Este documento presenta información sobre sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales, incluyendo ejemplos y métodos de resolución. Se explican conceptos como región factible, función objetivo y restricciones en problemas de programación lineal. Se incluyen tres ejemplos básicos resueltos de maximización de beneficios sujetos a restricciones de recursos.

3. L6
L1
L2
L3 L4
L5
Región
Factible
LECTURA
MOTIVACIÓN
CONOCIMIENTOS PREVIOS
EJEMPLOS BÁSICOS
NOTAS
SUGERIDAS
¿PRACTICAS UN POCO MAS?
AUTOEVALUACION
EVALUACION
ACTIVIDADES

4. CONCEPTO
FUNCIÓN OBJETIVO
RESTRICCIONES
SISTEMA DE
RESTRICCIONES
SOLUCIÓN FACTIBLE
PROBLEMASEJEMPLOS
SISTEMA
INECUACIONES
INECUACIONES
ECUACIONES
SISTEMA
ECUACIONES

5. Ejemplo 1.- x+5=9
x=9-5
x=4
Representación gráfica:
4
Ejemplo 2.- x+y=3
X Y
-2 5
0 3
2 1
Representación gráfica
X
Y
4

x=4
x+0y=4

6. Ejemplo 1.- -x-3<4
-x<4+3
-x<7
x>-7
Ejemplo 2.- x-y>2
Suponemos. x-y=2 X Y
0 -2
2 0
Representación gráfica
Comprobamos la veracidad del semiplano:
para (1;1) en la inecuación x-y>2
1-1>2
0>2 (F)
para (3;0) en la inecuación x-y>2
3-0>2
3>2 (V)
Representación gráfica:
-7 
X
Y
-7 

7. METODOS DE
RESOLUCION
POR SUSTITUCION
POR IGUALACION
POR REDUCCION
GRAFICANDOTABULACION
POR MATRICES
REGRESAR

8. 4x-3y =15
2x+y =5
X Y
-3 -9
0 -5
3 -1
6 3
4x-3y =15
X Y
0 5
1 3
2 1
3 -1
2x+y =5
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
(x;y)=(3;-1)
(3;-1)
El conjunto solución es el punto
de intersección de las rectas
X
Y

9. METODO DE ELIMINACION POR IGUALACION
4x-3y =15
2x+y =5
4x-3y =15
4x=15+3y
2x+y = 5
2x = 5 - y
4
315 y
x

 2
5 y
x


2
5
4
315 yy 


2(15+3y)=4(5-y)
30+6y=20-4y
6y+4y=20-30
10y=-10
y=-1
3
2
6
2
15
2
)1(5






x
x
x
x
2
5 y
x


(3;-1)
(x;y)=(3;-1)
X
Y

10. METODO DE ELIMINACION POR SUSTITUCION
4x-3y =15
2x+y =5
4x-3y =15
4x=15+3y
2x+y =5
4
315 y
x


1
55
15105
102315
5
2
315
5
4
315
2











 
y
y
y
yy
y
y
y
y
4
315 y
x


3
4
12
4
315
4
)1(315






x
x
x
x
(3;-1)
(x;y)=(3;-1)
X
Y

11. METODO DE ELIMINACION POR REDUCCION
4x-3y =15
2x+y =5
4x-3y =15
(3) 2x+y=5
4x-3y=15
6x+3y=15
10x / =30
x=30/10
x=3
Reemplazando:
2x+y =5
2(3)+y = 5
6+y =5
Y =5-6
y =-1 (3;-1)
(x;y)=(3;-1)
X
Y

12. MÉTODO DE GAUSS O MATRICIAL:
2x+y =5
4x-3y =15
4 -3
2 1
15
5
?(1era)+(2da)
?(4)+2=0
?(4)=-2
?=-2/4
?=-1/2
-2 3/2 -15/2
2 1 5
0 5/2 -5/2
4 -3 15
0 5/2 -5/2
4x-3y=15
5/2y=-5/2
4x-3y=15
5/2y=-5/2 y=(-5/2).(2/5)
y=-1
4x-3(-1)=15 4x+3 = 15
4x = 15-3
4x = 12
x = 12/4
x = 3
(x;y)=(3;-1)
VIDEO: GAUSS

13. Sea el sistema de inecuaciones:
6x+3y-4<0
013  yx
Las analizaremos por separado para luego concluir en su
conjunto solución.

14. Sea la inecuación: 6x+3y-4<0
6x+3y<4
3y<4-6x
y<4-6x
3
Condideramos: y = 4-6x
3
X Y
-2 16/3
0 4/3
2 -8/3
Si x=-2 y= 4-6(-2)
3
y=(4+12)/3
y= 16/3
Si x=0 y= 4-6(0)
3
y= 4/ 3
Si x=2 y= 4-6(2)
3
y=-8/3
Por lo tanto:
6x+3y<4
entonces
comprobamos:
Para ( 3;0)
6(3)+3(0)<4
18+0<4
18<4 (F)
Para (-1;0)
6(-1)+3(0)<4
-6<4 (V)

15. 013  yx
13  xy
13  xy
X Y
-2 7
0 -1
2 5
Suponemos la
igualdad: y=3x-1
Comprobamos en la
desigualdad
para (3;0)
para (-1;0)
013  yx
)(08
019
001)3(3
v


)(04
013
001)1(3
f


Sea la segunda
inecuación del sistema

16. SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES
Sea el sistema de inecuaciones:
6x+3y-4<0
013  yx
C.S.
Compruébalo
utilizando
PROLIN
Digita
6x+3y<=4
3x-y>=1

17. 1. PROBLEMA DE REGIÓN FACTIBLE
2. PROBLEMA MAXIMIZAR
3. OPTIMIZAR EL RENDIMIENTO
4. BENEFICIO MAXIMO

18. Dibuja la región factible asociada a las restricciones:
x + y >= 4 y<= 4 y >= x
Las rectas asociadas son : r : x + y = 4 ; s : y = 4 , t: y = x
Ejemplo 1:
COMPRUEBALO

19. Ejemplo Básico 2: Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere
fabricar bicicletas de paseo y de montaña , que quiere vender, respectivamente, a
2000 y 1500 nuevos soles, para obtener el máximo beneficio. En la elaboración de
la bicicleta de paseo empleará un Kg. de acero y 3 Kg. de aluminio, y en la de
montaña 2 Kg. de cada metal. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá
el herrero para obtener el máximo beneficio?
Solución:
Planteamos según los datos la
función objetivo:
X: número de bicicletas de paseo
Y: número de bicicletas de montaña
F(x;y)= 2000x + 1500y
0x
0y
802  yx
12023  yx
entonces x=0 (L1)
entonces y=0 (L2)
entonces x+2y=80 (L3)
entonces 3x+2y=120 (L4)
x y
0 40
80 0
x y
0 60
40 0
Se grafican las rectas y se determina el semiplano del conjunto
solución de cada una de las restricciones
Según las condiciones del problema se
plantean las restricciones:
COMPRUEBALO

20. L1
L2
L3
L4
Determinamos los vértices de la
región factible, que son los
puntos de intersección entre: L1 y
L3; L4 y L3; L4 y L2; L1 y L2
)0;0(
)0;40(
)30;20(
)40;0(
21
24
34
31
DLL
CLL
BLL
ALL




Determinemos el beneficio
obtenido en la función
objetivo:
F(x;y)= 2000x + 1500y
F(A)=2000(0)+1500(40)
F(A)=60000 nuevos soles
F(B)=2000(20)+1500(30)
F(B)=85000 nuevos soles
F(C)=2000(40)+1500(0)
F(C)=80000 nuevos soles
Observando los beneficios
deducimos que:el herrero
debe vender 20 bicicletas de
paseo y 30 bicicletas de montaña
para obtener el máximo beneficio de 85000 nuevos soles.
A
B
CD
COMPRUEBALO
Región
Factible

21. Ejemplo básico 3.- Blanca dispone de 10 millones como máximo para repartir entre dos
tipos de inversión(A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones, y quiere
destinar a esta opción, como mínimo tanta cantidad de dinero como a la B. sabiendo
que el rendimiento de la inversión será del 9% en la opción A y del 12% en la B ¿Qué
cantidad debe invertir en cada una de las dos opciones para optimizar el rendimiento
global? ¿A cuánto ascenderá?
Función objetivo:
F(x;y)= 0,09x + 0,12y
x: inversión en A
y: inversión en B
Restricciones:
10
7
2
0
0






yx
yx
x
x
y
x x=0
y=0
2=x
x=7
x=y
x+y=10
L1: eje y
L2: eje x
L3
L4
L5
L6
X Y
2 0
2 3
X Y
0 7
3 7
X Y
0 0
10 10
X Y
0 10
10 0
L6
L1
L2
L3 L4
L5
Región
Factible
COMPRUEBALO

22. L6
L1
L2
L3 L4
L5
Región
Factible
Soluciones factibles
A(2;2)
B(5;5)
C(7;3)
D(7;0)
E(2;0)
F(A)=0,09(2)+0,12(2)
F(A)=0,18+0,24=0,42
F(B)=0,09(5)+0,12(5)
F(B)=0,45+0,60=1,05
F(C)=0,09(7)+0,12(3)
F(C)=0,63+0,36=0.99
F(D)=0,09(7)+0,12(0)
F(D)=0,63+0=0,63
F(E)=0,09(2)+0,12(0)=0,18
Respuesta: Se debe invertir 5
millones en A y 5 en B para
obtener un beneficio máximo
de 1,05 millones
COMPRUEBALO
A(2;2)
B(5;5)
C(7;3)
D(7;0)E(2;0)

23. 4. Alfonso es un estudiante que dedica parte de su tiempo al reparto de
propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 soles por cada impreso
repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 soles por impreso.
El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y
otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es
capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante
es: ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio
diario sea el máximo?
Solución:
X: nº de impresos diarios tipo A
Y: nº de impresos diarios tipo B
Función objetivo: F (x,y)= 5 x + 7 y
Restricciones:
;0
;0


y
x
120
100
Vértices de la región
factible:
A(0;100)
B(50;100)
C(120;30)
D(120;0)
Valores en la función
objetivo:
f(A)=7(100)=700
F(B)=5(50)+7(100)=950
F(C)=5(120)+7(30)=810
F(D)=5(120)=600
Respuesta: Debe repartir 50 impresos tipo A y 100 tipo B,
para una ganancia máxima diaria de 950 nuevos soles.
150
150
A B
C
Zona de soluciones factibles
COMPRUEBALO
X
Y
150
100
120



yx
y
x
Región
factible
D

24. Taller 1: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas.
Taller 2: Sistema de Ecuaciones e Inecuaciones.
Taller 3: Programación Lineal

25.  http://descartes.cnice.mec.es/materiales_
didacticos/Programacion_lineal/index.htm
 http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Mat
ematicas/29/matematicas-29.html
Es recomendable que visites estas
direcciones, te van ayudar de mucho.