El documento presenta las funciones trigonométricas inversas y sus propiedades. Define las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante inversas, también llamadas arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arccotangente, arcsecante y arcosecante. Además, explica algunas propiedades como que estas funciones inversas anulan la composición con las funciones trigonométricas directas.

1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-14 Ingreso Directo
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2015-II
TRIGONOMETRÍA
“FUNCIÓNES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS”
I. F.T. SENO INVERSO O ARCO SENO
Cumpliéndose:
II. F.T. COSENO INVERSO O ARCO
COSENO
Cumpliéndose:
III. F.T. TANGENTE INVERSO O ARCO
TANGENTE
Cumpliéndose:
IV.F.T. COTANGENTE INVERSA O ARCO
COTANGENTE
Cumpliéndose:
V. F.T. SECANTE INVERSA O ARCO
SECANTE
Cumpliéndose:
VI.F.T. COSECANTE INVERSA O ARCO
COSECANTE
PROPIEDADES
1.
Esto es :



 






 

2
;
2
:*Rang
1;1:*Dom
ArcSenx)x(*fy
1;1:Rang
2
;
2
:Dom
Senx)x(fy
*ff
ArcSen( x) = ArcSenx 




:*Rang
1;1:*Dom
ArcCosx)x(*fy
1;1Rang :
:Dom
Cosx)x(fy
*ff
;0
;0
ArcCos( x) = ArcCosx 

:*Rang
:*Dom
ArcTanx)x(*fy
Rang :
:Dom
Tanx)x(fy
*ff


;
2
;
2
 ;

2
;
2
ArcTan( x) = ArcTanx 

:*Rang
:*Dom
ArcCotx)x(*fy
Rang :
:Dom
Cotx)x(fy
*ff
 ;
 ;
;0
;0
ArcCot( x) = ArcCotx 

:*Rang
:*Dom
ArcSecx)x(*fy
Rang :
:Dom
Secx)x(fy
*ff







2
;0






2
;0 ;11;
 ;11;
ArcSec( x) = ArcSecx 

:*Rang
:*Dom
ArcCscx)x(*fy
Rang :
:Dom
Cscx)x(fy
*ff
}0{
2
;
2



 

}0{
2
;
2



    ;11;
   ;11;
  F.T.)Dom(Arcn;n(n)F.T.Arc.T.F 
Semana Nº 14

2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-14 Ingreso Directo
Por ejemplo:
Tan(ArcTan4) = 4
2.
Esto es :
Por ejemplo:
; pues :
ArcCos(Cos1) = 1 ; pues :
; Pues
En este caso, se le busca un equivalente a
"Tan2" en el intervalo correspondiente al
rango del ArcTan, asi :
MA' = NA = ; entonces : AN = 2 
Note que : Tan2 = Tan(2 luego :
ArcTan(Tan2) = ArcTan[Tan(2
ArcTan(Tan2) = 
Ya que:
3.
4.
5.
PROBLEMA DE CLASE
1) Hallar x sabiendo que: 𝑎𝑟𝑐 𝐶𝑜𝑠 (
√8
3
) = 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛 𝑥
A) 30º B)
√8
9
C) ½ D)
1
3
E) 15º
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - III
2) Al simplificar: 𝐶𝑜𝑠2(𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛𝑥) − 𝑆𝑒𝑛2(𝑎𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠𝑥) ,
se tiene:
A) 1 B) 2 C) 0 D) – 1 E) 3
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - II
3) Un polígono se inscribe en una circunferencia
de modo que cada lado es una “m-èsima” parte
del radio, además el lado L del polígono es 𝐿 =
2𝑅. 𝑆𝑒𝑛
𝜋
𝑛
, donde n es el número de lados de
dicho polígono. El ángulo central que subtiende
a cada lado es:
a) 𝐴𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛 (
2𝑚2
2𝑚2−1
) b) 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠 (
2𝑚2
2𝑚2−1
)
 
 
 
 















;11;n,n))n(ArcCsc(Csc
;11;n,n))n(ArcSec(Sec
Rn,n))n(ArcCot(Cot
Rn,n))n(ArcTan(Tan
1;1n,n))n(ArcCos(Cos
1;1n,n))n(ArcSen(Sen
3
1
3
1ArcSenSen 





  F.T.)Rang(Arc;)(F.T..T.FArc 
 
 


















 












 
}0{
2
;
2
,)ArcCsc(Csc
2
;0,)Sec(ArcSec
;0,)Cot(ArcCot
2
;
2
,)Tan(ArcTan
;0,)Cos(ArcCos
2
;
2
,)Sen(ArcSen
55
SenArcSen 




 
252

10
2)2Tan(ArcTan  


 
2
;
2
2
2
2
2

 
  




;11;;
2
ArcCscxArcSecx
R;
2
ArcCotxArcTanx
1;1;
2
ArcCosxArcSenx x
x
x

















1n;0x,1xy:Si
1n;0x,1xy:Si
0n;1xy:Si
n
xy1
yx
ArcTanArcTanyArcTanx

















1n;0x,1xy:Si
1n;0x,1xy:Si
0n;1xy:Si
n
xy1
yx
ArcTanArcTanyArcTanx

3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-14 Ingreso Directo
c) 𝐴𝑟𝑐𝑆𝑒𝑐 (
2𝑚2
2𝑚2−1
) d) 𝐴𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛 (
𝑚2
2𝑚2−1
)
e) 𝐴𝑟𝑐𝑆𝑒𝑐𝑚
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - II
4) El valor de: 𝑆𝑒𝑛(𝐶𝑜𝑠 −1
𝑥) es:
A) 1 B) -1 C) √1 − 𝑥2 D) √1 + 𝑥2 E) ½
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - III
5) Calcular el valor de “y” en la siguiente
expresión:





 





 

3
2
3
2
a
ab
arcTg
b
ba
arcTgy
A) 70º B) 20º C) 35º D) 55º E) 60º
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - II
6) El valor de x para el cual se cumple:
4
32

 xArctgxArctg , es:
A)
1
8
B)
1
12
C)
1
6
D)
1
20
E) 2
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - I
7) Calcular el valor de m que cumple con la
siguiente igualdad :
   )()( marcsentgmarctgsen 
a) 1 b)0 c) -1 d)2 e) -2
3º EXAMEN SUMATIVO
8) Al simplificar



















rq
rq
arctg
qp
qp
arctgE
.1.1
, se
obtiene:
a)  rqparctg  b)





 
qr
rqp
arctg
2
c)  rqparctg 2 d)










pr
rp
arctg
1
e)







 
pr
rqp
arctg
2
2
3º EXAMEN SUMATIVO –2009 - III
9) Calcular “x”
xarcarctg csc
5
3
arccos2 
a) 5 b) 55 c)
11
55 d)
5
511 e)
10
55
3º EXAMEN SUMATIVO – 2012 II
10) Evaluar:







5
4
13
12
arcsenarcsensen
a) 14/5 b) 2/35 c) 1/4 d) 1/5 e) 16/65
3º EXAMEN SUMATIVO – 2012 II
11) Calcular el valor de x, si:
2
1
12
12
arctgarctgx 



a) 22º30` b)45º c) 67º30` d)30º e) 60º
3º EXAMEN SUMATIVO –2011 - II
12) Al simplificar :







3
1
5
3
arctgarcsentgQ ,
Se obtiene:
a) -1/2 b) 1/3 c) -1/3 d)2/3 e) 2
3º EXAMEN SUMATIVO - 2012 I
13) Sea “f” la función definida por:






 1
2
arccos)(
x
xf
. El dominio de “f” es:
a) 2;3 b)  0;2 c)  1;3
d)  0;4 e)  1;1
(3º EXAMEN SUMATIVO –CEPUNS 2010 III )
14) Halle "x", si : 4ArcSenx = ArcCosx
a) b) c) d) e)
15) Resolver :
a) 1 b) 2 c) 0 d)  1 e) 2
PROBLEMA DE REPASO
1) Calcular :





























3
2
2cos32 arcsenarctgsenE
a) Sen37º b)
4
º602
tg c) º302
tg
d) sec45º e) sen53º
2) Si : ,
calcule: M = ArcSeny + ArcCosx
a) b) c) d) e)
3) Reducir:
2
1
4
1
2
3
4
15 
4
15 
2
xArcSec
1x
2xArcTan 


3
2ArcSenxArcCosy 
2

3

4

5

6

)4ArcCot(Csc)3ArcTan(SecM 22


4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
4
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a) 7 b) 13 c) 15 d) 27 e) 12
4) Determinar el rango de la función f definido
por: arctgxxarcsenxxf  arccos)(
a) 1;1 b)  0;1 c) [0;1]
d)




4
;
4
 e)




4
3
;
4

5) Calcular: Sec(Arc Tanb)
a) b) 2b c) No se puede determinar
d) e)
6) Determinar el valor de la expresión:
a) b)
c) d) e)
7) Dada la ecuación:
ArcTan(x+1ArcTan(x1)=ArcTan1
Indicar la suma de las soluciones
a)  2 b)  1 c) 0 d) 1 e) 2
8) Si: ,
Entonces:
a) b)
c) d)
e)
9) Sea f la función definida por:
𝑓(𝑥) =
2𝜋
3
+ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠5𝑥, calcular el dominio de f
a) [0;
1
5
] b) [−
1
5
;
1
5
] c) [−
1
5
; 1]
d) [
1
2
; 1] e) [
1
5
; 5]
10) Si: Tan (ArcTan2x) + Cot(ArcCotx) = 6,
Calcule:
a) b) c) d) e)
11) El valor o valores que verifican:
Son:
a) b) Sólo
c) d) e)
12) Calcular el valor de :
a) b)
c) d) e)
13) Resolver la ecuación:
a) b)
c) 1 d) e)
14) Sea “f” la función definida por:





  1
2
arccos)(
x
xf , el dominio de “f” es:
a) 2;3 b)  0;2 c)  1;3
d)  0;4 e)  1;1
16) Calcule:
a) b) c) d) e)
17) Calcule:
a) b) c) d) e)
18) Halle el valor de:
a) b) c) d) e)
1
b

2
b
2
b1 

















3
1ArcTan
5
1ArcSenCosP
105
154 
106
155 
106
155 
105
166 
105
166 
3ArcTan
2
3ArcTan3ArcTan 
239 2
 3
1
239 2
 3
1ó
3
2 
3
1ó
3
2 








1x
xArcCosTanK
2 2
2
4
2
3
32
2
3
2
3)ArcCosx(Sen)ArcSenx(Cos 
4
7
y
4
5
4
7
4
7
y
4
7

4
7

4
5y
4
5 





 
4
1ArcSen
2
1
2
Cos







 
4
35







 
4
35
4
35 
4
25 







 
4
25
3
ArcSenxx2ArcSen 
7
3
2
1x 
7
3
2
1x 
7
3
3
1x 
7
3
3
1x 
2
2ArcCos
2
3ArcSenE 
12
5
12
7
9

8











2
5ArcSecSenE
2
1
3
2
5
5
5
52
10
5






3
2ArcTan2Cos
5
2
5
3
13
5
13
12
8
15

5. 5
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo