Este documento presenta una serie de problemas y ejercicios sobre lógica proposicional, conjuntos, funciones y relaciones. En la sección de lógica proposicional, se piden determinar la veracidad de varias afirmaciones. En conjuntos, se piden demostrar identidades y calcular intersecciones y uniones de conjuntos. En funciones, se piden hallar funciones compuestas y determinar si una función es la inversa de otra. Finalmente, en relaciones se definen conceptos como relación inversa y complementaria, y se piden calcular estas relaciones para

1. PROBLEMAS PROPUESTOS UNIDAD 1
FundamentANDO el Conocimiento sobre
Lógica, Conjuntos, Funciones y Relaciones
Esteban Andrés Díaz Mina
Lógica Proposicional
1. Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones:
a. Si p es falsa, entonces la proposición p  q es siempre falsa.
b. Existe una proposición lógica p tal que p  q es siempre verdadera, sin importar el
valor de verdad de q.
2. Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones:
a. Dada una proposición compuesta p, si existe una asignación de valores de verdad para
las proposiciones que la constituyen que la haga verdadera, entonces p es una
tautología.
b. El valor de verdad de la proposición p  p es siempre el mismo, sin importar el valor
de verdad de p.
3. Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones:
a. Si la proposición (p  q)  p es falsa, necesariamente q es falsa.
b. Si la proposición p → q es verdadera y p también lo es, necesariamente q es verdadera.
4. Demuestra que pq y (p q)  (pq) son lógicamente equivalentes.
5. Determinar si
6. Evaluar la expresión de acuerdo a los niveles de precedencia
de los conectivos lógicos.
Demostración
1. Probar por el método directo que: Si n es impar entonces (n+1)3 - 15 es impar.
2. Demostrar que si n es impar entonces es impar.
3. Use el método indirecto para probar que: si (n+2)3 - (n-3)2 es par entonces n es par.

2. Conjuntos
1. Sea A y B conjuntos de un conjunto finito universal U.
Demuestre que BABAUBA 
2. Muestre que si A y B son conjuntos, entonces BABAA  )( .
(Ayuda: BABA  )
3. Usando las propiedades, de conjunto demostrar que:
ABCCBA  )(
4. Si A = {x |x no es un número primo, 1≤ x ≤ 30} y B = {x|(x módulo 4)  2, 1 ≤ x ≤ 30}. Calcule
BABABABA 
5. Dado A = {2, 3, 4, 6}, B = {4, 6, 8}, C = {3, 4, 6, 7} y U = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Calcule
.
6. ¿Cuántos enteros positivos menores que 1000 son divisibles por 6, 15 o 33?
Funciones
1. Sean las funciones 52)(  xxf , 42)( 1
 
xxg y
2
2)( xxh  :
a. Hallar (f  (h  g))(x)
b. Calcular (f  (h  g))(2)
2. Dadas las funciones y . Determine si .
Justifique su respuesta.
3. En una red se transmiten paquetes de 1500 bytes. ¿Cuántos paquetes son requeridos para
transmitir las siguientes cantidades de datos?
(Nota un kilobyte es 1.000 bytes y un megabyte es 1.000.000 de bytes).
a. 150 kilobytes de datos
b. 415 megabytes de datos
4. Dadas las funciones
sucesor(x) = x + 1 predecesor(x)= x - 1 suma(x, y)= x + y
cubo(x)= x * x * x cuadrado(x)= x * x multiplicación(x, y)=x * y
Hallar una función compuesta que use todas las funciones predefinidas para expresar

3. 5. Dadas las funciones y . Determine si el enunciado es
verdadero o falso. Justifique su respuesta.
Relaciones
Definiciones
Sea R una relación del conjunto A al conjunto B. La relación inversa de B a A, denotado por R-1, es el
conjunto de pares ordenados {(b,a)| (a,b) R}.
La relación complementaria R es el conjunto de pares ordenados {(a,b) | (a,b) R}.
1. Calcular R-1 y R de:
a. {(a, c), (a, b), (b, a), (d,d), (c, c), (b, c)}
b. {(a,a), (a, d), (b, c), (b,d), (c, a), (c, d)}
Definiciones
- Una relación R en un conjunto A es irreflexiva si para cada a  A, (a, a)  R.
Esto es, R es irreflexiva si no existe elemento en A relacionado con el mismo.
- Una relación R es llamada asimétrica si (a, b)  R implica que (b, a)  R.
Dadas las relaciones:
R1= {(a, c), (a, b), (b, a), (d,d), (c, c), (b, c)}
R2= {(a,a), (a, d), (b, c), (b,d), (c, a), (c, d)}
R3= {(a, d), (b, c), (b, d), (c, d)}
2. Para cada una de las relaciones, determinar si es irreflexiva y si es asimétrica.
Hallar R1 o R2 y R2 o R3
Dadas las relaciones:
R1= {(a, c), (a, b), (b, a), (d, d), (c, c), (b, c)},
R2= {(a,a), (a, d), (b, c), (b,d), (c, a), (c, d)} y
R3= {(a, d), (b, c), (b, d), (c, d)} en el conjunto {a, b, c, d}
3. Decida para cada una de las relaciones si es: Reflexiva, Simétrica, Antisimétrica, Transitiva,
Asimétrica, Irreflexiva,
Éxitos!