Teoría de los Juegos – Equilibrio de Nash // @JackFlash

Conceptos Solución: El Equilibrio de Nash
Versión 2

J.C.Segura Ms.Sc.
Universidad de La Salle
Facultad de Ciencias Económicas y Sociales

Escuela Colombiana de Ingeniería
Facultad de Economía

jcsegura@lasalle.edu.co / juan.segura@escuelaing.edu.co / j.c.segura@gmail.com
URL: http://microeconomica.googlepages.com / twitter: @JackFlash

Bogotá, D.C., Abril de 2013

Teoría de los Juegos – Equilibrio de Nash //
@JackFlash

@JackFlash

Presentación
La Noción de Equilibrio de Nash es la pieza central, el criterio de solución nuclear en la Teoría
Clásica de los Juegos. Su relevancia tiene que ver con la potencia de este criterio en el momento de
encontrar soluciones a juegos, conflictos en los que los individuos involucrados actúan
estratégicamente, una potencia que muchas veces se echa de menos cuando se aplican otros criterios
esenciales como aquél asociado a los nombres de Von Neumann y Morgenstern (MinMax) o aquel
otro de la eliminación iterada de estrategias estrictamente dominadas.

La mayoría de los juegos pueden no ser resueltos mediante el principio de dominancia estricta
iterada. En la otra mano, el concepto solución de Nash supone una posibilidad para una gran
variedad de juegos [ Fundenberg & Tirole (1991): 11) ]

En efecto, el reconocer que en un equilibrio de un juego no cooperativo de N personas en el cual
no es necesario limitarse al principio de common knowledge1 y ningún jugador tiene nada que ganar al
cambiar su estrategia en forma unilateral, i.e., si un jugador ha elegido una estrategia y ningún
jugador puede beneficiarse del cambio de estrategia, mientras los demás permanecen en sus
estrategias elegidas, el concepto de solución así definido termina capturando soluciones que los
otros criterios suelen normalmente omitir.
1
“El conocimiento común de los pagos de un juego no es condición ni necesaria ni suficiente para justificar un Equilibrio de Nash. En particular, en algunas justificaciones es
suficiente que los jugadores simplemente conozcan su propios pagos” [ Fundenberg and Tirole (1992): 5 ]
@JackFlash

Definición. Estrategias Mixtas [ Fundenberg & Tirole (1992): 5 ]
Una estrategia mixta, notada con 𝜎 𝑖 es una distribución de probabilidades sobre las estrategias puras de un
jugador. La aleatorización de cada jugador es independiente de la de sus oponentes y el pago
correspondiente a un perfil de estrategias mixtas es el valor esperado de los pagos correspondientes a
cada estrategia pura.

El espacio de estrategias mixtas del i-ésimo jugador se representa mediante Σ 𝑖 y 𝜎 𝑖 ( 𝑠 𝑖 ) es la probabilidad
𝜎 𝑖 que se le asigna a 𝑠 𝑖 . El espacio de perfiles de estrategias mixtas se nota con Σ = ∏ 𝑖 Σ 𝑖 . El pago
correspondiente al perfil 𝜎 del jugador 𝑖 está dado por:

𝐼

𝑢 𝑖 ( 𝜎) ≡ ∑ (∏ 𝜎𝑗 (𝑠 𝑗 )) 𝑢 𝑖 ( 𝑠)
𝑠∈𝑆 𝑗=1

@JackFlash

Definición. Utilidad Esperada [ Manrique et. al. (1999:180) ]
La utilidad esperada de un jugador es el pago que podría recibir como resultado de las distintas loterías
que sobre estrategias puras pueda enfrentar un jugador, i.e. cuando se introduce aleatoriedad en el
comportamiento del individuo. Con base en la definición anterior ( Estrategia Mixta ), dada por ejemplo
𝑁
𝜎 = (𝜎1 , 𝜎2 , … , 𝜎 𝑁 ) ∈ ∏ 𝑖=1 Δ 𝑖

𝐼

𝑢 𝑖 ( 𝜎) ≡ ∑ (∏ 𝜎𝑗 (𝑠 𝑗 )) 𝑢 𝑖 ( 𝑠)
𝑠∈𝑆 𝑗=1

@JackFlash

Ejemplo [ Manrique et. al. Tirole (1999:180) ]
Considere el siguiente Juego:

Jugador 2
x2 y2
x1 3, 2 5, 1
Jugador 1
y2 4, 1 2, 3

Suponga que no hay certeza para ningún jugador acerca de lo que su contraparte hará. En este caso cada
jugador aleatoriza sus decisiones asignando probabilidades de acuerdo con sus estimaciones. Si p 𝑇 =
( 𝑝1 , 𝑝2 ) y q 𝑇 = ( 𝑞1 , 𝑞2 ) son estrategias mixtas para los jugadores 1 y 2, respectivamente, entonces, las
utilidades esperadas por jugador son como sigue:

 Jugador 1: 𝑢1 ( 𝜎) = 𝑝1 (3𝑞1 + 5𝑞2 ) + 𝑝2 (4𝑞1 + 2𝑞2 )

 Jugador 2: 𝑢2 ( 𝜎) = 𝑞1 (2𝑝1 + 𝑝2 ) + 𝑞2 ( 𝑝1 + 3𝑝2 )

Ejemplo [ Fundenberg and Tirole (1992:5) ]:
@JackFlash

Considere el siguiente juego:
Columna
L M R
U 4, 3 5, 1 6, 2
Fila M 2, 1 8, 4 3, 6
D 3, 0 9, 6 2, 8

Suponga que una estrategia mixta para el jugador 1 es un vector (𝜎1 ( 𝑈), 𝜎1 ( 𝑀), 𝜎1 ( 𝐷)) con
probabilidades todas mayores que cero y tales que 𝜎1 ( 𝑈) + 𝜎1 ( 𝑀) + 𝜎1 ( 𝐷) = 1. Por otra parte, una
estrategia mixta para el jugador 2 es un vector (𝜎2 ( 𝐿), 𝜎2 ( 𝑀), 𝜎2 ( 𝑅)) con probabilidades todas mayores
que cero y tales que 𝜎2 ( 𝐿) + 𝜎2 ( 𝑀) + 𝜎2 ( 𝑅) = 1. Entonces los pagos para los perfiles 𝜎1 = (1, 1, 1) y
3 3 3
1 1
𝜎2 = (0, 2, 2) son:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 11
𝑢1 ( 𝜎1 ) = 3 (0 ∙ 4 + 2 ∙ 5 + 2 ∙ 6) + 3 (0 ∙ 2 + 2 ∙ 8 + 2 ∙ 3) + 3 (0 ∙ 3 + 2 ∙ 9 + 2 ∙ 2) = 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 27
𝑢2 ( 𝜎2 ) = 0 (3 ∙ 3 + 3 ∙ 1 + 3 ∙ 0) + 2 (3 ∙ 1 + 3 ∙ 4 + 3 ∙ 6) + 2 (3 ∙ 2 + 3 ∙ 6 + 3 ∙ 8) = 6

@JackFlash

Ejemplo: La Batalla de los Sexos [ (sic) Varian (1993:313) ]
Felisa Fila y Carlos Columna no saben si estudiar microeconomía o macroeconomía este semestre. Felisa
obtiene la utilidad 2 y Carlos la utilidad 1 si ambos estudian micro; las ganancias son inversas si ambos
estudian macro. Si asisten a cursos diferentes, ambos obtienen utilidad 0. El juego, puesto en forma
estratégica adquiere la siguiente forma:

Carlos
Micro Macro
Micro 2, 1 0, 0
Felisa
Macro 0, 0 1, 2

Si Carlos cree que Felisa elegirá estudiar micro, obtendrá 1 eligiendo Micro y 0 escogiendo Macro: Micro
es la mejor respuesta de Carlos a la elección de Felisa cuando ella elige Micro. Al mismo tiempo, si
Carlos elige Micro, lo óptimo para Felisa es elegir también Micro.

El problema es susceptible de ponerse y resolverse como un problema de optimización. Sean ( 𝑝 𝑎 , 𝑝 𝑏 )
las probabilidades de que Felisa elija “Micro” y “Macro” respectivamente y sean ( 𝑝 𝑖 , 𝑝 𝑑 ) las
probabilidades de que Carlos elija “Micro” y “Macro” respectivamente.

@JackFlash

El problema de Felisa es:

𝑝𝑎 + 𝑝𝑏 = 1
max 𝑝 𝑎 [ 𝑝 𝑖 2 + 𝑝 𝑑 0] + 𝑝 𝑏 [ 𝑝 𝑖 0 + 𝑝 𝑑 1] 𝑠. 𝑎. { 𝑝 𝑎 ≥ 0
(𝑝 𝑎 ,𝑝 𝑏 )
𝑝𝑏 ≥ 0
La función de Lagrange es:

Φ( 𝑝 𝑎 , 𝑝 𝑏 ; 𝜆, 𝜇 𝑎 , 𝜇 𝑏 ) = 2𝑝 𝑎 𝑝 𝑖 + 𝑝 𝑏 𝑝 𝑑 − 𝜆( 𝑝 𝑎 + 𝑝 𝑏 − 1) − 𝜇 𝑎 𝑝 𝑎 − 𝜇 𝑏 𝑝 𝑏

Las condiciones de Kuhn-Tucker son:

[ 𝑝 𝑎 ]: 2𝑝 𝑖 − 𝜆 − 𝜇 𝑎 = 0
[ 𝑝 𝑏 ]: 𝑝 𝑑 − 𝜆 − 𝜇 𝑏 = 0

Supondremos 𝑝 𝑎 > 0, 𝑝 𝑏 > 0 luego 𝜇 𝑎 = 𝜇 𝑏 = 0 por tanto igualando las CPO:

2𝑝 𝑖 = 𝑝 𝑑

Y dado 𝑝 𝑖 + 𝑝 𝑑 = 1
1 2
𝑝 𝑖 + 2𝑝 𝑖 = 1 ∴ ( 𝑝∗ , 𝑝∗𝑑 ) = ( , ) ∎
𝑖 3 3

@JackFlash

En el caso de Felisa se obtiene ( 𝑝∗𝑎 , 𝑝∗𝑏 ) = (2, 1). Reemplazando estos valores en su función objetivo:
3 3

2 1 1 2 2
2𝑝∗𝑎 𝑝∗
𝑖 + 𝑝∗𝑏 𝑝∗𝑑 =2×( × )+( × )=
3 3 3 3 3

Que representa la ganancia esperada tanto para Carlos como para Felisa: “Obsérvese que cada uno de ellos
preferiría los equilibrios de la estrategia pura a la estrategia mixta, ya que las ganancias son mayores para los dos jugadores”
[ Varian (1993): 315 ].

@JackFlash

Definición. Dominancia Estricta en Estrategias Mixtas
𝑁 𝑁
Considere el juego finito en forma normal Γ = [𝑁, ( 𝐶 𝑖 ) 𝑖=1 , ( 𝑢 𝑖 ) 𝑖=1 ]. Se dice que una estrategia mixta
𝜎 𝑖 ∈ ∆ 𝑖 es estrictamente dominante si y solo si existe otra estrategia mixta 𝜎 𝑖′ ∈ ∆ 𝑖 tal que:

𝑢 𝑖 ( 𝜎 𝑖 , 𝜎−𝑖 ) > 𝑢 𝑖 ( 𝜎 𝑖′ , 𝜎−𝑖 ) para toda 𝜎−𝑖 ∈ ∆−𝑖

En este caso, la estrategia 𝜎 𝑖′ ∈ ∆ 𝑖 es una estrategia estrictamente dominada.

***

@JackFlash

Proposición 1
Una estrategia mixta de un jugador que asigna una probabilidad no negativa a una estrategia pura
estrictamente dominada, también es estrictamente dominada. En otros términos: si una estrategia pura
es eliminada por ser estrictamente dominada, esta no puede hacer parte de ninguna estrategia mixta
estrictamente dominante.

Demostración [Según Manrique et. al. (1999: 183)]: Sean 𝑁 = {1,2}, 𝐶1 = {𝐴, 𝐵}, 𝐶2 = {𝐶, 𝐷}. Suponga
que 𝐴 ≻1 𝐵. Sean además las estrategias mixtas 𝜎1 = ( 𝑝, 1 − 𝑝) siendo 𝑝 la probabilidad asociada a la
estrategia 𝐵, y 𝜎2 = ( 𝑞, 1 − 𝑞 ), donde 𝑞 es la probabilidad asociada a la estrategia 𝐷. En este caso:

𝐸 ( 𝐵) = 𝑞 ∙ 𝑢1 ( 𝐵, 𝐷) + (1 − 𝑞 ) ∙ 𝑢1 ( 𝐵, 𝐶 )
𝑢1 ( 𝜎1 , 𝜎2 ) = 𝑝𝐸 ( 𝐵 ) + (1 − 𝑝) 𝐸 ( 𝐴) donde: {
𝐸 ( 𝐴) = 𝑞 ∙ 𝑢1 ( 𝐴, 𝐷) + (1 − 𝑞 ) ∙ 𝑢1 ( 𝐴, 𝐶 )

Puesto que 𝑢1 ( 𝐴, ∗) > 𝑢1 ( 𝐵, ∗) → 𝐸 ( 𝐴) > 𝐸 ( 𝐵). Entonces:

𝑢1 ( 𝜎1 , 𝜎2 ) = 𝑝𝐸 ( 𝐵) + (1 − 𝑝) 𝐸 ( 𝐴) < 𝑝𝐸 ( 𝐴) + (1 − 𝑝) 𝐸 ( 𝐴)
′
∴ 𝑢1 ( 𝜎1 , 𝜎2 ) = 𝑝𝐸 ( 𝐵) + (1 − 𝑝) 𝐸 ( 𝐴) < 𝐸 ( 𝐴) = [0 ∙ 𝐸 ( 𝐵) + 1 ∙ 𝐸 ( 𝐴)] = 𝑢1 ( 𝜎1 , 𝜎2 )

Siendo ′
𝜎1 = (0,1) ≻1 ( 𝑝, 1 − 𝑝) = 𝜎1 . En este caso 𝜎1 es estrategia (mixta) fuertemente dominante∎
′

@JackFlash

El Equilibrio de Nash
El concepto solución del Equilibrio de Nash se basa en el postulado según el cual “la combinación de
estrategias que los jugadores predeciblemente escogerán es aquella en la cual ningún jugador podría mejorar su pago escogiendo
unilateralmante una estrategia diferente, si supone que los otros continuarán jugando la estrategia previamente escogida”
[Manrique, Villa, Junca, Monsalve (1999:184)]. En consecuencia un equilibrio de Nash constituye un
perfil de estrategias tal que cada una de las estrategias de los jugadores involucrados es una respuesta
óptima a las estrategia de los otros jugadores. [ Fundenberg & Tirole (1991): 11 ]

Equilibrio de Nash en Estrategias Puras2 (Manrique et.al. (1999): 184)
𝑁 𝑁
En un juego en forma estrategia Γ = [𝑁, ( 𝐶 𝑖 ) 𝑖=1 , ( 𝑢 𝑖 ) 𝑖=1 ] se dice que un Equilibrio de Nash en
estrategias puras para el juego finito Γ es una estrategia 𝑐 ∗ = ( 𝑐 ∗ ) 𝑖=1 siempre que
𝑖
𝑁

𝑢 𝑖 ( 𝑐1 , … , 𝒄∗ , … , 𝑐 ∗𝑁 ) ≥ 𝑢 𝑖 ( 𝑐1 , … , 𝒄 𝒊 , … , 𝑐 ∗𝑁 ) toda 𝑐 𝑖 , todo 𝑖 = 1, … , 𝑁
∗
𝒊
∗

2
Cfr. Manrique et al (1999:184), Fundenberg and Tirole (1991:11), Monsalve y Arévalo (2005:55) y Barron (2008:111) entre otros.
@JackFlash

Ejemplo [Manrique et. al. (1999:185)]
En el juego a continuación hay un único Equilibrio de Nash en estrategias puras constituido por el par
(m,t) con pagos 𝑢 𝑖 = (5,5) en el cual ningún jugador tiene incentivos para desviarse de dicha estrategia:

II
t s
k 3, 1 1, 3
I
m 5, 5 4, 2

i. En efecto, si II piensa que el I jugará m su mejor respuesta es jugar t. Si II juega t, no tiene incentivo
para desviarse a la estrategia s, caso en el cual recibiría un pago menor e igual a $4.
ii. Si, el Jugador I piensa que el Jugador II ha de jugar t su mejor respuesta es jugar m que implica un
pago de $5 respecto de la alternativa (k), que le reportaría un pago de $3: en este caso, el Jugador I
no ve atractivo elegir otra estrategia, dadas los menores retornos asociados.
iii. Considere sin embargo el par (s, m) que supone los pagos (4,2). Si el Jugador I piensa que II jugará
s estará bien quedarse en m; sin embargo si el Jugador II piensa que I jugará m, entonces su mejor
respuesta sería moverse a t, caso en el cual recibiría $3 más. No es un Equilibrio de Nash
iv. Considere además el par (k, t) que reporta pagos (3,2). Empezando con II, note que si supone que
I jugará k, entonces tendrá incentivo para moverse a s (+$2). En la otra mano, si I supone que II
jugará t lo mejor para él sería moverse a m (+$2). Tampoco es un Equilibrio de Nash.

@JackFlash

Ejemplo [Manrique et. al. (1999: 185)]:
En el juego a continuación hay dos (2) Equilibrios de Nash en estrategias puras: ( 𝐴, 𝐶 ) y ( 𝐵, 𝐷)

II
C D
A 10, 10 0, 0
I
B 0, 0 1, 1
Observaciones:

 Note que si bien 𝑂1 = ( 𝐴, 𝐶 ) y 𝑂2 = ( 𝐵, 𝐷) son Equilibrios de Nash estos observan una relación
de dominancia específica: 𝑂1 ≻ 𝑖 𝑂2 , es decir, 𝑂1 es Pareto Superior a 𝑂2 ∀𝑖 = {𝐼, 𝐼𝐼} y cabría
esperarse (en el mundo real) alguna suerte de cooperación entre los dos jugadores, para alcanzar
dicho resultado.

 Se dice entonces que 𝑂1 = ( 𝐴, 𝐶 ) es un “Equilibrio Focal” pues resulta naturalmente preferido a los
demás equilibrios.

 Note además que la Focalidad del Equilibrio no supone que un equilibrio que pueda caracterizarse así,
sea efectivamente la solución del juego. [e.g. TexPLORE vs. Clampett ]

@JackFlash

Ejemplo Peatón y Conductor [Manrique et. al. (1999: 177)]
Conductor
sc ac Cc
sc 50, -3 -99, -2 -100, -3
Peatón ac -2, -99 -51, -51 -101, -3
c -50, -100 -3, -101 -3, -3

 El Peatón no presenta estrategias estricta (o aún débilmente) dominantes. Para el Conductor “cc” domina
[ débilmente ] “sc”. Su eliminación deja al juego de la siguiente forma:

ac cc
sc -99, -2 -100, -3
ac -51, -51 -101, -3
cc -3, -101 -3, -3

 En la siguiente ronda, la estrategia “cc” del peatón domina estrictamente a las demás. Eliminando las
estrategias restantes, el único resultado viable es (cc,cc), que es un equilibrio de Nash (por qué?)

ac cc
c -3, -101 -3, -3
@JackFlash

Ejemplo: Caza del Ciervo [ Pérez, Jimeno, Cerdá (2004: 66, 93) ]

Dos cazadores acuerdan salir a buscar presa. Cada individuo enfrenta la disyuntiva de permanecer en el
puesto de observación asignado (convenido) con el objetivo de cazar un ciervo ( 𝑉 ), o bien intentar cazar
el ciervo pero estar atento a las liebres que ocasionalmente salen (𝑊). Los dos cazadores serán capaces
de cazar un ciervo si permanecen en el puesto asignado, ignorando las liebres. Si uno de los cazadores
no coopera en el objetivo de cazar el ciervo, no podrá por sí mismo cazarlo. Los dos cazadores prefieren
el ciervo a las liebres y las liebres a nada. La matriz de pagos es:

Cazador II
Cooperar Buscar Liebre
Cooperar V, V 0, 2W
Cazador I
Buscar Liebre 2W, 0 W, W

Siendo V >2W, W>0. Hay dos equilibrios de Nash en estrategias puras, ( 𝑉, 𝑉) y ( 𝑊, 𝑊 ) [ Discuta ]

@JackFlash

Ejemplo: El Juego de la Gallina
Dos jóvenes de los años de 1950 arrancan sus carros, acelerando cada uno en dirección del otro. Las
alternativas que cada conductor tiene son “Continuar” (𝐶) o “Quitarse” (𝑄). Si los dos continúan, reciben
un pago negativo dado el choque que se suscita en este caso. Si uno de ellos elige quitarse del camino
mientras el otro continúa, es un “gallina” y recibe un pago de cero en tanto que el otro recibe un pago
positivo. Si los dos se retiran, los dos son considerados gallinas. 𝑁 = {1,2}, 𝑆 𝑖 = { 𝐶, 𝑄} ∀𝑖

II
C Q
C -1, -1 1, 0
I
Q 0, 1 0, 0

Hay dos equilibrios de Nash en estrategias puras, ( 𝐶, 𝑄) y ( 𝑄, 𝐶 ).

@JackFlash

Ejemplo: Una Matriz no Cuadrada de Pagos
Considere la siguiente matriz de pagos:

H F
S 5,2 1,1
D 1,1 5,2
W 2,3 2,3

No hay estrategias estrictamente dominadas para ningún jugador y hay dos (2) equilibrios de Nash: (𝑆, 𝐻)
y (𝐷, 𝐹).

@JackFlash

Correspondencia de Respuesta Óptima (Correspondencias de Reacción)
[ Ver Pérez, Jimeno & Cerdá, (2004: 95~) ]

Es siempre útil definir en forma sistemática el conjunto de acciones disponibles para un jugador que le
garantizan el mejor pago posible, dada la acción conjunta de los demás individuos en el juego (Monsalve,
Arévalo, 2006: 72), i.e., calcular las estrategias óptimas que el jugador podría elegir como respuesta a
cualquier combinación de estrategias por parte de los otros jugadores.

En el caso del i-ésimo jugador se busca un conjunto de estrategias que supongan la mejor respuesta del
jugador i a las estrategias de los –i restantes individuos. A esta relación se le denomina Correspondencia de
Respuesta Óptima (Correspondencia de Reacción) y se nota 𝑅 𝑖 ( 𝑠 𝑖 )

@JackFlash

Correspondencia de Respuesta Óptima

Definición [Correspondencia de Respuesta Óptima ]: Considere el juego finito en forma normal

𝑁 𝑁
Γ = [𝑁, ( 𝑠 𝑖 ) 𝑖=1 , ( 𝑢 𝑖 ) 𝑖=1 ]

Entonces, para cada uno de los 𝑖 = 1,2, … , 𝑁 jugadores, se llama Correspondencia de Respuesta Óptima o
Correspondencia de Mejor Respuesta o Correspondencia de Reacción a la regla que a cada combinación de
estrategias

𝑠−𝑖 = ( 𝑠1 , 𝑠2 , … , 𝑠 𝑖−1 , 𝑠 𝑖+1 , … , 𝑠 𝑁 )

asigna el conjunto 𝑅 𝑖 ( 𝑠−𝑖 ), siempre que y si y sólo si resulta que:

𝑢 𝑖 ( 𝑠1 , 𝑠2 , … , 𝑠 𝑖−1 , 𝑠 ′ , 𝑠 𝑖+1 , … , 𝑠 𝑁 ) ≥ 𝑢 𝑖 ( 𝑠1 , 𝑠2 , … , 𝑠 𝑖−1 , 𝑠 𝑖 , 𝑠 𝑖+1 , … , 𝑠 𝑁 )
𝑖

∀𝑠 𝑖 ∈ 𝑆 𝑖

@JackFlash

Correspondencia de Respuesta Óptima

Teorema [Correspondencia de Respuesta Óptima y Equilibrio de Nash]: Considere el juego finito en forma
estratégica:

𝑁 𝑁
Γ = [𝑁, ( 𝑠 𝑖 ) 𝑖=1 , ( 𝑢 𝑖 ) 𝑖=1 ]

Entonces el perfil de estrategias:

𝑠 ∗ = ( 𝑠1 , 𝑠2 , … , 𝑠 ∗ , 𝑠 ∗ , 𝑠 ∗ , … , 𝑠 ∗ )
∗ ∗
𝑖−1 𝑖 𝑖+1 𝑖

Es un equilibrio de Nash si y sólo si:

𝑠 ∗ ∈ 𝑅 𝑖 ( 𝑠−𝑖 )
𝑖
∗

Prueba: Ver Fundenberg and Tirole, 1992.—

@JackFlash

Ejemplo: Juego de la Mayor Diferencia

Sea 𝑁 ≔ 2. El juego consiste en que los dos jugadores escriben al mismo tiempo un número 𝑥 𝑖 ∈ [0,1]
y los pagos están constituidos por la diferencia entre cada uno de los números escritos de acuerdo con
la siguiente regla:

𝑢1 ( 𝑠1 , 𝑠2 ) = 𝑢2 ( 𝑠1 , 𝑠2 ) = ( 𝑠1 − 𝑠2 )2

Si 𝑠2 = 3 entonces la respuesta óptima de 𝑠1 = 0
4
1
Si 𝑠1 = 4 entonces la respuesta óptima de 𝑠2 = 1, etc.

Las correspondencias de respuesta óptimas de cada jugador, 𝑅 𝑖 ( 𝑠−𝑖 ) en este caso son:

Jugador 1 Jugador 2
1 1
0 ⟷ 𝑠2 > 2 0 ⟷ 𝑠1 > 2
1 1
𝑅1 ( 𝑠2 ) = 1 ⟷ 𝑠2 < 2 𝑅2 ( 𝑠1 ) = 1 ⟷ 𝑠1 < 2
1 1
0ó1 ⟷ 𝑠2 = 2 0ó1 ⟷ 𝑠1 = 2
{ {

@JackFlash

Ejemplo: Juego del Reparto (Nash Calls)

El juego consiste en repartirse un valor. El reparto se hace con las siguientes reglas. Cada jugador escribe
un número entre 0 y 1 que representa la fracción del activo que desean que se les entregue. Si la suma de
los dos números es menor o igual que 1, a cada jugador se le entrega lo que pidió. Si la suma de los dos
números es mayor que 1, ninguno de los jugadores recibe nada. En forma normal, el juego adquiere la
siguiente forma.

𝑖 = {1,2}, 𝑠 𝑖 = [0, 1] ∀𝑖 = 1,2
Pagos (Juego Infinito)

Jugador 1 Jugador 2

𝑠1 ⟷ ( 𝑠1 + 𝑠2 ) ≤ 1 𝑠2 ⟷ ( 𝑠1 + 𝑠2 ) ≤ 1
𝑢1 ( 𝑠1 , 𝑠2 ) { 𝑢2 ( 𝑠1 , 𝑠2 ) {
0 ⟷ 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 0 ⟷ 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

∗
 Si, por ejemplo, el Jugador 2 juega 𝑠2 = 1 la respuesta óptima de 1 es 𝑠1 = 1 = 1 − 𝑠2
2 2

∗
 Si, por ejemplo, el Jugador 1 juega 𝑠1 = 4 la respuesta óptima de 2 es 𝑠1 = 1 = 1 − 𝑠1
5 5

@JackFlash

Por lo tanto, las correspondencias de respuesta óptima para cada uno de los jugadores son:
Jugador 1 Jugador 2
1 − 𝑠2 ⟷ 𝑠2 < 1 1 − 𝑠1 ⟷ 𝑠1 < 1
𝑅1 ( 𝑠2 ) = { 𝑅2 ( 𝑠1 ) = {
[0, 1] ⟷ 𝑠2 = 1 [0, 1] ⟷ 𝑠1 = 1

@JackFlash

Ejemplo: Juego Simple de Cournot [Pérez, Jimeno & Cerdá, (2004:98) ]

Dos jugadores escriben al mismo tiempo un número 𝑞 𝑖 ∈ [0,1]. Los pagos correspondientes a cada uno
de los jugadores son los siguientes:

𝜋1 = 𝑞1 (1 − 𝑞1 − 𝑞2 )
𝜋𝑖 = {
𝜋2 = 𝑞2 (1 − 𝑞1 − 𝑞2 )

Para el Jugador 1, la correspondencia de respuesta óptima se obtiene resolviendo para todo 𝑞2 ∈ [0,1]:

max 𝜋1 = 𝑞1 (1 − 𝑞1 − 𝑞2 ) 𝑠. 𝑎. ∶ 0 ≤ 𝑞1 ≤ 1
𝑞1

Las CPO son:

𝜕𝜋1
= (1 − 𝑞1 − 𝑞2 ) − 𝑞1 = 1 − 2𝑞1 − 𝑞2 = 0
𝑞1

0
1 − 𝑞2
∴ 𝑞1 = 𝑅1 ( 𝑞2 ) = ∈ [0,1]
2

@JackFlash

Para el Jugador 1, la correspondencia de respuesta óptima se obtiene resolviendo:

max 𝜋1 = 𝑞2 (1 − 𝑞1 − 𝑞2 ) 𝑠. 𝑎. ∶ 0 ≤ 𝑞2 ≤ 1
𝑞2

Las CPO son:

𝜕𝜋2
= 1 − 𝑞1 − 2𝑞2 = 0
𝑞2

0
1 − 𝑞1
∴ 𝑞2 = 𝑅2 ( 𝑞1 ) = ∈ [0,1]
2
El(los) equilibrio(s) de Nash se encuentra en el lugar en el cual cada estrategia es una respuesta óptima a la(s)
otra(s). Esto es, el(los) equilibrio(s) de Nash se encuentran en el punto en el cual

0
1 − 𝑞2 1 − 𝑞1 0
𝑞1 = 𝑅1 ( 𝑞2 ) = = = 𝑅2 ( 𝑞1 ) = 𝑞2
2 2

@JackFlash

Es decir, debe resolverse el sistema:

1 − 𝑞2
𝑞1 = [1]
𝑠𝑦𝑠𝑒𝑞 ( 𝑞1 , 𝑞2 ) == { 2
1 − 𝑞1
𝑞2 = [2]
2

De la ecuación [1]:

2𝑞1 = 1 − 𝑞2 → 𝑞2 = 1 − 2𝑞1
Reemplazando en [2]:

1 − 𝑞1
1 − 2𝑞1 =
2

2 − 4𝑞1 = 1 − 𝑞1

∗
1
∴ 𝑞1 =
3

@JackFlash

Reemplazando de nuevo en [2]

2 2 1 ∗
2𝑞2 = = = = 𝑞2
3 6 3
∗ ∗
Es decir, el conjunto de los Equilibrios de Nash es el perfil de estrategias: ( 𝑞1 , 𝑞2 ) = (1, 1)
3 3

@JackFlash

Equilibrios de Nash (Estrategias Puras):
 El concepto de Equilibrio de Nash es ampliamente atractivo por la versatilidad relativa que ofrece al
en la búsqueda de equilibrio para una amplísima variedad de juegos.

 Es conveniente notar que, en general los conjuntos de equilibrios estudiados bajo los distintos
conceptos-solución al momento son tales que: ED ⊆ EID ⊆ EN

 En general, los equilibrios de Nash dan lugar a pagos que son al menos tan preferibles como los pagos
mínimos garantizados (MinMax) aun cuando en general las estrategias de seguridad no son Equilibrios
de Nash.

 La conducta de seguridad y el comportamiento no cooperativo solo coinciden en juegos
estrictamente competitivos [ Montet & Serra, 2008:66 ]. No obstante, debe esperarse que no
siempre existan equilibrios de Nash en estrategias puras.

 Para probar que un juego tiene al menos un Equilibrio de Nash buscaremos mostrar que el perfil
de estrategias 𝑠 ∗ = ( 𝑠1 , 𝑠2 , … , 𝑠 ∗ , 𝑠 ∗ , 𝑠 ∗ , … , 𝑠 ∗ ) es un equilibrio de Nash si y sólo si 𝑠 ∗ ∈
∗ ∗
𝑖−1 𝑖 𝑖+1 𝑖 𝑖
∗ )
𝑅 𝑖 ( 𝑠−𝑖 , es decir, probar que existe al menos un equilibrio de Nash equivale a probar que existe un
𝑠 ∗ tal que 𝑠 ∗ ∈ 𝑅 𝑖 ( 𝑠−𝑖 ).
𝑖 𝑖
∗

@JackFlash

Existencia de Equilibrios de Nash (Estrategias Puras)
Considere la correspondencia 𝑅: 𝑆 ⇉ 𝑆 definida por el producto cartesiano de los espacios de estrategias
de los 𝑁 jugadores (Cfr. Fundenberg & Tirole, (1992: 6)]
𝑁
∗
𝑅 ( 𝑠) = ∏ 𝑅 𝑖 ( 𝑠−𝑖 )
𝑖=1

𝑁
Siendo 𝑆 = ∏ 𝑖=1 𝑆 𝑖 . En términos vectoriales, esto equivale a poner:

𝑠 ∗ ∈ 𝑅( 𝑠 ∗ )

Es decir, un juego tendrá un Equilibrio de Nash siempre que 𝑅 tenga un punto fijo. Dado que la relación
supra plantea un mapeo punto-conjunto (set to point mapping), el Teorema de Punto Fijo de Kakutani,
que es el instrumento analítico utilizado por JohnNash para mostrar la existencia de este tipo de
equilibrios. Una definición detallada de estos contenidos aparece en [6.], [8.], [11.] y [12]. El teorema de
existencia de EN se presenta a continuación.

@JackFlash

Teorema [Existencia de un Equilibrio de Nash ]: Considere el juego en forma estratégica,
𝑁 𝑁
Γ = [𝑁, ( 𝑠 𝑖 ) 𝑖=1 , ( 𝑢 𝑖 ) 𝑖=1 ]

Se dice que el juego Γ tiene al menos un Equilibrio de Nash si, para todos y cada uno de los 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑁
jugadores en el juego:

 El conjunto 𝑆 𝑖 de estrategias es un subconjunto compacto y convexo de un Espacio Euclidiano;
 La función de retorno 𝑢 𝑖 es continua y estrictamente cuasi-concava en 𝑠 𝑖

Demostración: Para todo 𝑖 ∈ 𝑁

 El conjunto 𝑅 𝑖 ( 𝑠−𝑖 ) es no vacío puesto que 𝑢 𝑖 es continua y 𝑆 𝑖 es compacto;
∗

 Al mismo tiempo, se puede garantizar que 𝑅 𝑖 ( 𝑠−𝑖 ) es convexo puesto que 𝑢 𝑖 es cuasi cóncava en
∗

𝑋𝑖;
 𝑅 = ∏ 𝑖 𝑅 𝑖 es hemi-continua superior puesto que 𝑢 𝑖 es continua, ∀𝑖 = 1, … , 𝑁

Entonces, por el teorema de Punto Fijo de Kakutani, 𝑅 tiene un punto fijo∎

@JackFlash

Ejemplo: El Duopolio de Cournot

El mercado de una mercancía homogénea está habitado por 𝑛 = 2 firmas que compiten en cantidades.
Sea 𝑞 𝑗 la cantidad de mercancía que produce la j-ésima firma. Considere los siguientes supuestos:

 La función inversa de demanda3 correspondiente a la j-ésima firma es decreciente y lineal para todo
𝑞 𝑗 ∈ [0, 𝑎⁄ 𝑏]
 El coste marginal de la firma 𝑗 es constante y tal que 𝐶𝑀𝑔 𝑗 < 𝑎 ∀𝑗 = 1, … , 𝑛
 No hay costos fijos;
 El mercado absorbe cualquier oferta de las firmas.
 En general, el precio de mercado, es tal que

𝑎 − 𝑏𝑄 ⟷ 𝑎 > 𝑏𝑄
𝑃( 𝑄) = {
0 ⟷ 𝑎 ≤ 𝑏𝑄

Donde 𝑏 > 0 y ∑ 𝑗 𝑞 𝑗 = 𝑞1 + 𝑞2 = 𝑄

3
La función inversa de demanda no es el recíproco de la función de demanda; el termino “inversa” alude al concepto analítico de función inversa. Por consiguiente, dada 𝑞 =
𝑓(𝑝), la función inversa de demanda, que relaciona la cantidad de mercancía 𝑘-ésima con el precio de mercado, 𝑝 𝑘 se expresa como 𝑝 = 𝑓 −1 (𝑞)∎
@JackFlash

Las funciones de costes relevantes son:

𝐶𝑗 (𝑞 𝑗 ) = 𝑐𝑞 𝑗 , 𝑐< 𝑎

Mientras que la función de beneficio correspondiente a la firma j viene dada por:

𝜋 𝑗 (𝑞 𝑗 , 𝑞−𝑗 ) = 𝑞 𝑗 ( 𝑎 − 𝑏𝑄) − 𝑐𝑞 𝑗

Esto es:

𝜋1 ( 𝑞1 , 𝑞2 ) = 𝑞1 (1 − 𝑏𝑞1 − 𝑏𝑞2 ) − 𝑐𝑞1 = 𝑞1 (1 − 𝑏𝑞1 − 𝑏𝑞2 − 𝑐 )
{
𝜋2 ( 𝑞1 , 𝑞2 ) = 𝑞2 (1 − 𝑏𝑞1 − 𝑏𝑞2 ) − 𝑐𝑞2 = 𝑞2 (1 − 𝑏𝑞1 − 𝑏𝑞2 − 𝑐 )

En forma normal, el juego de Cournot cuenta con 𝑁 = 2 jugadores con espacios de estrategias 𝑆1 =
𝑆2 = [0, 𝑎⁄ 𝑏] y con funciones de pago:

𝑁
𝑢 𝑗 (𝑞 𝑗 , 𝑞−𝑗 ) = 𝑞 𝑗 [𝑎 − (𝑏 ∑ 𝑗=1 𝑞 𝑗 ) − 𝑐] todo 𝑗 = 1,2

@JackFlash

Para computar el(los) equilibrio(s) de Nash, téngase en cuenta que la respuesta óptima de cada actor a
una acción del otro actor, 𝑅 𝑗 (𝑠−𝑗 ), se obtiene de la solución del problema:

𝑁
max 𝑢 𝑗 (𝑞 𝑗 , 𝑞−𝑗 ) = 𝑞 𝑗 [𝑎 − (𝑏 ∑ 𝑗=1 𝑞 𝑗 ) − 𝑐] sujeta a: 0 ≤ 𝑞 𝑗 ≤ 𝑎⁄ 𝑏
𝑞𝑗

En el caso de la firma 1:

max 𝑢1 ( 𝑞1 , 𝑞2 ) = 𝑞1 [ 𝑎 − 𝑏𝑞1 − 𝑏𝑞2 − 𝑐 ] sujeta a: 0 ≤ 𝑞1 ≤ 𝑎⁄ 𝑏
𝑞1

CPO:
𝜕𝑢1 ( 𝑞1 , 𝑞2 )
= [ 𝑎 − 𝑏𝑞1 − 𝑏𝑞2 − 𝑐 ] + 𝑞1 (−𝑏) = 0
𝜕𝑞1

Esto es,
∗
𝑎 − 𝑐 − 𝑏𝑞2
𝑞1 =
2𝑏
2 ∗
Note que para este problema las C2O: 𝜕 2 𝑢1 (∙)⁄ 𝜕𝑞1 = −2𝑏 < 0 por lo que 𝑞1 corresponde a un
máximo, y por tanto, para la firma 1,
∗
𝑎 − 𝑐 − 𝑏𝑞2
𝑞1 ≡ 𝑅1 ( 𝑞2 ) =
2𝑏
@JackFlash

En lo que respecta a la firma 2, el problema es:

max 𝑢2 ( 𝑞1 , 𝑞2 ) = 𝑞2 [ 𝑎 − 𝑏𝑞1 − 𝑏𝑞2 − 𝑐 ] sujeta a: 0 ≤ 𝑞2 ≤ 𝑎⁄ 𝑏
𝑞2

CPO:
𝜕𝑢2 ( 𝑞1 , 𝑞2 )
= [ 𝑎 − 𝑏𝑞1 − 𝑏𝑞2 − 𝑐 ] + 𝑞2 (−𝑏) = 0
𝜕𝑞2

Esto es,
∗
𝑎 − 𝑐 − 𝑏𝑞1
𝑞2 ≡ 𝑅2 ( 𝑞1 ) =
2𝑏
∗ ∗
Suponga que el par ( 𝑞1 , 𝑞2 ) es un Equilibrio de Nash. Entonces, por el teorema de existencia presentado
∗ ∗
supra, 𝑞1 ≡ 𝑅1 ( 𝑞2 ) y 𝑞2 ≡ 𝑅2 ( 𝑞1 ). Es decir, es la solución del sistema de ecuaciones:

∗
𝑎 − 𝑐 − 𝑏𝑞2
𝑞1 =
{ 2𝑏
∗
𝑎 − 𝑐 − 𝑏𝑞1
𝑞2 =
2𝑏

@JackFlash

∗ ∗
Reemplazando la expresión para 𝑞2 en 𝑞1 :

𝑎 − 𝑐 − 𝑏𝑞1
𝑎 − 𝑐 − 𝑏( )
∗
𝑞1 = 2𝑏
2𝑏

De donde,

∗
𝑎− 𝑐
𝑞1 =
3𝑏

Bajo el mismo razonamiento,

∗
𝑎− 𝑐
𝑞2 =
3𝑏

Y, el conjunto de puntos de equilibrio (de Nash) vendrá dado por:

∗
𝑎− 𝑐 ∗ 𝑎− 𝑐
𝑆 𝐸𝑁 ≡ [𝑞1 = , 𝑞2 = ]
3𝑏 3𝑏

@JackFlash

Dado que la cantidad total de equilibrio ∑ 𝑗 𝑞 𝑗 = 𝑞1 + 𝑞2 = 𝑄
∗ ∗
𝑎− 𝑐
𝑄 ∗ = 𝑞1 + 𝑞2 = 2 ∙
3𝑏
En tanto que el precio de equilibrio viene dado por:

𝑎− 𝑐 𝑎 + 2𝑐
𝑃( 𝑄 ∗ ) = 𝑎 − 𝑏𝑄 ∗ = 𝑎 − 𝑏 (2 ∙ )=
3𝑏 3
𝑁
Recuerde que la función de beneficio de la firma j está dada por 𝜋 𝑗 = 𝑞 𝑗 [𝑎 − (𝑏 ∑ 𝑗=1 𝑞 𝑗 ) − 𝑐]. Luego en el óptimo,
fijando j=1 (el mismo procedimiento aplica a la otra empresa),

∗ ∗ ∗ ∗ ∗
𝑎− 𝑐 𝑎− 𝑐 ∗
𝑎− 𝑐 𝑎− 𝑐
𝜋1 = 𝑢1 ( 𝑞1 , 𝑞2 ) = 𝑞1 [𝑎 − 𝑏( )− 𝑏( ) − 𝑐] = 𝑞1 [𝑎 − − − 𝑐]
3𝑏 3𝑏 3 3

∗
( 𝑎 − 𝑐 )2 ∗
∴ 𝜋1 = = 𝜋2
9𝑏
Y el beneficio total en la industria,
∗ ∗ ∗
( 𝑎 − 𝑐)2 ( 𝑎 − 𝑐)2 ( 𝑎 − 𝑐 )2
Π = 𝜋1 + 𝜋2 = + = 2[ ]
9𝑏 9𝑏 9𝑏

En resumen, el equilibrio en esta industria viene dado por una tupla:

𝑁=2 𝑎 + 2𝑐 2(𝑎 − 𝑐) 2(𝑎 − 𝑐)2
[𝑃 ∗ (𝑄 ∗ );
𝑄 ∗
(𝑞 ∗ );
𝑗 Π ∗
(𝜋 ∗ )]
𝑗 = [( );( );( )]
𝑗=1 3 3𝑏 9𝑏
@JackFlash

Ejemplo: El Oligopolio de Cournot

Extendamos el resultado de Cournot a un número 𝑗 = 1, … , 𝑛 de firmas cada una con un nivel de
producción, 𝑞 𝑗 . La función inversa de demanda es, como en el caso anterior,

𝑎 − 𝑏𝑄 ⟷ 𝑎 > 𝑏𝑄
𝑃( 𝑄) = {
0 ⟷ 𝑎 ≤ 𝑏𝑄

Con 𝑏 > 0 y ∑ 𝑗 𝑞 𝑗 = 𝑞1 + 𝑞2 +, … , +𝑞 𝑛−1 + 𝑞 𝑛 = 𝑄

La función de costos de la firma j viene dada por:

𝐶𝑗 (𝑞 𝑗 ) = 𝑐𝑞 𝑗 𝑐 < 𝑎 ∀𝑗

El beneficio de la firma j es:

𝜋 𝑗 = 𝑞 𝑗 𝑃( 𝑄) − 𝐶𝑗 (𝑞 𝑗 ) = 𝑞 𝑗 𝑃(𝑞 𝑗 + 𝑄−𝑗 ) − 𝐶𝑗 (𝑞 𝑗 ) = 𝑞 𝑗 [𝑎 − 𝑏(𝑞 𝑗 + 𝑄−𝑗 )] − 𝑐𝑞 𝑗

𝜋 𝑗 = 𝑞 𝑗 [𝑎 − 𝑏(𝑞 𝑗 + 𝑄−𝑗 ) − 𝑐]

@JackFlash

La respuesta óptima de la firma j a una combinación de acciones 𝑞−𝑗 = (𝑞1 , … , 𝑞 𝑗−1 , 𝑞 𝑗+1 , … , 𝑞 𝑛 ) es la
solución de

max 𝜋 𝑗 = 𝑞 𝑗 [𝑎 − 𝑏(𝑞 𝑗 + 𝑄−𝑗 ) − 𝑐] sujeta a: 𝑞 𝑗 ∈ [0, 𝑏𝑎]
𝑞𝑗

Las condiciones relevantes para óptimo son:

𝜕𝜋 𝑗 (𝑞 𝑗 , 𝑞−𝑗 )
= [𝑎 − 𝑏(𝑞 𝑗 + 𝑄−𝑗 ) − 𝑐] − 𝑏𝑞 𝑗 = 0
𝜕𝑞 𝑗

∴ 𝑎 − 2𝑏𝑞 𝑗 − 𝑏𝑄−𝑗 − 𝑐 = 0

La C2O permite verificar la cuasi concavidad (estricta) de 𝜋 𝑗 por lo que CPO supone un máximo.

El vector 𝑞 ∗ = (𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞 ∗ , 𝑞 ∗ , 𝑞 ∗ , … , 𝑞 ∗𝑛 ) caracteriza a un Equilibrio de Nash si se verifican:
∗ ∗
𝑗−1 𝑗 𝑗+1

𝑎 − 2𝑏𝑞 ∗ − 𝑏𝑄−𝑗 − 𝑐 = 0 todo 𝑗 = 1, … , 𝑛
𝑗
∗

@JackFlash

Es claro (simetría) que 𝑞 ∗ = 𝑞 ∗ , 𝑖 ≠ 𝑗. Además se notará que 𝑏𝑄−𝑗 = 𝑏( 𝑛 − 1) 𝑞 ∗ . Ergo,
𝑗 𝑖
∗
𝑗

𝑎 − 2𝑏𝑞 ∗ − 𝑏𝑄−𝑗 − 𝑐 =
𝑗
∗

𝑎 − 2𝑏𝑞 ∗ − 𝑏( 𝑛 − 1) 𝑞 ∗ − 𝑐 = 0
𝑗 𝑗

2𝑏𝑞 ∗ + 𝑏( 𝑛 − 1) 𝑞 ∗ = 𝑎 − 𝑐
𝑗 𝑗

𝑞 ∗ (2𝑏 + 𝑏( 𝑛 − 1)) = 𝑎 − 𝑐
𝑗

𝑎− 𝑐
∴ 𝑞∗ =
𝑗 ∀𝑗
𝑏( 𝑛 + 1)

El equilibrio de Nash es el n-vector:

∗
𝑎− 𝑐 ∗
𝑎− 𝑐 ∗
𝑎− 𝑐
[𝑞1 = ,…, 𝑞𝑗 = ,…, 𝑞𝑛 = ]
𝑏( 𝑛 + 1) 𝑏( 𝑛 + 1) 𝑏( 𝑛 + 1)

@JackFlash

La cantidad total de mercancía en el equilibrio, es:
𝑛 𝑎− 𝑐 𝑎− 𝑐
∗
𝑄 =∑ ( ) = 𝑛( )
𝑗=1 𝑏( 𝑛 + 1) 𝑏( 𝑛 + 1)
Los precios de equilibrio,
𝑎− 𝑐 𝑎 + 𝑛𝑐
𝑃( 𝑄 ∗ ) = 𝑎 − 𝑏 [𝑛 ( )] =
𝑏( 𝑛 + 1) 𝑛+1
El beneficio individual de equilibrio:
𝜋 ∗ ≡ 𝑢∗ = 𝑞 ∗ (𝑎 − 𝑏(𝑞 ∗ + 𝑄−𝑗 ) − 𝑐)
𝑗 𝑗 𝑗 𝑗
∗

𝑎− 𝑐 𝑎− 𝑐
= 𝑞 ∗ (𝑎 − 𝑏 (𝑛 (
𝑗 )) − 𝑐) = 𝑞 ∗ (𝑎 − 𝑛
𝑗 − 𝑐)
𝑏( 𝑛 + 1) 𝑛+1

( 𝑎 − 𝑐 )2
∴ 𝜋∗
𝑗 = ∀= 1, … , 𝑛
𝑏( 𝑛 + 1)2
Y el beneficio de equilibrio agregado,
𝑛 𝑛 ( 𝑎 − 𝑐 )2 ( 𝑎 − 𝑐 )2
∗
Π =∑ 𝜋∗
𝑗 =∑ = 𝑛[ ]∎
𝑗=1 𝑗=1 𝑏( 𝑛 + 1)2 𝑏( 𝑛 + 1)2
@JackFlash

Ejemplo: El Modelo de Bertrand - Productos Homogéneos4

Contrario a la opinión de Agustin Cournot, el matemático francés Joseph Louis François Bertrand (1822-
1900) creía que las firmas utilizaban precios (en lugar de cantidades) para ajustar a la demanda de
mercado.

En el modelo de Bertrand las firmas compiten en precios y venden toda la producción que puedan poner
en el mercado y que los demandantes quieran comprar a ese precio.

Considere una economía con j = {1, 2} firmas que producen un cierto bien y cuya estrategia de
competencia es la modificación de los precios a los que participan en el mercado relevante.

Sea 𝑞( 𝑝) la función de demanda de mercado del producto. Entonces:

 El consumidor compra al precio más bajo siendo indiferente entre quienes venden el producto si
las firmas tienen el mismo precio;
 𝑞( 𝑝) es monótona decreciente en 𝑝 ∈ [0, 𝑝 𝑐 )
 𝑞( 𝑝) = 0 si 𝑝 ≥ 𝑝 𝑐
 El proceso fabril de las dos firmas se caracteriza por funciones de costes idénticas (sin coste fijo) y
con costes marginales constantes 𝑐
 Sea 𝑝 𝑀 el precio de monopolio de la mercancía. Entonces vale 0 < 𝑐 < 𝑝 𝑀 < 𝑝 𝑐
4
Cfr. Pérez, Jimeno & Cerdá (2004): 119-122.
@JackFlash

La demanda que enfrenta la j-ésima firma está segmentada en función de la relación que mantiene el
precio ofrecido por ella con el precio de la firma rival.

0 ⟷ 𝑝 𝑗 > 𝑝𝑖

𝑞 𝑗 (𝑝 𝑗 , 𝑝 𝑖 ) = 𝑞(𝑝 𝑗 ) ⟷ 𝑝 𝑗 < 𝑝𝑖

{ 𝑞(𝑝 𝑗 )⁄2 ⟷ 𝑝 𝑗 = 𝑝𝑖

Las funciones de costes son:

𝐶𝑗 (𝑞 𝑗 ) = 𝑐𝑞 𝑗 ∀𝑗

Y los beneficios:

0 ⟷ 𝑝 𝑗 > 𝑝𝑖

𝜋 𝑗 (𝑝 𝑗 , 𝑝 𝑖 ) = (𝑝 𝑗 − 𝑐) ∙ 𝑞(𝑝 𝑗 ) ⟷ 𝑝 𝑗 > 𝑝𝑖

{(𝑝 𝑗 − 𝑐) ∙ 𝑞(𝑝 𝑗 )⁄2 ⟷ 𝑝 𝑗 = 𝑝𝑖

@JackFlash

En el modelo de Bertrand, un Equilibrio de Nash es un vector de precios 𝑝∗ = (𝑝∗ , 𝑝∗ ) al cual el precio
𝑗 𝑖
fijado por la j-ésima firma es la reporta el mayor beneficio, dado el precio de la firma rival, i.e.,

𝑢 𝑗 (𝑝∗ , 𝑝∗ ) ≥ 𝑢 𝑗 (𝑝 𝑗 , 𝑝∗ )
𝑗 𝑖 𝑖 ∀𝑗 = 1,2; ∀𝑝 𝑗 ∈ 𝑆 𝑗

La discontinuidad de la demanda de mercado es heredada por la función de beneficio de cada una de las
firmas razón por la cual, las funciones de respuesta óptima 𝑅 𝑗 (𝑠−𝑗 ) no pueden ser derivadas usando el
cálculo.

A la sazón una caracterización del equilibrio para este juego consiste en estudiar diferentes puntos
candidatos a equilibrio y estudiar su estabilidad relativa, i.e., “considerar todas las situaciones (de equilibrio)
posibles y descartar aquellas que no cumplan con nuestra definición(es decir descartar aquellas situaciones en las que alguna
empresa pudiera conseguir un beneficio mayor alterando la situación mediante el cambio de su precio)” (Pérez, Jimeno
& Cerdá, 2008: 120). Las situaciones a las que las firmas involucradas se enfrentan, son las siguientes:

i. 𝑝∗
𝑗 > 𝑝∗
𝑖 = 𝑐. El precio de las firmas es diferente; el precio de la firma rival se fija al coste marginal;
∗ ∗
ii. 𝑝𝑗 > 𝑝𝑖 > 𝑐. El precio de las firma es distinto y mayor que el coste marginal;
iii. 𝑝∗
𝑗 = 𝑝∗
𝑖 > 𝑐. Los precios de las dos firmas son iguales y mayores que el coste marginal;
∗ ∗
iv. 𝑝𝑗 = 𝑝𝑖 = 𝑐. Los precios de las dos firmas son iguales e iguales al coste marginal;

@JackFlash

De acuerdo con estas posibilidades, valórense los beneficios de las firmas, según el caso:

Caso i: 𝑝∗ > 𝑝∗ = 𝑐. En este caso, los beneficios son:
𝑗 𝑖

𝑢 𝑖 (𝑝∗ , 𝑝∗ ) = 𝑞 ( 𝑝∗ )( 𝑝∗ − 𝑐 ) = 𝑞 ( 𝑐 )( 𝑐 − 𝑐 ) = 0
𝑖 𝑗 𝑖 𝑖
𝑢 𝑖 (𝑝∗ , 𝑝∗ ) = {
𝑖 𝑗
𝑢 𝑖 (𝑝∗ , 𝑝∗ ) = 0
𝑖 𝑗

Suponga, sin embargo, que la firma i elige un precio distinto y superior al costo marginal 𝑐 pero aún
inferior al precio de la otra firma, e.g. 𝑝′𝑖 = 𝑝∗ − 𝜖 > 𝑐. En este caso, los beneficios de la firma i son:
𝑗

𝑢 𝑖 (𝑝′𝑖 , 𝑝∗ ) = 𝑞( 𝑝′𝑖 )( 𝑝′𝑖 − 𝑐 ) > 0
𝑗

i.e.., La firma tiene incentivos para desviarse de la situación inicial propuesta y, consecuentemente este
caso no constituye un Equilibrio de Nash.

@JackFlash

Caso ii: 𝑝∗ > 𝑝∗ > 𝑐. El precio de las firmas es distinto y mayor que el coste marginal. En este escenario
𝑗 𝑖
los beneficios de las firmas son

𝑢 𝑖 (𝑝∗ , 𝑝∗ ) = 𝑞 ( 𝑝∗ )( 𝑝∗ − 𝑐 ) = 𝑞( 𝑝∗ )( 𝑝∗ − 𝑐 ) > 0
𝑖 𝑗 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖
𝑢 𝑖 (𝑝∗ , 𝑝∗ ) = {
𝑖 𝑗
𝑢 𝑖 (𝑝∗ , 𝑝∗ ) = 0
𝑖 𝑗

Puesto que 𝑝∗ > 𝑝∗ , el beneficio para la firma j es cero. No obstante suponga que esta firma reduce su
𝑗 𝑖
precio en una cantidad 𝜖 de modo que el nuevo precio sea igual al precio de la otra firma, menos una
cantidad determinada 𝑝′𝑗 = ( 𝑝∗ − 𝜖 ) > 𝑐, entonces, el beneficio para esta firma es:
𝑖

𝑢 𝑗 (𝑝∗ , 𝑝∗ ) = 𝑞(𝑝′𝑗 )(𝑝′𝑗 − 𝑐) = 𝑞(𝑝′𝑗 ) (𝑝∗ − 𝜖 − 𝑐) > 0
𝑖 𝑗 ⏟𝑖
>𝑐

Al adoptar esta estrategia la firma j obtendría beneficio positivo, situación que involucra un incentivo
para desviarse de esta situación y, por tanto, no constituye un Equilibrio de Nash.

@JackFlash

Caso iii: Los precios de las dos firmas son iguales y mayores que el coste marginal, i.e. 𝑝∗ = 𝑝∗ > 𝑐. Los
𝑗 𝑖
beneficios de las firmas, en esta situación, son:

𝑢 𝑖 (𝑝∗ , 𝑝∗ ) = 𝑞( 𝑝∗ )( 𝑝∗ − 𝑐 )⁄2 > 0
𝑖 𝑗 𝑖 𝑖
𝑢 𝑖 (𝑝∗ , 𝑝∗ ) = {
𝑖 𝑗
𝑢 𝑗 (𝑝∗ , 𝑝∗ ) = 𝑞(𝑝∗ )(𝑝∗ − 𝑐)⁄2 > 0
𝑖 𝑗 𝑗 𝑗

En este caso, las firmas obtienen un beneficio estrictamente positivo si bien se reparten el mercado entre
los dos. Note además que si cualquier firma reduce su precio por debajo del de la otra firma, se queda
con todo el mercado duplicando prácticamente su beneficio. En efecto, suponga que:

𝑝′𝑖 = 𝑝∗ − 𝜖 < 𝑝∗ con
𝑖 𝑗 𝑝′𝑖 > 𝑐
En este caso,

𝑢 𝑖 (𝑝′𝑖 , 𝑝∗ ) = 𝑞( 𝑝∗ − 𝜖 )( 𝑝∗ − 𝜖 − 𝑐 ) ≈ 2𝑢 𝑖 (𝑝∗ , 𝑝∗ ) > 𝑢 𝑖 (𝑝∗ , 𝑝∗ )
𝑗 𝑖 𝑖 𝑖 𝑗 𝑖 𝑗

Por consiguiente, cualquiera de las dos firmas tiene incentivos para fijar un precio inferior al de su rival,
siendo este un equilibrio inestable, i.e., una situación de no Equilibrio de Nash.

@JackFlash

Caso iv: 𝑝∗ = 𝑝∗ = 𝑐. Los precios de las dos firmas son iguales entre si e iguales al coste marginal. En
𝑗 𝑖
este caso, los beneficios de las firmas son:

𝑢 𝑖 (𝑝∗ , 𝑝∗ ) = 𝑞 ( 𝑝∗ )( 𝑝∗ − 𝑐 ) = 𝑞 ( 𝑐 )( 𝑐 − 𝑐 ) = 0
𝑖 𝑗 𝑖 𝑖
𝑢 𝑖 (𝑝∗ ,
𝑖 𝑝∗ )
𝑗 ={
𝑢 𝑗 (𝑝∗ , 𝑝∗ ) = 𝑞(𝑝∗ )(𝑝∗ − 𝑐) = 𝑞 ( 𝑐 )( 𝑐 − 𝑐 ) = 0
𝑖 𝑗 𝑗 𝑗

Esto es, ninguna de las firmas observa rentas no competitivas y ninguna de ellas tiene incentivo para
desviarse de esta situación (compruebe que es así) que se constituye en el Equilibrio de Nash.

@JackFlash

En términos de funciones de reacción (correspondencias de respuesta óptima):

 Si el precio fijado por la firma i, 𝑝 𝑖 es menor que el costo marginal, 𝑐 cualquier respuesta 𝑝 𝑗 > 𝑝 𝑖
es óptima pues implica beneficios nulos, en contraste con respuestas 𝑝 𝑗 ≤ 𝑝 𝑖 , que implican
beneficio negativo (pérdida).
 Si el precio fijado por la firma i, 𝑝 𝑖 es igual al costo marginal, 𝑐 cualquier respuesta 𝑝 𝑗 ≥ 𝑝 𝑖 es
óptima pues implica beneficios nulos, en contraste con respuestas 𝑝 𝑗 < 𝑐, que implican beneficio
negativo (pérdida).
 Si el precio fijado por la firma i, 𝑝 𝑖 es igual al costo marginal, 𝑐 pero menor o igual al precio de
monopolio 𝑝 𝑀 no existe una respuesta 𝑝 𝑗 óptima a la estrategia 𝑝 𝑖 :
o Mientras 𝑝 𝑗 se aproxima desde abajo a 𝑝 𝑖 , el beneficio de la firma j se aproxima a la que supone
el precio de monopolio 𝑝 𝑀 .
o Sin embargo, cuando 𝑝 𝑗 =𝑝 𝑖 , el beneficio salta a la mitad (los dos individuos se reparten el
mercado),
o Si, 𝑝 𝑗 sigue aumentando por encima de 𝑝 𝑖 , el beneficio salta a cero.

Claramente, dado el precio de la otra firma, siempre es mejor fijar un precio ligeramente inferior, pero
nunca óptimo.

 Si el precio fijado por la firma i, 𝑝 𝑖 es mayor que el precio de monopolio, 𝑝 𝑀 , la respuesta 𝑝 𝑗 = 𝑝 𝑀
es la única respuesta óptima, pues proporciona el máximo beneficio.
@JackFlash

Final Remark (Bertrand)
La solución para el juego de Bertrand es un equilibrio de Nash que coincide con un equilibrio en
estrategias débilmente dominadas.

Para la firma j-ésima la estrategia 𝑝∗ = 𝑐 está débilmente dominada por cualquier otra estrategia 𝑝∗ > 𝑐
𝑗 𝑗
tal que 𝑞(𝑝∗ ) > 0 pues:
𝑗

 Daría lugar a beneficios estrictamente positivos si 𝑝∗ ≥ 𝑝∗ , pero
𝑖 𝑗
∗ ∗
 Daría lugar a beneficios nulos si 𝑝 𝑖 < 𝑝 𝑗

@JackFlash

Equilibrio de Nash: Estrategias Mixtas

Forthcoming….

@JackFlash

Teorema [Punto Fijo de Kakutani ]:

Sea 𝑋 un subconjunto compacto y convexo de ℝℓ y sea 𝑇: 𝑋 ⇉ 𝑋 una correspondencia tal que:

 Para todo 𝑥 ∈ 𝑋 el conjunto 𝑇( 𝑥 ) es no vacío y convexo
 𝑇( 𝑥 ) es hemicontinuo superior

Entonces, ∃𝑥 ∗ ∈ 𝑋 tal que 𝑥 ∗ ∈ 𝑇( 𝑥 )

@JackFlash

Referencias

[1.] Bauman, Y. (2009): Quantum Micro, Class Notes. Whitman College.
[2.] Barron, E.N. (2008): Game Theory. An Introduction. Hoboken (N.J.): John Wiley.
[3.] Fundenberg, D. and J. Tirole (1992): Game Theory. Cambridge: MIT press.
[4.] Gibbons, R. (1992): Un Primer Curso de Teoría de Juegos. Barcelona: Antoni Bosch.
[5.] Jehle, G. and P.J. Reny (2001): Advanced Microeconomic Theory. N.Y.: Addison-Wesley.
[6.] Lancaster, K. (2011): Mathematical Economics. N.Y.(N.Y.): Dover.
[7.] Manrique, O., E. Villa, G. Junca y S. Monsalve (1999): Competencia Imperfecta I: Equilibrio de Nash
en Juegos Estaticos. Capítulo IV En: Monsalve, S. [ed.] (1999): Introducción a los Conceptos de
Equilibrio en Economía. Bogotá: Universidad Nacional de Colombia.
[8.] Mas-Colell, A., M.D. Whinton and J.R.Green (1985): Microeconomic Theory. Oxford: Oxford
University Press.
[9.] Monsalve, S. [ed.] (1999): Introducción a los Conceptos de Equilibrio en Economía. Bogotá:
Universidad Nacional de Colombia.
[10.] Monsalve, S. y J. Arévalo [eds.] (2005): Un Curso de Teoría de Juegos Clásica. Bogotá: Universidad
Externado de Colombia.
[11.] Montet, C. and D. Serra (2003): Game Theory & Economics. N.Y. (N.Y.): Palgrave.
[12.] Takayama, A. (1985): Mathematical Economics. Cambridge: Cambridge University Press.
[13.] Varian, H. (1993): Microeconomic Analysis. N.Y.: Norton & Co.
@JackFlash

Teoría de los Juegos – Equilibrio de Nash // @JackFlash

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (19)

Similar a Teoría de los Juegos – Equilibrio de Nash // @JackFlash

Similar a Teoría de los Juegos – Equilibrio de Nash // @JackFlash (20)

Más de Juan Segura

Más de Juan Segura (20)

Último

Último (20)

Teoría de los Juegos – Equilibrio de Nash // @JackFlash