sistema_de_coordenadas sistema_de_coordenadas sistema_de_coordenadas sistema_de_coordenadas sistema_de_coordenadas

1. Sistema de coordenadas
Los embajadores
Hans Holbein “El joven”
Pintor alemán (1497-1543)
Esta pintura constituye el ejemplo característico de un
tipo de retrato renacentista, en el cual el que se retrata
está rodeado por una serie de objetos que manifiestan
su interés y sus conocimientos. Entre los objetos,
aparte de los instrumentos musicales, destacan: un
libro de aritmética, un globo terráqueo, varios
instrumentos astronómicos y dos relojes de sol.

2. Situaciones de coordenadas
Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Sistema de Coordenadas • 534
En todas estas
situaciones, para
ubicar una posición en
particular, se precisa
de un punto de
referencia y asociar
dos elementos en un
cierto orden.
Un avión cuando vuela
requiere enviar a la torre
de control información
sobre la latitud, la longitud
y la altura donde se
encuentra.
Para poder organizar los
productos en un
supermercado,
precisamos conocer el
pasillo, el anaquel y el
estante.
En todas estas situaciones, se requiere de un punto de referencia y asociar un número para lograr la
ubicación.
En todas estas situaciones para
ubicar una posición en particular,
se precisa de un punto de
referencia y asociar tres
elementos en un cierto orden.
En cada casillero se
determina el piso y la letra
que le corresponde al
apartamento.
Cualquier punto del globo
terráqueo se determina
por su latitud y su longitud.
En el plano de algunas
ciudades, las esquinas
quedan determinadas por
la intersección de una
calle con una avenida.
Descartes fue uno de los primeros filósofos modernos.
En 1637 publicó su gran obra “Discurso del método para
conducir bien la razón y buscar la verdad en las ciencias”,
en la que figuran La Dióptrica, Los Meteoros y la Geometría,
siendo esta última un apéndice de dicha obra. En La
Geometría aparecen las ideas sobre lo que hoy se conoce
como sistemas de coordenadas cartesianas debido a la
forma latina de su apellido Cartesius.

3. Los números racionales y algunas raíces como las cuadradas 2 , 3,... n,... se pueden representar en la recta utilizando
regla y compás (son números construíbles con regla y compás), mientras que hay otros números con los que no se puede
usar este procedimiento, como es el caso de e y π que se representan usando aproximaciones.
Postal Av. Urdaneta 1958.
Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Sistema de Coordenadas • 5 35
Sistemas de coordenadas en la recta
En muchas situaciones cotidianas requerimos de una ubicación en una línea
recta. Si estamos en la esquina de Veroes, de la avenida Urdaneta, de Caracas
(de frente a El Ávila), y deseamos movilizarnos a la esquina de Carmelitas,
debemos caminar dos cuadras a la izquierda. Si queremos ir a la esquina de
Ibarras, tenemos que caminar una cuadra hacia la derecha.
Cuando leemos en un
termómetro podemos observar
temperaturas por encima o por
debajo de cero.
Av. Urdaneta
C
arm
elitas
Sta.C
apilla
Veroes
Ibarras
Pelota
Punceres
Av.FuerzasArmadas
Socorro
Ánim
as
El piloto de un avión conoce la
altura a que se encuentra a través
del altímetro.
En estas situaciones, en realidad lo que estamos haciendo es tomar un sistema de referencia en una
recta (vertical u horizontal), donde fijamos un punto de origen y luego consideramos direcciones: derecha
o izquierda; hacia arriba o hacia abajo; y una “unidad de medida”, como es el caso de la cuadra (100 m
aproximadamente) o 1 grado centígrado, etc.
Una recta o una curva con un punto O llamado origen y una
unidad de medida definida con otro punto U de la misma, deter-
minan un sistema de coordenadas en la recta o en la curva.
O U
Sentido positivo: de O hacia U
Se asocia: 0 con el origen y 1 con U
0 1 2 3 40
-1-2-3
5 4
3
= 1 + 1
3
Teorema de Tales
- 5
5
e ≈ 2,718
π ≈ 3,1416
Teorema de Pitágoras
1

4. Los símbolos < y > se deben al matemático inglés Thomas Harriot
(1560-1621) quien los incluyó en su obra póstuma Artis analyticae
praxis (Londres, 1631) y quién, además, fue un astrónomo prominente
(descubrió las manchas solares).
Harriot fue el primer matemático destacado enviado al Nuevo Mundo
como agrimensor, por Sir Walter Raleigh en 1585, y realizó la
inspección y medición de una porción del territorio de América del
Norte.
a es menor que b
a < b o b > a
Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Sistema de Coordenadas • 536
Orden en la recta
La recta y la curva en el espacio (2000)
Consuelo Mariño. Pintora española
Homenaje a la primera muestra de pensamiento simbólico.
Cueva Sudafricana. Hace 100.000-70.000 años.
a b
Para incluir la posibilidad de que los números a y b sean iguales se escribe a ≤ b o bien b ≥ a, que se lee
“a es menor o igual que b” o bien “b es mayor o igual que a”, respectivamente.
Un conjunto de números de uso frecuente son los llamados intervalos
Intervalo abierto
(a , b)
Números que están entre a y b.
No se incluyen ni a ni b.
Notación Descripción
a ba < x < b
60
km/h
Intervalo cerrado
[a , b]
Números que están entre a y b,
incluyendo a y b.
Intervalo semiabierto
(a , b]
Números que están entre a y b,
incluyendo b.
Números que están entre a y b,
incluyendo a.
(a, ) Números mayores que a.
a ba ≤ x ≤ b
a ba < x ≤ b
a ba ≤ x < b
a x > a
a
ax < a
b
Intervalo semiabierto
[a , b)
[0 , 60]
Presto Dinero
1% mensual
de 500 000 a
3 000 000 000
[5.105
, 3.109
]
[a, )
x ≥ a
x ≤ a
Números mayores o iguales
que a.
(– , a) Números menores que a.
(– , a]
Números menores o iguales
que a.
No se
aceptan
menores de
edad
[0,18)
Solicito
secretaria, 22
años mínimo
y máximo 35
años
[22, 35]
Ejemplo: e < π , - 5 < -1, 1 < e
Representación
Dibujo de la Luna
efectuado por Harriot.

5. Postal Catedral de Caracas, 1920.
Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Sistema de Coordenadas • 5 37
En muchas situaciones cotidianas requerimos de una ubicación en el plano de
alguna ciudad. Si estamos en una esquina del centro de una ciudad como Caracas
(como la esquina de La Torre) y le preguntamos a un transeúnte cómo hacemos
para ir a la esquina de Altagracia, esta persona nos podría indicar que debemos
caminar dos cuadras hacia el norte y luego dos cuadras hacia el oeste. O bien
que podemos caminar dos cuadras hacia el oeste y luego dos cuadras hacia el
norte.
Sistemas de coordenadas en el plano
En realidad lo que está haciendo este individuo
es considerar un sistema de referencia en el centro
de la ciudad, donde fija como punto de origen el
lugar en el que está ubicado y luego toma
direcciones (norte-sur, este-oeste) y una “unidad
de medida” en cada una de estas direcciones,
que en este caso es una cuadra (aproximadamente
100 m).
Una situación similar acontece en el casco central
de varias ciudades del país, donde se toma un
sistema de coordenadas para ubicar distintos
lugares, como es el caso de numerar todas las
vías en una misma dirección con la denominación
de calle y asignarle un número, y las que están
en la dirección “perpendicular” como avenidas,
atribuyéndole también un número.
Así, si deseamos referirnos a una esquina en
particular, debemos indicar el número de la calle
y el de la avenida, por ejemplo: avenida 3 con
calle 5. Si queremos referirnos a un lugar que
está entre dos calles debemos indicar los números
de las dos calles y la avenida, por ejemplo: avenida
4 con calles 2 y 3.
Calle1
Av. Urdaneta
C
arm
elitas
Sta.C
apilla
Veroes
Llaguno
Altagracia
M
ijares
Jesuitas
C
uartel
C
onde
Principal
La
Torre
Piñango
Padre
Sierra
Plaza
Bolívar
G
radillas
M
uñoz
M
arcos
Parra
Bolero
Calle2
Calle3
Calle4
Calle5
Calle6
Avenida 1
Avenida 2
Avenida 3
Avenida 4
Avenida 5
Avenida 6
El trazado de cuadrícula conformando lo que denominamos “manzana” proviene de las normas que había
establecido la Corona española y que se llamaban Leyes de Indias, para la creación de los pueblos pertenecientes
al reino de España.
N
E
S
O

6. En las situaciones anteriormente planteadas estamos considerando dos elementos para
dar una ubicación. En general en un plano, para dar un sistema de coordenadas cartesiano
se consideran dos rectas (denominadas ejes de coordenadas) que se cortan en un
único punto que usualmente se denota con la letra O y se denomina origen. Sobre
cada una de estas rectas se toma una unidad de medida (no necesariamente la misma
en ambos ejes).
Al fijar una unidad de medida en uno de los ejes, tomamos la longitud del segmento
OU como la unidad. De esta manera, en ese eje, tenemos una correspondencia
con los números reales. De la misma forma se procede con el otro eje. Este
par de rectas con sus respectivas unidades de medidas, es lo que se
llama sistema de Coordenadas Cartesianas en el plano.
Observa: Dado un punto P del plano, al trazar por P paralelas a los ejes,
éstas cortan a dichos ejes en puntos a los que podemos asociar números
reales que se denominan coordenadas del punto P. También se tiene
que: dados dos números reales x e y podemos asociar un único punto
en el plano cuyas coordenadas son el par ordenado (x,y).
Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Sistema de Coordenadas • 538
Sistemas de coordenadas en el plano
Para las anotaciones en el juego de ajedrez, se etiquetan las
columnas con letras y las filas con números. De esta manera
podemos ubicar la posición de una ficha indicando una letra y un
número. Para la anotación se acostumbra escribir la ubicación
anteponiendo la primera letra del nombre de la ficha, por ejemplo,
al decir Ag5 significa que estamos jugando el alfil en la posición
g5.
8a 8 b 8 c 8 d 8 e 8 f 8 g 8 h 8
7a 7 b 7 c 7 d 7 e 7 f 7 g 7 h 7
6a 6 b 6 c 6 d 6 e 6 f 6 g 6 h 6
5a 5 b 5 c 5 d 5 e 5 f 5 g 5 h 5
4a 4 b 4 c 4 d 4 e 4 f 4 g 4 h 4
3a 3 b 3 c 3 d 3 e 3 f 3 g 3 h 3
2a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 f 2 g 2 h 2
1a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 f 1 g 1 h 1
0
1 2 3 4
1
2
3
4
4
y
x
-1
-1
Origen
Eje de las abscisas
Ejedelasordenadas
P(x,y)
Abscisa del punto P
x
Ordenada del punto P
y
Coordenadas Polares
Además de las coordenadas cartesianas existen otros sistemas de coordenadas en
el plano, uno de ellos se forma al considerar una semirrecta e (denominada eje polar
y cuyo extremo se llama polo y se denota con la letra O) y una circunferencia con
centro en el polo.
Para dar las coordenadas polares de un punto P, se consideran la distancia del punto
P al extremo O y el ángulo θ que forma la semirrecta e con el segmento OP. En
este caso, la primera coordenada está en el intervalo [0 , ) mientras que la segunda
en el intervalo [0 , 2π).
P
eEje
Polar
O
θ
En general, para establecer un sistema de coordenadas
en el plano basta con que demos dos curvas que se
cortan en un único punto y una unidad de medida en
cada una de estas curvas. Ahora podemos pensar el
plano como una red determinada por todas las curvas
paralelas prefijadas.
0
0
1
2
3
4
5
a
b
c
d
a b c d e f g h
Nota: Usualmente los ejes x e y son perpendiculares.
Se pueden transformar las coordenadas de un cierto sistema a otro sistema. Por ejemplo: si ( r , θ ) son las coordenadas
polares de un punto en el plano, sus correspondientes coordenadas cartesianas (ejes perpendiculares) vienen dadas por
las fórmulas x = r cos θ, y= r sen θ.
Mientras que si ( x , y ) son las coordenadas cartesianas de un punto en el plano, entonces las coordenadas polares se
obtienen a través de las fórmulas r = x2
+ y2
, θ = arc tg .
En la actualidad, con las calculadoras científicas se pueden obtener las coordenadas polares de un punto conociendo
las coordenadas cartesianas y viceversa.
y
x

7. Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Sistema de Coordenadas • 5
Coordenadas y nuestro planeta Tierra
La superficie de nuestro planeta se asemeja a una esfera y puede
dividirse en rejillas delimitadas por infinitas líneas imaginarias
denominadas meridianos y paralelos.
Los paralelos, son circunferencias con centro en el eje de rotación de
la Tierra (recta que une los polos), y el paralelo máximo se denomina
Ecuador. Los meridianos son circunferencias que unen los polos y,
por convención, el meridiano de referencia se denomina Meridiano
de Greenwich.
Para dar la ubicación de un punto P sobre la superficie de la Tierra, se
utiliza el Sistema de Coordenadas Geográficas. Según este sistema,
el punto P queda determinado por dos números: latitud y longitud.
La longitud es el ángulo entre dos planos determinados por sus
respectivos meridianos: uno que contiene al punto P y otro al meridiano
de Greenwich. La longitud suministra la localización del punto al este
o al oeste del meridiano en referencia. Se mide en ángulos que van de
0° en el meridiano de Greenwich, hasta 180° en ambos sentidos (este
y oeste).
La latitud es el ángulo que forma el plano ecuatorial, con la recta que
une el punto P considerado con el centro de la Tierra. La latitud
proporciona la localización del punto al norte o al sur del Ecuador. Se
expresa con ángulos que van desde 0° en el Ecuador, hasta 90° en los
polos.
Sistema de Coordenadas Geográficas
Una vez proyectados los meridianos y paralelos sobre un plano o carta
geográfica u oceanográfica, se puede establecer la latitud y longitud
de cualquier punto situado sobre la superficie terrestre, tanto en tierra
como en el mar.
Venezuela está ubicada entre los paralelos 0º 38’ 59” N,
12º 11’ 23” N y los meridianos 59º 48’ 10” O y 73º 25’ 0” O.
Fuente: MRE, 2003.
RETO:
Busca en un mapa la latitud y la longitud de la capital
de la entidad federal en donde vives.
39

8. Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Sistema de Coordenadas • 5
El mapa más antiguo del mundo que se conoce en la
actualidad se debe a los babilonios, data de más de 4 500
años y está dibujado sobre una placa de barro cocido.
El primer mapa de las costas de América se debe a Juan
de la Cosa (español, 1449-1510), quién acompañó a Cristobal
Colón en su segundo viaje, y el primer mapa general de
Venezuela (1840), en su conformación geográfica y política,
se debe a Agustín Codazzi (Italiano, 1793-1859).
Como la Tierra dura 24 horas en dar una vuelta sobre su eje imaginario,
para dar la hora legal de una zona de nuestro planeta se divide el
Ecuador en 24 partes iguales. Los meridianos que pasan por estas
divisiones dividen la superficie de la Tierra en sectores llamados
HUSOS HORARIOS. Como la longitud de la circunferencia ecuatorial
tiene aproximadamente 40 076,64 km, al dividir entre 24, se tiene
≈1 669 km o, en forma equivalente, como 24 horas
corresponden a un giro completo (360º), 1 hora corresponde a 15º.
De esta manera dividimos el Ecuador en arcos de 15º, obteniendo
los Husos Horarios determinados por los meridianos que pasan por
estas divisiones, tomando como 0º el meridiano de Greenwich, 15º
el meridiano que se encuadra a 15º al este del meridiano de referencia
y, así, sucesivamente.
A pesar de esta convención, para fijar la hora de un país o de una
zona en determinada época del año, también se toman en cuenta
otros aspectos como, por ejemplo, las estaciones.
Coordenadas y hora mundial
40 076,64
24
40