Expresiones algebraicas

EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Monomio: es el producto indicado de un valor conocido y uno o varios valores desconocidos
Ejemplo: –7x2
y
Coeficiente: es el factor conocido → –7.
Parte literal: son los factores desconocidos → x2
y.
Variables: son las diferentes letras que aparecen → x , y.
Número de variables: es el número de letras distintas que aparecen → 2.
Grado: es el número de factores que forman la parte literal → 2 + 1 = 3.
1 Completa la tabla:
Monomios semejantes: son los que tienen la misma parte literal.
Ejemplos: 3xy2
5x2
y no son semejantes
2x4
–8x4
sí son semejantes
2 Escribe dos monomios semejantes a cada uno de los dados:
3x4
−4xy
3
yx3
7
2
xy
5
2
xyz
Monomios
semejantes
3 Encuentra los monomios que sean semejantes:
–5x2
, x , 4xy , –3x , 2 , 6yx ,
x
2
, 7y2
, –8
4 Escribe cinco monomios de grado tres que no sean semejantes.
Monomio −3x2
xyz −x2
y3
5
xy
− x
4
3
9
Coeficiente
Parte literal
Variables
Nº de variables
Grado
107

Suma o resta de monomios: sólo se pueden sumar o restar los monomios que sean semejantes.
Ejemplos: 3x2
+ 4x2
2x3
– 6x3
5x2
y + 2xy2
2x3
+ 4x
7x2
–4x3
no se pueden sumar tampoco
5 Reduce estas expresiones:
5.1 4x2
− 5x2
− x2
5.2 2xy + 6xy − 5xy
5.3 5x4
− 7x4
+ x4
5.4 −2a3
+ 4a3
− a3
5.5 10x2
y + 7x2
y − 12x2
y 5.6 7z − 6z − 4z + z
5.7 a2
+ 4a2
− 2a2
− 3a2
5.8 4x − 7x + 6x − 2x
5.9 2x2
− 5y2
+ x2
− 2y2
5.10 11x2
− 6x + 3x − 2x2
5.11 8x2
+ 6x − 7x2
+ 4x 5.12 3x − 2y + x − 5y
Producto de monomios: se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las mismas letras.
Ejemplos: (–2x) · (–4x2
) 6x2
y3
· 2xy4
3x2
· 5y
+8x3
12x3
y7
15x2
y
6 Calcula:
6.1 3x2
· 5x 6.2 2x · 4x 6.3 6x · (−4x3
)
6.4 3a2
· (−5a3
) 6.5 (−x2
y) · (−6xy3
) 6.6 (−5ab2
) · 2a2
b
6.7 3x2
yz2
· xyz 6.8 (−4xy) · (−3y2
) 6.9 5x3
· (−4y2
)
6.10 2ab · 3bc 6.11 x3
· 2x 6.12 a2
· (−5a)
108

Cociente de monomios: se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las mismas letras.
El resultado puede ser: un número, otro monomio o una fracción algebraica.
Ejemplos: 10x2
: 5x2
18x5
: 6x 12x3
: (–4x7
)
2
2
10x
5x
5
18x
6x
3
7
12x
4x−
2 3x4
4
3
x
−
7 Obtén los cocientes:
7.1 12x3
: 4x 7.2 9a : 27a2
7.3 15x2
: 3x2
7.4 50x4
y3
: 2xy2
7.5 8a2
b3
: 4ab4
7.6 4x3
y2
z4
: x3
yz2
7.7 6a4
b : 12ab3
7.8 6x2
y: 9xy2
7.9 4xy2
: 12y2
x
7.10 12x2
y4
: 4xy4
7.11 15a2
b3
: 5b2
7.12 16xy : 2y2
8 Calcula:
8.1 (2x3
: x2
) · x 8.2 6a5
: (a · 2a2
) 8.3 (6ab · 2bc) : 4ac
8.4 4x2
· [3x · (−2x3
)] 8.5 xy3
· [(−9x2
y) : (−3xy)] 8.6 [–8a2
b3
: 4ab] · (−a3
)
8.7 (15x4
y3
: 3x3
) : y 8.8 [3ab · (−3a2
)] · (−2ab3
) 8.9 [4x3
· 3x2
] : 2x
109

Binomio: es la suma o resta indicada de dos monomios.
Ejemplo: 2x – 5x4
Trinomio: es la suma o resta indicada de tres monomios.
Ejemplo: x3
+ 5 + 4x
Polinomio: es la suma o resta indicada de varios monomios.
Ejemplo: 3x2
y – 2xy + y2
– 5 – 8x
Grado de un polinomio: es el mayor de los grados de los monomios que lo forman.
En el ejemplo anterior el grado es 3.
9 Indica el grado de cada polinomio y subraya el monomio que proporciona el grado:
9.1 3x3
− x4
+ 2x − 5 9.2 4x2
y+ y2
− xy2
9.3 2ab3
− a3
c + a2
b2
c2
9.4 2x + 3x2
− 4 − 3x2
Monomio Binomio Trinomio
Grado 0
Grado 1
Grado 2
Grado 3
Grado 4
P(x) representa a un polinomio cuya única variable es x.
Polinomio de una variable ordenado: cuando se escriben sus monomios de mayor a menor grado.
Ejemplo P(x) = 2x3
– x4
+ 4 – 5x
P(x) = – x4
+ 2x3
– 5x + 4
Coeficiente principal de un polinomio de una variable: es el coeficiente del monomio que proporciona
el grado.
En el ejemplo anterior el coeficiente principal es –1.
Término independiente de un polinomio: es el monomio que no tiene parte literal.
En el ejemplo anterior el término independiente es +4.
P(x) Polinomio ordenado Grado
Coeficiente
principal
Término
independiente
2x3
– x4
+ 6 + 4x
6x2
– 2 + 5x
3x – 2x2
+ x3
110

Valor numérico de un polinomio: es el valor que se obtiene al cambiar las letras de un polinomio por
números dados.
Ejemplo: P(x) = –x2
– 2x + 3 x = –5
P(–5) = –(–5)2
– 2(–5) + 3
P(–5) = – 25 – 2(–5) + 3
P(–5) = – 25 + 10 + 3
P(–5) = –12
12 Obtén el valor numérico del polinomio P(x) = x3
− 3x2
− x + 1
12.1 Cuando x = 0. Sol: 1 12.2 Cuando x = 1. Sol: –2
P(0) = P(1) =
12.3 Cuando x = –3. Sol: –50 12.4 Cuando x = –4. Sol: –107
P(–3) = P(–4) =
12.5 Cuando x = −2. Sol: –17 12.6 Cuando x = 2. Sol: –5
P(–2) = P(2) =
12.7 Cuando x = −1. Sol: –2 12.8 Cuando x = 3. Sol: –2
P(–1) = P(3) =
111

13 Calcula el valor numérico del polinomio P(a,b) = 3a2
b − ab − 2ab2
para los valores de a y b que se
indican:
13.1 a = –2, b = –1. Sol: –10 13.2 a = –1, b = 3. Sol: 30
P(–2,–1) = P(–1,3) =
13.3 a = −1, b = 0. Sol: 0 13.4 a = −2, b = –2. Sol: –12
P(–1,0) = P(–2,–2) =
13.5 a = 3, b = 2. Sol: 24 13.6 a = −2, b = 1. Sol: 18
P(3,2) = P(–2,1) =
13.7 a = 1, b = 3. Sol: –12 13.8 a = 2, b = −1. Sol: –14
P(1,3) = P(2,–1) =
112

Suma de polinomios: se suman los monomios que sean semejantes.
Ejemplo: P(x) = 2x2
– 5x – 7 P(x) + Q(x) = (2x2
– 5x – 7) + (–5x2
+ 9)
Q(x) = –5x2
+ 9 2x2
– 5x – 7 – 5x2
+ 9
–3x2
– 5x + 2
Resta de polinomios: la resta se convierte en suma cambiando todos los signos al polinomio que va
restando.
Ejemplo: P(x) = 2x2
– 5x – 7 P(x) – Q(x) = (2x2
– 5x – 7) – (–5x2
+ 9)
Q(x) = –5x2
+ 9 2x2
– 5x – 7 + 5x2
– 9
7x2
– 5x + 16
Producto de un número por un polinomio: se multiplica el número por cada monomio del polinomio.
Ejemplo: P(x) = 2x2
– 5x – 7 –3P(x) = –3(2x2
– 5x – 7)
–6x2
+ 15x + 21
14 Dados los polinomios P(x) = 3x3
− 2x2
− 6x + 1 y Q(x) = 2x2
– x − 3, calcula:
14.1 P(x) + Q(x)
14.2 P(x) − Q(x)
14.3 2P(x) + 3Q(x) Sol: 6x3
+ 2x2
– 15x – 7
14.4 4P(x) − 2Q(x) Sol: 12x3
– 12x2
– 22x + 10
113

15 Dados los polinomios P(x) = x3
− 3x2
− x + 2 y Q(x) = 2x3
– 4x2
− 1, calcula:
15.1 P(x) + Q(x)
15.2 P(x) − Q(x)
15.3 –P(x) + 2Q(x) Sol: 3x3
– 5x2
+ x – 4
15.4 2P(x) − 5Q(x) Sol: –8x3
+ 14x2
– 2x + 9
16 Dados los polinomios M(x) = x3
− 2x2
+ 2x − 1 y N(x) = 3x3
+ 2x2
− 3x + 4, calcula:
16.1 M(x) + N(x)
16.2 M(x) − N(x)
16.3 −2M(x) + 3N(x) Sol: 7x3
+ 10x2
– 13x + 14
114

17 Dados los polinomios P(x) = 2x2
− 3x − 6 y Q(x) = x3
+ 5x2
+ 4x − 2, calcula:
17.1 P(x) + Q(x)
17.2 P(x) − Q(x)
17.3 3P(x) + 2Q(x) Sol: 2x3
+ 16x2
– x – 22
17.4 2P(x) − 3Q(x) Sol: –3x3
– 11x2
– 18x – 6
18 Dados los polinomios P(x) = x2
– 2x + 4 y Q(x) = 2x2
+ 3x – 1 calcula:
18.1 P(x) + Q(x)
18.2 P(x) – Q(x)
18.3 4P(x) – 5Q(x) Sol: –6x2
– 23x + 21
18.4 –2P(x) + 3Q(x) Sol: 4x2
+ 13x – 11
115

Producto de un monomio por un polinomio: se multiplica el monomio por cada uno de los monomios
que forman el polinomio.
Ejemplo: 3x2
· (5x3
– 2x2
+ x + 4)
15x5
– 6x4
+ 3x3
+ 12x2
19 Calcula estos productos y escribe el polinomio resultante ordenado:
19.1 x · (2x3
+ 2 − 5x) 19.2 x2
· (2x3
− 3 + 3x4
)
19.3 5x(6 − x + 3x2
) 19.4 2a · (3a − a2
+ 4)
19.5 x3
· (5x + 7 − x2
) 19.6 3x2
· (x4
+ x − 2x3
)
19.7 4a3
· (2 − a + 3a2
) 19.8 2x4
(2 + 3x3
− x2
)
19.9 −2x2
(5x3
+ 1 − 6x) 19.10 −a · (−5 + 2a + 3a2
)
19.11 −3x4
· (5 + 2x − x2
) 19.12 −4a3
(a2
− 6 – 2a)
19.13 –2x3
· (6x − 1 + x2
) 19.14 –2x2
· (x + 3x2
– 2)
19.15 –a(3 − 2a – 3a2
) 19.16 –2x(4x − 2x2
+ 1)
116

20 Calcula y escribe el polinomio resultante ordenado:
20.1 3x3
(x – 2) – 2x2
(x + 3x2
– x) Sol: –3x4
– 6x3
20.2 x(2 + 3x2
– x) – 4x2
(2x – 3) Sol: –5x3
+ 11x2
+ 2x
20.3 2x(4x2
– 5x3
+ 2x) + x2
(3x – 1 + x2
) Sol: –9x4
+ 11x3
+ 3x2
20.4 3a2
(a + 5) – 2a(2 – 3a + 3a2
) Sol: –3a3
+ 21a2
– 4a
Producto de dos polinomios: se multiplica cada monomio del primer polinomio por cada monomio del
segundo polinomio.
Ejemplo: (4x – 5x2
) · (2x – 3)
8x2
– 12x – 10x3
– 12x
– 10x3
+ 8x2
– 24x
21 Multiplica y escribe el polinomio resultante ordenado:
21.1 (3 + 2x) · (5 + x) 21.2 (4 + 2a) · (a + 3)
21.3 (3x + 4)(x2
− 3x) 21.4 (2x + x2
) · (5x − 3)
21.5 (a + 3) · (3a2
− 2a3
) 21.6 (6x2
+ 2x)(1 + 2x)
117


21.7 (x3
+ 3x2
) · (4 − x) 21.8 (a + 2a2
) · (a − 5)
21.9 (3 − 2a)(5a + 4) 21.10 (4a − 6)(2a + a2
)
21.11 (x3
− 2x)(x2
− 3x4
) 21.12 (3a − a2
) · (2a − 1)
21.13 (2a2
− a) · (a3
− 5a) 21.14 (x2
− 2)(4 − 3x)
22 Calcula y escribe el polinomio resultante ordenado:
22.1 (2a – a2
)(a + 2) + (1 – a)(3 + a2
) Sol: –2a3
+ a2
+ a + 3
22.2 (x – 3x2
)(x + 4) + (2 – x)(x2
– 5x) Sol: –4x3
– 4x2
– 6x
22.3 (2x + x2
)(6 – x) + (2 – x2
)(3x – 2) Sol: –4x3
+ 6x2
+ 18x – 4
22.4 (3 – 2x)(x2
+ 3x) + (4x2
– 5x)(2 – 6x) Sol: –26x3
+ 35x2
– x
118

Sacar factor común: consiste en seleccionar los factores que se repiten, con menor exponente, para que
al multiplicarlos por otro polinomio se obtenga el polinomio del principio.
Ejemplos: 3a – 6a2
2xy + 5x2
2ab − 8bc + 6b2
3a(1 – 2a) x(2y + 5x) 2b(a – 4c + 3b)
23 Extrae todos los factores comunes posibles en cada polinomio:
23.1 4x + 8y 23.2 9a – 6b 23.3 6x − 6y
23.4 2a + 2ac 23.5 4xy – 6xz 23.6 3xy + 3yz
23.7 3x + 12 23.8 4abc − 8bc + 4ab 23.9 4x − 4xy
23.10 x3
+ 2x2
− x 23.11 3x3
+ 12x2
+ 9x4
23.12 6x2
+ 3x5
24 Simplifica estas fracciones algebraicas sacando factor común:
24.1
x6x2
x4x2
2
2
+
+
24.2
y4x4
y3x3
+
+
24.3
23
34
aa
aa
+
+
2x (x 2)
2x
+
(x 3)+
3( x y+ )
4( x y+ )
x 2
x 3
+
+
3
4
24.4
x24
x6x12 2
+
+
24.5
abab
abba
2
2
−
−
24.6 2
2
y2xy
xy2x
−
−
24.7 2
2
y4xy4
xy2x2
+
+
24.8
2
22
c2bc4ac2
abc6ab12ba6
++
++
24.9
4 3
2
2x 6x
x 3x
+
+
119

Productos notables:
Cuadrado de una suma: (a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
Se lee cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
(a + b)2
(a + b) · (a + b)
a2
+ ab + ba + b2
a2
+ 2ab + b2
Cuadrado de una diferencia: (a − b)2
= a2
– 2ab + b2
Se lee cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
(a – b)2
(a – b) · (a – b)
a2
– ab – ba + b2
a2
– 2ab + b2
Suma por diferencia: (a + b) · (a − b) = a2
– b2
Se lee cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.
(a + b) · (a – b)
a2
– ab + ba – b2
a2
– b2
25 Calcula utilizando los productos notables:
25.1 (5x + 6)2
25.2 (4x + 6)2
25.3 (x3
+ 3x)2
(5x)2
+ 2(5x)(6) + (6)2
25x2
+ 60x + 36
25.4 (3x + 7)2
25.5 (9x + 5)2
25.6 (x4
+ 2x)2
25.7 (5x − 4)2
25.8 (7x − 3)2
25.9 (3x5
− x)2
(5x)2
– 2(5x)(4) + (4)2
25x2
– 40x + 16
25.10 (3x − 2)2
25.11 (4x – 1)2
25.12 (2x2
– x)2
120

25.13 (4x − 5) · (4x + 5) 25.14 (2x + 4) · (2x − 4) 25.15 (3x3
– 4) · (3x3
+ 4)
(4x)2
– (5)2
16x2
– 25
25.16 (4x + 6) · (4x − 6) 25.17 (10x – 3) · (10x + 3) 25.18 (x4
+ 2) · (x4
– 2)
26 Utiliza los productos notables y escribe el polinomio resultante ordenado:
26.1 (1 + x)2
+ (1 – x)2
+ (1 + x)(1 – x) Sol: x2
+ 3
26.2 (3x – 5)2
+ (6 + 5x)2
+ (4 – 2x)(4 + 2x) Sol: 30x2
+ 30x + 77
26.3 (2x3
+ 4)(2x3
– 4) + (2 – x3
)2
+ (3x3
+ 1)2
Sol: 14x6
+ 2x3
– 11
26.4 (5x – 4)2
+ (1 + 4x)(1 – 4x) + (3 + 2x)2
Sol: 13x2
– 28x + 26
121

27 Observa las siguientes tablas, encuentra la relación que hay, complétalas y da una fórmula general:
1 2 3 4 5 6 … x
4 8 12 16 …
1 2 3 4 5 6 … x
3 4 5 6 …
1 2 3 4 5 6 … x
1 4 9 16 …
1 2 3 4 5 6 … x
9 12 15 18 …
1 2 3 4 5 6 … x
2 4 8 16 …
1 2 3 4 5 6 … x
1 0´5 0´333… 0´25
1 2 3 4 5 6 … x
99 98 97 96
1 2 3 4 5 6 … x
9 18 27 36
1 2 3 4 5 6 … x
9 19 29 39
122

¿Qué es un monomio?
¿Qué es el coeficiente de un monomio?
¿Cuál es la parte literal de un monomio?
¿Cuáles son las variables de un monomio?
¿Cómo se obtiene el grado de un monomio?
¿Qué tienen que cumplir dos monomios para ser semejantes?
¿Se pueden sumar o restar todos los monomios?
¿Qué monomios se pueden sumar o restar y de qué manera?
¿Cómo se multiplican los monomios?
¿Cómo se dividen los monomios?
¿Qué posibles resultados se pueden obtener al dividir dos monomios?
¿Qué es un binomio?
¿Qué es un trinomio?
¿Qué es un polinomio?
¿Cómo se obtiene el grado de un polinomio?
123

¿Cómo se ordena un polinomio de una variable?
¿Cuál es el coeficiente principal de un polinomio de una variable?
¿Cuál es el término independiente de un polinomio de una variable?
¿Cómo se obtiene el valor numérico de un polinomio?
¿Cómo se suman dos polinomios?
¿Cómo se restan dos polinomios?
¿Cómo se multiplica un número por un polinomio?
¿Cómo se multiplica un monomio por un polinomio?
¿Cómo se multiplican dos polinomios?
Explica cómo se saca factor común.
Escribe las fórmulas de los productos notables y cómo se leen.
124

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