2. DISTRIBUCIÓN GAMMA
Primeramente definimos la función gamma;
Siendo p un número real positivo no necesariamente entero.
Γ(p)=(p-1)!
∫
∞
−−
>=
0
1
0pdxex)p( xp
Γ
A partir de la función gamma definimos la distribución de probabilidad
gamma como: Sea una variable aleatoria X ~ Gamma(p,a)
{ } 0xaxexp
)p(
xa
)x(f
pp
>−=
−
Γ
1
Función de densidad de probabilidad, parámetros de forma p y
de escala a.
3. DISTRIBUCIÓN GAMMA
La distribución gamma se suele utilizar en:
•Intervalos de tiempos entre dos fallos de un motor,
•Intervalos de tiempos entre dos llegadas de automóviles a una
gasolinera,
•Tiempos de vida de sistemas electrónicos, etc.
Estadísticos:
Media= p/a
Varianza= p/a2
Propiedad reproductiva
Si x1,...,xn son n variables aleatorias independ.
Distribuidas según una Γ(pi,a)
La nueva variable aleatoria Y= x1,...,xn
sigue una distribución Γ(p1....+ pn ,a)
4. DISTRIBUCIÓN GAMMA
Propiedad
Si x1,...,xn son n variables aleatorias independientes distribuidas
según una N(0,1).
La nueva variable aleatoria Y= x2
1,...,x2
n
sigue una distribución Γ(n/2,1/2)
Cuando el parámetro p es entero, a la distribución Γ(p,a) se le
conoce con el nombre de distribución Erlang
5. El tiempo de duración X de una pieza de un cierto equipo se
distribuye según una ley gamma de parámetros p=3 y a=2.
Determinar:
a) Probabilidad de que el equipo funcione más de 10 horas,
b) Probabilidad de que el equipo funcione entre 10 y 15 horas.
6. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Caso particular de la distribución gamma cuando p=1, Γ(1,a)
Aplicación (caso equivalente continua de la dist. Geométrica)
Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado
evento, sabiendo que, el tiempo que pueda ocurrir desde
cualquier instante dado t hasta que ocurra el evento en el instante
t’ no depende del tiempo transcurrido anteriormente. NO TIENE
MEMORIA.
Sea una variable aleatoria X∼Exp(λ)
8. Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de
marcapasos sigue una distribución exponencial con media 16 años.
¿Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que se le ha
implantado un marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20
años? Si el marcapasos lleva funcionado correctamente 5 años en un
paciente, ¿cuál es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes de
25 años?