SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 27
Descargar para leer sin conexión
1º de Bachillerato

CEMATH
© MMXI.II
Demostración de la fórmula del seno de la suma de dos ángulos
Conocimientos previos:
sin x =

cateto opuesto
hipotenusa

sin a =

BC
AC

cos a =

CF
CD

cos x 

cateto contiguo
hipotenusa

sinβ =

CD
AD

cos b =

AC
AD

sin (a + b) =

ED BC + CF BC CF
=
=
+
AD
AD
AD AD

sin (a + b) =

AC sin a CD cosa
AC
CD
+
=
sin a +
cosa
AD
AD
AD
AD

sin (a + b) = cos b sin a + sin b cosa
sin (a + b) = sin a cos b + sin b cosa
Como obtener más igualdades trigonométricas a partir del seno de una suma
Conocimientos previos:

sin (- x ) = - sin x

cos (- x ) = cos x

Seno de una diferencia
sin (a - b)= sin (a + (- b))= sin a cos(- b)+ sin (- b)cosa
sin (a - b) = sin a cos b - sin b cos a

Seno del ángulo doble
sin (2a )= sin (a + a )= sin a cos a + sin a cos a = 2sin a cos a
Como obtener más igualdades trigonométricas a partir del seno de una suma
Conocimientos previos:

sin (90o - x ) = cos x
cos (90o - x ) = sin x

Coseno de una suma

(

)

cos(a + b)= sin (90o - (a + b))= sin (90o - a )- b

cos (a + b) = sin (90o - a )cos b - sin b cos(90o - a ) = cos a cos b - sin a sin b

Coseno de una diferencia
cos(a - b)= cos(a + (- b))= cos a cos(- b)- sin (- b)sin a
cos(a - b)= cos a cos b + sin b sin a
Como obtener más igualdades trigonométricas a partir del seno de una suma
Coseno del ángulo doble
cos (2a ) = cos (a + a ) = cos a cos a - sin a sin a = cos 2 a - sin 2 a

Recuerda las fórmulas aprendidas
sin (a + b) = sin a cos b + sin b cosa

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

sin (a - b) = sin a cos b - sin b cos a

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

sin (2a ) = 2sin a cos a

cos(2a )= cos2 a - sin 2 a
Deducción de otras fórmulas trigonométricas
Conocimientos previos:
tan x =

sin x
cos x

Tangente de una suma
sin a cos b
+
sin (a + b) sin a cos b + sin b cos a
cos a cos b
tan (a + b) =
=
=
cos (a + b) cos a cos b - sin a sin b cos a cos b cos a cos b
sin a
+
cos a
tan (a + b) =
sin a
1cos a

sin b
tan a + tan b
cos b
=
sin b
1 - tan a tan b
×
cos b

sin b cos a
cos a cos b
sin a sin b
cos a cos b
Deducción de otras fórmulas trigonométricas
Conocimientos previos:
tan (- x ) = - tan x

Tangente de una diferencia
tan (a - b) = tan (a + (- b)) =

tan a + tan (- b)
1 - tan a tan (- b)

=

tan a - tan b
1 + tan a tan b

Tangente del ángulo doble
tan (2a ) = tan (a + a ) =

tan a + tan a
2tan a
=
1- tan a tan a
1- tan 2 a
Deducción de otras fórmulas trigonométricas
Seno de un ángulo en función del ángulo mitad
Si en la fórmula

sin (2a ) = 2sin a cos a

hacemos a =

q
2

, obtenemos

q
2

, obtenemos

æq ö æq ö
sin q = 2sin ç ÷cos ç ÷
ç ÷ ç ÷
ç2 ø è2 ø
è ÷ ç ÷
Coseno de un ángulo en función del ángulo mitad
2

2

Si en la fórmula cos(2a )= cos a - sin a

æq ö
æq ö
cos q = cos 2 ç ÷- sin 2 ç ÷
÷
ç ÷
ç ÷
ç2 ø
ç2 ø
è
è ÷

hacemos a =
Deducción de otras fórmulas trigonométricas
Tangente de un ángulo en función del ángulo mitad
Si en la fórmula

tan (2a ) =

2 tan a
1 - tan 2 a

hacemos a =

æq ö
2 tan ç ÷
ç ÷
ç2 ø
è ÷
tan q =
ö
2æ ÷
ç q÷
1 - tan ç ÷
ç2 ø
è

q
2

, obtenemos
Deducción de otras fórmulas trigonométricas
Conocimientos previos:

sin2 x + cos2 x = 1

Seno de un ángulo en función del ángulo doble
Sabemos que:

ì sin 2 a + cos 2 a = 1
ï
1 - cos 2a
ï
Þ 2sin 2 a = 1 - cos 2a Þ sin a = ±
í
ï cos2 a - sin 2 a = cos 2a
2
ï
î
Deducción de otras fórmulas trigonométricas
Coseno de un ángulo en función del ángulo doble
Sabemos que:

ì sin 2 a + cos2 a = 1
ï
1 + cos 2a
ï
Þ 2cos2 a = 1 + cos 2a Þ cos a = ±
í
ï cos2 a - sin 2 a = cos 2a
2
ï
î
Tangente de un ángulo en función del ángulo doble
1 - cos 2a
sin a
1 + cos 2a
2
tan a =
=
= ±
cos a
1 - cos 2a
1 + cos 2a
±
2
±
Deducción de otras fórmulas trigonométricas
Seno del ángulo mitad en función del ángulo
Sabemos que:

1 - cos 2a
sin a = ±
2

hacemos a =

q
2

y obtenemos:

æq ö
1 - cos q
sin ç ÷= ±
÷
ç ÷
ç2 ø
è
2

Coseno del ángulo mitad en función del ángulo
Sabemos que:

cos a = ±

æq ö
1 + cos q
cos ç ÷= ±
÷
ç ÷
ç2 ø
è
2

1 + cos 2a
2

hacemos a =

q
2

y obtenemos:
Deducción de otras fórmulas trigonométricas
Tangente del ángulo mitad en función del ángulo

Sabemos que:

1 - cos 2a
tan a = ±
1 + cos 2a

æqö
1 - cos q
tan ç ÷= ±
÷
ç ÷
ç2 ø
è
1 + cos q

hacemos a =

q
2

y obtenemos:
Deducción de otras fórmulas trigonométricas
Conversión de sumas en productos
Conocimientos previos:
Dado dos número cualesquiera

x e y

de forma que

A y B

siempre puedo hallar otros dos números

A  x  y

B  x  y

En efecto, si:

A  x  y
AB
AB
 2x  A  B  x 
, 2y  A  B  y 

2
2
B  x  y
Deducción de otras fórmulas trigonométricas
Convertir una suma de senos en un producto
Tenemos

sin A + sin B

Si hacemos

A  x  y

B  x  y

obtenemos:

sin A + sin B = sin (x + y)+ sin (x - y)
sin A + sin B = sin x cos y + sin ycos x + sin x cos y - sin ycos x

æA + B ö æA - B ö
÷cos ç
÷
sin A + sin B = 2sin x cos y = 2sin ç
÷ ç
÷
ç
÷ ç
÷
ç 2 ø è 2 ø
è
Deducción de otras fórmulas trigonométricas
Convertir una diferencia de senos en un producto
Tenemos

sin A - sin B

Si hacemos

A  x  y

B  x  y

obtenemos:

sin A - sin B = sin (x + y)- sin (x - y)
sin A - sin B = sin x cos y + sin ycos x - sin x cos y + sin ycos x

æA - B ö æA + B ö
÷cos ç
÷
sin A - sin B = 2sin y cos x = 2sin ç
÷ ç
ç
÷
ç 2 ÷ ç 2 ÷
è
ø è
ø
Deducción de otras fórmulas trigonométricas
Convertir una suma de cosenos en un producto
Tenemos

cosA + cosB

Si hacemos

A  x  y

B  x  y

obtenemos:

cos A  cos B  cos  x  y   cos  x  y 
cos A  cos B  cos x cos y  sin x sin y  cos x cos y  sin x sin y

 A  B
 A B
cos A  cos B  2cos x cos y  2cos 
cos 


 2 
 2 
Deducción de otras fórmulas trigonométricas
Convertir una diferencia de cosenos en un producto
Tenemos

cosA - cosB

Si hacemos

A  x  y

B  x  y

obtenemos:

cos A  cos B  cos  x  y   cos  x  y 
cos A  cos B  cos x cos y  sin x sin y  cos x cos y  sin x sin y

 A  B  A B
cos A  cos B  2sin x sin y  2sin 
 s in 

 2   2 
TEOREMA del SENO
Sea VABC

un triángulo cualquiera

Sea ha la altura relativa al lado a
Sea hb la altura relativa al lado b
Se verifica por tanto:

sin C 


sin B 



ha
 h a  bsin C
b
c
b
 bsin C  csin B 

ha
sin B sin C
 h a  csin B
c
TEOREMA del SENO
Hemos obtenido:

b
sin B



c
sin C

De igual forma:
h

sin C  b  h b  a sin C

a
c

a
 a sin C  csin A 


sin A sin C
sin A  h b  h  csin A
b

c


a

Por tanto:

sin A



b
sin B



c
sin C
TEOREMA del COSENO
Sea VABC

un triángulo cualquiera

Sea hb la altura relativa al lado b
AE = x

EC = b - x

Se verifica por tanto:
c 2  x 2  h b 2
2

 a 2   b  x   c 2  x 2  a 2  b 2  c 2  2bx
 2
2
2
a   b  x   h b

x
 x  ccos A
c

Y como:

cos A 

Se tiene:

a 2  b 2  c 2  2bccos A
Deducciones
1. Superficie de un paralelogramo

S = a ×h

pero

µ
sin A =

h
µ
Þ h = bsin A
b

S  a  b  sin A

de donde:
Deducciones
2. Superficie de un triángulo

1
S  b  hb
2
pero

sin A 

hb
 h b  csin A
c

S

de donde:

1
 b  c  sin A
2
Deducciones
3. Cálculo del radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo

A E = 2r

µ µ
E = C porque abarcan el mismo arco

El triángulo VABE

es rectángulo en

·
A BE

por estar inscrito en una semicircunferencia.
En el triángulo VAEB aplicamos el teorema del seno:

2r
c
c
2c
2b
2a

 2r 
r


sin90 sin E
sin C
sin C sin B sin A
Deducciones
4. Superficie de un triángulo inscrito en una circunferencia
La superficie del triángulo VABC es la suma de los
tres triángulos internos

S1 =

1 2
r sin a
2

Luego:

S2 

A  B  C  180

S3 

1 2
r sin 
2

1 2
r (sin a + sin b + sin q)
2
1
µ
µ
µ
S = r 2 sin 2A + sin 2B + sin 2C
2
S=

(

Siendo:

1 2
r sin 
2

)
Deducciones
5. Sabiendo que

Calculamos el

x
tan    t
2

Obtener

sin x, cos x, tan x

sin x

æx ö æx ö
2sin ç ÷cos ç ÷
ç ÷ ç ÷
ç2ø ç2 ø
è ÷ è ÷
æx ö æx ö
æx ö
æx ö
2sin ç ÷cos ç ÷
cos 2 ç ÷
2 tan ç ÷
÷ ç ÷
÷
ç ÷ ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç2ø è2 ø
ç2ø
ç2ø
æx ö æx ö
2t
è
è
è ÷
sin x = 2sin ç ÷cos ç ÷=
=
=
=
÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷
ç2ø è2ø
æx ö
æx ö
æx ö
æx ö
æx ö 1 + t 2
è
cos 2 ç ÷+ sin 2 ç ÷ cos 2 ç ÷+ sin 2 ç ÷ 1 + tan 2 ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç2÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç2÷
è ø
è2ø
è2ø
è2ø
è ø
æx ö
cos 2 ç ÷
ç ÷
ç2ø
è ÷
Deducciones
Calculamos el cos x

x
x
cos 2    sin 2  
2
2
x
x
x
x
cos 2    sin 2  
cos 2  
1  tan 2  
2
2
2 
2
 2   1 t
2 x
2 x
cos x  cos    sin   

2
2
 2  cos 2  x   sin 2  x  cos 2  x   sin 2  x  1  tan 2  x  1  t
 
 
 
 
 
2
2
2
2
 2
x
cos 2  
2

Calculamos la

tan x

2t
sin x 1  t 2
2t
tan x 


cos x 1  t 2 1  t 2
1  t2

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Circunferencia trigonométrica
Circunferencia trigonométricaCircunferencia trigonométrica
Circunferencia trigonométricaJUANCA
 
Distacia entre puntos yumpe ++
Distacia entre puntos yumpe ++Distacia entre puntos yumpe ++
Distacia entre puntos yumpe ++MIGUEL INTI
 
Geometria 5° 3 b
Geometria 5° 3 bGeometria 5° 3 b
Geometria 5° 3 b349juan
 
Productos notables
Productos notablesProductos notables
Productos notablestenchis35
 
Deduccionformulassenoycoseno1
Deduccionformulassenoycoseno1Deduccionformulassenoycoseno1
Deduccionformulassenoycoseno1delyyyescas
 
Numerosenteros1 100609224200-phpapp01
Numerosenteros1 100609224200-phpapp01Numerosenteros1 100609224200-phpapp01
Numerosenteros1 100609224200-phpapp01agustingarridomodulo2
 
Ejercicios Resueltos de Geometría Analítica - Don Danny
Ejercicios Resueltos de Geometría Analítica - Don DannyEjercicios Resueltos de Geometría Analítica - Don Danny
Ejercicios Resueltos de Geometría Analítica - Don DannyDaniel Vliegen
 
Triangulos notables
Triangulos notablesTriangulos notables
Triangulos notablesAltlv DC
 
1 bct ejercicios-geometria_analitica_resueltos
1 bct ejercicios-geometria_analitica_resueltos1 bct ejercicios-geometria_analitica_resueltos
1 bct ejercicios-geometria_analitica_resueltosBriggi Ramos Castillo
 
Folleto bachillerato 11 2017
Folleto bachillerato 11 2017Folleto bachillerato 11 2017
Folleto bachillerato 11 2017Jessica Abarca
 
PRACTICAS PARA BACHILLERATO PIMAS
PRACTICAS PARA BACHILLERATO PIMASPRACTICAS PARA BACHILLERATO PIMAS
PRACTICAS PARA BACHILLERATO PIMASJessica Abarca
 
Semana13 m2-del 1 al 5 de marzo-2021
Semana13 m2-del 1 al 5 de marzo-2021Semana13 m2-del 1 al 5 de marzo-2021
Semana13 m2-del 1 al 5 de marzo-2021LorenaCovarrubias12
 

La actualidad más candente (20)

Carlos herrera palma
Carlos herrera palmaCarlos herrera palma
Carlos herrera palma
 
Circunferencia trigonométrica
Circunferencia trigonométricaCircunferencia trigonométrica
Circunferencia trigonométrica
 
Distacia entre puntos yumpe ++
Distacia entre puntos yumpe ++Distacia entre puntos yumpe ++
Distacia entre puntos yumpe ++
 
Geometria 5° 3 b
Geometria 5° 3 bGeometria 5° 3 b
Geometria 5° 3 b
 
Productos notables
Productos notablesProductos notables
Productos notables
 
Binomio al cuadrado
Binomio al cuadradoBinomio al cuadrado
Binomio al cuadrado
 
Exa mate3-regul-2021
Exa mate3-regul-2021Exa mate3-regul-2021
Exa mate3-regul-2021
 
Deduccionformulassenoycoseno1
Deduccionformulassenoycoseno1Deduccionformulassenoycoseno1
Deduccionformulassenoycoseno1
 
Binomio Al Cuadrado Fin
Binomio Al Cuadrado FinBinomio Al Cuadrado Fin
Binomio Al Cuadrado Fin
 
teorema de pitagoras
teorema de pitagorasteorema de pitagoras
teorema de pitagoras
 
Trigonometría Teorema de Pitagoras
Trigonometría Teorema de PitagorasTrigonometría Teorema de Pitagoras
Trigonometría Teorema de Pitagoras
 
Numerosenteros1 100609224200-phpapp01
Numerosenteros1 100609224200-phpapp01Numerosenteros1 100609224200-phpapp01
Numerosenteros1 100609224200-phpapp01
 
Ejercicios Resueltos de Geometría Analítica - Don Danny
Ejercicios Resueltos de Geometría Analítica - Don DannyEjercicios Resueltos de Geometría Analítica - Don Danny
Ejercicios Resueltos de Geometría Analítica - Don Danny
 
Triangulos notables
Triangulos notablesTriangulos notables
Triangulos notables
 
1 bct ejercicios-geometria_analitica_resueltos
1 bct ejercicios-geometria_analitica_resueltos1 bct ejercicios-geometria_analitica_resueltos
1 bct ejercicios-geometria_analitica_resueltos
 
Triangulos diapositivas 2
Triangulos  diapositivas 2Triangulos  diapositivas 2
Triangulos diapositivas 2
 
Folleto bachillerato 11 2017
Folleto bachillerato 11 2017Folleto bachillerato 11 2017
Folleto bachillerato 11 2017
 
PRACTICAS PARA BACHILLERATO PIMAS
PRACTICAS PARA BACHILLERATO PIMASPRACTICAS PARA BACHILLERATO PIMAS
PRACTICAS PARA BACHILLERATO PIMAS
 
Practica marzo 2017
Practica  marzo 2017Practica  marzo 2017
Practica marzo 2017
 
Semana13 m2-del 1 al 5 de marzo-2021
Semana13 m2-del 1 al 5 de marzo-2021Semana13 m2-del 1 al 5 de marzo-2021
Semana13 m2-del 1 al 5 de marzo-2021
 

Similar a Trigonometría

Ley seno coseno
Ley seno cosenoLey seno coseno
Ley seno cosenosanches011
 
8,2 TRANSFORMACIONES TRIG PRE 2022-1 VF.pdf
8,2  TRANSFORMACIONES TRIG PRE  2022-1 VF.pdf8,2  TRANSFORMACIONES TRIG PRE  2022-1 VF.pdf
8,2 TRANSFORMACIONES TRIG PRE 2022-1 VF.pdfJeanPaulAtaullucoUap
 
1.1.operaciones basicas vectores
1.1.operaciones basicas vectores1.1.operaciones basicas vectores
1.1.operaciones basicas vectoresmercedes gavilanes
 
teoremas senos cosenos
teoremas senos cosenosteoremas senos cosenos
teoremas senos cosenosCarolina311
 
Teorema Del Coseno
Teorema Del CosenoTeorema Del Coseno
Teorema Del CosenoCarolina
 
Identidades trigonometricas
Identidades trigonometricasIdentidades trigonometricas
Identidades trigonometricasSteban Ulloa
 
Examen resuelto trigonometria
Examen resuelto trigonometriaExamen resuelto trigonometria
Examen resuelto trigonometriaGenmark9
 
Trigonometria
TrigonometriaTrigonometria
Trigonometriaaart07
 
RECTA DE EULER
RECTA DE EULERRECTA DE EULER
RECTA DE EULERAlumic S.A
 
Unidad 6 solucion de triangulos oblicuangulos.
Unidad 6 solucion de triangulos oblicuangulos.Unidad 6 solucion de triangulos oblicuangulos.
Unidad 6 solucion de triangulos oblicuangulos.matedivliss
 
4° ciencias 3-A resolución de la asesoría
4° ciencias 3-A resolución de la asesoría4° ciencias 3-A resolución de la asesoría
4° ciencias 3-A resolución de la asesoríajose luis peña caballero
 
Unidad3 triangulos no rectangulos gonzalo revelo pabon
Unidad3 triangulos no rectangulos gonzalo revelo pabonUnidad3 triangulos no rectangulos gonzalo revelo pabon
Unidad3 triangulos no rectangulos gonzalo revelo pabonGONZALO REVELO PABON . GORETTI
 
Actividad 8
Actividad 8Actividad 8
Actividad 8cbayon
 
100 problemas maravillosos de matemáticas - Libro 6
100 problemas maravillosos de matemáticas - Libro 6100 problemas maravillosos de matemáticas - Libro 6
100 problemas maravillosos de matemáticas - Libro 6José Mari Melgarejo Lanero
 
Operaciones básicas con expresiones algebraicas
Operaciones básicas con expresiones algebraicasOperaciones básicas con expresiones algebraicas
Operaciones básicas con expresiones algebraicassanfelipeneriolivos
 

Similar a Trigonometría (20)

Trigonometria banhakeia
Trigonometria banhakeiaTrigonometria banhakeia
Trigonometria banhakeia
 
Ley del seno y coseno
Ley del seno y cosenoLey del seno y coseno
Ley del seno y coseno
 
Ley seno coseno
Ley seno cosenoLey seno coseno
Ley seno coseno
 
8,2 TRANSFORMACIONES TRIG PRE 2022-1 VF.pdf
8,2  TRANSFORMACIONES TRIG PRE  2022-1 VF.pdf8,2  TRANSFORMACIONES TRIG PRE  2022-1 VF.pdf
8,2 TRANSFORMACIONES TRIG PRE 2022-1 VF.pdf
 
Examen resuelto trigonometria
Examen resuelto trigonometriaExamen resuelto trigonometria
Examen resuelto trigonometria
 
1.1.operaciones basicas vectores
1.1.operaciones basicas vectores1.1.operaciones basicas vectores
1.1.operaciones basicas vectores
 
teoremas senos cosenos
teoremas senos cosenosteoremas senos cosenos
teoremas senos cosenos
 
Teorema Del Coseno
Teorema Del CosenoTeorema Del Coseno
Teorema Del Coseno
 
Identidades trigonometricas
Identidades trigonometricasIdentidades trigonometricas
Identidades trigonometricas
 
Capitulo8 funcionestrigonometricas
Capitulo8 funcionestrigonometricasCapitulo8 funcionestrigonometricas
Capitulo8 funcionestrigonometricas
 
Examen resuelto trigonometria
Examen resuelto trigonometriaExamen resuelto trigonometria
Examen resuelto trigonometria
 
Trigonometria
TrigonometriaTrigonometria
Trigonometria
 
RECTA DE EULER
RECTA DE EULERRECTA DE EULER
RECTA DE EULER
 
Unidad 6 solucion de triangulos oblicuangulos.
Unidad 6 solucion de triangulos oblicuangulos.Unidad 6 solucion de triangulos oblicuangulos.
Unidad 6 solucion de triangulos oblicuangulos.
 
4° ciencias 3-A resolución de la asesoría
4° ciencias 3-A resolución de la asesoría4° ciencias 3-A resolución de la asesoría
4° ciencias 3-A resolución de la asesoría
 
Unidad3 triangulos no rectangulos gonzalo revelo pabon
Unidad3 triangulos no rectangulos gonzalo revelo pabonUnidad3 triangulos no rectangulos gonzalo revelo pabon
Unidad3 triangulos no rectangulos gonzalo revelo pabon
 
Actividad 8
Actividad 8Actividad 8
Actividad 8
 
Identidades trigonometricas
Identidades trigonometricasIdentidades trigonometricas
Identidades trigonometricas
 
100 problemas maravillosos de matemáticas - Libro 6
100 problemas maravillosos de matemáticas - Libro 6100 problemas maravillosos de matemáticas - Libro 6
100 problemas maravillosos de matemáticas - Libro 6
 
Operaciones básicas con expresiones algebraicas
Operaciones básicas con expresiones algebraicasOperaciones básicas con expresiones algebraicas
Operaciones básicas con expresiones algebraicas
 

Más de Eduardo Mena Caravaca (17)

Racionalizar
RacionalizarRacionalizar
Racionalizar
 
Números reales
Números realesNúmeros reales
Números reales
 
Calculo integral02
Calculo integral02Calculo integral02
Calculo integral02
 
Calculo integral
Calculo integralCalculo integral
Calculo integral
 
Ecuaciones de segundo grado
Ecuaciones de segundo gradoEcuaciones de segundo grado
Ecuaciones de segundo grado
 
Logaritmo
LogaritmoLogaritmo
Logaritmo
 
Bahiade algeciras
Bahiade algecirasBahiade algeciras
Bahiade algeciras
 
Superficies
SuperficiesSuperficies
Superficies
 
Curvas planas
Curvas planasCurvas planas
Curvas planas
 
Curvas alabeadas
Curvas alabeadasCurvas alabeadas
Curvas alabeadas
 
Cuadricas
CuadricasCuadricas
Cuadricas
 
Las cónicas
Las cónicasLas cónicas
Las cónicas
 
Diagonalización de matrices
Diagonalización de matricesDiagonalización de matrices
Diagonalización de matrices
 
Espacios vectoriales euclideos
Espacios vectoriales euclideosEspacios vectoriales euclideos
Espacios vectoriales euclideos
 
Espacios vectoriales
Espacios vectorialesEspacios vectoriales
Espacios vectoriales
 
Matrices
MatricesMatrices
Matrices
 
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones linealesSistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales
 

Último

MINISTERIO DE EDUCACIÓN prueba-diagnostica-lectura-CUARTO AÑO DE SECUNDARIA
MINISTERIO DE EDUCACIÓN prueba-diagnostica-lectura-CUARTO AÑO DE SECUNDARIAMINISTERIO DE EDUCACIÓN prueba-diagnostica-lectura-CUARTO AÑO DE SECUNDARIA
MINISTERIO DE EDUCACIÓN prueba-diagnostica-lectura-CUARTO AÑO DE SECUNDARIANELLYKATTY
 
Dia internacional de peliculas iberoamericanas.pptx
Dia internacional de peliculas iberoamericanas.pptxDia internacional de peliculas iberoamericanas.pptx
Dia internacional de peliculas iberoamericanas.pptxxc025079
 
UNIDAD CERO - Desarrollo Personal CC.docx
UNIDAD CERO  - Desarrollo Personal CC.docxUNIDAD CERO  - Desarrollo Personal CC.docx
UNIDAD CERO - Desarrollo Personal CC.docxOlgaLuzFloresGonzale
 
IMPORTANCIA DE LA NUTRICIÓN PARA LA VIDA Y LA SALUD.pptx
IMPORTANCIA DE LA NUTRICIÓN PARA LA VIDA Y LA SALUD.pptxIMPORTANCIA DE LA NUTRICIÓN PARA LA VIDA Y LA SALUD.pptx
IMPORTANCIA DE LA NUTRICIÓN PARA LA VIDA Y LA SALUD.pptxnelsontobontrujillo
 
2. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
2. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!2. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
2. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!ProfesorGualberto
 
Dia internacional de peliculas iberoamericanas.pptx 2
Dia internacional de peliculas iberoamericanas.pptx 2Dia internacional de peliculas iberoamericanas.pptx 2
Dia internacional de peliculas iberoamericanas.pptx 2xc025079
 
Planes y programas - Nivel Secundaria 2024 word.doc
Planes y programas - Nivel Secundaria 2024 word.docPlanes y programas - Nivel Secundaria 2024 word.doc
Planes y programas - Nivel Secundaria 2024 word.docVaniecitaValverde
 
9. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
9. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!9. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
9. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!ProfesorGualberto
 
Actividades El Hombrecito de jengibre.pdf
Actividades El Hombrecito de jengibre.pdfActividades El Hombrecito de jengibre.pdf
Actividades El Hombrecito de jengibre.pdfDaiaJansen
 
Proyecto del via crucis para semana s.docx
Proyecto del via crucis para semana s.docxProyecto del via crucis para semana s.docx
Proyecto del via crucis para semana s.docxYANETH ARENAS VALDIVIA
 
PROGRAMA-XI-SEMANA-DE-LAS-LETRAS-2024.pdf
PROGRAMA-XI-SEMANA-DE-LAS-LETRAS-2024.pdfPROGRAMA-XI-SEMANA-DE-LAS-LETRAS-2024.pdf
PROGRAMA-XI-SEMANA-DE-LAS-LETRAS-2024.pdfFRANCISCO PAVON RABASCO
 
BLAS DE OTERO PRESENTACION PUERTAS ABIERTAS.pdf
BLAS DE OTERO PRESENTACION PUERTAS ABIERTAS.pdfBLAS DE OTERO PRESENTACION PUERTAS ABIERTAS.pdf
BLAS DE OTERO PRESENTACION PUERTAS ABIERTAS.pdfcpblasdeotero
 
EXPERIENCIA DE APRENDIZAJE 3 EPT - SECUNDARIA-2024.docx
EXPERIENCIA DE APRENDIZAJE 3  EPT - SECUNDARIA-2024.docxEXPERIENCIA DE APRENDIZAJE 3  EPT - SECUNDARIA-2024.docx
EXPERIENCIA DE APRENDIZAJE 3 EPT - SECUNDARIA-2024.docxssuser9be75b1
 
PROYECTO PRIMAVERA NUMERICA PARA PREESCOLAR.pptx
PROYECTO PRIMAVERA NUMERICA PARA PREESCOLAR.pptxPROYECTO PRIMAVERA NUMERICA PARA PREESCOLAR.pptx
PROYECTO PRIMAVERA NUMERICA PARA PREESCOLAR.pptxMarthaAlejandraHerna1
 
HISTORIA DEL CRISTIANISMO II Clase 6 Ibli
HISTORIA DEL CRISTIANISMO II Clase 6 IbliHISTORIA DEL CRISTIANISMO II Clase 6 Ibli
HISTORIA DEL CRISTIANISMO II Clase 6 IbliIvnLeonardoPiedrahta
 
Vive este tiempo final de la Cuaresma con nuestro Viacrucis eudista de realid...
Vive este tiempo final de la Cuaresma con nuestro Viacrucis eudista de realid...Vive este tiempo final de la Cuaresma con nuestro Viacrucis eudista de realid...
Vive este tiempo final de la Cuaresma con nuestro Viacrucis eudista de realid...Unidad de Espiritualidad Eudista
 
2024-orientaciones-para-la-evaluacion-diagnostica-2024-en-las-iiee-publicas-d...
2024-orientaciones-para-la-evaluacion-diagnostica-2024-en-las-iiee-publicas-d...2024-orientaciones-para-la-evaluacion-diagnostica-2024-en-las-iiee-publicas-d...
2024-orientaciones-para-la-evaluacion-diagnostica-2024-en-las-iiee-publicas-d...William Henry Vegazo Muro
 
Manual guía Liderazgo y Equipo Ciclo 2024 - UPF Argentina
Manual guía Liderazgo y Equipo Ciclo 2024 - UPF ArgentinaManual guía Liderazgo y Equipo Ciclo 2024 - UPF Argentina
Manual guía Liderazgo y Equipo Ciclo 2024 - UPF ArgentinaUPF Argentina
 

Último (20)

MINISTERIO DE EDUCACIÓN prueba-diagnostica-lectura-CUARTO AÑO DE SECUNDARIA
MINISTERIO DE EDUCACIÓN prueba-diagnostica-lectura-CUARTO AÑO DE SECUNDARIAMINISTERIO DE EDUCACIÓN prueba-diagnostica-lectura-CUARTO AÑO DE SECUNDARIA
MINISTERIO DE EDUCACIÓN prueba-diagnostica-lectura-CUARTO AÑO DE SECUNDARIA
 
Dia internacional de peliculas iberoamericanas.pptx
Dia internacional de peliculas iberoamericanas.pptxDia internacional de peliculas iberoamericanas.pptx
Dia internacional de peliculas iberoamericanas.pptx
 
UNIDAD CERO - Desarrollo Personal CC.docx
UNIDAD CERO  - Desarrollo Personal CC.docxUNIDAD CERO  - Desarrollo Personal CC.docx
UNIDAD CERO - Desarrollo Personal CC.docx
 
IMPORTANCIA DE LA NUTRICIÓN PARA LA VIDA Y LA SALUD.pptx
IMPORTANCIA DE LA NUTRICIÓN PARA LA VIDA Y LA SALUD.pptxIMPORTANCIA DE LA NUTRICIÓN PARA LA VIDA Y LA SALUD.pptx
IMPORTANCIA DE LA NUTRICIÓN PARA LA VIDA Y LA SALUD.pptx
 
2. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
2. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!2. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
2. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
 
Dia internacional de peliculas iberoamericanas.pptx 2
Dia internacional de peliculas iberoamericanas.pptx 2Dia internacional de peliculas iberoamericanas.pptx 2
Dia internacional de peliculas iberoamericanas.pptx 2
 
GUIA MULTIPLICACION MATEMATICA SEGUNDO CICLO
GUIA MULTIPLICACION MATEMATICA SEGUNDO CICLOGUIA MULTIPLICACION MATEMATICA SEGUNDO CICLO
GUIA MULTIPLICACION MATEMATICA SEGUNDO CICLO
 
Planes y programas - Nivel Secundaria 2024 word.doc
Planes y programas - Nivel Secundaria 2024 word.docPlanes y programas - Nivel Secundaria 2024 word.doc
Planes y programas - Nivel Secundaria 2024 word.doc
 
9. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
9. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!9. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
9. ¡Promoviendo la Paternidad Responsable en La Recoleta!
 
Actividades El Hombrecito de jengibre.pdf
Actividades El Hombrecito de jengibre.pdfActividades El Hombrecito de jengibre.pdf
Actividades El Hombrecito de jengibre.pdf
 
El anhelo de Dios en Sion (Sesión de clase)
El anhelo de Dios en Sion (Sesión de clase)El anhelo de Dios en Sion (Sesión de clase)
El anhelo de Dios en Sion (Sesión de clase)
 
Proyecto del via crucis para semana s.docx
Proyecto del via crucis para semana s.docxProyecto del via crucis para semana s.docx
Proyecto del via crucis para semana s.docx
 
PROGRAMA-XI-SEMANA-DE-LAS-LETRAS-2024.pdf
PROGRAMA-XI-SEMANA-DE-LAS-LETRAS-2024.pdfPROGRAMA-XI-SEMANA-DE-LAS-LETRAS-2024.pdf
PROGRAMA-XI-SEMANA-DE-LAS-LETRAS-2024.pdf
 
BLAS DE OTERO PRESENTACION PUERTAS ABIERTAS.pdf
BLAS DE OTERO PRESENTACION PUERTAS ABIERTAS.pdfBLAS DE OTERO PRESENTACION PUERTAS ABIERTAS.pdf
BLAS DE OTERO PRESENTACION PUERTAS ABIERTAS.pdf
 
EXPERIENCIA DE APRENDIZAJE 3 EPT - SECUNDARIA-2024.docx
EXPERIENCIA DE APRENDIZAJE 3  EPT - SECUNDARIA-2024.docxEXPERIENCIA DE APRENDIZAJE 3  EPT - SECUNDARIA-2024.docx
EXPERIENCIA DE APRENDIZAJE 3 EPT - SECUNDARIA-2024.docx
 
PROYECTO PRIMAVERA NUMERICA PARA PREESCOLAR.pptx
PROYECTO PRIMAVERA NUMERICA PARA PREESCOLAR.pptxPROYECTO PRIMAVERA NUMERICA PARA PREESCOLAR.pptx
PROYECTO PRIMAVERA NUMERICA PARA PREESCOLAR.pptx
 
HISTORIA DEL CRISTIANISMO II Clase 6 Ibli
HISTORIA DEL CRISTIANISMO II Clase 6 IbliHISTORIA DEL CRISTIANISMO II Clase 6 Ibli
HISTORIA DEL CRISTIANISMO II Clase 6 Ibli
 
Vive este tiempo final de la Cuaresma con nuestro Viacrucis eudista de realid...
Vive este tiempo final de la Cuaresma con nuestro Viacrucis eudista de realid...Vive este tiempo final de la Cuaresma con nuestro Viacrucis eudista de realid...
Vive este tiempo final de la Cuaresma con nuestro Viacrucis eudista de realid...
 
2024-orientaciones-para-la-evaluacion-diagnostica-2024-en-las-iiee-publicas-d...
2024-orientaciones-para-la-evaluacion-diagnostica-2024-en-las-iiee-publicas-d...2024-orientaciones-para-la-evaluacion-diagnostica-2024-en-las-iiee-publicas-d...
2024-orientaciones-para-la-evaluacion-diagnostica-2024-en-las-iiee-publicas-d...
 
Manual guía Liderazgo y Equipo Ciclo 2024 - UPF Argentina
Manual guía Liderazgo y Equipo Ciclo 2024 - UPF ArgentinaManual guía Liderazgo y Equipo Ciclo 2024 - UPF Argentina
Manual guía Liderazgo y Equipo Ciclo 2024 - UPF Argentina
 

Trigonometría

  • 2. Demostración de la fórmula del seno de la suma de dos ángulos Conocimientos previos: sin x = cateto opuesto hipotenusa sin a = BC AC cos a = CF CD cos x  cateto contiguo hipotenusa sinβ = CD AD cos b = AC AD sin (a + b) = ED BC + CF BC CF = = + AD AD AD AD sin (a + b) = AC sin a CD cosa AC CD + = sin a + cosa AD AD AD AD sin (a + b) = cos b sin a + sin b cosa sin (a + b) = sin a cos b + sin b cosa
  • 3. Como obtener más igualdades trigonométricas a partir del seno de una suma Conocimientos previos: sin (- x ) = - sin x cos (- x ) = cos x Seno de una diferencia sin (a - b)= sin (a + (- b))= sin a cos(- b)+ sin (- b)cosa sin (a - b) = sin a cos b - sin b cos a Seno del ángulo doble sin (2a )= sin (a + a )= sin a cos a + sin a cos a = 2sin a cos a
  • 4. Como obtener más igualdades trigonométricas a partir del seno de una suma Conocimientos previos: sin (90o - x ) = cos x cos (90o - x ) = sin x Coseno de una suma ( ) cos(a + b)= sin (90o - (a + b))= sin (90o - a )- b cos (a + b) = sin (90o - a )cos b - sin b cos(90o - a ) = cos a cos b - sin a sin b Coseno de una diferencia cos(a - b)= cos(a + (- b))= cos a cos(- b)- sin (- b)sin a cos(a - b)= cos a cos b + sin b sin a
  • 5. Como obtener más igualdades trigonométricas a partir del seno de una suma Coseno del ángulo doble cos (2a ) = cos (a + a ) = cos a cos a - sin a sin a = cos 2 a - sin 2 a Recuerda las fórmulas aprendidas sin (a + b) = sin a cos b + sin b cosa cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b sin (a - b) = sin a cos b - sin b cos a cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b sin (2a ) = 2sin a cos a cos(2a )= cos2 a - sin 2 a
  • 6. Deducción de otras fórmulas trigonométricas Conocimientos previos: tan x = sin x cos x Tangente de una suma sin a cos b + sin (a + b) sin a cos b + sin b cos a cos a cos b tan (a + b) = = = cos (a + b) cos a cos b - sin a sin b cos a cos b cos a cos b sin a + cos a tan (a + b) = sin a 1cos a sin b tan a + tan b cos b = sin b 1 - tan a tan b × cos b sin b cos a cos a cos b sin a sin b cos a cos b
  • 7. Deducción de otras fórmulas trigonométricas Conocimientos previos: tan (- x ) = - tan x Tangente de una diferencia tan (a - b) = tan (a + (- b)) = tan a + tan (- b) 1 - tan a tan (- b) = tan a - tan b 1 + tan a tan b Tangente del ángulo doble tan (2a ) = tan (a + a ) = tan a + tan a 2tan a = 1- tan a tan a 1- tan 2 a
  • 8. Deducción de otras fórmulas trigonométricas Seno de un ángulo en función del ángulo mitad Si en la fórmula sin (2a ) = 2sin a cos a hacemos a = q 2 , obtenemos q 2 , obtenemos æq ö æq ö sin q = 2sin ç ÷cos ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç2 ø è2 ø è ÷ ç ÷ Coseno de un ángulo en función del ángulo mitad 2 2 Si en la fórmula cos(2a )= cos a - sin a æq ö æq ö cos q = cos 2 ç ÷- sin 2 ç ÷ ÷ ç ÷ ç ÷ ç2 ø ç2 ø è è ÷ hacemos a =
  • 9. Deducción de otras fórmulas trigonométricas Tangente de un ángulo en función del ángulo mitad Si en la fórmula tan (2a ) = 2 tan a 1 - tan 2 a hacemos a = æq ö 2 tan ç ÷ ç ÷ ç2 ø è ÷ tan q = ö 2æ ÷ ç q÷ 1 - tan ç ÷ ç2 ø è q 2 , obtenemos
  • 10. Deducción de otras fórmulas trigonométricas Conocimientos previos: sin2 x + cos2 x = 1 Seno de un ángulo en función del ángulo doble Sabemos que: ì sin 2 a + cos 2 a = 1 ï 1 - cos 2a ï Þ 2sin 2 a = 1 - cos 2a Þ sin a = ± í ï cos2 a - sin 2 a = cos 2a 2 ï î
  • 11. Deducción de otras fórmulas trigonométricas Coseno de un ángulo en función del ángulo doble Sabemos que: ì sin 2 a + cos2 a = 1 ï 1 + cos 2a ï Þ 2cos2 a = 1 + cos 2a Þ cos a = ± í ï cos2 a - sin 2 a = cos 2a 2 ï î Tangente de un ángulo en función del ángulo doble 1 - cos 2a sin a 1 + cos 2a 2 tan a = = = ± cos a 1 - cos 2a 1 + cos 2a ± 2 ±
  • 12. Deducción de otras fórmulas trigonométricas Seno del ángulo mitad en función del ángulo Sabemos que: 1 - cos 2a sin a = ± 2 hacemos a = q 2 y obtenemos: æq ö 1 - cos q sin ç ÷= ± ÷ ç ÷ ç2 ø è 2 Coseno del ángulo mitad en función del ángulo Sabemos que: cos a = ± æq ö 1 + cos q cos ç ÷= ± ÷ ç ÷ ç2 ø è 2 1 + cos 2a 2 hacemos a = q 2 y obtenemos:
  • 13. Deducción de otras fórmulas trigonométricas Tangente del ángulo mitad en función del ángulo Sabemos que: 1 - cos 2a tan a = ± 1 + cos 2a æqö 1 - cos q tan ç ÷= ± ÷ ç ÷ ç2 ø è 1 + cos q hacemos a = q 2 y obtenemos:
  • 14. Deducción de otras fórmulas trigonométricas Conversión de sumas en productos Conocimientos previos: Dado dos número cualesquiera x e y de forma que A y B siempre puedo hallar otros dos números A  x  y  B  x  y En efecto, si: A  x  y AB AB  2x  A  B  x  , 2y  A  B  y   2 2 B  x  y
  • 15. Deducción de otras fórmulas trigonométricas Convertir una suma de senos en un producto Tenemos sin A + sin B Si hacemos A  x  y  B  x  y obtenemos: sin A + sin B = sin (x + y)+ sin (x - y) sin A + sin B = sin x cos y + sin ycos x + sin x cos y - sin ycos x æA + B ö æA - B ö ÷cos ç ÷ sin A + sin B = 2sin x cos y = 2sin ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç 2 ø è 2 ø è
  • 16. Deducción de otras fórmulas trigonométricas Convertir una diferencia de senos en un producto Tenemos sin A - sin B Si hacemos A  x  y  B  x  y obtenemos: sin A - sin B = sin (x + y)- sin (x - y) sin A - sin B = sin x cos y + sin ycos x - sin x cos y + sin ycos x æA - B ö æA + B ö ÷cos ç ÷ sin A - sin B = 2sin y cos x = 2sin ç ÷ ç ç ÷ ç 2 ÷ ç 2 ÷ è ø è ø
  • 17. Deducción de otras fórmulas trigonométricas Convertir una suma de cosenos en un producto Tenemos cosA + cosB Si hacemos A  x  y  B  x  y obtenemos: cos A  cos B  cos  x  y   cos  x  y  cos A  cos B  cos x cos y  sin x sin y  cos x cos y  sin x sin y  A  B  A B cos A  cos B  2cos x cos y  2cos  cos     2   2 
  • 18. Deducción de otras fórmulas trigonométricas Convertir una diferencia de cosenos en un producto Tenemos cosA - cosB Si hacemos A  x  y  B  x  y obtenemos: cos A  cos B  cos  x  y   cos  x  y  cos A  cos B  cos x cos y  sin x sin y  cos x cos y  sin x sin y  A  B  A B cos A  cos B  2sin x sin y  2sin   s in    2   2 
  • 19. TEOREMA del SENO Sea VABC un triángulo cualquiera Sea ha la altura relativa al lado a Sea hb la altura relativa al lado b Se verifica por tanto:  sin C    sin B    ha  h a  bsin C b c b  bsin C  csin B   ha sin B sin C  h a  csin B c
  • 20. TEOREMA del SENO Hemos obtenido: b sin B  c sin C De igual forma: h  sin C  b  h b  a sin C  a c  a  a sin C  csin A    sin A sin C sin A  h b  h  csin A b  c  a Por tanto: sin A  b sin B  c sin C
  • 21. TEOREMA del COSENO Sea VABC un triángulo cualquiera Sea hb la altura relativa al lado b AE = x EC = b - x Se verifica por tanto: c 2  x 2  h b 2 2   a 2   b  x   c 2  x 2  a 2  b 2  c 2  2bx  2 2 2 a   b  x   h b  x  x  ccos A c Y como: cos A  Se tiene: a 2  b 2  c 2  2bccos A
  • 22. Deducciones 1. Superficie de un paralelogramo S = a ×h pero µ sin A = h µ Þ h = bsin A b S  a  b  sin A de donde:
  • 23. Deducciones 2. Superficie de un triángulo 1 S  b  hb 2 pero sin A  hb  h b  csin A c S de donde: 1  b  c  sin A 2
  • 24. Deducciones 3. Cálculo del radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo A E = 2r µ µ E = C porque abarcan el mismo arco El triángulo VABE es rectángulo en · A BE por estar inscrito en una semicircunferencia. En el triángulo VAEB aplicamos el teorema del seno: 2r c c 2c 2b 2a   2r  r   sin90 sin E sin C sin C sin B sin A
  • 25. Deducciones 4. Superficie de un triángulo inscrito en una circunferencia La superficie del triángulo VABC es la suma de los tres triángulos internos S1 = 1 2 r sin a 2 Luego: S2  A  B  C  180 S3  1 2 r sin  2 1 2 r (sin a + sin b + sin q) 2 1 µ µ µ S = r 2 sin 2A + sin 2B + sin 2C 2 S= ( Siendo: 1 2 r sin  2 )
  • 26. Deducciones 5. Sabiendo que Calculamos el x tan    t 2 Obtener sin x, cos x, tan x sin x æx ö æx ö 2sin ç ÷cos ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç2ø ç2 ø è ÷ è ÷ æx ö æx ö æx ö æx ö 2sin ç ÷cos ç ÷ cos 2 ç ÷ 2 tan ç ÷ ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç2ø è2 ø ç2ø ç2ø æx ö æx ö 2t è è è ÷ sin x = 2sin ç ÷cos ç ÷= = = = ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç2ø è2ø æx ö æx ö æx ö æx ö æx ö 1 + t 2 è cos 2 ç ÷+ sin 2 ç ÷ cos 2 ç ÷+ sin 2 ç ÷ 1 + tan 2 ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç2÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç2÷ è ø è2ø è2ø è2ø è ø æx ö cos 2 ç ÷ ç ÷ ç2ø è ÷
  • 27. Deducciones Calculamos el cos x x x cos 2    sin 2   2 2 x x x x cos 2    sin 2   cos 2   1  tan 2   2 2 2  2  2   1 t 2 x 2 x cos x  cos    sin     2 2  2  cos 2  x   sin 2  x  cos 2  x   sin 2  x  1  tan 2  x  1  t           2 2 2 2  2 x cos 2   2 Calculamos la tan x 2t sin x 1  t 2 2t tan x    cos x 1  t 2 1  t 2 1  t2