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1.
Ejercicios optimización de sistemas Realizado
por: José rincón
2.
Dada las siguientes
ecuaciones • 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −1 −2𝑥 + 2𝑦 − 6𝑧 = 2 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 Hallar 𝑓 𝑡 = 2𝑦´´ + 𝑧4 ´´ − 3𝑥2 ´ utilizando el metodo de gauss-jordan paso 1: hallar la matriz aumentada del sistema 1 2 −1 −1 −2 2 −6 2 1 1 1 4
3.
Paso 2: sumamos
la fila 2 con la fila 1 multiplicada por 2 1 2 −1 −1 −2 2 −6 2 1 1 1 4 𝑓2=𝑓2+2𝑓1 1 2 −1 −1 0 6 −8 0 1 1 1 4 Paso 3: restamos la fila 3 con la fila 1 1 2 −1 −1 −2 2 −6 2 1 1 1 4 𝑓3=𝑓3−𝑓1 1 2 −1 −1 0 6 −8 0 0 −1 2 5 Paso 4: dividimos la fila 2 entre 6 1 2 −1 −1 −2 2 −6 2 1 1 1 4 𝑓2=𝑓2/6 1 2 −1 −1 0 1 −4/3 0 0 −1 2 5
4.
Paso 5: sumamos
fila 3 con fila 2 1 2 −1 −1 0 1 −4/3 0 0 −1 2 5 𝑓3=f3+f2 1 2 −1 −1 0 1 −4/3 0 0 0 2/3 5 Paso 6: multiplicamos la fila 3 por 3/2 1 2 −1 −1 0 1 −4/3 0 0 0 2/3 5 𝑓3=3/2∗f3 1 2 −1 −1 0 1 −4/3 0 0 0 1 15/2 Paso 7: sumamos fila 2 con fila 3 multiplicada por 4/3 1 2 −1 −1 0 1 −4/3 0 0 0 1 15/2 𝑓2=𝑓2+4/3𝑓3 1 2 −1 −1 0 1 0 10 0 0 1 15/2
5.
Paso 8: sumamos
la fila 1 con la fila 3 1 2 −1 −1 0 1 0 10 0 0 1 15/2 𝑓1=𝑓1+𝑓3 1 2 0 13/2 0 1 0 10 0 0 1 15/2 Paso 9: restamos fila 1 con fila 2 multiplicada por 2 1 2 0 13/2 0 1 0 10 0 0 1 15/2 𝑓1=𝑓1−2𝑓2 1 0 0 −27/2 0 1 0 10 0 0 1 15/2 𝑥 = − 27 2 , 𝑦 = 10, 𝑧 = 15 2
6.
Paso 10: hallamos
el valor de f(t) en función de sus derivadas parciales y sustituyendo los valores 𝑓 𝑡 = 2𝑦´´ + 𝑧4 ´ − 3𝑥2 ´ 𝜕𝑓 𝑡 𝜕𝑧 = 4𝑧3 𝜕2 𝑓(𝑡) 𝜕𝑧 = 12𝑧2 = 12 15 2 = 90 𝜕𝑓(𝑡) 𝜕𝑥 = −6x = −6 −27 2 = 81 𝜕𝑓 𝑡 𝜕𝑦 = 2 𝜕2 𝑓(𝑡) 𝜕𝑦 = 0
7.
Sustituyendo: 𝑓 𝑡 =
0 + 90 + 81 = 171
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