La teoría de exponentes trata sobre la potenciación o multiplicación de un número llamado base repetidas veces según indique el exponente. Algunos conceptos clave son: a) la potenciación consiste en multiplicar la base por sí misma el número de veces indicado por el exponente; b) el exponente cero equivale a 1 para cualquier base distinta de cero; c) los exponentes negativos equivalen a tomar la reciprocidad de la base elevada al valor absoluto del exponente. El documento también presenta varios teoremas relacionados con las operaciones con exponentes.

1. TEORÍA DE EXPONENTES
potenciación

2. POTENCIACIÓN
 Consiste en multiplicar un número llamado
base tantas veces como lo indica el
exponente.
𝑏 𝑛
= 𝑝
b: base
n: exponente
p: potencia.

3. EXPONENTE NATURAL
𝑏 𝑛
= 𝑏. 𝑏. 𝑏 … 𝑏. 𝑏
n veces
b ∊ R ; n ∊ N ; n > 0

4. EXPONENTE CERO
𝑎0
= 1; 𝑎 ≠ 0
1. 40
= 1
2. (45𝑥12)0
=
3. (−
4
6
)0
=
4. 00
=

5. EXPONENTE NEGATIVO
𝑎−𝑥
= (
1
𝑎
) 𝑥
=
1
𝑎 𝑥 ; a≠0
1. 5−1
= (
1
4
)1
=
1
4
2. (
3
2
)−3
= (
2
3
)3
=
8
27

6. PROBLEMAS
I.- comunicación matemática
¿Cómo se lee?
53
:
47
:
43
= 64 :

7. II.- razonamiento y demostración
1. responde V o F
A. 33
= 9
B. (
3
4
)−2
=
9
16
C. (
2
5
)−3
= −
125
8

8. III.- resuelve
1. 25=
2. (
3
4
)−3
=
3. La Hidra de Lerna es un personaje mitológico que
aparece en algunas historias, como la de las 12
pruebas de Hércules. La Hidra era un monstruo con
1 cabeza, pero si se le cortaba, le nacían 2 cabezas en
su lugar. Si un héroe intentaba vencerla cortándole
todas sus cabezas cada día, ¿cuántas cabezas tendría
la Hidra el tercer día? ¿y al cabo de 10 días intentando
vencerla?

9. TEOREMAS
Teorema 1:
Multiplicación de bases iguales.
𝑎 𝑥
. 𝑎 𝑦
= 𝑎 𝑥+𝑦
Ejemplos:
1. 𝑥2
. 𝑥3
. 𝑥4
= 𝑥2+3+4
= 𝑥9
2. 𝑏 𝑥
. 𝑏−𝑥+1
. 𝑏2
= 𝑏 𝑥−𝑥+1+2
= 𝑏3

10. TEOREMA 2
Potencia de potencia.
(𝑎 𝑥
) 𝑦
= 𝑎 𝑥𝑦
Ejemplos:
1. (𝑥3
)4
= 𝑥3.4
= 𝑥12
2. (𝑏10
)
2
5 = 𝑏10.
2
5 = 𝑏4

11. TEOREMA 3
Potenciación de una multiplicación.
(𝑎. 𝑏) 𝑥
= 𝑎 𝑥
. 𝑏 𝑥
Ejemplos:
1. (𝑎3
. 𝑏)3
= 𝑎9
. 𝑏3
2. (𝑎4
. 𝑏5
) 𝑥
= 𝑎4𝑥
. 𝑏5𝑥

12. TEOREMA 4
División de bases iguales.
𝑎 𝑥
𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥−𝑦
; a ≠0
Ejemplos:
1.
𝑥6
𝑥3 = 𝑥6−3
= 𝑥3
2. 𝑎 𝑥−3
=
𝑎 𝑥
𝑎3

13. TEOREMA 5
Potenciación de una división:
𝑎
𝑏
𝑥
=
𝑎 𝑥
𝑏 𝑥 ; 𝑏 ≠ 0
Ejemplos:
𝑥
3
2
=
𝑥2
32
=
𝑥2
9
𝑥3
𝑦4
5
=
𝑥3 5
𝑦4 5
=
𝑥15
𝑦20

14. TEOREMA 6
Exponentes sucesivos
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒
= 𝑎 𝑏 𝑐 𝑓
= 𝑎 𝑏 𝑔
= 𝑎ℎ
Ejemplos:
92−1
= 9
1
2 = 32
1
2 = 3
4213
= 421
= 42
= 16

15. RADICACIÓN
La radiación es una operación
matemática en la cual, dos números
llamados cantidad subradical e índice ,se
requiere encontrar otro numero llamado
raíz.
𝑛
𝑏 = 𝑎
n: índice
b: cantidad subradical
a: raiz.

16. EXPONENTE FRACCIONARIO
𝑎
𝑚
𝑛 =
𝑛
𝑎 𝑚
𝑎 ∈ 𝑅; 𝑚; 𝑛 ∈ 𝑍+
∧ 𝑛 ≥ 2
Ejemplos:
5
3
2 =
2
53
𝑥
4
5 =
5
𝑥4

17. RAÍZ DE RAÍZ
𝑛 𝑚
𝑎 = 𝑛𝑚
𝑎
Ejemplos:
3 5
𝑥 = 15
𝑥
4 𝑚
𝑎3 =
4𝑚
𝑎3

18. RAÍZ DE UNA FRACCIÓN
𝑛 𝑎
𝑏
=
𝑛
𝑎
𝑛
𝑏
; b≠ 0
Ejemplos:
5
3
=
5
3

19. ECUACIONES EXPONENCIALES
I.- ley de bases iguales:
𝑥 𝑎
= 𝑥 𝑏
→ 𝑎 = 𝑏 ; 𝑥 > 0 ; 𝑥 ≠ 1
Ejemplos:
𝑥2+𝑎
= 𝑥3
2 + 𝑎 = 3
𝑎 = 1

20. II.- ley de exponentes iguales:
𝑥 𝑎
= 𝑦 𝑎
→ 𝑥 = 𝑦 ; 𝑎 ≠ 0
También:
𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 0 ; 𝑎 𝑥
= 𝑏 𝑥
→ 𝑥 = 0
Ejemplos:
(𝑥 + 3)3
= 43
𝑥 + 3 = 4
𝑥 = 1

21. LEY DE SEMEJANZA O ANALOGÍA
𝑥 𝑥
= 𝑎 𝑎
→ 𝑥 = 𝑎 ; 𝑥 ≠ 0; 1
Ejemplos:
𝑥 𝑥
= 256
𝑥 𝑥
= 44
𝑥 = 4