En general el término cálculo (del latín calculus, piedrecita, usado para contar o como ayuda al calcular)1​ hace referencia al resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.

1. PRIMERA UNIDAD
CAPÍTULO II: FUNCIONES DE
VARIAS VARIABLES
TEMA:
DERIVADAS DIRECCIONALES. VECTOR GRADIENTE Y
APLICACIONES

2. Objetivos
Interpretar las derivadas direccionales y aplicar a la
solución de problemas con razones de cambio.
Aplicar las propiedades del vector gradiente para hallar
la dirección de máximo crecimiento de las funciones.

3. Derivadas direccionales
Definición: La derivada direccional de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) en el punto (𝑥0, 𝑦0)
y en la dirección del vector unitario 𝑢 = (𝑎, 𝑏) como
𝐷𝑢𝑓 𝑥0, 𝑦0 =
𝜕𝑓
𝜕𝑢
𝑥0, 𝑦0 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ𝑎, 𝑦 + ℎ𝑏 − 𝑓(𝑥, 𝑦)
ℎ
Observación: Note el parecido con las derivadas parciales, de hecho, las
derivadas parciales son casos particulares de derivadas direccionales.

4. Interpretación geométrica de la derivada direccional
La derivada direccional representa la
pendiente de la recta tangente (roja) a la
curva intersección 𝐶 (naranja).
Además, la derivada direccional
representa la razón de cambio de
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) cuando nos movemos a
partir de (𝑥0, 𝑦0) en la dirección de 𝑢.
Es decir la derivada direccional mide la
variación de la función 𝑓 en el punto
(𝑥0, 𝑦0) en la dirección del vector 𝑢 .

5. Vector gradiente
Definición: Si 𝑓: ℝ2 → ℝ entonces el gradiente de 𝑓 es el vector:
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 , 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥, 𝑦 𝐢 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑥, 𝑦 𝐣
Teorema: Si 𝑓 es una función diferenciable de 𝑥 , 𝑦 entonces 𝑓 tiene una
derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario 𝑢 = 𝑎, 𝑏 .
𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 ⋅ 𝑢
= 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 , 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 ⋅ 𝑎, 𝑏
𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 . 𝑎 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 . 𝑏

6. Ejemplo
Determine la derivada direccional de la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
𝑦3
− 4𝑦 en el punto (2, −1)
en la dirección del vector Ԧ
𝑣 = (2,5).
Solución:
Vector gradiente:
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦3
, 3𝑥2
𝑦2
− 4
𝛻𝑓 2, −1 = 2 2 −1 3
, 3 2 2
−1 2
− 4 = (−4,8)
Vector unitario:
Ԧ
𝑣 = 22 + 52 = 29 → 𝑢 =
2
29
,
5
29
Derivada direccional:
𝐷𝑢𝑓 2, −1 = 𝛻𝑓 2, −1 ⋅ 𝑢 = −4,8 ⋅
2
29
,
5
29
=
−4.2+8.5
29
=
32
29

7. Maximización de la derivada direccional
Teorema: Suponga que 𝑓 es una función diferenciable de dos o tres variables. El
valor máximo de la derivada direccional 𝐷𝑢𝑓(𝒙) es 𝛻𝑓(𝒙) y ocurre cuando
𝑢 tiene las misma dirección que el vector gradiente 𝛻𝑓(𝒙).
Comprobación:
Tenemos
𝐷𝑢𝑓 = 𝛻𝑓 ⋅ 𝑢 = 𝛻𝑓 𝑢 cos 𝜃 = 𝛻𝑓 cos 𝜃
Donde 𝜃 es le ángulo que forman el vector 𝑢 y el vector gradiente 𝛻𝑓. El
máximo valor de cos 𝜃 es 1 y ocurre cuando 𝜃 = 0, es decir cuando 𝑢 tiene la
misma dirección que 𝛻𝑓.

8. OBSERVACIONES:
1) El vector gradiente apunta en la dirección en que la función crece más rápidamente y
su longitud es la razón de crecimiento de la función en esa dirección.
2) El valor máximo de la derivada direccional se obtiene cuando el vector
está en la dirección del vector gradiente.
3) El valor máximo de la derivada direccional es el módulo del vector gradiente.
4) La tasa máxima de decrecimiento de la función se alcanza en la dirección opuesta del
vector gradiente.
5) En la dirección pero sentido opuesto del vector gradiente la función decrece a la
máxima velocidad.
( )
0
X
v
f
→

 →
v

9. EN GENERAL:

10. Ejemplo:
Suponga que la temperatura en un punto (𝑥, 𝑦) está dada por 𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 200𝑒41−𝑥2−3𝑦2−9𝑧2
donde 𝑇 se mide en °𝐶 y 𝑥, 𝑦, 𝑧 en metros.
a) Determine la razón de cambio de temperatura en el punto 𝑃(2, −1,2) en dirección al
punto (3, −3,3).
b) ¿En qué dirección aumenta más rápido la temperatura en 𝑃?
c) Determine la razón de incremento máxima en 𝑃.
Solución:
a) Primero calculamos el vector gradiente:
𝑇𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −400𝑥𝑒41−𝑥2−3𝑦2−9𝑧2
→ 𝑇𝑥 2, −1,2 = −800𝑒−2
𝑇𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −1200𝑦𝑒41−𝑥2−3𝑦2−9𝑧2
→ 𝑇𝑦 2, −1,2 = 1200𝑒−2
𝑇𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −3600𝑧𝑒41−𝑥2−3𝑦2−9𝑧2
→ 𝑇𝑧 2, −1,2 = −7200𝑒−2
𝛻𝑇 2, −1,2 = −800𝑒−2
, 1200𝑒−2
, −7200𝑒−2

11. Ahora, encontramos el vector dirección unitario:
Ԧ
𝑣 = 3, −3,3 − 2, −1,2 = 1, −2,1 ; Ԧ
𝑣 = 6 ⇒ 𝑢 =
1
6
, −
2
6
,
1
6
Por tanto, la derivada direccional es el producto:
𝐷𝑢𝑇 2, −1,2 = −800𝑒−2
, 1200𝑒−2
, −72002−2
⋅
1
6
, −
2
6
,
1
6
𝐷𝑢𝑇 2, −1,2 = −
10400𝑒−2
6
= −574,60 °𝐶/𝑚
b) El incremento más rápido de temperatura se da en la dirección del vector gradiente:
𝛻𝑇 2, −1,2 = −800𝑒−2
, 1200𝑒−2
, −7200𝑒−2
= 400𝑒−2
−2,3, −18
c) La razón máxima es:
𝛻𝑇 2, −1,2 = 400𝑒−2
−2 2 + 3 2 + −18 2 = 400𝑒−2
337
𝛻𝑇 2, −1,2 = 993.77 °𝐶/𝑚

12. GRACIAS