s

1. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-III
TRIGONOMETRÍA
‘‘ECUACIONES E INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS’’
Docente: Lic. Carrillo Velásquez Rodolfo
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Son igualdades condicionales donde la
variable (x) o arcos de la forma (ax + b)
se encuentran afectados de algún
operador trigonométrico como el seno,
coseno, etc. Es de la forma:
F. T. (ax + b) = N …… (∗)
Donde el valor principal (Vp) es el valor
del ángulo o arco (ax + b) definido en el
"rango" de la función trigonométrica
inversa.
De (*): Vp = arc F. T. (N)
F.T. V.P.
sen [−
π
2
;
π
2
]
cos [0: π]
tan 〈−
π
2
;
π
2
〉
N debe pertenecer al dominio de la
función trigonométrica; a y b cte. a ≠ b .
Ejemplo:
sen3x =
√3
2
⇒ Vp = arcsen (
√3
2
) =
π
3
cos (2x +
π
4
) = −
1
2
⇒ Vp = arccos (−
1
2
) =
2π
3
tan (
3x
5
−
π
8
) = −1 ⇒ Vp = arctan(−1) = −
π
4
EXPRESIONES GENERALES DE TODOS
LOS ARCOS QUE TIENEN LA MISMA
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
ECUACION SOLUCION
Si: senx = N ⇒ x = kπ + (−1)k
Vp;
∀k ∈ 𝑍
Vp = arc sen(N)
ECUACION SOLUCION
Si: cosx = N ⇒ x = 2kπ ± Vp;
∀k ∈ 𝑍
Vp = arc cos(N)
ECUACION SOLUCION
Si: tanx = N ⇒ x = kπ + Vp;
∀k ∈ 𝑍
Vp = arc tan(N)
INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Es una desigualdad condicional que
involucra funciones trigonométricas por
lo menos una.
Ejemplos:
 sen2x > 𝑐𝑜𝑠𝑥
 tan2x + cot2x > 𝑐𝑠𝑐𝑥
 sen2x <
1
3
INECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA
ELEMENTAL:
Una inecuación trigonométrica se llamará
elemental, cuando es de la forma:
F. T. (kx + θ) ≶ a ; x: incognita
Ejemplos:
 senx >
1
2
 tan3x ≤ 1
Resolución de una Inecuación
Trigonométrica Elemental:
Se estila seguir dos métodos:
Semana Nº 12

2. Lic. Carrillo Velásquez Rodolfo Trigonometría.
2
Resuelve: 𝐒𝐞𝐧𝐱 >
𝟏
𝟐
Método I:
En la circunferencia trigonométrica,
ubicamos todos los arcos "x" cuyos senos
sean mayores que
1
2
, así:
Método II:
Graficamos en un mismo sistema
coordenado las funciones:
f(x) = Senx y g(x) =
1
2
Los puntos de intersección en un periodo
del Senx: osea en [0; 2𝜋], se obtienen con:
f(x) = g(x) ⟶ Senx =
1
2
∴ x =
π
6
∨
5π
6
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Dada la ecuación
2𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1 + 𝑐𝑠𝑐𝑥; 𝑥 ∈< 0; 2𝜋 > , calcule
la suma de soluciones.
A) 𝜋 B) 2 𝜋 C)
5𝜋
2
D)3 𝜋 E)
7𝜋
2
2. Indique un conjunto solución de la
ecuación
𝑐𝑜𝑠3𝑥
𝑐𝑜𝑠6𝑥
−
𝑠𝑒𝑛6𝑥
𝑠𝑒𝑛3𝑥
= −√2 ; ∀𝑘 ∈ 𝑍
A){
𝜋
3
(2𝑘 ±
1
4
)} B) {
𝜋
4
(2𝑘 ±
1
4
)}
C) {
𝜋
3
(2𝑘 ±
1
6
)} D) {
𝜋
2
(2𝑘 ±
1
3
)}
E) {
𝜋
5
(2𝑘 ±
1
5
)}
3. Halle el conjunto solución de la
ecuación 𝑠𝑒𝑛4𝑥 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥𝑐𝑜𝑡2𝑥 + 1 = 0
A) {
𝑛𝜋
2
−
𝜋
4
/𝑛 ∈ 𝑍} B) {
𝑛𝜋
2
+
𝜋
8
/𝑛 ∈ 𝑍}
C) {
𝑛𝜋
2
+
𝜋
12
/𝑛 ∈ 𝑍} D) {2𝑛𝜋 +
𝜋
4
/𝑛 ∈
𝑍}E) {
𝑛𝜋
2
−
𝜋
8
/𝑛 ∈ 𝑍}
4. Al resolver la ecuación trigonométrica
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝑥; 𝑥 ∈ [0; 2𝜋]
calcule la suma de soluciones.
A)
𝜋
4
B)
𝜋
2
C) 𝜋 D)
3𝜋
2
E) 2𝜋
5. Halle la solución general de la ecuación
5𝑠𝑒𝑛4𝑥– 𝑐𝑜𝑠8𝑥 + 3 = 0
A) {
𝑛𝜋
4
− (−1) 𝑛 𝜋
6
/𝑛 ∈ 𝑍}
B) {
𝑛𝜋
6
+ (−1) 𝑛+1 𝜋
12
/𝑛 ∈ 𝑍}
C) {
𝑛𝜋
4
+ (−1) 𝑛+1 𝜋
24
/𝑛 ∈ 𝑍}
D) {
𝑛𝜋
3
+ (−1) 𝑛+1 𝜋
12
/𝑛 ∈ 𝑍}
E) {
𝑛𝜋
8
− (−1) 𝑛 𝜋
6
/𝑛 ∈ 𝑍}
6. Calcule la mayor solución negativa de
la ecuación 𝑐𝑜𝑠8𝑥 + 𝑐𝑜𝑠6𝑥 + 𝑐𝑜𝑠7𝑥 = 0
A)−
𝜋
14
B) −
𝜋
12
C) −
𝜋
8
D) −
𝜋
4
E) −
𝜋
6
7. Dada la ecuación trigonométrica
𝑐𝑜𝑠2
𝑥 + 3𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 2√3𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1
indique el número de soluciones en < 0; 3𝜋 >.
A) 3 B) 4 C) 5 D)6 E) 7
8. Si 𝑥 ∈ [0; 2𝜋], halle el númerode
soluciones de la ecuación
2
1
y
5
6

6
1
1
2
x
2
1
)x(g 
f(x)=Senx
2
1
y
5
6

6
2 2x + y
=1

3. Lic. Carrillo Velásquez Rodolfo Trigonometría.
3
4𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛
𝑥
2
− 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 1 = 0
A) 1 B) 2 C) 3 D)4 E) 5
9. Calcule la menor solución positiva de la
ecuación
2𝑠𝑒𝑛4𝑥𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 𝑠𝑒𝑛4𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠24𝑥 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥 = 0
A)
𝜋
12
B)
𝜋
6
C)
𝜋
4
D)
𝜋
3
E)
5𝜋
12
10. Resuelva la ecuación trigonométrica
𝑐𝑜𝑠2
2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 = 1 ; ∀𝑘 ∈ 𝑍
A) {(2𝑘 + 1)
𝜋
2
} ∪) {(2𝑘 + 1)
𝜋
6
}
B) {(4𝑘 + 1)
𝜋
2
} ∪) {
𝑘𝜋
4
}
C) {(2𝑘 + 1)
𝜋
2
} ∪) {
𝑘𝜋
4
}
D) {(4𝑘 + 1)
𝜋
2
} ∪) {
𝑘𝜋
8
}
E) {(2𝑘 + 1)
𝜋
8
} ∪) {
𝑘𝜋
2
}
11. Si 𝑥 ∈ [0; 2𝜋], halle el número de
soluciones de la ecuación
𝑡𝑎𝑛2
𝑥𝑡𝑎𝑛2𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥𝑡𝑎𝑛2𝑥
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
12. Cuántos valores de 𝑥 ∈ 〈−
𝜋
2
;
𝜋
2
〉 ;
satisfacen la ecuación
6𝑠𝑒𝑛2𝑥 – 8𝑐𝑜𝑠𝑥 + 9𝑠𝑒𝑛𝑥 – 6 = 0
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
13. Determine la suma de todas las
soluciones que se encuentran en el
intervalo [0;2𝜋] de la ecuación
2𝑠𝑒𝑛 3
𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 – 2𝑠𝑒𝑛𝑥– 1 = 0
A) 5𝜋 B)
5𝜋
2
C) 3𝜋 D)
3𝜋
2
E)
3𝜋
4
14. Calcule la suma de soluciones de la
ecuación
𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛3𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛4𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ∈ < 0; 2𝜋 >
A) 6𝜋 B) 7𝜋 C) 8𝜋 D)9𝜋 E) 10𝜋
15. Calcule la suma de soluciones de la
ecuación 2 =
1+𝐶𝑜𝑠2𝑥+𝐶𝑜𝑠22𝑥
(1+𝐶𝑜𝑠2𝑥)𝑆𝑒𝑛𝑥𝐶𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑖 𝑥 ∈ [0; 2𝜋].
A) 2𝜋 B) 3𝜋 C) 4𝜋 D) 5𝜋 E)
3𝜋
2
16.Resuelva la inecuación
𝑡𝑎𝑛𝑥+𝑡𝑎𝑛3 𝑥
1−𝑡𝑎𝑛2 𝑥
≤ 0 𝑠𝑖 −
𝜋
2
< 𝑥 <
𝜋
2
A)〈−
𝜋
4
;
𝜋
4
〉 B) 〈−
𝜋
2
;
𝜋
4
〉 ∪ 〈0;
𝜋
4
〉
C) ⟨−
𝜋
4
; 0] ∪ 〈
𝜋
4
;
𝜋
2
〉 D) 〈−
𝜋
4
;
𝜋
2
〉 E) 〈−
𝜋
2
;
𝜋
4
〉
17.Resuelva el sistema de ecuaciones
𝑠𝑒𝑛𝑥+𝑠𝑒𝑛𝑦
𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑠𝑒𝑛𝑦
= 3; 𝑥 − 𝑦 =
𝜋
3
; 𝑛 ∈ 𝑍.
A)𝑥 = 2𝑛𝜋 +
𝜋
2
; 𝑦 = 2𝑛𝜋 +
𝜋
6
B) 𝑥 = 𝑛𝜋 −
𝜋
6
; 𝑦 = 𝑛𝜋 −
𝜋
2
C) 𝑥 = 𝑛𝜋 +
𝜋
6
; 𝑦 = 𝑛𝜋 +
𝜋
2
D) 𝑥 = 𝑛𝜋 +
𝜋
2
; 𝑦 = 𝑛𝜋 +
𝜋
6
E) 𝑥 =
𝑛𝜋
4
+
𝜋
3
; 𝑦 =
𝑛𝜋
4
18.Se tiene el sistema de ecuaciones
𝑥 − 𝑦 =
𝜋
2
, 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦 =
√6
2
; 𝑛 ∈ 𝑍
Calcule la solución general para x.
A) 𝑛𝜋 ±
𝜋
3
+
𝜋
4
B)
𝑛𝜋
4
+
𝜋
6
C) 2𝑛𝜋 ±
𝜋
6
+
𝜋
4
D)
𝑛𝜋
4
+ (−1) 𝑛 𝜋
24
E) 2𝑛𝜋 ±
𝜋
3
19.Resuelva la inecuación
4𝑠𝑒𝑛2
𝑥𝑐𝑜𝑠2
𝑥 > 2( 𝑐𝑜𝑠4
𝑥−𝑠𝑒𝑛4
𝑥) + 1
𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 𝜋.
A) 〈
𝜋
2
; 𝜋〉 B) 〈0;
𝜋
4
〉 ∪ 〈
3𝜋
4
; 𝜋〉 C) 〈
𝜋
8
;
7𝜋
8
〉
D) 〈
𝜋
4
;
2𝜋
3
〉 E) 〈
𝜋
4
;
3𝜋
4
〉
20.Resuelva la inecuación
(sen 𝑥 −
1
2
)( 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 1) > 0 Indique un
conjunto solución en el intervalo < 0; 𝜋 >.
A) 〈
5𝜋
6
; 𝜋〉 B) 〈0;
3𝜋
4
〉 C) 〈
𝜋
6
; 𝜋〉
D) 〈
3𝜋
4
; 𝜋〉 E) 〈
𝜋
6
;
𝜋
2
〉
21. Si 𝑥 ∈ 〈−
𝜋
3
;
𝜋
2
〉 ; resuelva la
inecuación 𝑡𝑎𝑛2𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥 > 0
A) 〈−
𝜋
4
; 0〉 B) 〈
𝜋
4
;
𝜋
3
〉 C) 〈−
𝜋
4
;
𝜋
4
〉
D) 〈
𝜋
4
;
𝜋
2
〉 E) 〈−
𝜋
3
; −
𝜋
4
〉 ∪ 〈0;
𝜋
4
〉 ∪ 〈
𝜋
3
;
𝜋
2
〉

4. Lic. Carrillo Velásquez Rodolfo Trigonometría.
4
22. Se tiene el sistema de ecuaciones
𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑦 = 1
𝑐𝑜𝑡(𝑥 + 𝑦) =
3
4
Indique el valor de x.
A)
𝑛𝜋
2
+
53𝜋
180
; 𝑛 ∈ 𝑍 B) 𝑛𝜋 +
53𝜋
180
; 𝑛 ∈ 𝑍
C)
𝑛𝜋
2
−
53𝜋
180
; 𝑛 ∈ 𝑍 D)
53𝜋
360
− 𝑛𝜋; 𝑛 ∈ 𝑍
E)
53𝜋
180
− 𝑛𝜋; 𝑛 ∈ 𝑍
23. Resuelva la inecuación
𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 3𝑠𝑒𝑛𝑥– 𝑐𝑜𝑠𝑥– 2𝑐𝑜𝑠2
𝑥 > 0
𝑠𝑖 𝑥 ∈ < 0; 2𝜋 >.
A) 〈0;
5𝜋
6
〉 B) 〈
𝜋
6
;
5𝜋
6
〉 C) 〈0; 𝜋〉
D) 〈
𝜋
6
; 𝜋〉 E) 〈
𝜋
6
;
𝜋
2
〉
24.Resuelva la inecuación
𝑠𝑒𝑛4𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 > 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ∈ < 0; 𝜋 >.
A) 〈0;
2𝜋
3
〉 B) 〈0; 𝜋〉 − {
𝜋
3
}
C) 〈
𝜋
3
;
2𝜋
3
〉 − {
𝜋
3
} D) 〈
𝜋
3
;
2𝜋
3
〉
E) 〈0;
2𝜋
3
〉 − {
𝜋
3
}
25.¿Para qué valores de 𝜃 se cumple la
siguiente desigualdad?
𝑐𝑠𝑐𝜃 > 𝑐𝑜𝑡𝜃; 𝜃 ∈ < 0; 2𝜋 >
A) 〈0;
𝜋
2
〉 B)〈0;
𝜋
2
〉 ∪ 〈 𝜋;
3𝜋
2
〉 C) 〈
𝜋
2
; 𝜋〉
D) 〈
𝜋
2
; 𝜋〉 ∪ 〈
3𝜋
2
; 2𝜋〉 E) 〈0; 𝜋〉
26.Resuelva la inecuación
| 𝑐𝑜𝑠𝑥| < 1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 2𝜋.
A) 〈0; 𝜋〉 − {
𝜋
4
} B)〈0; 𝜋〉 C) 〈0;
𝜋
2
〉
D) 〈0; 𝜋〉 − {
𝜋
2
} E) 〈
𝜋
2
; 𝜋〉
27.Resuelva la inecuación
𝑠𝑒𝑛2𝑥 − √3𝑐𝑜𝑠2
𝑥 > −4√3𝑠𝑒𝑛2
30°𝑠𝑒𝑛2
𝑥 ,
𝑠𝑖 𝑛 ∈ 𝑍
A) 〈 𝑛𝜋 +
𝜋
4
; 𝑛𝜋 +
3𝜋
4
〉
B)〈 𝑛𝜋 +
𝜋
3
; 𝑛𝜋 +
5𝜋
6
〉
C) 〈 𝑛𝜋 +
𝜋
3
; 𝑛𝜋 +
2𝜋
3
〉
D) 〈 𝑛𝜋 +
𝜋
6
; 𝑛𝜋 +
2𝜋
3
〉
E) 〈 𝑛𝜋 +
𝜋
6
; 𝑛𝜋 +
𝜋
3
〉
28.Resuelva la inecuación √
1−𝑠𝑒𝑛𝑥
1−𝑐𝑜𝑠𝑥
, si
𝑐𝑜𝑠𝑥 < 0 y 𝜋 < 𝑥 <
3𝜋
2
A) 〈 𝜋;
3𝜋
2
〉 − {
𝜋
4
} B)〈
5𝜋
4
;
3𝜋
2
〉
C) 〈 𝜋;
5𝜋
4
〉 D) 〈 𝜋;
7𝜋
6
〉 E) 〈
7𝜋
6
;
5𝜋
4
〉
29.Resuelva la ecuación ⟦ 𝑐𝑜𝑠𝑥⟧ =
|𝑠𝑒𝑛𝑥|– 1 , si 0 < 𝑥 < 6𝜋. Indique por
respuesta el número de soluciones.
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
30.Resuelva la inecuación
√3 cos 𝑥 >
cos2 𝑥
1+𝑠𝑒𝑛𝑥
, 𝑠𝑖 𝑛 ∈ 𝑍.
A) 〈2𝑛𝜋 −
𝜋
6
; 2𝑛𝜋 +
𝜋
6
〉
B)〈2𝑛𝜋 −
𝜋
2
; 2𝑛𝜋 +
𝜋
3
〉
C) 〈2𝑛𝜋 −
𝜋
6
; 2𝑛𝜋〉
D) 〈2𝑛𝜋 −
𝜋
6
; 2𝑛𝜋 +
𝜋
3
〉
E) 〈2𝑛𝜋 −
𝜋
6
; 2𝑛𝜋 +
𝜋
2
〉
31.¿Cuántas soluciones presenta la
ecuación | 𝑡𝑎𝑛𝑥|– | 𝑐𝑜𝑡𝑥| = 0
𝑠𝑖 𝑥 ∈ 〈0; 2𝜋〉?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
32. ¿En cuántos puntos interseca la
función definida por
𝑓(𝑥) = |𝑡𝑎𝑛𝑥| – |𝑐𝑜𝑠𝑥| al eje x en el
intervalo 〈–
𝜋
2
;
5𝜋
2
〉 ?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8