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0º 90º =π /2 rad 180º =π rad 270º = 3π/2 rad 360º =2π rad La longitud de una circunferencia es de 2πR    Tomando como unidad de medida el radio o lo que es lo mismo, Radio = 1, un arco completo de circunferencia mide 2π radios. Por tanto: ,[object Object],[object Object],[object Object],1 Grados sexagesimales y radianes MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
Los ángulos    y    son iguales: ambos miden un radián  2. Concepto de radian MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández r  r  r' r'
[object Object],[object Object],Por semejanza de triángulos se tiene que:  ,[object Object],3. Seno de un ángulo agudo MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
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Origen de medida de ángulos  = 405º  = –105º Ángulo reducido de un ángulo es el ángulo menor que 360º definido por su misma posición El ángulo reducido de 405º es el de 45º 6. Ampliación del concepto ángulo MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández Sentido negativo Sentido positivo
Aplicando el Teorema de Pitágoras: (sen α ) 2  + (cos α) 2  =  sen 2  α + cos 2  α = 1  Dividiendo en la relación anterior por cos 2      7.1 Relaciones entre las razones trigonométricas (I) MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
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8. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández  y y y y x x x r r r    r x r y r x x y
cos   Cos α Cos α Cos α Signos del (coseno, seno) en cada cuadrante (+,+) (–,+) (–, –) (+, –) I II III IV 9. Signos de la razones trigonométricas en los distintos cuadrantes MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández r = 1 u. r = 1 u. r = 1 u. α α α  r = 1 u. sen   Sen α Sen α sen   0º 90º =   /2 rad 180º =  π rad 270º =3π /2 rad 360º =  2π rad
Si un ángulo mide α  su suplementario mide 180º – α. sen (180º – α) = sen α cos (180º – α) = – cos α tan (180º – α) = – tan α 10. Razones trigonométricas de ángulos suplementarios MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández α x y – x 180º – α y 1 1
sen (180º + α) =  – sen α cos (180º + α) = – cos α tan (180º + α) =  tan α Si dos ángulos difieren en 180º y uno mide α el otro mide 180º + α    11. Razones trigonométricas de ángulo que difieren en 180º MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández α x – x 180º + α y – y 1 1
Sen (– α) = sen(360º – α) = – sen α Cos (– α) = cos(360º – α   cos α tan (– α) = tan (360º – α) = – tan α Si dos ángulos son opuestos y uno mide α el otro mide  – α    12. Razones trigonométricas de ángulos opuestos MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández – y y α x – α 1 1
Si un ángulo mide α  su complementario mide 90º – α    sen (90º – α) = AC / AB = cos α cos (90º – α) = BC / AB = sen α tan (90º – α) = 1 / tan α 14. Razones trigonométricas de ángulos complementarios MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández α 90º - α A B C
0º = 0 rad r=1 cos 0º=1 sen 0º = 0 Razones de 0º = 0 rad 14. Razones trigonométricas de MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
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Teniendo en cuenta que: sen (90º –   ) = cos   sen 60º = cos 30º cos (90º –   ) = sen   cos 60º = sen 30º Tenemos entonces que las razones son las siguientes: 20. Razones trigonométricas de 60º MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
0 1 2 3 4 4 3 2 1 0 21. Regla pnemotécnica para las razones trigonométricas de ángulos principales MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández cos Sen 90º 60º 45º 30º 0º
B C a b c A ,[object Object],[object Object],[object Object],Resolver un triángulo es calcular todos los elementos del mismo (lados y ángulos) a partir de algunos de ellos. 22. Resolución de triángulos rectángulos MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández 90º b a senB   c a cosB   b c tanB  

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Tema 08 Relaciones Trigonometricas

  • 1.
  • 2. Los ángulos  y  son iguales: ambos miden un radián 2. Concepto de radian MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández r  r  r' r'
  • 3.
  • 4.
  • 5.
  • 6. Origen de medida de ángulos  = 405º  = –105º Ángulo reducido de un ángulo es el ángulo menor que 360º definido por su misma posición El ángulo reducido de 405º es el de 45º 6. Ampliación del concepto ángulo MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández Sentido negativo Sentido positivo
  • 7. Aplicando el Teorema de Pitágoras: (sen α ) 2 + (cos α) 2 = sen 2 α + cos 2 α = 1 Dividiendo en la relación anterior por cos 2  7.1 Relaciones entre las razones trigonométricas (I) MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
  • 8. Dividiendo por tenemos: 7.2 Relaciones entre las razones trigonométricas (II) MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
  • 9. 8. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández  y y y y x x x r r r    r x r y r x x y
  • 10. cos  Cos α Cos α Cos α Signos del (coseno, seno) en cada cuadrante (+,+) (–,+) (–, –) (+, –) I II III IV 9. Signos de la razones trigonométricas en los distintos cuadrantes MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández r = 1 u. r = 1 u. r = 1 u. α α α  r = 1 u. sen  Sen α Sen α sen  0º 90º =  /2 rad 180º = π rad 270º =3π /2 rad 360º = 2π rad
  • 11. Si un ángulo mide α  su suplementario mide 180º – α. sen (180º – α) = sen α cos (180º – α) = – cos α tan (180º – α) = – tan α 10. Razones trigonométricas de ángulos suplementarios MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández α x y – x 180º – α y 1 1
  • 12. sen (180º + α) = – sen α cos (180º + α) = – cos α tan (180º + α) = tan α Si dos ángulos difieren en 180º y uno mide α el otro mide 180º + α  11. Razones trigonométricas de ángulo que difieren en 180º MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández α x – x 180º + α y – y 1 1
  • 13. Sen (– α) = sen(360º – α) = – sen α Cos (– α) = cos(360º – α  cos α tan (– α) = tan (360º – α) = – tan α Si dos ángulos son opuestos y uno mide α el otro mide – α  12. Razones trigonométricas de ángulos opuestos MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández – y y α x – α 1 1
  • 14. Si un ángulo mide α  su complementario mide 90º – α  sen (90º – α) = AC / AB = cos α cos (90º – α) = BC / AB = sen α tan (90º – α) = 1 / tan α 14. Razones trigonométricas de ángulos complementarios MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández α 90º - α A B C
  • 15. 0º = 0 rad r=1 cos 0º=1 sen 0º = 0 Razones de 0º = 0 rad 14. Razones trigonométricas de MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
  • 16. 90º = rad r=1 cos 90º = 0 sen 90º = 1 Razones de 90º 15. Razones trigonométricas de MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
  • 17. 180º = rad cos 180º=-1 sen 180º = 0 r=1 Razones de 180º 16. Razones trigonométricas de MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
  • 18. 270º = r=1 sen 270º =-1 cos 270º =0 Razones de 270º 17. Razones trigonométricas de MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
  • 19. sen 30º cos 30º 30º r=1 r=1 r=1 r=1 Calculamos el sen 30º Sea el triángulo equilátero de lado 1 Trazando la altura, dividimos el triángulos en dos rectángulos, donde el ángulo es de 30 º 30º 30º r=1 1/2 r=1 Sen 30º=1/2 18.1 Razones trigonométricas de 30º (I) MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
  • 20. r=1 30º sen 30º cos 30º Una vez obtenido el seno, y utilizando [1], podemos calcular el coseno: Y la tangente será: 18.2 Razones trigonométricas de 30º (II) MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
  • 21. Las razones trigonométricas de 30º son las siguientes: 18.3 Razones trigonométricas de 30º (III) MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
  • 22. r=1 sen 45º cos 45º Este triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90º y los otros dos de 45º. Por lo que es isósceles, y por tanto sus catetos son iguales sen 45º = cos 45º Utilizando: 45º 19.1 Razones trigonométricas de 45º (I) MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
  • 23. Las razones trigonométricas de 45º son las siguientes: 19.2 Razones trigonométricas de 45 (II) MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
  • 24. Teniendo en cuenta que: sen (90º –  ) = cos  sen 60º = cos 30º cos (90º –  ) = sen  cos 60º = sen 30º Tenemos entonces que las razones son las siguientes: 20. Razones trigonométricas de 60º MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández
  • 25. 0 1 2 3 4 4 3 2 1 0 21. Regla pnemotécnica para las razones trigonométricas de ángulos principales MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 8. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Javier Fernández cos Sen 90º 60º 45º 30º 0º
  • 26.