Este documento resume la secuencia de Fibonacci y la proporción áurea. Explica que la secuencia de Fibonacci describe el crecimiento de la población de conejos y se relaciona con patrones en la naturaleza. También describe cómo la proporción áurea, relacionada con la secuencia de Fibonacci, fue usada por artistas como una proporción armónica. El autor concluye apreciando las matemáticas subyacentes en la naturaleza y el arte.

1. Nombre: Miguel Ángel Sánchez Alcántara
Materia: Matemáticas III
Profesor: Luis Miguel Villarreal Matías
Proporción Aurea y Secuencia de Fibonacci
Grupo: 3°B
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2. INDICE
Introducción 3
Secuencia de Fibonacci 4
Proporción Aurea 6
Conclusión 8
Actividad 9
Referencias Bibliográficas 10
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3. INTRODUCCIÓN
Desde que amanece y abrimos los ojos, estamos en contacto con las
Matemáticas.
Cualquier cosa que hacemos depende de las Matemáticas, es por eso que son
magníficas y muy interesantes. Durante nuestra trayectoria de vida hay veces que
las Matemáticas nos fastidian por la tarea o simplemente no nos gustan ya que es
una ciencia de exactitud. Pero nos daremos cuenta que no tienen nada de
aburrido, si no al contrario que son muy interesantes y están en nuestra vida
cotidiana.
“La Matemática es la llave de oro que abre todas las ciencias”.
DURUY
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4. SECUENCIA DE FIBONACCI
Leonardo de Pisa mejor conocido como Fibonacci. Fue un matemático italiano
que vivió entre 1170-1250 y fue el autor de la posteriormente denominada
Sucesión de Fibonacci.
Fibonacci explico el desarrollo de fenómenos naturales de crecimiento mediante
una sucesión:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…
Esta secuencia se realiza sumando dos números consecutivos para obtener el
siguiente. Por ejemplo 0+1=1, 1+1=2, 2+1= 3, 3+2=5 y así sucesivamente hasta
llegar al infinito.
Fibonacci planteó un problema con conejos. Supón lo siguiente: empiezas con dos
crías que tardan un mes en crecer y empezar a aparearse. Las crías nacen un
mes después. ¿Cuantos pares habrá después de un año? La respuesta es 233
que es el decimotercer número de la serie.
Una octava en el teclado del piano tiene 13 teclas: 8 blancas y 5 negras, las
cuales se dividen en grupos de 3 y 2. Todos estos números pertenecen a la serie
de Fibonacci, ¡otra coincidencia magnifica!
Los números de esta sucesión son comunes en las cabezuelas de las flores. Si los
miras de cerca por abajo, verás que los flósculos están acomodados en espiral en
dos direcciones. El número de espirales de cada dirección es un número de esta
secuencia.
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5. La Cantidad de pétalos de una flor suele ser un número de la secuencia de
Fibonacci, las margaritas de Michaelmas suelen tener 34,55 o 89 pétalos.
Una coincidencia muy curiosa es que el cociente de dos números consecutivos de
la secuencia, se aproxima al llamado número de oro. Pero nunca alcanza a ser
exacto. De hecho es imposible obtener este número como resultado de una
operación de dos números por eso los matemáticos lo llaman “irracional”
Ejemplo:
55/ 34= 1.617 Numero de oro: 1,618034
A continuación veremos la relación entre el número de oro y esta magnífica serie.
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6. LA PROPORCIÓN ÁUREA
La serie de Fibonacci está estrechamente relacionado con el numero 1.618034
conocido como phi (se pronuncia fi). Los matemáticos y los artistas tuvieron
conocimiento de este peculiar número desde hace varios milenios y por mucho
tiempo creyeron que tenía poderes mágicos. Leonardo da Vinci llamaba al phi “la
proporción aurea” y lo aplicaba para realizar sus pinturas. Phi tiene propiedades
extrañas. Por ejemplo, multiplicarlo por si mismo equivale a sumarle uno.
1/
x
Los griegos de la antigüedad pensaban que phi era mágico porque solía aparecer
en las formas que consideraban sagradas. Por ejemplo una estrella de cinco
picos, la proporción entre las líneas cortas y largas es exactamente phi. A
Leonardo da Vinci y otros artistas de la Europa medieval le fascinaban las
matemáticas y pensaban que las formas que tenían la proporción phi eran más
armoniosas, por ello solían aplicarlo en sus pinturas. Unos grandes ejemplos de
estas obras son El “Hombre de Vitrubio” y La “Gioconda”, de Leonardo da Vinci.
Se dice que los arquitectos de la antigua Grecia utilizaban phi en sus
construcciones y algunos aseguran que el Partenón (abajo), en Atenas, está
basado en rectángulos áureos.
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7. Dibuja una línea recta de 10 cm de largo y haz una pequeña marca a los 6.18 cm
con lo cual quedan dos secciones. Si divides la longitud total de la línea entre el
tamaño de la sección más larga, obtienes 1.618, y si divides la longitud de la
sección larga entre la sección más corta, obtienes el mismo resultado. Esto es la
proporción áurea o Demostración:
Si dibujas un rectángulo cuyos lados midan 1 y phi, obtendrás lo que los artistas
llaman “rectángulo áureo”. Divídelo en un cuadro y un rectángulo, y el rectángulo
pequeño resulta ser otro rectángulo áureo. Si continúas haciéndolo empezara a
surgir una espiral. Esta “espiral áurea” es similar a la concha de un animal marino
llamado nautilus.
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8. CONCLUSIÓN
Mi conclusión en esta investigación es que la Matemática es una ciencia muy
extraña y bella, ya que la proporción áurea es algo increíble y nos puede parecer
inexplicable, pero a la vez es bella, ya que es un número perfecto y es increíble
como de distintas formas podemos obtener este número, y como distintos artistas
aplicaban este magnífico número en sus pinturas ya que creían que eran más
armoniosas.
También la serie de Fibonacci es algo fantástico, ya que me gustó mucho la
manera en la que se relaciona esta secuencia con la naturaleza y creo que esta
sucesión y el número áureo demuestran la presencia de las Matemáticas en
nuestra vida cotidiana.
Además aprendí la importancia de tener libros, ya que en Primer Grado de
Secundaria el profesor de Matemáticas nos dejo leer un libro llamado “Piensa un
Numero” de Johnny Ball y gracias a esto mi trabajo está mejor elaborado. Lo que
más se me dificultó de este trabajo fue realizar la espiral aurea en Geogebra, ya
que fue muy laborioso realizarla, pero siento que quedó presentable y el resultado
fue satisfactorio para mí.
Además, aparte de este trabajo cuando leía el libro “El Diablo de los Números” me
di cuenta que hacían mención de la Serie de Fibonacci y eso me gusto mucho ya
que lo explican de una manera muy simple y divertida. Finalmente puedo decir que
las Matemáticas no son tan complejas, si no al contrario, son sencillas,
interesantes y curiosas.
Escalera de caracol o proporción áurea
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9. ACTIVIDAD
Realiza la espiral aurea partiendo de rectángulos áureos en Geogebra siguiendo las
siguientes instrucciones:
1. Primero construimos un rectángulo cualquiera
2. Después realizamos dentro del rectángulo un cuadrado, que dará un cuadrado y
un rectángulo que sería áureo y continuamos con la misma dinámica
3. Para comprobar que es un rectángulo áureo trazamos un segmento el cual se
tiene que superponer en las dos diagonales ( en la del cuadrado y en el vértice del
rectángulo inicial)
4. Seguimos construyendo cuadrados hacia el interior del rectángulo inicial
5. Ahora seguiremos construyendo cuadrados, pero ahora hacia el exterior del
rectángulo inicial
6. Posteriormente realizaremos la espiral aurea utilizando la herramienta “Arco”
7. Para realizar el arco necesitamos de mucha destreza para realizar esta espiral con
la herramienta arco damos click en diversos puntos observando que la espiral
tome su forma si es que nos equivocamos en trazar la espiral y empieza a tomar
otra forma podemos empezarlo otra vez con la opción deshacer (flecha amarrilla
en el lado superior derecho)
8. Seleccionamos todos los arcos le agregamos un color llamativo y un grosor mayor
que el inicial
9. Ocultamos el segmento que comprobaba si el rectángulo era áureo y también
todos los puntos
10. Finalmente también ocultamos el primer rectángulo áureo y al ocultarlo nos queda
la figura más uniforme, al final queda la figura y queda un pequeño rectángulo en
blanco que sería un rectángulo áureo. Por último podemos agregarle color a
nuestra figura y diferentes tipos de trazo para una mejor presentación
La figura nos tiene que quedar de la siguiente manera:
FIGURA HECHA POR: Miguel Ángel Sánchez Alcántara
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10. REFERENCIAS BIBLIOGRAFIAS
Libro: Piensa un numero
Autor: Johnny Ball
Editorial: Ediciones SM
Edición: 1era edición
Año edición: 2005
Número de páginas: 96 pp.
http://www.youtube.com/watch?v=DKGsBUxRcV0
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/videos/8espiral/espiral.html
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