Este documento explica las derivadas parciales de funciones de varias variables. Define la derivada parcial de una función f(x,y) con respecto a x o y como el límite de la pendiente de la recta tangente a medida que h se acerca a cero. También cubre derivadas parciales de orden superior, su notación y interpretación geométrica como pendientes de planos tangentes.

1. La derivada parcial de f(x, y) con respecto a x,
expresada con
𝜕𝑓
𝜕𝑥
se define mediante
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥, 𝑦 = lim
ℎ⃗0
𝑓 𝑥+ℎ,𝑦 −𝑓(𝑥,𝑦)
ℎ
Para valores
cualesquiera de x, y para los cuales los limites existe.
La derivada parcial de f(x, y) con respecto a y,
expresada con
𝜕𝑓
𝜕𝑦
se define mediante
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑥, 𝑦 =
𝑥, 𝑦 = lim
ℎ⃗0
𝑓 𝑥𝑦+ℎ −𝑓(𝑥,𝑦)
ℎ
Para valores cualesquiera
de x, y para los cuales los limites existe.
Derivadas Parciales
la derivada parcial puede verse como otra
función definida en U y derivarse parcialmente.
Si todas sus derivadas parciales existen y son
continuas, llamamos a f una función C2; en este
caso, las derivadas parciales pueden ser
intercambiadas por el teorema de Clairaut
también conocido como teorema de Schwarz.
Derivadas parciales de primer orden:
Derivadas parciales (dobles) de segundo orden:
Derivadas cruzadas de segundo orden:
En este gráfico tenemos una superficie z=f(x,y) de
la cual estamos haciendo la derivada parcial
respecto la variable x en un punto x0,y0,z0.
Hemos visto que hacer la parcial
respecto x significa dejar la variable y como
constante. Mantener el valor fijo y=y0 nos da
como resultado un plano que pasa por el
punto y0. Construimos entonces el plano que sea
paralelo al eje x. Este plano corta nuestra
superficie. En la curva intersección consideramos
la recta tangente en el punto x0,y0,z0. La
derivada parcial nos dará la pendiente de esta
recta.
Fuente: Katherine P, (junio 2015)
Interpretación geométrica de la derivada parcialNotación
Derivadas Parciales de Orden
Superior