10) Si
4
;0

  , entonces , el valor de
 CosSenM .21 ; es igual a:
A)  CosSen  B) Sen C) Cos
D)  SenCos  E) Tg
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - I


4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-09 Ingreso Directo
11) Sí 𝑇𝑔 𝜃 = 𝑚, entonces el valor de
14
42




Cos
Sen
S , es:
A)
m
m 12
 B) 2
1 m C) 12
m
D)
m
m 12
 E)
m
m 1
12) Al simplificar la expresión:




Sec
Sen
Csc
Cos
E
33
 se obtiene:
A)
4
4Sen B) 44Sen C) 4Sen
D) 2Sen E) 0
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - I
13) Si tg +Ctg=
9
40 , entonces el valor de
sen2, es;
a) 9/10 b) 9/20 c) 19/25 d) 11/13 e) 19/20
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2009 - III
14) Simplificar la expresión:
W =
1 + tan2
(
π
4
− 2x)
1 − tan2 (
π
4
− 2x)
a) sen2x b) sen4x c) csc2x
d)sen2
2x e) csc4x
15) Calcular el valor de k que satisface la igualdad:
Cot21° − kSec6° = Tan21° − 2Tan42°
a) 2 b) 4 c) 6 d) ½ e) ¼
16) Si: tan (
2π
9
) + tan (
5π
18
) = k
Calcular: W =
1
4
sen2
(
4π
9
)
a) k b) 1/k c) 2/k d)1/k3
e) 1/k2
17) Del grafico mostrado , calcular el valor de:
E = Sec2
x + 2Sec2
y
y
x2x
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
18) Si:(1 + sec2x)(1 + sec4x)(1 + sec8x) = Atan(Bx)cot(Cx)
Calcular:
B
A+C
; siendo:B > 0 𝑦 𝐶 > 0
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
19) Si: tg ) = 2 y tg() = 3,
Calcular:  2cos27  senK
a) 1 b) 0 c) -1 d) 2 e) -2
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2011 III
20) Si
8
,0

x , al reducir:
xCos4222
2

, se obtiene:
a) Senx b) Cosx c) Secx d) Cscx e) Tgx
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 I
21) Si: Tg2
 +ctg2
= 66; y
24




; entonces, el
valor de Ctg2es:
a) 2 b) 3 c) -3 d) -4 e) 5
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 - III
22) Si:
31
96
  ;
Calcular
16842

 CscCscCscCscCsc 
A)0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
23) Si: , entonces
es igual a:
a) b) c)
d) e)
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2011 III
19. Si calcular:
A) B) C)
D) E)
2,sec2
 nntgxx
 
 3
33
cos
cos
xsenx
xxsen


2
3


n
n
2
1


n
n
2
1


n
n
2
3


n
n
2
2


n
n
2 b
Tg ; 0 ; ,
a b 16

  

1 1 1 1 1 1
N Cos16
2 2 2 2 2 2
    
a
2a b
b
2a b
a
a 2b
b
a 2b
b a
b a



5. 5
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo