analisis vectorial

1. Gradiente de un campo escalar
Sea f:U⊆R3⟶Run campo escalar, y sean ∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z las derivadas parciales de f
(es decir, derivar respecto a una variable manteniendo las otras como constantes). Entonces,
el gradiente de f es:
grad(f)=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)
Observemos que el gradiente de f es un vector, aunque fsea un campo escalar. Hay que
tener en cuenta que:
 El gradiente apunta en la dirección en la que la derivada direccional de la función f
es máxima, y su módulo en un punto es el valor de ésta derivada direccional en ese
punto.
 Se anula en los puntos de inflexión de la función f.
 El gradiente convierte un campo escalar en un campo vectorial.
Ejemplo
 f(x,y,z)=x2⋅y−z3⋅z
grad(f)=(2⋅x⋅y−z3,x2,3⋅z2⋅x)
 f(x,y,z)=x⋅sin(y)⋅e5⋅z
grad(f)=(siny⋅e5⋅z,x⋅cosy⋅e5⋅z,x⋅siny⋅5⋅e5⋅z)
 f(x,y,z)=x2+y2+z2−−−−−−−−−−√
grad(f)=(xx2+y2+z2−−−−−−−−−−√,yx2+y2+z2−−−−−−−−−−√,zx2+
y2+z2−−−−−−−−−−√)
Divergencia de un campo vectorial
Sea F:U⊆R3⟶R3,F=(F1,F2,F3)un campo vectorial. Entonces, la divergencia de F
es:
div(F)=∂∂xF1+∂∂yF2+∂∂zF3
Ejemplo

2.  F(x,y,z)=(x3⋅y,2⋅z⋅sinx,cosz)
div(F)=∂∂x(x3⋅y)+∂∂y(2⋅z⋅sinx)+∂∂z(cosz)=3⋅x2⋅u+0−sinz
 F(x,y,z)=(−2⋅x⋅y,y⋅sinz+y2+z,cosz)
div(F)=∂∂x(−2⋅x⋅y)+∂∂y(y⋅sinz+y2+z)+∂∂z(cosz)=
=−2⋅y+sinz+2⋅y−sinz
La divergencia convierte un campo vectorial en un campo escalar.
Rotacional de un campo vectorial
Sea F:U⊆R3⟶R3,F=(F1,F2,F3)un campo vectorial. Entonces, el rotacional de F
es:
rot(F)=(∂F3∂y−∂F2∂z,∂F1∂z−∂F3∂x,∂F2∂x−∂F1∂y)
o también se puede calcular como el siguiente determinante, (teniendo en cuenta que i,j,k
son la coordenada a la que corresponden):
∣∣∣∣∣i∂∂xF1j∂∂yF2k∂∂zF3∣∣∣∣∣
Ejemplo
F(x,y,z)=(4⋅x⋅ey,x⋅lnz,y)
rot(F)=(∂(y)∂y−∂(x⋅lnz)∂z,∂(4⋅x⋅ey)∂z−∂(y)∂x,∂(x⋅lnz)∂x−∂(4⋅x⋅ey)∂y)
=(1−xz,0−0,lnz−4⋅x⋅ey)
Propiedades del gradiente, divergencia y rotacional
Si f es un campo escalar y F un campo vectorial, entonces siempre se cumple que
1. rot(grad(f))=0
2. div(rot(F))=0
3. rot(f⋅F)=grad(f)×F+f⋅rot(f)
4. div(f⋅F)=f⋅div(F)+grad(f)⋅F
donde ⋅ es el producto escalar y × el producto vectorial.