2. C R
Q
Z
Irracionales
Enteros no positivos
Racionales no enteros
Complejos con parte imaginaria no nula
3. Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números
reales (a, b) . Sus componentes a y b son números reales y
reciben estos nombres:
Z= ( a; b )
Parte real de Z parte imaginaria de Z
a= Re ( z) b= Im (z)
4. Z = a + bi Forma binómica
Parte real Parte imaginaria
Z = (a; b) Forma cartesiana
5. Conjugados
El conjugado de un numero Z
(denotado como Z*) es un nuevo
número complejo, definido así:
Z* = a – ib Z= a + ib
Opuestos
Todos los números complejos Z
tienen un opuesto. –Z. La suma de
un complejo y su opuesto es el
elemento neutro: Z + (-Z) = (0;0)
6. Representación de opuestos y
conjugados
Z = a + bi Z1 = -3 + i
Opuesto
-Z = -a - bi -Z1 = 3 - i
Conjugado
Z = a + bi Z1 = -3 – i
no cambia
7. Lamamos unidad imaginaria de un numero complejo
al numero que se representa con la letra: i.
De esta manera, tenemos que:
i2 = ( )2 = -1
Con la unidad imaginaria i se puede realizar
operaciones (
suma, resta, multiplicaciones, divisiones, etc.) “como
si fuera la X de los polinomios”, con una
particularidad especial: i2 = -1
8. i0 = 1
Regla para elevar (i) a cualquier potencia
i1 =i
Hay que dividir la potencia de i por 4, porque
cada 4 veces que se eleva i se va
i2 = -1 obteniendo los mismos resultados y luego
elevamos la i al resto de la división: Ej: i322 =
i resto de la división = i2 = -1 zz
i3 = -i
Siempre hay que dividir por 4. Y
queda siempre i elevada a lo que nos
dio el resto de la división.
9. Operaciones de números
complejos
•Suma:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b +d)
• Resta:
(a, b) – (c, d) = (a – c, b – d)
• Multiplicación:
(a, b) . (c, d) = (ac – bd, ad + cb)
• División:
(a.b) : (c.d) = (ac + bd . bc – ad ) : c2+ d2 = (ac + bd : c2 + d2) . (bc- ad : c2 + d2)
10. • Suma:
(4-2i) + (3+6i) = (4+3) + (-2+6)i = (7+4i)
• Resta:
(9+3i) - (4+5i) = (9-4) + (3-5)i = (5-2i)
La suma y diferencia de números complejos se
realiza sumando y restando partes reales entre sí
y partes imaginarias entre sí.
•
11. • Multiplicación:
(3+2i)-(4+1i) = (3 4 - 2 1)+(3 1 + 2 4)i =(12-2)+(3+8)i= (10 +
11i)
El producto de los números complejos se realiza aplicando la
propiedad distributiva del producto respecto de la suma y
teniendo en cuenta que i2 = −1.
División:
(4-2i) / (3+6i)
(3+6i) . (3-6i) = (32+62) = 45
(4-2i) . (3-6i) = (12-12) + (-6-24)i = 0 -30i
El cociente de números complejos se hace racionalizando el
denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador
por el conjugado de éste.
12.
13. Una ecuación con números complejo es también una igualdad
que tiene una incógnita. A veces la incógnita es todo numero
complejo como por ejemplo: (en donde la incógnita es Z como
numero complejo)
(3 + i) . Z + 2 – i = 1 + i
En otros casos las incógnitas son parte de un numero complejo.
Como por ejemplo:
(2 + X) + (3 + Y) i = 5Y + 2Xi
Para resolver el primer tipo de ecuación se trabaja de la misma
manera que en las ecuaciones en los otros conjuntos
numéricos, es decir, se despeja Z. En cambio en el segundo
caso, por lo gral. Se utilizan un sistema de ecuaciones
trabajando por un lado con la parte real por el otro con la parte
imaginaria.
18. Bibliografía
http://www.vitutor.com/di/c/a_5.ht
ml
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%
BAmero_complejo
Libro “logikamente” tomo IV
Teoria de la carpeta
http://www.ejercitando.com.ar/prob
mate/ecuac_num_comple_01.htm
