Calidad de mediciones con R&R

1. ESCUELA SUPERIOR
POLITÉCNICA DE
CHIMBORAZO
TRABAJO GRUPAL
“CALIDAD DE MEDICIONES”
Asignatura:
Control Estadístico de la Calidad
Autores:
Francis Joel Noriega Rodríguez (6910)
Paolo Vinicio Paredes Altamirano (6889)
Kevin Daniel Vasco Párraga (6894)
Johnny Fernando Granizo Marcillo (6904)
Docente:
Ing. Jaime Iván Acosta Velarde

2. 1. ¿Qué es VE, VO y EM, ¿y por qué para calcularse se multiplica la
correspondiente desviación estándar por 5,15 o por 6?
VE = Variación expandida del equipo también llamada repetibilidad
VO = Variación expandida del operador también llamada Reproducibilidad
EM = Error de medición expandida o también conocida como la unión de la
reproducibilidad y repetibilidad.
Se debe al nivel de confianza que se asigne al proceso ya sea al 99% que corresponde al
5,15 o al 99,73% que corresponde al 6.
Se multiplica para 5,15 o por 6 debido a las propiedades de la distribución normal, en la
que la confianza asignada variará entre 99% lo cual corresponde a multiplicarlo por 5,15
y al 99,73% lo cual equivale a multiplicar por 6.
2. En caso de que los resultados de un estudio R&R reflejen mucho error de
medición, ¿qué se puede hacer y por qué?
Revisar y analizar cuáles de los componentes de R&R es el que más contribuye al error de
medición, ya que puede ser el instrumento, operadores o ambos. Si la reproducibilidad es la
que varía, los esfuerzos se deben enfocar a estandarizar los procedimientos de medición y
entrenar a los operadores a que se apeguen a ellos. Por otro lado, si la fuente dominante de
variación es la repetibilidad se deben investigar sus posibles causas, como su suciedad del
instrumento, componentes gastados, el mal diseño, método o funcionamiento inadecuado,
etc., estos casos se puede evaluar la posibilidad de sustituirlo.
3. ¿Cuáles son las ventajas y desventajas de un estudio de monitoreo de
mediciones con respecto a los estudios R&R?
Ventajas
R&R Estudio de monitoreo de medicines
• Se realiza de forma experimental
• Los resultados que aporta son
buenos y directos
• Son fáciles de aplicar
• Permite evaluar simultáneamente
la repetibilidad y la
reproducibilidad
• Estos estudios se realizan de
modo experimental y se evalúa
que parte de la variabilidad total

3. observada en el producto es
atribuible al error de medición
• Permite cuantificar si este error es
mucho o poco en comparación
con la variabilidad del producto y
con las tolerancias de la
característica de calidad que se
mide
Desventajas
R&R Estudio de monitoreo de medicines
Da la oportunidad de hacer la evaluación
del proceso de medición con indicadores
claros, pero solo es valido por un corto
periodo de tiempo ya que es un método
experimental.
Se debe ser cauteloso y ordenado para la
aplicación de este método debido a que
las piezas sujetas a estudio tienen que
mantener el orden y se deben hacer las
pruebas entregando las piezas
aleatoriamente a los operarios.
4. Se tiene una variable con una especificación de 120 ± 3. Se hace un estudio
R&R y se obtiene que 𝝈̂𝑹&𝑹 = 𝟎, 𝟓. ¿El sistema de medición es adecuado?
Argumente
ES 123
EI 117
Conclusión: En base a los resultados obtenidos podemos concluir que el proceso es
inaceptable debido a que el P/T es superior al 30% por ende se debe tomar medidas
correctivas de forma urgente.
0,5
Tolerancia 6
NC: 99% 5,15 Des. Exp 2,575
P/T 42,92%
𝝈𝑹&𝑹

4. 5. Mediante un instrumento de medición se mide una pieza cuyas
especificaciones son 80 ± 2. Se hace un estudio R&R y se observa que 𝝈̂𝑹𝒆𝒑𝒆 =
𝟎, 𝟑, 𝝈̂𝑹𝒆𝒑𝒓𝒐𝒅 = 𝟎, 𝟏 y 𝝈̂𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟏, 𝟏 Conteste:
a) ¿Cuál es 𝝈̂𝑹&𝑹?
σ Varianza
Repetibilidad 0.3 0.09
Reproducibilidad 0.1 0.01
Varianza R&R 0.4 0.1
σ R&R 0.31622777
El valor de σ R&R es de 0.316
b) ¿Cuál es el error de medición del sistema de medición, con una cobertura del
99%?
VO 0.515
EM 1.62857299
0.316227766 σ R&R
El error de medición del sistema con una cobertura del 99% es de 1.63
c) Si una pieza mide 78.4, ¿es seguro que es una pieza con calidad aceptable?
Argumente.
X±2,575*σ
R&R x= 78,4
límite Sup 79,2142865
límite Inf 77,5857135
En base al límite obtenido si se sale de las especificaciones del cliente, por lo tanto, se
consideraría que la calidad no es aceptable, ya que hay la posibilidad de haber aceptado
una pieza mala pensado que era buena.
d) Si una pieza mide 82.5, ¿es seguro que es una pieza defectuosa?
X±2,575*σ R&R x= 82,5
límite Sup 83.3142865
límite Inf 81.6857135

5. Con los datos obtenidos podemos decir que se sale de las especificaciones por lo
que se consideraría que se haya rechazado una pieza buena creyendo que es mala.
e) ¿El sistema de medición tiene un error aceptable? Argumente.
EI 78
ES 82
P/T 40.7143249
El 40,71% nos indica que el proceso es inaceptable y debe corregirse
inmediatamente ya que supera el 30%
f) En caso de que no sea aceptable, ¿dónde hay problemas? Repetibilidad o
reproducibilidad.
NC: 99% 5,15 Des.
Exp
INIDICE
TOLERANCIA/PRECISIÓN
Repetibilidad 1.545 3.79%
Reproducibilidad 0.515 1.26%
La repetibilidad resultó mayor que la reproducibilidad se debe a la variabilidad
entre las piezas medidas, en el proceso de fabricación
g) ¿Qué sugiere hacer
Como se evidencia la repetibilidad presenta un porcentaje mayor, por lo que se
debe capacitar al operador ya el sistema de medición se acepta por ahora, sin
embargo, requiere mejoras.
6. En una compañía dedicada a la fabricación de bombas y válvulas, algunos
componentes críticos tienen tolerancias muy estrechas que son difíciles de
cumplir. De aquí que sea necesario estimar el error de medición con el fin de
ver la posibilidad de reducirlo para cumplir con las especificaciones. El ancho
de un componente particular es una característica de calidad crítica, cuyas
especificaciones son 69 ± 0.4 mm. Se seleccionaron dos inspectores para
realizar un estudio R&R, y cada uno midió siete componentes dos veces con
un vernier digital capaz de discriminar entre piezas que difieran en 0.02 mm.
Los datos se muestran en la tabla para analizarlos.

6. 7. Operador A Operador B
N° de componente 1 2 1 2
1 69,38 69,6 69,62 69,52
2 69,72 69,8 69,78 69,9
3 69,58 69,7 69,7 69,62
4 69,5 69,5 69,46 69,5
5 69,48 69,4 69,5 69,42
6 69,56 69,4 69,68 69,64
7 69,9 70,02 69,94 69,88
a) Estime la desviación estándar atribuible al error del instrumento y
obtenga la VE.
METODO X-R
Operador A Operador B RANGOS
Muestra 1 2 rango 1 2 rango LC LCS LCI
1 69,38 69,6 0,22 69,62 69,52 0,1 0,0929 0,303
2 69,72 69,8 0,08 69,78 69,9 0,12 0,0929 0,303
3 69,58 69,7 0,12 69,7 69,62 0,08 0,0929 0,303
4 69,5 69,5 0 69,46 69,5 0,04 0,0929 0,303
5 69,48 69,4 0,08 69,5 69,42 0,08 0,0929 0,303
6 69,56 69,4 0,16 69,68 69,64 0,04 0,0929 0,303
7 69,9 70,02 0,12 69,94 69,88 0,06 0,0929 0,303
0,09285714
69,63
D4 3,267
D3 0
𝑅
̅
𝑋
̅

7. En la gráfica de rangos basado en los rangos calculados a partir de partes seleccionadas
se puede observar que el proceso no está fuera de control porque todos los puntos caen
dentro de los límites de control entre 0 y 0,303 es decir no hay cambios significativos en
la amplitud o magnitud de la variación del proceso, el operador A presenta un mayor
número de amplitud en sus mediciones con respecto al operador B.
En la gráfica de rangos por cada parte se observa la variabilidad que tiene cada operario
con respecto a sus mediciones, como se observa el operario A tiene más variabilidad
que el operario B.
0,0000
0,0500
0,1000
0,1500
0,2000
0,2500
0,3000
0,3500
1 2 3 4 5 6 7
Carta de Rangos
LC LCS LCI Operador A Operador B
Instrumento
desv instr 0,082
varian. Inst 0,007

8. 𝐕𝐄 = 𝟓, 𝟏𝟓 ∗ 𝐝𝐞𝐬𝐯. 𝐞𝐬𝐭𝐚𝐧
FV DES. EST VARIANZA
NC: 99% 5,15 Des.
Exp
Repetibilidad 0,082 0,007 0,424
𝐕𝐄 = 𝟎, 𝟒𝟐𝟒
La variación expandida del equipo es de 0,424 y su desviación estándar es de
0,082 por lo que el instrumento presenta problemas, el cual debe ser calibrado o
cambiar el equipo de medición.
b) Estime la desviación estándar atribuible al error de inspectores y obtenga
la VO.
Operario
k 3,65
xa 69,61
xb 69,6542857
x! 0,04428571
VE 0,424
desv. Reprod 0,022
varia. Reprod 0,001
𝐕𝟎 = 𝟓, 𝟏𝟓 ∗ 𝐝𝐞𝐬𝐯. 𝐞𝐬𝐭𝐚𝐧
La variación expandida del operador es de 0,142 y su desviación estándar es de
0,028 por lo que los operadores no influyen en el estudio, es decir que la variación
es causada por otros factores.
c) A partir de lo anterior calcule σˆR&R y EM.
R&R
varianza R&R 0,008
desv. R&R 0,087
𝐄𝐌 = 𝟓, 𝟏𝟓 ∗ 𝐝𝐞𝐬𝐯. 𝐞𝐬𝐭𝐚𝐧
FV DES. EST VARIANZA
NC: 99% 5,15
Des. Exp
Reproducibilidad 0,028 0,001 0,142

9. FV DES. EST VARIANZA
NC: 99% 5,15
Des. Exp
R&R 0,087 0,008 0,447
𝐄𝐌 = 𝟎, 𝟒𝟒𝟕
El error de medición expandida es de 0,447 y su desviación estándar es de 0,087
por lo que los operadores y el instrumento influyen directamente en el estudio, en
base a esto se visualiza que el error depende de uno de estos dos factores.
d) Calcule el índice P/T e interprete.
FV DES. EST VARIANZA
NC: 99% 5,15
Des. Exp
%
CONTRIBUCIÓN
VARIANZA
%
CONTRIBUCIÓN
Desv.Est. Exp
INIDI
P/T
Repetibilidad 0,082 0,007 0,424 17,18% 41,45% 52,9
Reproducibilidad 0,022 0,001 0,115 1,27% 11,27% 14,4
R&R 0,085 0,007 0,439 18,45% 42,95% 54,9
Parte 0,18 0,03 0,924 81,55% 90,31% 115,4
Total 0,199 0,039 1,023 100,00% 100,00% 127,8
El índice de tolerancia mayor fue la parte lo que significa el proceso es admisible,
ya que la parte siempre debe ser mayor al R&R, el índice correspondiente al R&R
es de 55,883% lo que significa que tanto como el instrumento y los operarios
influyen para que existe más fallas en las mediciones.
e) ¿Cuál de los dos componentes del error de medición tiene mayor
contribución?
La variable de Repetibilidad es decir el instrumento de medición contribuye más
a la variación del proceso, entre estos dos componentes el instrumento fue el que
más influyó y esto puede ser debido a la calibración, o la falta de precisión del
instrumento, una de las soluciones puede ser calibrar el instrumento o a su vez
cambiar este instrumento para la medición.
f ) Obtenga σˆparte, σˆtotal, el índice P/T e interprete este último.
Parte Rangos
1 0,22
2 0,08
3 0,12
4 0,00
5 0,08

10. 6 0,16
7 0,12
8 0,1
9 0,12
10 0,08
11 0,04
12 0,08
13 0,04
14 0,06
Partes
PARTE 1 69,530
PARTE 2 69,800
PARTE 3 69,650
PARTE 4 69,490
PARTE 5 69,450
PARTE 6 69,570
PARTE 7 69,935
RANGO 0,485
d2 2,704
desv. parte 0,18
varia Parte 0,0322
FV
DES.
EST VARIANZA
NC: 99%
5,15 Des.
Exp
%
CONTRIBUCIÓN
VARIANZA
%
CONTRIBUCIÓN
Desv.Est. Exp
INIDICE
P/T
Parte 0,18 0,03 0,924 81,021 % 90,012 % 115,465 %
Total 0,199 0,040 1,026 118,979 % 188,716 % 128,278 %
Una vez calculado el índice P/T de la parte que corresponde al 115,465% y su
desviación estándar es de 0,18 nos da a notar que la mayoría de la variación
corresponde a este factor por lo que es un proceso aceptable, ya que en este tipo
de estudios la parte siempre debe ser mayor a los otros componentes.

11. g) De contar con un software estadístico, conteste los incisos anteriores
mediante ANOVA y concluya.

12. Conclusión: Después de haber realizado el estudio ANOVA a través del software
Minitab se obtuvo lo siguiente:
VE=0,390
V0=0,123
EM=0,409
Como se puede observar el método ANOVA nos da unos valores exactos a
comparación del método X-R, sin embargo, se sigue manteniendo el mismo
desenlace, es decir que el valor correspondiente a variación expandida del

13. instrumento (VE) que es igual a 0,390, va a influir más que la variación expandida
del operador (VO) que es 0,123, el error de medición es de 0,409 lo que nos sigue
afirmando que la variación se le atribuye al instrumento.
Índice P/t
Repetibilidad=49%
Reproducibilidad=15%
Parte=111%
Nuevamente estos resultados son más precisos que los que se calcularon
anteriormente, pero tampoco hubo variación en su resolución, es decir que la parte
sigue siendo el que más influye en este estudio, seguido por el instrumento que de
igual manera debe ser calibrado o cambiado.
h) Si para un componente se obtiene un ancho de 69.45, ¿es seguro que tal
componente es defectuoso? Conteste calculando el intervalo del error
máximo de medición ±2.575σˆR&R
LIMITES DADOS POR EL
CLIENTE
Medición 69,45 límite superior 69,4
0,224 límite inferior 68,6
VS 69,674
VI 69,226
Este componente si es defectuoso ya que no está dentro de los límites de
especificación del cliente, ya que evaluando con el error máximo se observa que
este supera el límite superior.
COMPROBACIÓN EN EXCEL
MÉTODO ANOVA
2.575σˆR&R

14. Muestra
Operador A Operador B
Ensayo 1 Ensayo 2 Ensayo 1 Ensayo 2 yi. yi.2
1 69,38 69,6 69,62 69,52 278,12 77350,7344
2 69,72 69,8 69,78 69,9 279,2 77952,64
3 69,58 69,7 69,7 69,62 278,6 77617,96
4 69,5 69,5 69,46 69,5 277,96 77261,7616
5 69,48 69,4 69,5 69,42 277,8 77172,84
6 69,56 69,4 69,68 69,64 278,28 77439,7584
7 69,9 70,02 69,94 69,88 279,74 78254,4676
yj. 974,54 975,16 1949,7 543050,162
SUMAT
Yi.^2
yj.2
949728,2116 950937,0256
sum
yj.^2 1900665,24
N
28
Suma t
itotales 3801330,09
Muestra
Operador A Operador B
Ensayo 1 Ensayo 2 Ensayo 1 Ensayo 2
1 4813,5844 4844,16 4846,9444 4833,0304
2 4860,8784 4872,04 4869,2484 4886,01
3 4841,3764 4858,09 4858,09 4846,9444
4 4830,25 4830,25 4824,6916 4830,25
5 4827,4704 4816,36 4830,25 4819,1364
6 4838,5936 4816,36 4855,3024 4849,7296
7 4886,01 4902,8004 4891,6036 4883,2144
SUMAT Y2 IJ 135762,669
OPERADOR
# parte
OPERADOR
Operador A Operador B Operador A Operador B
138,98 139,14 1 19315,4404 19359,9396
139,52 139,68 2 19465,8304 19510,5024
139,28 139,32 3 19398,9184 19410,0624
139 138,96 4 19321 19309,8816
138,88 138,92 5 19287,6544 19298,7664
138,96 139,32 6 19309,8816 19410,0624
139,92 139,82 7 19577,6064 19549,6324
SUMA yij. 271525,179

15. FC 135761,789
SCT 0,88
SCP 0,75
SCO 0,01
SCOXP 0,035171429
SCE 0,08
TABLA ANOVA
FV SC GL CM FO F(⍺, GL, GLE) CD
PARTE 0.75 6 0.125 21.976 2.8477 S
OPERADOR 0.01 1 0.014 2.409 4.6001 NS
PARTExOPER 0.04 6 0.005862 1.028 2.8477 NS
ERROR 0.08 14 0.0057
TOTAL 0.88 27
TABLA ANOVA MEJORADA
FV SC GL CM FO F(⍺, GL, GLE) CD
PARTE 0.75 6 0.125 21.7901 2.599 S
OPERADOR 0.01 1 0.014 2.3882 4.3512 NS
ERROR 0.11 20 0.0057
TOTAL 0.88 27
R^2 87%
Varian repet 0,005749
Varian oper 0,000570
Varian parte 0,029878
Varia total 0,04
Tolerancia 0,8

16. FV Varianza desv estd
des
exp(99%) % contribucion varianza
%
variación P/T
Repetibilidad 0,005749 0,076 0,390 16% 40% 49%
reproducibili 0,000570 0,024 0,123 2% 13% 15%
R&R 0,0063186 0,079 0,409 17% 42% 51%
Parte 0,029878 0,173 0,890 83% 91% 111%
total 0,03619690 0,190 0,980 100% 100% 122%
Conclusión: El método ANOVA realizado en Excel nos corrobora los datos obtenidos a
través del software Minitab, lo que nos da certeza de los valores obtenidos en este
ejercicio.
7. En un estudio para separar la variabilidad atribuible al instrumento
(repetibilidad) y la atribuible al operador (reproducibilidad), dos operadores
utilizan el mismo instrumento para medir 10 partes, tres veces cada una. Los datos
se muestran en la tabla.
Número
de pieza
Operador A Operador B
1 2 3 1 2 3
1 50 49 50 50 48 51
2 52 52 51 51 51 51
3 53 50 50 54 52 51
4 49 51 50 48 50 51
5 48 49 48 48 49 48
6 52 50 50 52 50 50
0,000000
0,200000
0,400000
0,600000
0,800000
1,000000
1,200000
varianza desv estd des exp(99%) %
contribucion
varianza
% variación P/T
ANOVA
Repetibilidad reproducibili R&R Parte

17. 0
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Carta de Control de Rangos
Rangos A Rangos B LCS LC LCI
7 51 51 51 51 50 50
8 52 50 49 53 48 50
9 50 51 50 51 48 49
10 47 46 49 46 47 48
a) Estime la repetibilidad y reproducibilidad del instrumento de medición.
# de
pieza
Operador A Operador B
1 2 3 Medias Rangos A 1 2 3 Medias Rangos B LCS LC LCI
1 50 49 50 49,667 1 50 48 51 49,667 3 5,15
2 0
2 52 52 51 51,667 1 51 51 51 51,000 0 5,15
2 0
3 53 50 50 51,000 3 54 52 51 52,333 3 5,15
2 0
4 49 51 50 50,000 2 48 50 51 49,667 3 5,15
2 0
5 48 49 48 48,333 1 48 49 48 48,333 1 5,15
2 0
6 52 50 50 50,667 2 52 50 50 50,667 2 5,15
2 0
7 51 51 51 51,000 0 51 50 50 50,333 1 5,15
2 0
8 52 50 49 50,333 3 53 48 50 50,333 5 5,15
2 0
9 50 51 50 50,333 1 51 48 49 49,333 3 5,15
2 0
10 47 46 49 47,333 3 46 47 48 47,000 2 5,15
2 0
1,7 2,3
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑃𝑟𝑜 2
D4 2,575 D3 0
d2 1,69
d2 n10 3,078

18. A través de la gráfica de mediciones descrita podemos observar que ninguna de estas sale
del límite superior establecido, pero si hay una medición que está próxima a salirse de
control, de igual manera podemos apreciar que el operador B presenta mucha más variación
entra las medidas tomadas.
Número
de pieza
Rangos
1 1
2 1
3 3
4 2
5 1
6 2
7 0
8 3
9 1
10 3
11 3
12 0
13 3
14 3
15 1
16 2
17 1
18 5
19 3
20 2
En la gráfica que se muestra en la parte superior podemos observar la variabilidad presente
en la toma de mediciones de cada operario, donde podemos hacer la comparación de
operarios donde el determinamos que el operario A tiene menos variabilidad que el operario
B donde muestra mucha más variabilidad.
Número
de pieza
Operador A Operador B
1 2 3 1 2 3
Promedio de cada
parte Rango Promedio operario
1 50 49 50 50 48 51 49,66666667 4,5 50,03333333
2 52 52 51 51 51 51 51,33333333 49,86666667
0
1
2
3
4
5
6
0 10 20
Rangos
Operador A Operador B

19. 3 53 50 50 54 52 51 51,66666667
4 49 51 50 48 50 51 49,83333333 𝑋𝑓𝑖𝑑
5 48 49 48 48 49 48 48,33333333 0,16667
6 52 50 50 52 50 50 50,66666667
7 51 51 51 51 50 50 50,66666667
8 52 50 49 53 48 50 50,33333333
9 50 51 50 51 48 49 49,83333333
10 47 46 49 46 47 48 47,16666667
𝑋𝑑𝑖𝑓 k2 VE n t NC
0,166667 3,65 6,09467 10 3 5,15
En el caso de #¡NUM! Ocurre que como es un número negativo y no hay raíces de
negativos se le considerara como 0
Interpretación
Determinamos que el sistema de medición presenta una repetibilidad de 1,18 y una
reproducibilidad de 0, lo que nos muestra que dentro de la variabilidad del proceso la
variabilidad del operario no aporta a dicha variabilidad.
a) Estime la desviación estándar del error de medición, σˆR&R.
Varianza de cada parte 1,46199
EM 6,09467
Desviación de repetibilidad 1,18343
VO #¡NUM!
VE 6,09467
1,18343
0
1,18343
ES 60
EI 40
Tolerancia 20
&

20. TABLA RESUMEN
FV DESV.EST VARIANZA
NC: 99%
5,15
DESV.EST
%
CONTRI
VARINZA
%
CONTRI
DESV.
EST.
EXP
Indi.
Tolerancia
/Precision
Repetitibidad 1,18343 1,40051 6,09467 49% 70% 30%
Reproducibilidad 0 0 0 0% 0% 0%
R&R 1,18343 1,40051 6,09467 49% 70% 30%
PARTE 1,20913 1,46199 6,227 51% 71% 31%
TOTAL 1,69189 2,8625 8,71325 100% 100% 44%
Interpretación
La desviación R&R es igual en este caso a la desviación del instrumento (repetibilidad)
ya que no existe desviación por parte del operario.
Conclusiones
• Tras el análisis de los datos obtenidos de los ensayos realizados se concluye que
la variabilidad de las mediciones tomadas el 46,89% pertenecen a la parte, el
23,19% pertenece al instrumento y el 0% al operario.
• La desviación R&R no está siendo afectada por el operario es decir que dentro de
la variabilidad total la parte es la contribuye con la variabilidad del sistema de
medición.
• Entonces de acuerdo con esto y la precisión sobre tolerancia se puede decir que el
sistema de medición es marginal casi inaceptable ya que es mayor a 20 pero menor
a 30 y debe corregirse.
En comparación
Si comparamos ambas estimaciones se puede observar que al disminuir el nivel de
confianza la variabilidad del sistema es más pequeña por ende esta variación en términos
de precisión sobre tolerancia se va haciendo mucha más aceptable como se puede notar
que al 99% el sistema es inaceptable mientras que al 95% el sistema es marginalmente
aceptable o casi inaceptable, pero sigue con tendencia a mejoras.

21. a) Si las especificaciones son 50 ± 10, ¿qué puede decir acerca de la capacidad
del instrumento?
En este caso se puede apreciar que ninguna de las mediciones sale de las
especificaciones establecidas, sin embargo, de acuerdo con la resolución del
instrumento calculado anteriormente se puedo notar que la resolución del
instrumento es inadecuada para realizar dichas mediciones y que es necesario que
sea cambiada.
b) Si cuenta con un software estadístico realice un ANOVA e interprételo con
detalle.
Número
de pieza
Operador A Operador B
1 2 3 1 2 3 𝑌𝑖. 𝑌𝑖.2
1 50 49 50 50 48 51 298 88804
2 52 52 51 51 51 51 308 94864
3 53 50 50 54 52 51 310 96100
4 49 51 50 48 50 51 299 89401
5 48 49 48 48 49 48 290 84100
6 52 50 50 52 50 50 304 92416
7 51 51 51 51 50 50 304 92416
8 52 50 49 53 48 50 302 91204
9 50 51 50 51 48 49 299 89401
10 47 46 49 46 47 48 283 80089
𝑌. 𝑗 1501 1496 2997 898795 Suma 𝑌𝑖.2
𝑌. 𝑗2 2253001 2238016 4491017
𝑌. .2 8982009
Número de
pieza
Operador A Operador B
1 2 3 1 2 3
1 2500 2401 2500 2500 2304 2601
2 2704 2704 2601 2601 2601 2601
3 2809 2500 2500 2916 2704 2601
4 2401 2601 2500 2304 2500 2601
5 2304 2401 2304 2304 2401 2304
6 2704 2500 2500 2704 2500 2500
7 2601 2601 2601 2601 2500 2500
8 2704 2500 2401 2809 2304 2500
9 2500 2601 2500 2601 2304 2401
10 2209 2116 2401 2116 2209 2304
Suma 𝑌𝑖𝑗 149865

22. Muestra
Operadores
Muestra
Operadores
Operador
A
Operador
B
Operador
A
Operador
B
1 149 149 1 22201 22201
2 155 153 2 24025 23409
3 153 157 3 23409 24649
4 150 149 4 22500 22201
5 145 145 5 21025 21025
6 152 152 6 23104 23104
7 153 151 7 23409 22801
8 151 151 8 22801 22801
9 151 148 9 22801 21904
10 142 141 10 20164 19881
Suma 𝑌𝑖𝑗.2 449415
N 60
t 3
o 2
p 10
Promedio 49,95
FC 149700,15
SCT 164,85000
𝑆𝐶𝑝 99,01667
𝑆𝐶𝑜 0,41667
𝑆𝑐𝑜𝑥𝑝 5,41667
𝑆𝐶𝑒 60,00000
Nivel de C 95%
TABLA ANOVA
FV SC GL CM F0 𝐹(𝛼,𝐺𝐿𝑓;𝐺𝐿𝐸)
Criterio de
decisión
Parte 99,01667 9 11,0019 7,33457 2,12403 S
Operador 0,41667 1 0,41667 0,27778 4,08475 NS
Opera x par 5,41667 9 0,60185 0,40123 2,12403 NS
Error 60,00000 40 1,5
Total 164,85000 59

23. Interpretación
En este caso la variabilidad observada proviene de la parte ya que la variabilidad del
operador es no significativa además la variabilidad del operario por parte no es significativa;
la interacción no existe, por tanto, se vuelve a calcular el ANOVA.
TABLA ANOVA MODIFICADO
FV SC GL CM F0 𝐹(𝛼,𝐺𝐿𝑓;𝐺𝐿𝐸) CD
Parte 99,01667 9 11,0019 8,24088 2,07745 S
Operador 0,41667 1 0,41667 0,3121 4,03839 NS
Error 65,41667 49 1,33503
Total 164,85000 59
Interpretación
En la tabla ANOVA modificado se puede observar que:
• La variabilidad observada en los datos depende de la parte
• La variabilidad del operador en este caso según el criterio de decisión es no
significativa.
Coeficiente de determinación R2
60%
σrepet
2
1,3350
σoperador
2
0,000000
σparte
2
1,6111
σtotal
2
2,946170
Tolerancia 20
Interpretación
Según el coeficiente de determinación el 60% de la variabilidad es explicado por el
operador y parte mientras en el 40% restante puede ser por causas desconocidas.

24. FV Varianza Desv Estd
Desv
Exp
(99%)*
5,15
%
contribución
de la
varianza
%
Varición
P/T
Repetibilidad 1,3350 1,15544 5,9505 45,314 67,316 29,7525
Reproducibilidad 0,000000 0 0 0,000 0,000 0
R&R 1,3350 1,15544 5,9505 45,314 67,316 29,7525
Parte 1,6111 1,26931 6,53692 54,686 73,950 32,6846
Total 2,9462 1,71644 8,83967 100,000 100,000 44,1984
Interpretación
• El 29,75 del error de medición está formado por el operador y parte.
• El error de medición cubre el 29,75% de la tolerancia y representa el 67,31% de
la variación total.
• El proceso de medición de acuerdo con esto y la precisión sobre tolerancia se
puede decir que el sistema de medición es inaceptable ya que es mayor a 30 y
debe corregirse urgentemente.
0,0000
20,0000
40,0000
60,0000
80,0000
100,0000
120,0000
Componentes de variación
Varianza
Desv Estd
Desv Exp (99%)* 5,15
% contribución de la varianza
% Varición

25. Aplicando Minitab
Estudio R&R del sistema de medición - método ANOVA
Tabla ANOVA de dos factores con interacción
Fuente GL SC MC F P
Partes 9 99,017 11,0019 18,2800 0,000
Operadores 1 0,417 0,4167 0,6923 0,427
Partes *
Operadores
9 5,417 0,6019 0,4012 0,927
Repetibilidad 40 60,000 1,5000
Total 59 164,850
α para eliminar el término de interacción = 0,05
Tabla ANOVA dos factores sin interacción
Fuente GL SC MC F P
Partes 9 99,017 11,0019 8,24088 0,000
Operadores 1 0,417 0,4167 0,31210 0,579
Repetibilidad 49 65,417 1,3350
Total 59 164,850
R&R del sistema de medición
Componentes de la varianza
Fuente CompVar %Contribución
(de CompVar)
Gage R&R total 1,33503 45,31
Repetibilidad 1,33503 45,31
Reproducibilidad 0,00000 0,00
Operadores 0,00000 0,00
Parte a parte 1,61114 54,69
Variación total 2,94617 100,00
La tolerancia del proceso es = 20
Evaluación del sistema de medición
Fuente Desv.Est.
(DE)
Var. estudio
(5,15 × DE)
%Var.
estudio
(%VE)
%Tolerancia
(VE/Toler)
Gage R&R total 1,15544 5,95050 67,32 29,75
Repetibilidad 1,15544 5,95050 67,32 29,75
Reproducibilidad 0,00000 0,00000 0,00 0,00
Operadores 0,00000 0,00000 0,00 0,00
Parte a parte 1,26931 6,53692 73,95 32,68
Variación total 1,71644 8,83967 100,00 44,20
Número de categorías distintas = 1

26. Probabilidades de clasificación errónea
Probabilidad conjunta
Descripción Probabilidad
Se aceptó una parte seleccionada aleatoriamente que
está en mal estado
0,000
Se rechazó una parte seleccionada aleatoriamente
que está buen estado
0,000
Probabilidad condicional
Descripción Probabilidad
Se aceptó una parte proveniente de un grupo de
productos en mal estado
*
Se rechazó una parte proveniente de un grupo de
productos en buen estado
0,000
La probabilidad de que la parte esté dentro de los límites de especificación es = 1.

27. Estudio R&R del sistema de medición para Medición

28. Informe Minitab al 99% nivel de confianza de 5,15

29. Informe Minitab al 95% nivel de confianza de 3,92

30. Interpretación
Una vez aplicado el método ANOVA en Minitab se comprueba lo que previamente fue
calculado es decir que el método fue aplicado correctamente, tanto las gráficas como el
estudio R&R nos confirma que el proceso de medición presenta la variación por la parte
que fue medida, además se vuelve comprobar que cuando el nivel de confianza es del
95% el sistema de medición pasa de ser inaceptable a ser marginalmente aceptable o casi
inaceptable.
En el caso del ANOVA en Minitab los datos de la distribución de Fisher serán diferentes
debido a que el software utiliza una distribución de dos colas mientras que Excel de una
sola cola, pero se puede comprobar que en realidad el sistema es inaceptable.
8. En una empresa se utiliza una regleta digital que tiene la capacidad de medir hasta
diezmilésimas de pulgada y es utilizada para medir el ancho de hojas cortadas de
rollos maestros de película. Las mediciones deben estar dentro de especificaciones
que están dadas por el valor nominal ±0.020. Con el propósito de evaluar la calidad
de las mediciones se decide hacer un estudio R&R involucrando a dos inspectores
(operarios) que con regularidad realizan las mediciones referidas. Los datos
obtenidos se muestran en la tabla.

31. Número de
pieza
Operador A Operador B
1 2 1 2
1 14,027 14,024 14,034 14,035
2 14,028 14,025 14,033 14,034
3 14,028 14,027 14,032 14,035
4 14,029 14,025 14,034 14,033
5 14,028 14,026 14,032 14,034
6 14,028 14,025 14,032 14,033
7 14,027 14,025 14,033 14,034
8 14,027 14,026 14,032 14,035
9 14,028 14,027 14,033 14,034
10 14,028 14,025 14,033 14,035
a) Estime la variación atribuible al instrumento, a los inspectores y a las partes.
Número de
pieza
Operador A Operador B
1 2 Rango 1 2 Rango
1 14,027 14,024 0,003 14,034 14,035 0,001
2 14,028 14,025 0,003 14,033 14,034 0,001
3 14,028 14,027 0,001 14,032 14,035 0,003
4 14,029 14,025 0,004 14,034 14,033 0,001
5 14,028 14,026 0,002 14,032 14,034 0,002
6 14,028 14,025 0,003 14,032 14,033 0,001
7 14,027 14,025 0,002 14,033 14,034 0,001
8 14,027 14,026 0,001 14,032 14,035 0,003
9 14,028 14,027 0,001 14,033 14,034 0,001
10 14,028 14,025 0,003 14,033 14,035 0,002
Constantes
D3 0
D4 3,267
k1 4,56
k2 3,65
d2 3,078

32. Promedio Limites
Partes LCS LCI
14,030 0,00637 0,000
14,030 0,00637 0,000
14,031 0,00637 0,000
14,030 0,00637 0,000
14,030 0,00637 0,000
14,030 0,00637 0,000
14,030 0,00637 0,000
14,030 0,00637 0,000
14,031 0,00637 0,000
14,030 0,00637 0,000
0
0,0005
0,001
0,0015
0,002
0,0025
0,003
0,0035
0,004
0,0045
0 10 20
Operarios
Operario 1 Operario 2
Operario 1 Operario 2

33. Según la gráfica se puede determinar que los valores de los rangos de las partes según las
medidas tomadas se encuentran dentro de los límites de control, lo cual indica por ahora
que no existe una variación grande al tabular los datos.
𝑉𝐸 = 𝑅
̅ ∗ 𝑘1
𝜗 =
𝑉𝐸
5,15
𝑉𝑂 = √[(𝑋
̅𝐷𝑖𝑓)𝑘2]2 −
(𝑉𝐸2)
𝑛𝑡
𝜗 =
𝑉𝐸
5,15
Rp 0,0010
𝑋𝑑𝑖𝑓 0,0069
n 10
t 2
Tolerancia 0,040
Rangos
Ra 0,0023
Rb 0,0016
0,00195
Repetibilidad
VE 0,008892
_𝑅𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖 0,001727
-0,0005
0,0005
0,0015
0,0025
0,0035
0,0045
0,0055
0,0065
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
CARTA DE CONTROL DE RANGOS
Operador A Operador B LCS LCI
𝑅
̅

34. Reproducibilidad
VO 0,02492331
_𝑅𝑒𝑝𝑟𝑜𝑑 0,00483948
Partes
R partes 0,001
_𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 0,00032489
b) Calcule el error de medición (EM) y expréselo como porcentaje de la
tolerancia. Interprete los resultados.
𝐸𝑀 = √𝑉𝐸2 + 𝑉𝑂2
𝜗 =
𝐸𝑀
5,15
𝑃
𝑇
=
𝐸𝑀
𝐸𝑆 − 𝐸𝐼
∗ 100
R & R
EM 0,02646203
_(𝑅&𝑅) 0,00513826
_𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 0,0003249
%P/T 66,16%
FV DES. EST VARIANZA
NC: 99%
5,15 Des.
Est
%
CONTRIBUCIÓN
VARIANZA
% CONTRIBUCIÓN
Desv.Est. Exp
INIDICE
TOLERANCIA/PRECISIÓN
Repetibilidad 0,001727 0,0000030 0,009 14,35% 2,06% 22,23%
Reproducibilidad 0,004839 0,0000234 0,025 40,23% 16,19% 62,31%
R&R 0,005138 0,0000264 0,026 42,71% 18,25% 66,16%
Parte 0,0003249 0,0000001 0,002 2,70% 0,07% 4,18%
Total 0,0120292 0,0000529 0,062 100,00% 36,56%

35. Se obtiene un índice de tolerancia de 66,16% lo cual de acuerdo con el criterio de
aceptación; el proceso de medición del ancho de las hojas cortadas tiene unan calidad
inaceptable y debe ser corregido, lo que indica que el proceso de medición no es capaz
para determinar el tamaño del ancho de hoja, por lo que se debe mejorar este proceso lo
antes posible.
c) ¿Cuál de los dos componentes del error de medición tiene mayor contribución?
La Reproducibilidad y repetibilidad son los factores que más contribuyen al error de
medición.
d) ¿Qué acciones recomendaría?
Se recomienda adquirir un nuevo un nuevo instrumento, y tomando en cuenta que los dos
operarios miden y obtienen valores totalmente diferentes hay que fijar un método de
medición y realizar capacitaciones a los operarios.
Método ANOVA
Número de
pieza
Operador A Operador B
1 2 1 2 Yi (Yi)^2
1 14,027 14,024 14,034 14,035 56,120 3149,454
2 14,028 14,025 14,033 14,034 56,120 3149,454
3 14,028 14,027 14,032 14,035 56,122 3149,679
4 14,029 14,025 14,034 14,033 56,121 3149,567
5 14,028 14,026 14,032 14,034 56,120 3149,454
6 14,028 14,025 14,032 14,033 56,118 3149,230
7 14,027 14,025 14,033 14,034 56,119 3149,342
8 14,027 14,026 14,032 14,035 56,120 3149,454
9 14,028 14,027 14,033 14,034 56,122 3149,679
10 14,028 14,025 14,033 14,035 56,121 3149,567
Yj 280,533 280,67
(Yj)^2 78698,764 78775,649
Número de
pieza
Operador A Operador B
1 2 1 2
1 196,757 196,673 196,953 196,981
2 196,785 196,701 196,925 196,953
3 196,785 196,757 196,897 196,981
4 196,813 196,701 196,953 196,925
5 196,785 196,729 196,897 196,953
6 196,785 196,701 196,897 196,925
7 196,757 196,701 196,925 196,953

36. 8 196,757 196,729 196,897 196,981
9 196,785 196,757 196,925 196,953
10 196,785 196,701 196,925 196,981
TABLA ANOVA
FV SC GL CM F0 F(A,GL;GLE) CD
Parte 0,0000035 9 3,91666E-07 0,16491 2,39281 NS
Operador 0,0004692 1 0,000469225 197,56841 4,35124 S
Parte*Operador 0,0000085 9 9,47223E-07 0,39883 2,39281 NS
Error 0,0000475 20 2,375E-06
Total 0,0005288 39
TALA ANOVA MODIFICADA
FV SC GL CM F0 F(A,GL;GLE) CD
Parte 0,0000035 9 0,0000004 0,20274 2,22287 NS
Operador 0,0004692 1 0,0004692 242,88306 4,18296 S
Error 0,0000560 29 0,0000019
Total 0,0005288 39
R^2 89%
Número
de pieza
Operadores Número
de pieza
Operadores
Operador A Operador B Operador A Operador B
1 28,051 28,069 1 786,859 787,869
2 28,053 28,067 2 786,971 787,756
3 28,055 28,067 3 787,083 787,756
4 28,054 28,067 4 787,027 787,756
5 28,054 28,066 5 787,027 787,700
6 28,053 28,065 6 786,971 787,644
7 28,052 28,067 7 786,915 787,756
8 28,053 28,067 8 786,971 787,756
9 28,055 28,067 9 787,083 787,756
10 28,053 28,068 10 786,971 787,813
FC 7873,72
SCT 0,00052877
SCP 0,00000352
SCO 0,00046922
SCoxp 8,525E-06
SCE 0,00004750
N 40
Sum. Yi 561,203
Sum. (Yi)^2 31494,881
Sum. Yj 561,203
Sum. (Yj)^2 157474,413
Sum. (Yij)^2 7873,721
Sum.
(Yi.j)^2 15747,441

37. _𝑅𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖 0,0000019
_Oper 2,33647E-05
_𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 9,79166E-08
_total 0,0000254
Tolerancia 0,040
FV DES. EST VARIANZA
NC: 99%
5,15 Des.
Est
%
CONTRIBUCIÓN
VARIANZA
%
CONTRIBUCIÓN
Desv.Est. Exp
INIDICE
TOLERANCIA/PRECISIÓN
Repetibilidad 0,0000019 0,0013899 0,007 3,81% 19,52% 17,90%
Reproducibilidad 0,0000234 0,0048337 0,025 46,09% 67,89% 62,23%
R&R 0,0000253 0,0050296 0,026 49,90% 70,64% 64,76%
Parte 0,0000001 0,0003129 0,002 0,19% 4,40% 4,03%
Total 0,0000507 0,0071198 0,037 100,00% 100,00% 91,67%
Como en el método anterior se puede deducir que el problema de medición se encuentra
en la repetibilidad y reproducibilidad, aunque por el método ANOVA se obtienen valores
más exactos, por lo cual debemos tomar acciones para mejorar el sistema de medición
basado en los parámetros que causan la desviación
MINITAB