Derivadas Parciales de segundo orden

1. Univ. de Alcal¶a de Henares Ingenier¶³a de Telecomunicaci¶on
C¶alculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005
Derivadas parciales segundas. Polinomios de Taylor.
1. Derivadas parciales segundas
En la primera parte del curso hemos visto que, para estudiar la curvatura (concavidad) de la
gr¶a¯ca de una funci¶on f, es necesario emplear la derivada segunda o derivadas de orden superior
de f. Ese estudio de las derivadas superiores nos ha llevado a introducir los polinomios (y series)
de Taylor. A su vez, esto permite entre otras cosas desarrollar criterios de existencia de extremos
(m¶aximos y m¶³nimos). En este cap¶³tulo veremos como esas ideas se generalizan a funciones de
varias variables, dejando para el siguiente el problema de los extremos.
Vamos a empezar por de¯nir las derivadas de orden superior de estas funciones. Las de¯ni-
ciones son las naturales. Empecemos con un ejemplo.
Ejemplo 1. Sea f : R2 ! R dada por f(x; y) = x6 +5xy +8y4 Entonces f es derivable en todo
R2. Podemos representar sus dos derivadas parciales en un esquema como este:
@f
@x
= 6x5 + 5y
@
@xfffff2ffff
@
@y
XXXXX+XXXX
f(x; y) = x6 + 5xy + 8y4
@f
@y
= 5x + 32y3
Las dos derivadas parciales son polinomios, y por tanto derivables en todo el plano.Es decir, que
podemos calcular de nuevo las derivadas parciales de cada una de ellas, como en este esquema:
30x4 = @
@x
µ
@f
@x
¶
@f
@x
= 6x5 + 5y
@
@xhh3hhhh
@
@y
VVVV+VVVV
5 = @
@y
µ
@f
@x
¶
@
mm6mmm @x
mmm mmm mmm mmm
f(x; y) = x6 + 5xy + 8y4
QQQ
QQQ QQQ @
QQQ @y
QQ(QQQ 5 = @
@x
µ
@f
@y
¶
@f
@y
= 5x + 32y3
@
@xhhhh4hhh
@
@y
VVVV*VV
96y2 = @
@y
µ
@f
@y
¶
1

2. Ejemplos como ¶este nos llevan a de¯nir:
De¯nici¶on 2 (Derivadas parciales segundas).
2
6666666666666666666666664
Si la funci¶on f : R2 ! R dada por z = f(x; y) es derivable en todos los puntos de una bola
B(¹p; r) centrada en el punto ¹p = (x0; y0), entonces tiene sentido hablar de las funciones derivadas
parciales
@f
@x
;
@f
@y
ya que se pueden calcular en todos los puntos de esa bola. Si estas derivadas parciales son a su
vez funciones derivables en el punto ¹p, entonces las derivadas parciales de esas funciones son
las derivadas parciales segundas de f en p. Hay cuatro de estas derivadas segundas, que se
representan con esta notaci¶on:
8>>><
>>>:
@2f
@x2 = @
@x
µ
@f
@x
¶
;
@2f
@y@x
= @
@y
µ
@f
@x
¶
@2f
@x@y
= @
@x
µ
@f
@y
¶
;
@2f
@y2 = @
@y
µ
@f
@y
¶
Observaci¶on. Estas de¯niciones, y la notaci¶on, se extienden de forma evidente a funciones vec-
toriales, es decir a f : Rn ! Rm. Si tenemos ¹y = f(¹x), con ¹x = (x1; : : : ; xn), ¹y = (y1; : : : ; ym) y
f = (f1; : : : ; fm), entonces cada una de sus derivadas parciales segundas se obtiene, a partir por
ejemplo de @fi
@xj
, derivando parcialmente con respecto a una variable xk. La notaci¶on habitual
es entonces:
@2fi
@xk@xj
si es k6= j
y
@2fi
@x2j
si es k = j
Otra notaci¶on com¶un (y a veces muy conveniente) es:
@2fi
@xj@xk
= D2
jkfi
Otras derivadas de orden superior. Por supuesto, si las derivadas segundas resultan deri-
vables podemos repetir la de¯nici¶on anterior y obtener unas derivadas parciales terceras, etc. En
general hablaremos de la derivada parcial r-¶esima (o de orden r) de f con respecto a xj1xj2 : : : xjr
para indicar las variables con respecto a las que derivamos, y el orden en que lo hacemos. Las
notaciones m¶as comunes son ¶estas:
@rf
@xj1 : : : @xjr
= Dr
j1:::jrf
Funciones Ck y C1. Una funci¶on f : Rn ! Rm cuyas derivadas parciales (primeras) existen
y son continuas en todos los puntos de un abierto U se dice que f es de clase C1 en U, o que
f 2 C1(U) (a veces se dice que f es de clase 1, simplemente). De la misma forma, si todas las
2

3. derivadas de orden menor o igual que k son continuas en todos los puntos de U, diremos que f es
de clase Ck en U, o que f 2 Ck(U). Si f tiene derivadas parciales continuas de todos los ¶ordenes
(para todo k) en todos los puntos de U diremos que f es de clase C1 en U, o que f 2 C1(U).
Estas funciones se llaman a menudo funciones suaves . Cuando decimos que f es de clase Ck en
el punto p, signi¯ca que existe una bola centrada en p en la que f es de clase Ck.
Ejemplo 3. Recordemos que la funci¶on f(x) = xk sen
1
x
, que hemos visto en la primera parte
del curso, es de clase Ck¡1 pero no es Ck.
1.1. Igualdad de las derivadas parciales cruzadas: Lema de Schwarz
En el ejemplo 1 (p¶agina 1) hemos calculado las derivadas parciales segundas de una funci¶on
f(x; y) y hemos visto que se obten¶³a:
@2f
@x@y
= @2f
@y@x
Este resultado no es una casualidad, ni una particularidad de ese ejemplo, sino la manifestaci¶on
de un resultado general.
Para entender este resultado es bueno pensar en el caso dimensional. Cuando calculamos
@2f
@x@y
= @
@x
µ
@f
@y
¶
en un punto (x0; y0) tenemos que estudiar el cociente:
@f
@y (x; y0) ¡ @f
@y (x0; y0)
x ¡ x0
cuando x est¶a muy cerca de x0. Lo m¶as razonable es aproximar cada una de las derivadas
parciales con respecto a y mediante un cociente como ¶este:
f(x;y)¡f(x;y0)
y¡y0
¡ f(x0;y)¡f(x0;y0)
y¡y0
x ¡ x0
= f(x; y) ¡ f(x; y0) ¡ f(x0; y) + f(x0; y0)
(x ¡ x0)(y ¡ y0)
Dejamos para el lector comprobar que si empieza con @2f
@x@y
y hace aproximaciones similares
llegar¶a a un resultado semejante. Sin embargo, para justi¯car que estas aproximaciones pasan
bien al l¶³mite es necesario suponer que las derivadas parciales que intervienen son continuas. En
de¯nitiva, se tiene este resultado:
Teorema 4 (Lema de Schwarz).
2
66664
Si f : U ½ Rn ! R es una funci¶on escalar de clase C2 en un conjunto abierto U entonces, para
todo punto p 2 U se tiene:
@2f
@xj@xi
(p) = @2f
@xj@xi
(p)
3

4. Las derivadas @2f
@xj@xi
y @2f
@xj@xi
se llaman derivadas parciales cruzadas, y el lema de Scwharz
asegura la igualdad de las derivadas parciales cruzadas.
De hecho, para que se cumpla la igualdad de las derivadas parciales cruzadas es su¯ciente con
que las derivadas segundas existan en todos los puntos de una bola B(p; r) y que al menos una
de ellas sea continua en p. Hemos enunciado as¶³ el lema de Shwarz porque a menudo lo m¶as
sencillo es comprobar que f es de clase C2. Pero es importante comprender que no se puede
prescindir completamente de la continuidad de las parciales, como muestra este ejemplo.
Ejemplo 5. Sea f : R2 ! R dada por:
f(x; y) =
8<
:
x2 ¡ y2
xy
(x; y)6= (0; 0)
x2 + y2 0 (x; y) = (0; 0)
Sugerimos al lector que compruebe que:
8>>><
>>>:
@f
@x
(0; y) = ¡y
@f
@y
(x; 0) = x
sean cuales sean x e y. (El c¶alculo en (0; 0) de ambas derivadas parciales debe hacerse directa-
mente como un l¶³mite.) Por lo tanto es:
@2f
@x@y
(0; 0) = l¶³m
x!0
@f
@y (x; 0) ¡ @f
@y (0; 0)
x ¡ 0
= l¶³m
x!0
¡x
x
= ¡1
Por un razonamiento similar se llega a
@2f
@y@x
(0; 0) = 1
Es decir, que:
@2f
@x@y
(0; 0)6= @2f
@y@x
(0; 0)
Es muy conveniente que el lector calcule @2f
@x@y
en un punto gen¶erico (x; y)6= (0; 0) (en ese punto,
por supuesto, el orden de derivaci¶on es indiferente) y a continuaci¶on estudie la continuidad en
el origen de la funci¶on obtenida (por ejemplo mediante las rectas que pasan por el origen).
1.1.1. Derivadas cruzadas de orden superior
Por supuesto, si f es de clase Ck, entonces da igual el orden de derivaci¶on en las parciales de
cualquier orden hasta k, siempre que derivemos el mismo n¶umero de veces con respecto a cada
variable. Es decir, que si (i1; : : : ; ik) es una lista de k n¶umeros del 1 al n, y (j1; : : : ; jk) es otra
ordenaci¶on (permutaci¶on) de la lista (i1; : : : ; ik), se tiene:
@kf
@xj1 ¢ ¢ ¢ @xjk
= @kf
@xi1 ¢ ¢ ¢ @xik
en cualquier punto p de U.
4

5. 2. Polinomios de Taylor.
2.1. El caso de las funciones de dos variables
La idea que queremos desarrollar es una generalizaci¶on natural de lo que hemos hecho en
el caso de las funciones de una variable. En esta secci¶on, para hacer gradualmente ese proceso
de generalizaci¶on, empezamos por considerar el caso de una funci¶on de dos variables, pongamos
z = f(x; y), que queremos aproximar cerca de un punto p = (x0; y0) mediante polinomios.
2.1.1. Polinomios de primer y segundo orden
Por lo que hemos aprendido, sabemos que la estrategia para obtener aproximaciones m¶as y
m¶as precisas consiste en considerar polinomios de grado cada vez m¶as alto. El polinomio de grado
uno de una funci¶on z = f(x; y) es, obviamente, el polinomio que de¯ne a su plano tangente. De
manera que, si llamamos T1;pf(x; y) a ese polinomio de grado 1 en el punto p, se tiene:
T1;pf(x; y) = f(x0; y0) +
µ
@f
@x
¶
p
¢ (x ¡ x0) +
µ
@f
@y
¶
p
¢ (y ¡ y0)
Como hemos se~nalado, un plano es un objeto lineal, que no puede detectar fen¶omenos como la
curvatura. Si queremos obtener una aproximaci¶on m¶as precisa y con m¶as informaci¶on, debemos
considerar un polinomio de grado superior. Si la funci¶on f es su¯cientemente regular en p (por
ejemplo si es de clase C2 o m¶as en una bola centrada en p), la expresi¶on que se obtiene para el
polinomio de Taylor de grado dos en p es la que re°ejamos en la siguiente de¯nici¶on:
De¯nici¶on 6 (Polinomio de Taylor de grado dos).
2
66666666664
Si z = f(x; y) es de clase C2 en el punto p, entonces su polinomio de Taylor de grado dos en
ese punto es
T2;pf(x; y) = f(x0; y0) +
µ
@f
@x
¶
p
¢ (x ¡ x0) +
µ
@f
@y
¶
p
¢ (y ¡ y0)+
+
1
2!
"µ
@2f
@x2
¶
p
¢ (x ¡ x0)2 + 2
µ
@2f
@y@x
¶
p
¢ (x ¡ x0) ¢ (y ¡ y0) +
µ
@2f
@y2
¶
p
¢ (y ¡ y0)2
#
En la segunda l¶³nea de esta f¶ormula aparecen los t¶erminos de grado dos, que involucran a
las derivadas segundas de f en p. Como puede verse, los t¶erminos de grado menor coinciden con
los del polinomio de Taylor de orden uno. Esta es una propiedad general de los polinomios de
Taylor, y que ya conocemos en el caso de funciones de una variable: al aumentar el grado del
polinomio se a~naden nuevos t¶erminos a los ya conocidos.
El siguiente teorema nos con¯rma que este polinomio es la aproximaci¶on que busc¶abamos.
Recordemos de la primera parte del curso que, para usar el polinomio de Taylor de grado dos,
hemos pedido que la funci¶on sea derivable tres veces.
Teorema 7. 2
6664
Supongamos que existe una bola B(p; r), centrada en p = (x0; y0), en la que f es de clase C3.
Entonces, si (x; y) es cualquier punto de esa bola, se tiene
f(x; y) = T2;pf(x; y) + o (k(x ¡ x0; y ¡ y0)k) ; donde l¶³m
(x;y)!p
o (k(x ¡ x0; y ¡ y0)k)
k(x ¡ x0; y ¡ y0)k2 = 0
5

6. Es decir, que el error que se comete al usar T2;pf(x; y) como aproximaci¶on al valor f(x; y) es
muy peque~no: es peque~no comparado con el cuadrado de la distancia de (x; y) a p.
Adem¶as, al igual que en el caso de una variable, el polinomio de Taylor T2;pf(x; y) es el ¶unico
polinomio de grado dos con esta propiedad.
Veamos un ejemplo:
Ejemplo 8. Dada la funci¶on z = f(x; y) = sen(xy) su polinomio de Taylor en el punto p =
(¼=2; 1) se calcula teniendo en cuenta estos valores:
f(p) = sen(¼=2) = 1
@f
@x
= y cos(xy) )
@f
@xp
= 0;
@f
@y
= x cos(xy) )
@f
@xp
= 0
µ
@2f
@x2
¶
p
= ¡y2 sen(xy) )
µ
@2f
@x2
¶
p
= ¡1
µ
@2f
@y2
¶
p
= ¡x2 sen(xy) )
µ
@2f
@y2
¶
p
= ¡1
µ
@2f
@y@x
¶
=
µ
@2f
@x@y
¶
= cos(xy) ¡ xy sen(xy) )
µ
@2f
@y@x
¶
p
=
µ
@2f
@x@y
¶
p
= ¡¼=2
Por lo tanto el polinomio que buscamos es:
T2;pf(x; y) = 1 + 0 ¢ (x ¡ ¼=2) + 0 ¢ (y ¡ 1)+
+
1
2!
£
(¡1) ¢ (x ¡ ¼=2)2 + 2 ¢ (¡¼=2) ¢ (x ¡ ¼=2) ¢ (y ¡ 1) + (¡1) ¢ (y ¡ 1)2
¤
=
1
2
¡
1
2x2 + x¼ ¡
3
8¼2 ¡
1
2 ¼ xy +
1
4¼2y ¡
1
2y2 + y
2.1.2. Formas cuadr¶aticas
En el pr¶oximo cap¶³tulo trataremos sobre los extremos locales de una funci¶on de dos variables
z = f(x; y). La herramienta b¶asica para hacerlo es el polinomio de Taylor que acabamos de
describir. Y, como en el caso de una variable, para poder decidir si un cierto punto es un
m¶aximo, un m¶³nimo o ninguna de ambas cosas, tendremos que analizar los t¶erminos de orden
dos (las derivadas segundas) de ese polinomio. Por esa raz¶on nos vamos a detener ahora a
analizar con algo de detenimiento esos t¶erminos de orden dos, para expresarlos de una forma
m¶as conveniente.
La expresi¶on que necesitamos se aprende en un curso de ¶Algebra Lineal, al estudiar las formas
cuadr¶aticas. Dada una matriz cuadrada A = (aij ), de orden n, y un vector ¹x = (x1; : : : ; xn) de
Rn, podemos combinarlos de esta forma
q(¹x) =
¡
x1 x2 ¢ ¢ ¢ xn
¢
0
BBB@
a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1n
a21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n
. . .
an1 an2 ¢ ¢ ¢ ann
1
CCCA
0
BBB@
x1
x2
...
xn
1
CCCA
Es decir, interpretamos el vector ¹x a la izquierda como una matriz ¯la (1; n) y a la derecha como
una matriz columna (n; 1). Y multiplicamos las tres matrices que aparecen aqu¶³; el resultado es
una matriz (1; 1), es decir, un n¶umero.
6

7. Ejemplo 9. Si usamos ¹x = (x1; x2) es un vector cualquiera de R2, entonces la forma cuadr¶atica
asociada a la matriz
A =
µ
1 3
5 ¡1
¶
se obtiene calculando:
q(x1; x2) =
¡
x1 x2
¢µ
1 3
5 ¡1
¶
=
=
¡
x1 x2
¢µ
x1 + 3x2
5x1 ¡ x2
¶
= x21
+ 3x1x2 + 5x2x1 ¡ x22
= x21
+ 8x1x2 ¡ x22
Como puede verse, el resultado es un polinomio de grado dos en las coordenadas (x1; x2).
Adem¶as, todos los t¶erminos del polinomio son de grado dos, no hay t¶erminos de grado uno
o cero (el polinomio es homog¶eneo).
Rec¶³procamente, dado cualquier otro polinomio homog¶eneo de grado dos en (x1; x2) (sin t¶erminos
de grado uno o cero), como, por ejemplo,
~q(x1; x2) = 2x21
+ 8x1x2 + 6x22
podemos encontrar una matriz A que permite expresar ~q(x1; x2) como la forma cuadr¶atica aso-
ciada a esa matriz. Por ejemplo, poniendo
22 ~q(x1; x2) = 2x+ 8x1x2 + 6x= 2x+ 5x1x2 + 3x2x1 + 6xse observa que podemos usar la matriz
21
22
21
A =
µ
2 5
3 6
¶
Y si escribimos el mismo polinomio ~q(x1; x2) de esta otra forma
~q(x1; x2) = 2x21
+ 8x1x2 + 6x22
= 2x21
+ 10x1x2 ¡ 2x2x1 + 6x22
vemos que podemos usar tambi¶en esta otra matriz
A =
µ
2 10
¡2 6
¶
Como se ve, hay una cierta arbitrariedad en la elecci¶on de la matriz, asociada a los t¶erminos
cruzados x1x2. Podemos eliminar esa arbitrariedad pidiendo que la matriz A sea sim¶etrica. En
ese caso, s¶olo hay una matriz posible:
~q(x1; x2) = 2x21
+ 8x1x2 + 6x22= 2x21
+ 4x1x2 + 4x2x1 + 6x22
=
¡
x1 x2
¢µ
2 4
4 6
¶µ
x1
x2
¶
7

8. Resumimos las anteriores observaciones en una de¯nici¶on:
De¯nici¶on 10 (Forma cuadr¶atica).
2
666666666666664
Dada una matriz cuadrada de orden n A = (aij) y sim¶etrica (es decir, con aij = aji), la
forma cuadr¶atica asociada a la matriz A es la aplicaci¶on q : Rn ! R de¯nida mediante:
q(x1; : : : ; xn) =
¡
x1 x2 ¢ ¢ ¢ xn
¢
0
BBB@
a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1n
a21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n
. . .
an1 an2 ¢ ¢ ¢ ann
1
CCCA
0
BBB@
x1
x2
...
xn
1
CCCA
= ¹x ¢ A ¢ ¹xT
donde el vector ¹x se interpreta como una matriz ¯la (1; n), y ¹xT es su matriz traspuesta (una
matriz columna).
2.1.3. Matriz Hessiana
Ahora que disponemos de este lenguaje de formas cuadr¶aticas, podemos volver a los poli-
nomios de Taylor. Si nos ¯jamos en los t¶erminos de grado dos del polinomio de Taylor, que
son
1
2!
"µ
@2f
@x2
¶
p
¢ (x ¡ x0)2 + 2
µ
@2f
@y@x
¶
p
¢ (x ¡ x0) ¢ (y ¡ y0) +
µ
@2f
@y2
¶
p
¢ (y ¡ y0)2
#
observaremos que estos t¶erminos son homog¶eneos en x¡x0 e y¡y0. Por lo tanto, podemos usar
la notaci¶on matricial para representarlos como una forma cuadr¶atica:
1
2!
¡
x ¡ x0 y ¡ y0
¢
0
BBB@
@2f
@x2
@2f
@y@x
@2f
@x@y
@2f
@y2
1
CCCA
p
µ
x ¡ x0
y ¡ y0
¶
La matriz que aparece en esta expresi¶on se merece un nombre:
De¯nici¶on 11 (Matriz Hessiana).
2
6666666666664
Si f es dos veces derivable en el punto p = (x0; y0), entonces su matriz hessiana en p es la
matriz 2 £ 2:
Hf(p) =
0
BBB@
@2f
@x2
@2f
@y@x
@2f
@x@y
@2f
@y2
1
CCCA
p
Obs¶ervese que si f es de clase C2 en p entonces la matriz hessiana es sim¶etrica (Lema de
Schwarz).
Como veremos en el pr¶oximo cap¶³tulo, el an¶alisis de la forma cuadr¶atica que de¯ne el hessiano
es esencial para caracterizar los extremos locales de una funci¶on de varias variables.
8

9. 2.1.4. Polinomios de orden m¶as alto
Naturalmente, si en el punto p la funci¶on f es de una clase Ck con k > 3, podemos seguir
buscando aproximaciones polin¶omicas de grado superior. Por ejemplo, el polinomio de grado
tres se obtiene sumando al de grado dos estos t¶erminos de grado tres:
t3;p(f)(x) =
1
3!
"µ
@3f
@x3
¶
p
¢ (x ¡ x0)3 + 3
µ
@3f
@x2@y
¶
p
¢ (x ¡ x0)2 ¢ (y ¡ y0)+
3
µ
@3f
@x@y2
¶
p
¢ (x ¡ x0) ¢ (y ¡ y0)2 +
µ
@3f
@y3
¶
p
¢ (y ¡ y0)3
#
De manera que, como dec¶³amos el polinomio de Taylor de grado tres es
T3;p(f)(x) = T2;p(f)(x) + t3;p(f)(x)
>Cu¶al es la justi¯caci¶on del coe¯ciente 3 que acompa~na a la derivada @3f
@x2@y
? La raz¶on es que
este t¶ermino proviene de tres derivadas parciales cruzadas iguales:
@3f
@x@x@y
;
@3f
@x@y@x
;
@3f
@y@x@x
De la misma forma el coe¯ciente 3 que acompa~na a la derivada @3f
@x@y2 proviene de estas otras
tres derivadas parciales cruzadas iguales:
@3f
@x@x@y
;
@3f
@x@y@x
;
@3f
@y@x@x
N¶umero de derivadas parciales cruzadas coincidentes. En general, el polinomio de
Taylor de grado k es de la forma:
Tk;p(f)(x) = t0;p(f)(x) + t1;p(f)(x) + t2;p(f)(x) + ¢ ¢ ¢ + tk;p(f)(x) = Tk¡1;p(f)(x) + tk;p(f)(x)
donde tk;p(f)(x) son los t¶erminos de orden k de este polinomio. Para poder escribirlos necesita-
mos averiguar cu¶antas derivadas cruzadas de orden k coinciden, como hemos hecho en el caso
k = 3.
Ejemplo 12. Este problema es puramente combinatorio. Una derivada parcial tal como
@7f
@x5@y2
se obtiene derivando f siete veces, cinco de ellas con respecto a x y dos con respecto a y. Un
posible orden de derivaci¶on es ¶este:
µ
@
@x
µ
@
@y
µ
@
@x
µ
@
@x
µ
@
@y
µ
@
@x
µ
@f
@x
¶¶¶¶¶¶¶
9

10. Pero si f es de clase C7, se puede intercambiar las posiciones de las x y las y, sin que cambie
el resultado. Es decir, que en general tenemos
µ
@
@??
µ
@
@??
µ
@
@??
µ
@
@??
µ
@
@??
µ
@
@??
µ
@f
@??
¶¶¶¶¶¶¶
y tenemos a nuestra disposici¶on cinco letras x y dos letras y para colocarlas en lugar de las
interrogaciones. >De cu¶antas formas distintas podemos hacerlo? Es f¶acil darse cuenta de que
se trata simplemente de decidir en qu¶e dos posiciones colocamos las dos y, y luego rellenar el
resto con x. Se trata de elegir las dos posiciones de las y entre siete posibles; en combinatoria
se aprende que la respuesta es
¡7
2
¢
=
7!
2!((7 ¡ 2)!)
= 21. Es decir, que hay 21 ¶ordenes distintos
de derivaci¶on que producen el mismo valor de la derivada parcial.
Generalizando el ejemplo anterior es f¶acil ver que, dada una derivada parcial de orden k, de
la forma
@kf
@xi@yj
(donde, naturalmente, se debe cumplir i + j = k), se pueden encontrar
µ
k
i
¶
=
µ
k
j
¶
= k!
i!j!
derivadas cruzadas iguales.
Con estos resultados, es f¶acil entender que los t¶erminos de grado k del polinomio de Taylor
son (aqu¶³ se usa que j = k ¡ i):
tk;p(f)(x) =
1
k!
Xk
i=0
µ
k
i
¶µ
@kf
@xi@yk¡i
¶
p
(x ¡ x0)i(y ¡ y0)k¡i
Y por tanto el polinomio de grado k completo es:
Tk;p(f)(x) =
Xk
s=0
Ã
1
s!
Xs
i=0
µ
s
i
¶µ
@sf
@xi@ys¡i
¶
p
(x ¡ x0)i(y ¡ y0)s¡i
!
(por convenio, la derivada de orden 0 de f es la propia f).
Teorema de Taylor en orden k La generalizaci¶on del teorema (7), de la p¶agina 5, es ahora
evidente:
2Teorema 13.
66664
Supongamos que existe una bola B(p; r), centrada en p = (x0; y0), en la que f es de clase Ck+1.
Entonces, si (x; y) es cualquier punto de esa bola, se tiene
f(x; y) = Tk;pf(x; y) + o (k(x ¡ x0; y ¡ y0)k) ; donde l¶³m
(x;y)!p
o (k(x ¡ x0; y ¡ y0)k)
k(x ¡ x0; y ¡ y0)kk = 0
10

11. 2.2. Polinomios de Taylor en general
La extensi¶on de todas estas ideas a funciones de n variables es una mera cuesti¶on de notaci¶on
y formalismo. Vamos a describir el polinomio de orden k de una funci¶on de n variables, pongamos
z = f(x1; : : : ; xn). Para escribir este polinomio necesitamos referirnos a todas las derivadas
parciales de un cierto orden s de f. Cada una de estas derivadas es de la forma:
@sf
@xi1
i2
¢ ¢ ¢ in
1 @x2 @xn
donde i1; i2; : : : ; in son n¶umeros naturales que cumplen i1 + ¢ ¢ ¢ + in = s. Es necesario hacer
de nuevo un an¶alisis combinatorio para establecer cu¶antas derivadas cruzadas iguales hay. El
resultado es que el s¶³mbolo anterior representa a:
µ
k
i1; i2; : : : ; in
¶
= k!
i1!i2! ¢ ¢ ¢ in!
La de¯nici¶on del polinomio de Taylor y el correspondiente teorema quedan as¶³:
De¯nici¶on 14 (Polinomio de Taylor general).
2
666664
Si z = f(x1; : : : ; xn) es de clase Ck en el punto p = (a1 : : : ; an), entonces su polinomio de Taylor
de grado k en ese punto es
Tk;p(f)(x) =
Xk
s=0
0
@ 1
s!
Xs
i1+¢¢¢+in=s
µ
k
i1; i2; : : : ; in
¶Ã
@sf
@xi1
i2
¢ ¢ ¢ in
1 @x2 @xn
!
p
(x1 ¡ a1)i ¢ ¢ ¢ (xn ¡ an)s¡i
1
A
2Teorema 15.
6664
Supongamos que existe una bola B(p; r), centrada en p = (a1; : : : ; an), en la que f es de clase
Ck+1. Entonces, si x = (x1; : : : ; xn) es cualquier punto de esa bola, se tiene
f(x) = Tk;pf(x) + o (k(x1 ¡ a1; : : : ; xn ¡ an)k) ; donde l¶³m
x!p
o (k(x1 ¡ a1; : : : ; xn ¡ an)k)
k(x1 ¡ a1; : : : ; xn ¡ an)kk = 0
11