Este documento explica los diferentes tipos de ecuaciones que definen una recta en el plano, incluyendo la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas, la ecuación continua, la ecuación punto-pendiente y la ecuación general o implícita. Resuelve ejemplos mostrando cómo obtener cada tipo de ecuación para una recta dada por un punto y un vector director o por dos puntos en la recta.

1. TEMA 10
10.1 – DETERMINACIÓN DE UNA RECTA
Para determinar una recta necesitamos conocer una de estas dos condiciones:
1. Un punto A(x1, y1) y un vector = (v1, v2) que llamaremos vector director.
2. Dos puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) que pertenezcan a la recta y el vector que
determinan. Las coordenadas de dicho vector se obtienen restando las coordenadas del
extremo de las del origen
Vamos a empezar explicando las ecuaciones de la recta para el caso de que
conozcamos el punto A y el vector director
1. ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO.
10.2 – ECUACIÓN VECTORIAL
Considerando que los puntos de la recta están dados en forma de coordenadas (x, y), la
ecuación vectorial se escribe:
(x, y) =(x1, y1) + k (v1, v2) con k∈ R
Ejemplo:Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5).
Escribir su ecuación vectorial.
k∈ R
10.3 – ECUACIONES PARAMÉTRICAS
Realizando las operaciones indicadas se obtiene:
Igualando las primeras coordenadas y las segundas coordenadas de cada miembro

2. llegamos al siguiente sistema:
∈
k R
Ejemplo:Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5).
Escribir sus ecuaciones paramétricas.
10.4 – ECUACIÓN CONTINUA
Si de las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro k.
Y si igualamos ambos resultados puesto que son la misma k, queda:
Ejemplo: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5).
Escribir su ecuación continua.
10.5 – ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE
Partiendo de la ecuación continua de la recta
Y quitando denominadores:

3. Pasamos v1 dividiendo:
Llamando m al coeficiente que multiplica al paréntesis (Es la pendiente de la recta)
Se obtiene:
Ejemplo: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5).
Escribir su ecuación punto pendiente.
10.6 – ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA
Partiendo de la ecuación continua de la recta
Multiplicando en cruz se obtiene:
Efectuando los productos:
Pasando todo al primer miembro:
Cambiamos de nombre los coeficientes que acompañan a “x” , a “y” y el término
independiente:

4. Reescribimos la ecuación anterior:
Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implícita de la recta. De esta
forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta.
Nota importante:
Cuando se nos proporciona una ecuación general de la recta, el coeficiente A y el coeficiente B
son los componentes del vector director de la recta:
A partir de éste podemos determinar la pendiente de la recta:
Ejemplo1: Halla la ecuación general de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como
vector director igual (-2, 1).
Ejemplo2: Halla la ecuación general de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente
m = -2.
10.7 – ECUACIÓN EXPLÍCITA
Si en la ecuación general de la recta:
despejamos y, se obtiene la ecuación explícita de la recta:

5. El coeficiente de la x es la pendiente, m.
Ejemplo: Hallar la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A (1,5) y tiene
como pendiente m=-2.
Solución: Escribimos la ecuación punto pendiente
2. ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR
DOS PUNTOS.
Sean los puntos A (x1, y 1) y B (x2, y 2) que determina una recta r. Un vector director de
la recta es: cuyas componentes son: . Como
vemos las hemos obtenido restando las coordenadas de B de las de A.
Consideramos ahora que estamos en una situación idéntica a la estudiada en el primer
punto del tema: Conocemos una recta que pasa por A y que tiene por vector director v.
A partir de este instante aplicamos lo aprendido y calculamos cuantas ecuaciones nos
pidan.
Por ejemplo sustituyendo en la forma continua:

6. Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1,3) y B(2,-5)
Solución: Calculamos el vector v ( 2-1, -5-3). Ahora construimos la ecuación continua
de una recta que pasa por A (1,3) y que tiene por vector director v ( 2-1, -5-3)
EJERCICIO RESUELTO:
1) Obtén todas las ecuaciones de la recta que pasa por A (3, 4) con vector director v(-1, 3)
Vectorial : con t un número real.
Paramétricas: Operando obtenemos
Contínua: Despejando t de las dos paramétricas e igualando obtenemos
Punto-pendiente: la pendiente será
y la ecuación quedará
Ecuación general o implícita: Se obtiene llegando a la forma
desde la forma contínua o desde la punto-pendiente. Así pues: y de
ahí
Ecuación explícita: basta despejar la y de la continua, la general o la punto-pendiente
EJERCICIOS: