Este documento presenta los conceptos de productos notables, división algebraica y cocientes notables. Explica que los cocientes notables provienen de divisiones exactas que se pueden calcular directamente usando fórmulas. Estas fórmulas se derivan de cuatro casos de división dependiendo de si el exponente en el dividendo es par o impar. El documento también cubre cómo calcular el término general de un cociente notable.

1. PRODUCTOS NOTABLES
DIVISIÓN ALGEBRAICA
COCIENTES NOTABLES
EQUIPO DE CIENCIAS

2. ESQUEMA DE LA UNIDAD
PRODUCTOS
NOTABLES, DIVISIÓN
ALGEBRAICA, COCIENTES
NOTABLES
PRODUCTOS
NOTABLES:
DEFINICIÓN
TABLA DE IDENTIDADES
CASOS ESPECIALES
DIVISIÓN ALGEBRAICA:
COCIENTES NOTABLES:
ELEMENTOS
CONCEPTO
CASOS
CASOS
MÉTODOS DE DIVISIÓN
TÉRMINO GENERAL
TEOREMA DEL RESTO

4. x7
x
27
2
UNA DIVISIÓN ESPECIAL

5. x7
x
27
2
¿PORQUÉ ES ESPECIAL?

6. x7
x
27
2
OBSERVAMOS:
• EL DIVIDENDO Y EL DIVISOR SON BINOMIOS.
•EL DIVIDENDO ES LA DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS CON IGUAL
EXPONENTE.
•EL DIVISOR ES LA DIFERENCIA DE LAS BASES DE LAS POTENCIAS DEL
DIVIDENDO.

7. x7
x
¿CÓMO RESOLVEMOS
ESTA DIVISIÓN?
27
2

8. x7
x
27
2
VEAMOS LOS CRITERIOS
DE LOS “COCIENTES
NOTABLES”

9. COCIENTES NOTABLES
• Provienen de divisiones exactas, las cuales se
calculan de manera directa.
• Las fórmulas se obtienen de la siguiente
expresión.
xn
x
Donde: n 2
an
a

10. CUATRO CASOS DE DIVISIÓN
x
n
x
a
a
n
xn an
x a
xn an xn an xn an
x a
x a
x a
Cociente
notable para n
par o impar
Cociente
Cociente
No es cociente
notable para n notable para n notable
par
impar

11. CASOS Y DESARROLLO
CASOS
DESARROLLOS
CONDICIÓN
xn
x
an
a
x n 1a 0 x n 2 a1 x n 3 a 2  x 0 a n
xn
x
an
a
x n 1 a 0 x n 2 a1 x n 3 a 2  x 0 a n 1
n es par
x n 1 a 0 x n 2 a1 x n 3 a 2  x 0 a n 1
n es impar
xn
x
an
a
1
n es par o
impar

12. CARACTERÍSTICAS DE LOS
DESARROLLOS
CASOS
DESARROLLOS
CONDICIÓN
xn
x
an
a
x n 1a 0 x n 2 a1 x n 3 a 2  x 0 a n
xn
x
an
a
x n 1 a 0 x n 2 a1 x n 3 a 2  x 0 a n 1
xn
x
an
a
n 1 0
x a
n 2 1
x a
n 3
x a
2
 xa
0
1
n 1
n es par o
impar
n es par
n es impar
4.- Cada desarrollos son polinomios homogéneos.
3.- Los desarrollo es un polinomio ordenado y
5.- El número deson forman
completo. Los exponentes de la primera base un
2.- Cada término son polinomioslacada término es
1.- suma de los exponentesde de gradomanera,
6.- Los desarrollos del desarrollo se
Los desarrollos términos en misma n-1,
La menos que n-1 hasta cero;
disminuyen desde el igualsignos. y los exponentes de la
grado únicamente en las del bases
varían
forma multiplicandolos a n dividendo.
losmisma.
desarrollos es grado dos
la
segunda base aumentan desde cero hasta n-1.

13. PRIMER CASO
xn an
x a
x n 1a 0 x n 2 a1 x n 3 a 2  x 0 a n
1
Ejemplo:
x 5 25
x 2
x 4 20 x 3 21 x 2 22 x1 23 x 0 24
x
4
2x
3
4x
2
8 x 16
Observaciones: Todos los términos del desarrollo son
positivos. Recordar que n puede ser par o impar.

14. Ejemplo:
64x 6 729
 Calcula el cociente:
2x 3
64x 6 729
2x 3
(2 x) 6 36
2x 3
(2 x)5 30 (2 x) 4 31 (2 x)3 32 (2 x) 2 33 (2 x)1 34 (2 x) 0 35
32x5 48x 4 72x 3 108x 2 162x 243

15. SEGUNDO CASO
xn an
x a
x n 1 a 0 x n 2 a1 x n 3 a 2  x 0 a n 1
Ejemplo:
x 6 26
x 2
5
x2
x
5
0
4
1
x 2
2x
4
3
x2
4x
3
2
2
x2
8x
2
3
1
x2
4
0
x2
5
16x 32
Observa: En este caso, los signos del desarrollo son
alternadamente positivos y negativos, empezando en
positivo.

16. Ejemplo:
x8 1
 Calcular el cociente:
x 1
x8 1
x 1
x 710 x 612 x 513 x 414 x 315 x 216 x117 x 018
x7 x6 x5 x 4 x3 x 2 x 1
 Calcular el cociente
81x 4 625
3x 5
81x 4 62 5
3x 5
(3x) 4 54
3x 5
(3x)3 50 (3x) 2 51 (3x)1 52 (3x) 0 53
27x 3 45x 2 75x1 125

17. TERCER CASO
n
x a
x a
n
x n 1 a 0 x n 2 a1 x n 3 a 2  x 0 a n 1
Ejemplo:
x 5 25
x 2
4
x 2
x4
0
3
1
x 2
2 x3
2
x 2
4x2
2
1
x2
8x
3
0
x 2
4
16
Observa: En este caso, los signos del desarrollo son
alternadamente positivos y negativos, empezando en
positivo. Recuerde que n es impar.

18. Ejemplo:
x7 1
 Calcular el cociente:
x 1
x7 1
x 1
x 612 x 513 x 414 x 315 x 216 x117 x 018
x6 x5 x 4 x3 x 2 x 1
3 2x 5 y 5
 Calcular el cociente
2x y
5
5
(2 x) 5 y 5
3 2x y
2x y
2x y
(2 x) 4 y 0 (2 x) 3 y1 (2 x) 2 y 2 (2 x)1 y 3 (2 x) 0 y 4
1 6x 4
8x3 y
4x2 y 2
2 xy 3
y4

19. CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE
PARA OBTENER UN C.N.
De:
xn
xp
am
aq
n
p
se debe cumplir
m
q
Número d e Términos
Ejemplo:
Hallar el valor de “n” si el cociente es notable
Se cumple:
5n 3
n 1
(5n
3)( n
5n 2 10n
12n 36
2)
5( n 6)
n 2
5(n
3n 6
n 3
,luego entonces
6)( n 1)
5n 2
5n
30n
30
x 5n 3 y 5( n 6)
xn 1 yn 2

20. FORMULA DEL TÉRMINO GENERAL DE UN C.N.
Es una fórmula que nos permite encontrar un término
cualquiera en el desarrollo de los C.N., sin necesidad de
conocer los demás.
xn
x
De la división:
yn
y
Si d(x) = x – y:
tk
xn k yk
1
Si d(x) = x + y:
tk
( 1) k 1 x n k y k
1
Donde:
tk término del lugar k
x 1er. término del
divisor.
y 2do. término del
divisor.
n número de términos
de q(x)(C.N.)

21. 81x 4 625
Aplicación: Calcular el tercer término de:
3x 5
Como d(x) = x + y, entonces:
8 1x 4 6 2 5
3x 5
Además:
tk
t3
3
tk
( 1) k 1 x n k y k
(3x) 4 54
3x 5
( 1)3 1 (3x) 4 3 53
75x
1
1
, luego n=4 y k=3
75x

23. EVALUACIÓN
1. Cuantos términos tiene el CN:
2 5 6 1 6 m8
n
2n 2 m
2. Indique el cuarto término de:
6 2 5x1 2 a 2 4
5x3 a6
PIERRE DE FERMAT